高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：零點(diǎn)問(wèn)題（含答案及解析）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練10

零點(diǎn)問(wèn)題

［考情分析］在近幾年的高考中，函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點(diǎn)，常以指數(shù)函數(shù)、

對(duì)數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問(wèn)題，難度較大，多以壓軸題出現(xiàn).

【練前疑難講解】

一、判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

(1)如果函數(shù)中沒(méi)有參數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷極值點(diǎn)大于0、小于o的情況，

進(jìn)而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).

(2)如果函數(shù)中含有參數(shù)，往往一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)不好判斷，