高考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練：集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式（新定義高數(shù)觀點(diǎn)壓軸題）含答案及解析

專題01集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式（新定義，高數(shù)觀點(diǎn),

壓軸題）

目錄

一、集合的新定義（高數(shù)觀點(diǎn)）題......................................2

①乘法運(yùn)算封閉...................................................2

②“群”運(yùn)算.......................................................2

③“*”運(yùn)算.......................................................3

④，，十，，運(yùn)算.......................................................4

⑤戴德金分割.....................................................4

⑥“類”...........................................................5

⑦差集運(yùn)算.......................................................6

⑧“勢(shì)”...........................................................7

⑨“好集”.........................................................7

二、邏輯推理........................................................8

①充分性必要性...................................................8

②邏輯推理.......................................................8

三、不等式..........................................................9

①作差法.........................................................9

②基本不等式.....................................................9

一、集合的新定義（高數(shù)觀點(diǎn)）題

①乘法運(yùn)算封閉

1.（2023春?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)十是R上的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集.若對(duì)于任意a,beA,有a十b

GA,則稱A對(duì)運(yùn)算十封閉.下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算都封閉的是（）

A.自然數(shù)集B.整數(shù)集

C.有理數(shù)集D.無(wú)理數(shù)集

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）非空集合G關(guān)于運(yùn)算*滿足：①對(duì)任意”,6eG,者B有q*人eG；②存在eeG

使對(duì)一切aeG都有a*e=e*a=a,則稱G是關(guān)于運(yùn)算*的融洽集，現(xiàn)有下列集合及運(yùn)算：

①G是非負(fù)整數(shù)集，*運(yùn)算：實(shí)數(shù)的加法；

②G是偶數(shù)集，*運(yùn)算：實(shí)數(shù)的乘法；

③G是所有二次三項(xiàng)式組成的集合，*運(yùn)算：多項(xiàng)式的乘法；

@G={x\x=a+by/2,a,b&Q],*運(yùn)算：實(shí)數(shù)的乘法；

其中為融洽集的是

②“群”運(yùn)算

1.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）“群”是代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，它的定義是：設(shè)G為某種元素組成的一

個(gè)非空集合，若在G內(nèi)定義一個(gè)運(yùn)算“*”，滿足以下條件：

?Vo,beG,有a*beG

②如Va,b,ccG,有（a*b）*c=a*（b*c）；

③在G中有一個(gè)元素e,對(duì)VaeG,都有a*e=e*a=a,稱e為G的單位元；

@VaeG,在G中存在唯一確定的6,使a*b=6*a=e,稱b為。的逆元.此時(shí)稱（G,*）為一個(gè)群.

例如實(shí)數(shù)集R和實(shí)數(shù)集上的加法運(yùn)算“+”就構(gòu)成一個(gè)群（尺+）,其單位元是0,每一個(gè)數(shù)的逆元是其相反數(shù)，

那么下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）

A.G=Q,則（G,+）為一個(gè)群

B.G=R,貝U（G,x）為一個(gè)群

C.G={-1,]},則（G,x）為一個(gè)群

D.G={平面向量},則（G,+）為一個(gè)群

2.(多選)(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))若非空集合G和G上的二元運(yùn)算“十”滿足：①Va,6eG,。十beG；

②HeG,對(duì)VaeG,。十/=/十a(chǎn)=a：③XeG,使X/aeG,BbeG,有a?>6=/=6十a(chǎn)；④Va,"ceG,

(a十6)十c=。十S十c),則稱(G,十)構(gòu)成一個(gè)群.下列選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的(G,十)構(gòu)成一個(gè)群的是()

A.集合G為自然數(shù)集，“十”為整數(shù)的加法運(yùn)算

B.集合G為正有理數(shù)集，“十”為有理數(shù)的乘法運(yùn)算

C.集合G=t?，訃(i為虛數(shù)單位)，“十”為復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算

D.集合G={O,1,2,3,4,5,6},“十”為求兩整數(shù)之和被7除的余數(shù)

3.(2018?北京?高三開(kāi)學(xué)考試)設(shè)G是一個(gè)非空集合,*是定義在G上的一個(gè)運(yùn)算，如果同時(shí)滿足下述四個(gè)條

件：

(i)對(duì)于都有°*6eG;

(ii)對(duì)于Va/,cwG,都有(a*b)*c=a*(6*c)；

(iii)對(duì)于VawG月eeG,使得a*e=e*a=a;

(iv)對(duì)于VaeG,H'eG,使得a*〃=〃*a=a(注：“e”同(iii)中的“e").

則稱G關(guān)于運(yùn)算*構(gòu)成一個(gè)群，現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：

①G是整數(shù)集合,*為加法；②G是奇數(shù)集合,*為乘法；

③G是平面向量集合,*為數(shù)量積運(yùn)算；④G是非零復(fù)數(shù)集合,*為乘法.

其中G關(guān)于運(yùn)算*構(gòu)成群的序號(hào)是(將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上).

③“*”運(yùn)算

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在R上的定義運(yùn)算*:a*b="b+2a+)，則滿足》*。-2)<0的解集為()

A.(0,2)B.(—2,1)C.(-°°,—2)(J(1,-Ko)D.(一1,2)

2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)U為全集，對(duì)集合X,匕定義運(yùn)算“*”，X*y=(XnV).對(duì)于任意集合

X,Y,Z,則(X*y)*z=()

A.(xu)nzB.(xny)nz

C.(Xuy)uZD.(XOF)UZ

3.(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”,具有以下三條性質(zhì)：(1)對(duì)任意aeR,0*a=a；

(2)對(duì)任意a,beR,a*b=b*a；(3)對(duì)任意a,b,ceR,a*0*c)=c*(H)+(a*c)+僅*c)-2c.給

出下列三個(gè)結(jié)論：

①2*(0*2)=0；

②對(duì)任意a,b,ceR,a*(b*c)=b*(c*a)；

③存在a,b,ceR,(a+%)*c#(a*c)+(6*c)；

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.②B.①③C.②③D.①②③

④“十，，運(yùn)算

1.（2023.全國(guó)?高三專題練習(xí)）對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（。力）和（c,d），規(guī)定=（c,d）當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d；

運(yùn)算“0”為：（a,。）?（c,d）=（ac-bd.bc+ad）,

運(yùn)算，，十，，為：（〃,/?）十（c,d）=（〃+c*+d）,

設(shè)P，qeR,若（1,2）區(qū)（p,g）=（5,0）則（1,2）十（p,q）=

A.（0,-4）B.（4,0）C.（0,2）D.（2,0）

2.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）定義集合運(yùn)算：AQB=｛z\z=xy（x+y）,x^A,y^B｝.設(shè)集合A=｛0,1｝,8=｛2,

3）,則集合AOB的所有元素之和為（）

A.0B.6C.12D.18

3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)〃?，n,定義運(yùn)算十如下：

①當(dāng)"2,"奇偶性相同時(shí)，十〃

②當(dāng)m,〃奇偶性不同時(shí)，m十n=m?.

若集合M=｛（a,b）|a十b=12,a,beN+｝,則〃的元素個(gè)數(shù)為.

4.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）非空集合G關(guān)于運(yùn)算十滿足：（1）對(duì)任意久川G,都有a十6eG；（2）

存在eeG,使得對(duì)一切aeG,都有a十e=e十a(chǎn)=a,則稱G關(guān)于運(yùn)算十為“融洽集”.現(xiàn)給出下列集合和

運(yùn)算：

①G=｛非負(fù)整數(shù)｝,十為整數(shù)的加法；

②G=｛偶數(shù)｝,十為整數(shù)的乘法：

③G=｛平面向量｝,十為平面向量的加法；

@G=｛二次三項(xiàng)式｝,十為多項(xiàng)式的加法；

⑤G=｛虛數(shù)｝,十為復(fù)數(shù)的乘法

其中G關(guān)于運(yùn)算十為“融洽集”的是.（寫(xiě)出所有“融洽集”的序號(hào)）

⑤戴德金分割

1.（多選）（2022秋?山西運(yùn)城?高一山西省運(yùn)城中學(xué)校期中）1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出

發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而

結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子

集M與N,且滿足"uN=Q,McN=0,〃中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱（M,N）為

戴德金分割.試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（）

A.出={無(wú)€（2?<忘}川=卜€(wěn)（2|無(wú)20}滿足戴德金分割

B.M沒(méi)有最大元素，N有一個(gè)最小元素

C."沒(méi)有最大元素，N沒(méi)有最小元素

D.M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素

2.（多選）（2023春?浙江寧波?高一寧波市北侖中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）19世紀(jì)戴德金利用他提出的分割理論，

從對(duì)有理數(shù)集的分割精確地給出了實(shí)數(shù)的定義，并且該定義作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)之一可以推出實(shí)

數(shù)理論中的六大基本定理.若集合A、2滿足：Ac3=0,aUB=N*,則稱（A,5）為N*的二劃分，例如

A={x\x=2k,keN*},3={x|x=2"l,%eN*}則（A,3）就是N*的一個(gè)二劃分，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.設(shè)4=印*=3左次eN*},B={^\x=3k+l,kGNt},則（A,5）為N*的二劃分

B.設(shè)4={*次=2”,“間,B={x\x=k-2n,k=2m+3,m,n&N],則（B3）為N*的二劃分

C.存在一個(gè)N*的二劃分（A,3）,使得對(duì)于Vx,yiA,x+yeB,對(duì)于Vp,qeB,p+qeB

D.存在一個(gè)N*的二劃分（A,B）,使得對(duì)于\/x,A,x<y,則x+yeB,3p,q&B,p<q,貝!|p+qwA

3.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?高一揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有

理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無(wú)

理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代,也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集〃與N,

且滿足MuN=Q,McN=0,M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱（M,N）為戴德金分

割.則下列關(guān)于戴德金分割（”,N）的說(shuō)法一定不成立的是（）

A.〃中有最大元素，N中有最小元素

B.M中沒(méi)有最大元素，N中有最小元素

C.M中有最大元素，N中沒(méi)有最小元素

D.M中沒(méi)有最大元素，N中沒(méi)有最小元素

4.（2022秋?高一課時(shí)練習(xí)）戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空子集A與B,且滿足Au3=

Q,Ac3=0,A中的每一個(gè)元素都小于8中的每一個(gè)元素.請(qǐng)給出一組滿足A中無(wú)最大元素且8中無(wú)最

小元素的戴德金分割.

⑥“類”

1.（多選）（2023秋?吉林?高一長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為女的所

有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為岡，即因={5〃+即eZ},其中左e{0,1,2,3,4}.以下判斷正確的是（）

A.2023e[3]B.-2e[2]

C.Z=[0]U[l]U[2]U[3]U[4]D.若a-be[0],則整數(shù)a,b屬同一類

2.（2021秋.高一課時(shí)練習(xí)）在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為左的所有整數(shù)組成的一個(gè)集合稱為“類”，記

為因,即肉={5"+刖GZ},仁0,1,2,3,4.給出如下四個(gè)結(jié)論：①2013d[3];②-2C⑵;③Z=[0]U[l]U[2]

U[3]U[4];④若整數(shù)a,b屬于同一“類"，則a-bG[0].其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2022秋?廣東汕頭?高一汕頭市第一中學(xué)?？计谥校┰谡麛?shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為左的所有整數(shù)組

成一個(gè)“類”，記為[內(nèi)，即固={4〃+/Inez},k=31,2,3.給出下列四個(gè)論①2025G[1]；②一2025

￡[1];③若bG[2],貝3a+6G[3]；④若aS[1],6G[3],則a—36d⑼淇中正確的結(jié)論是.

⑦差集運(yùn)算

1.（多選）（2023秋?高一課時(shí)練習(xí)）我們知道，如果集合4屋5,那么S的子集A的補(bǔ)集為=

且x拓A},類似地，對(duì)于集合A、8我們把集合{xlxeA且x走3},叫做集合A和8的差集，記作A—3,

例如:A={1,2,3,4,5},8={4,5,6,7,8},則有A-B={1,2,3},B-A={6,7,8},下列解析正確的是（）

A.已知A={4,5,6,7,9},B={3,5,6,8,9},則B-A={3,7,8}

B.如果A—3=0,那么A=B

C.已知全集、集合A、集合2關(guān)系如上圖中所示，則2-AugB

D.已知A={x[x<-1或尤>3},B=}%|-2<x<4},貝I]A-B={x|x<-2或x24}

2.（多選）（2022秋?貴州銅仁?高一?？茧A段練習(xí)）我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了集合的并、交、補(bǔ)等幾種基本運(yùn)算，

而集合還有很多其他的基本運(yùn)算.設(shè)A,3為兩個(gè)集合，稱由所有屬于集合A但不屬于集合3的元素組成的

集合為集合A與集合8的差集，記為A-3,即4-3={*€4|了e3}.下列表達(dá)式一定正確的是（）

A.（A-B）n（B-A）=0B.（A-磯（3-A）=AU8

C.A-（A-B）=B-（B-A）D.（A-3）U8=AU（B-A）

3.（2022秋.河南.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義差集=且x走N},已知集合A={2,3,5},

8={3,5,8},則A—（AHB）=（）

A.0B.{2}C.{8}D.{3,5}

4.（2022秋?江蘇常州?高一統(tǒng)考期中）對(duì)于集合A,B,我們把集合{小eA且x任用叫做集合A與8的差

集，記作A—瓦若集合P==集合Q={小2+（a-i）尤-a<o},且P—Q=0,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是（）

1

A.［。,+功B.（0,+功C.一耳,+8D.—Q0,----

2

⑧“勢(shì)”

1.（2022秋?上海浦東新?高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谥校┰O(shè)全集U={2,3,5,6,9},對(duì)其子集引進(jìn)“勢(shì)”的概念：

①空集的“勢(shì)”最小；②非空子集的元素越多，其“勢(shì)”越大；③若兩個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)相同，則子集中最大的

元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，依次類推.若

將全部的子集按“勢(shì)”從小到大的順序排列，則排在第12位的子集是

2.（2022秋.高一單元測(cè)試）設(shè)全集U={2,3,5,6,9},對(duì)其子集引進(jìn)“勢(shì)”的概念：①空集的“勢(shì)”最小；②非

空子集的元素越多，其“勢(shì)”越大；③若兩個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢(shì)”

就越大，最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，依次類推.若將全部的子集按“勢(shì)”從

小到大的順序排列，則排在第23位的子集是.

⑨“好集”

1.（2016秋?山西?高一階段練習(xí)）如果集合A,B,同時(shí)滿足AU3={1,2,3,4},AC3={1},A#{1},3W{1},

就稱有序集對(duì)（A,3）為“好集對(duì)”.這里有序集對(duì)（A3）是指當(dāng)時(shí)，（A,B）和（3,A）是不同的集對(duì)，那么

“好集對(duì)”一共有個(gè)

A.5個(gè)B.6個(gè)

C.7個(gè)D.8個(gè)

2.（2023秋?陜西西安?高一西安市鐵一中學(xué)?？计谀┒x：實(shí)數(shù)a,b,c,若滿足a+c=2b,則稱a,b,

ii9

c是等差的，若滿足一+：=—,則稱a,b,c是調(diào)和的.己知集合”={才1尤|<2023,尤eZ},集合尸是集合

abc

M的三元子集，即尸={a,6,c}=M,若集合P中的元素a,b,c既是等差的，又是調(diào)和的，稱集合P為“好

集”，則集合P為“好集”的個(gè)數(shù)是.

3.（2016?浙江嘉興?高三階段練習(xí)）若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)。，b,c滿足▲1+；1=2則稱a,b,

abc

c是調(diào)和的；若滿足a+c=26,則稱a,b,c是等差的，若集合P中元素。，b,c既是調(diào)和的，又是等

差的，則稱集合P為“好集"，若集合”={刈乂42014,xeZ},集合P={a,6,c}aM,則（1）“好集，，尸中的

元素最大值為—；（2）“好集”尸的個(gè)數(shù)為.

二、邏輯推理

①充分性必要性

1.（2023春?黑龍江佳木斯?高二富錦市第一中學(xué)?？计谀┤?。、6為實(shí)數(shù)，則“0<必<1"是或

ba

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2023春?遼寧?高二校聯(lián)考期末）是“方程國(guó)+/=。有實(shí)數(shù)解，，的（）

411

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知"p:（x-m）2>3（x-機(jī)）”是“q:X2+3尤-4<0”成立的必要不充分條件，

則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.（-00,-7）0（1,+<?）B.（-oo,-7]U[l,+°o）

C.（-7,1）D.[-7,1]

4.（2023?全國(guó)?高一假期作業(yè)）己知不等式加-I<x<〃?+1成立的充分條件是:<尤<；,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍是（）

f,1-41f,1-

A.Sml—>B.j加根<一,或根之

f141f141

l23jI23j

5.（2023春?上海黃浦?高一上海市大同中學(xué)?？计谀┮阎欢?1是卜-《<2的充分非必要條件，則實(shí)

x-2

數(shù)a的取值范圍是.

②邏輯推理

1.（2023春?天津?高二天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)校聯(lián)考期末）定義max{/q}設(shè)函數(shù)

〃x）=maxW-2,/-2"+a},若，eR使得成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）.

A.（-oo,0]U[l,-H?）B.[-l,0]u[l,+oo）

C.（-oo,-l）u（l,+oo）D.[-1,1]

2.（2023春?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期末）已知/+女+2/-3>0”為假命題，則實(shí)數(shù)，的取值范圍

是.

3.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）已知命題P：*eR,使得“依2+2*+1<0成立"為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是.

4.（2023?全國(guó)?高一假期作業(yè)）已知命題p:VxeR⑷2+2x+l#0”的否定為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

5.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）已知/（x）=/w（x-2m）（x+m+3）,g（x）=2'-2,若同時(shí)滿足條件：①

V無(wú)eR,于（x）<。或g（x）<。；@3x&（YO,-4）,/（x）g（尤）<。.則m的取值范圍是.

三、不等式

①作差法

1.（多選）（2023春?河南商丘?高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知a>b>c>0,則（）

.be—ba入

A.------>-------B.—+—>2

a—ca—bab

-aa+c—ba

C.->------D.------<-------

bb+ca+cb+c

2.（2023春?遼寧鐵嶺?高二昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考期中）已知。=log76,匕=匹5,c=ln2,則（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>b

3.（2023秋?高一課時(shí)練習(xí)）比較大?。?/p>

⑴〃+/和2（a-b-I）；

扇Z72

（2）幺+幺和a+b,其中a<0,b<0.

ab

②基本不等式

1.（多選）（2023春?福建福州?高一福州三中?？计谀┮阎?gt;0,>>。，且x+2y+孫=6,則（）

A.孫的最大值為&

B.x+y的最小值為4夜一3

士十%的最小值為巧

C.

D.（x+2）2+（y+l）2的最小值為16

91

2.（2023春?貴州安順?高二統(tǒng)考期末）已知H>Z?>0,a+b=\,則一+7的最小值為（）

ab

A.16B.13C.9D.6

12

3.（2023春?浙江杭州?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若正數(shù)犬,V滿足一+—=1,則4f+V—16孫的最小值是（）

%y

A.-108B.-100C.-99D.-96

4.（2023春?遼寧葫蘆島?高二統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=l,則土回^的最小值為.

孫

5.（2023春?河北保定?高二校聯(lián)考期末）若。>0力>。，S.ab=a+2b+6,則a+2。的最小值為.

一一一19

6.（2023春?福建福州?高二福州三中?？计谀┮阎猘+b+c=l,其中",b,c>0,則一+；的最小

ab+c

值為.

14v

7.（2023秋?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）正實(shí)數(shù)羽V滿足一+一=2,且不等式1+：之川—加

xy4

恒成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

8.（2023春?天津?高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知?jiǎng)t2+建字的最小值

2a3-2a

為.

22

9.（2023春?江蘇蘇州?高二統(tǒng)考期末）已知x>0,y>0,2元+y=l,則上上上上￡的最小值為_(kāi)_____.

xy

10.（2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）己知J|+5-2=必宗^（〃>0,6>0）,則:+：的最

小值為.

專題01集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式

（新定義，高數(shù)觀點(diǎn)，壓軸題）

目錄

一、集合的新定義（高數(shù)觀點(diǎn)）題......................................2

①乘法運(yùn)算封閉...................................................2

②“群”運(yùn)算.......................................................2

③“*”運(yùn)算.......................................................3

④，，十，，運(yùn)算.......................................................4

⑤戴德金分割.....................................................4

⑥“類”...........................................................5

⑦差集運(yùn)算.......................................................6

⑧“勢(shì)”...........................................................7

⑨“好集”.........................................................7

二、邏輯推理........................................................8

①充分性必要性...................................................8

②邏輯推理.......................................................8

三、不等式..........................................................9

①作差法.........................................................9

②基本不等式.....................................................9

一、集合的新定義（高數(shù)觀點(diǎn)）題

①乘法運(yùn)算封閉

1.（2023春?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)十是R上的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集.若對(duì)于任意a,beA,有a十b

GA,則稱A對(duì)運(yùn)算十封閉.下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算都封閉的是（）

A.自然數(shù)集B.整數(shù)集

C.有理數(shù)集D.無(wú)理數(shù)集

【答案】C

【詳解】因?yàn)橛欣頂?shù)集中元素加減乘除四則運(yùn)算后的結(jié)果還是有理數(shù)，因而有理數(shù)集是封閉的.

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）非空集合G關(guān)于運(yùn)算*滿足：①對(duì)任意”,6eG,者B有a*beG；②存在ewG

使對(duì)一切aeG都有a*e=e*a=a,則稱G是關(guān)于運(yùn)算*的融洽集，現(xiàn)有下列集合及運(yùn)算：

①G是非負(fù)整數(shù)集，*運(yùn)算：實(shí)數(shù)的加法；

②G是偶數(shù)集，*運(yùn)算：實(shí)數(shù)的乘法；

③G是所有二次三項(xiàng)式組成的集合，*運(yùn)算：多項(xiàng)式的乘法；

@G={x\x=a+byf2,a,b&Q],*運(yùn)算：實(shí)數(shù)的乘法；

其中為融洽集的是

【答案】①④

【詳解】①對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)則仍為非負(fù)整數(shù)，即a+6eG；取e=0則a+0=0+a=a,故①符合

題意；

②對(duì)于任意偶數(shù)。,匕,則ab仍為偶數(shù)，即wG；但是不存在eGG,使對(duì)一切a&G都有ae=ea=a，故②不符合

題意；

③對(duì)于G是所有二次三項(xiàng)式組成的集合，若a,beG,ab不再是二次三項(xiàng)式，故③不符合題意；

④對(duì)于G={x|x=<7,6€0},設(shè)玉-a+b42,x2=c+d&，貝！]占-x2=（ac+26d）+（ad+6c）0,即

%1?x2eG；取e=l,則axl=lxa=a,故④符合題意，

故答案為:①④

②“群”運(yùn)算

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）“群”是代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，它的定義是：設(shè)G為某種元素組成的一

個(gè)非空集合，若在G內(nèi)定義一個(gè)運(yùn)算“*”，滿足以下條件：

（DVa,b&G,有a*beG

②如Va,b,c&G,有（a*b）*c=a*（b*c）；

③在G中有一個(gè)元素e,對(duì)VaeG,都有a*e=e*a=a,稱e為G的單位元；

@VaeG,在G中存在唯一確定的6,使a*b=6*a=e,稱b為。的逆元.此時(shí)稱（G,*）為一個(gè)群.

例如實(shí)數(shù)集R和實(shí)數(shù)集上的加法運(yùn)算“+”就構(gòu)成一個(gè)群（尺+）,其單位元是0,每一個(gè)數(shù)的逆元是其相反數(shù)，

那么下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）

A.G=Q,貝U（G,+）為一個(gè)群

B.G=R,貝U（G,x）為一個(gè)群

C.G={-1,]},則（G,x）為一個(gè)群

D.G={平面向量},則（G,+）為一個(gè)群

【答案】B

【詳解】A.G=Q,兩個(gè)有理數(shù)的和是有理數(shù)，有理數(shù)加法運(yùn)算滿足結(jié)合律，0為G的單位元，逆元為它

的相反數(shù)，滿足群的定義，則（G,+）為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)正確；

B.G=R,1為G的單位元，但是ax6“xa=l,當(dāng)。=0時(shí)，不存在唯一確定的b,所以不滿足④，則（G,x）

不為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.G={-1,1},滿足①②，1為G的單位元滿足③，T是-1的逆元，1是1的逆元，滿足④，則（G,x）為一

個(gè)群，所以該選項(xiàng)正確；

D.G={平面向量},滿足①②，6為G的單位元，逆元為其相反向量，貝U（G,+）為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)正確.

故選：B

2.（多選）（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若非空集合G和G上的二元運(yùn)算“十”滿足：①a十beG；

@3ZeG,對(duì)VaeG,a十/=/十a(chǎn)=a：@HZeG,使VaeG,3b&G,有a十6=/=6十a(chǎn)；④Ya,b,cwG,

（a十6）十c=a十S十c）,則稱（G,十）構(gòu)成一個(gè)群.下列選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的（G,十）構(gòu)成一個(gè)群的是（）

A.集合G為自然數(shù)集，“十”為整數(shù)的加法運(yùn)算

B.集合G為正有理數(shù)集，“十”為有理數(shù)的乘法運(yùn)算

C.集合6={-1,1,7/}"為虛數(shù)單位），“十”為復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算

D.集合G={0,l,2,3,4,5,6},“十”為求兩整數(shù)之和被7除的余數(shù)

【答案】BCD

【詳解】A.G=N時(shí)，不滿足③，若/=0,則由1+）=0得b=-leG,若/eN*=N,則在G中設(shè)a>/,

由“+/?=/得Z?=/-a<0eG,所以（N,+）不能構(gòu)成群；

B.G為正有理數(shù)集,①任意兩個(gè)正有理數(shù)的積仍然為正有理數(shù)，②顯然1eG,對(duì)任意十l=a=l十a(chǎn),

③對(duì)任意正有理數(shù)。，!也是正有理數(shù)，且a十工=1=工十a(chǎn),即/=1,④有理數(shù)的乘數(shù)滿足結(jié)合律，B中

aaa

可構(gòu)造群;

C.G={-1,1,7,4"為虛數(shù)單位)，①可驗(yàn)證G中任意兩數(shù)(可相等)的乘積仍然屬于G；②/=1,滿足任

意“eG,有a十1=1十a(chǎn)；③/=1,滿足任意aeG,存在beG,有a十b=十a(chǎn)=l,實(shí)質(zhì)上有

-lx(-l)=lxl=/x(-z)=l;④復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律，C中可構(gòu)造群；

D.G={0,1,2,3,4,5,6},①任意兩個(gè)整數(shù)的和不是整數(shù)，它除以7的余數(shù)一定屬于G,②1=0,滿足對(duì)任

意aeG,。十/=/十a(chǎn),@1=1,1=0,0+0=0,1+6=2+5=3+4=7除以7余數(shù)為0；④力口法滿足交換

律，又a+b除以7的余數(shù)等于。除以7的余數(shù)加匕除以7的余數(shù)的和再除以7所得余數(shù)，因此V“力,cwG,

(。十b)十c=a十(6十c),D中可構(gòu)造群；

故選：BCD.

3.(2018?北京?高三開(kāi)學(xué)考試)設(shè)G是一個(gè)非空集合,*是定義在G上的一個(gè)運(yùn)算，如果同時(shí)滿足下述四個(gè)條

件：

(i)對(duì)于都有wG;

(ii)對(duì)于Va,6,ceG,都有(a*b)*c=a*S*c)；

(iii)對(duì)于VaeG「eeG,使得a*e=e*a=a;

(iv)對(duì)于使得a*〃=〃*a=a(注：“e”同(iii)中的“e").

則稱G關(guān)于運(yùn)算*構(gòu)成一個(gè)群，現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：

①G是整數(shù)集合,*為加法；②G是奇數(shù)集合,*為乘法；

③G是平面向量集合,*為數(shù)量積運(yùn)算；④G是非零復(fù)數(shù)集合,*為乘法.

其中G關(guān)于運(yùn)算*構(gòu)成群的序號(hào)是(將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上).

【答案】①④

【詳解】C若G是整數(shù)集合，貝改)兩個(gè)整數(shù)相加仍為整數(shù)，他)整數(shù)加法滿足結(jié)合律；(沆)

30GGVaeG,則)0+a=a+0=a；(力)VawG在整數(shù)集合中存在唯——個(gè)b=—a,使

a+(-?)=(-?)+?=0,故整數(shù)集合關(guān)于運(yùn)算*構(gòu)成一個(gè)群；

G是奇數(shù)集合，*為乘法，貝酩=1,不滿足(訶；

G是平面向量集合，*為數(shù)量積運(yùn)算，則不滿足。*6eG；

G是非零復(fù)數(shù)集合，*為乘法，則兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相乘仍為非零復(fù)數(shù)；他)非零復(fù)數(shù)相乘符合結(jié)合律；

VaeG,貝ij)lxa-axl-a；(iv)VaeG,在G中存在唯一一個(gè)L{Jax—=—xa=l.

aaa

故答案為G3

③“*”運(yùn)算

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在R上的定義運(yùn)算*:a*%=ab+2a+),則滿足x*(x-2)<0的解集為()

A.(。,2)B.(—2,1)C.—2)U(L+00)D.(—1,2)

【答案】B

【詳角軍】因?yàn)椤?〃="+2々+〃，

所以由%*(%—2)<0=%(%—2)+2%+九一2v0=(x+2)(無(wú)-1)<00—2vxv1,

故選：B

2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)U為全集，對(duì)集合X,Y,定義運(yùn)算“*”，X*y=(Xn：T).對(duì)于任意集合

x,Y,z,貝U(x*y)*z=()

A.(xu)nzB.(xpy)nz

c.(xuy)uzD.(xqy)uz

【答案】B

【詳解】由題意知：：x*y=(xny).

???對(duì)于任意集合X,Y,Z,貝u(x*y)*z=(xny)nz.

故選：B.

3.(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，具有以下三條性質(zhì)：(1)對(duì)任意aeR,0*a=a；

(2)對(duì)任意a,beR,a*b=b*a；(3)對(duì)任意a,b,ceR,a*(b*c)=c*(a6)+(a*c)+(6*c)-2c.給

出下列三個(gè)結(jié)論：

①2*(0*2)=0；

②對(duì)任意a,b,ceR,a*(b*c)=Z?*(c*a)；

③存在a,b,ceR,(a+Z?)*cw(a*c)+(Z?*c)；

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.②B.①③C.②③D.①②③

【答案】C

［詳解】①2*(0*2)=2*(2*0)=0*4+2*0+2*0—0=4+2+2=8,錯(cuò)誤；

②=c*(")+(a*c)+(〃*(?)-2c,而==c*(ab)+(b*c)+(Q*c)-2c,故

a*(b*c)=b*(c*a),正確；

③當(dāng)a=〃=0且cwO時(shí)，(a+b)*c=O*c=c,而(Q*c)+(b*c)=(0*c)+(0*c)=2c,顯然

(a+/?)*cw(a*c)+(h*c)成立,正確.

故選：C

④“十，，運(yùn)算

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(。力)和(c,d)，規(guī)定(a,b)=(c,d)當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d；

運(yùn)算"0”為：(a,b)?(c,d)=(ac-bd.bc+ad),

運(yùn)算“十”為：(〃/)十(c,d)=(a+c,6+d),

設(shè)P，qcR,若(L2)區(qū)(pM=(5,0)則(1,2)十(p，4)=

A.(0,-4)B.(4,0)C.(0,2)D.(2,0)

【答案】D

【詳解】解：由(1,2)0(p,q)=(5,0)得

[p-2q=5[p=\

[2p+q=0\q=—l'

所以(1,2)?(p,q)=(1,2)?(1,-2)=(2,0),

故選D

2.(2023?高一課時(shí)練習(xí))定義集合運(yùn)算：AQB—{z\z=xy(x+y),x^A,yEB}.設(shè)集合4=(0,1),B={2,

3},則集合AOB的所有元素之和為()

A.0B.6C.12D.18

【答案】D

【詳解】z=0或1x2x3或1x3x4:.0+6+12=18,選D.

3.(2023?高一課時(shí)練習(xí))對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)機(jī)，〃，定義運(yùn)算十如下：

①當(dāng)，及，"奇偶性相同時(shí)，加十“=〃2+九；

②當(dāng)加，"奇偶性不同時(shí)，m^n=mn.

若集合加={3力修十>=12,a,>eN+},則〃的元素個(gè)數(shù)為.

【答案】15

【詳解】因?yàn)镸={(a,%)隆十5=12,a/eN+},

當(dāng)。、b都是正偶數(shù)時(shí),則集合M中含有(2,10),(4,8),(6,6),(8,4),(10,2)共5個(gè)元素；

當(dāng)。、b都是正奇數(shù)時(shí)，則集合M中含有(1,11),(3,9),(5,7),(7,5),(9,3),(11,1)共6個(gè)元素；

當(dāng)a、b一個(gè)為正偶數(shù)，一個(gè)為正奇數(shù)，則集合M中含有(1,12),(12,1),(3,4),(4,3)共4個(gè)元素；

所以M的元素共有5+6+4=15個(gè).

故答案為：15

4.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)非空集合G關(guān)于運(yùn)算十滿足：(1)對(duì)任意a、“G,都有。十6eG；(2)

存在eeG,使得對(duì)一切aeG,都有a十e=e十。=a,則稱G關(guān)于運(yùn)算十為“融洽集”.現(xiàn)給出下列集合和

運(yùn)算：

①G={非負(fù)整數(shù)},十為整數(shù)的加法；

②G={偶數(shù)},十為整數(shù)的乘法：

③G={平面向量},十為平面向量的加法；

@G={二次三項(xiàng)式},十為多項(xiàng)式的加法；

⑤G=｛虛數(shù)｝,十為復(fù)數(shù)的乘法

其中G關(guān)于運(yùn)算十為“融洽集”的是.（寫(xiě)出所有“融洽集”的序號(hào)）

【答案】①③

【詳解】對(duì)于①，G=｛非負(fù)整數(shù)｝,十為整數(shù)的加法；當(dāng)。，匕都為非負(fù)整數(shù)時(shí)，a,6通過(guò)加法運(yùn)算還是

非負(fù)整數(shù)，且存在一整數(shù)Oe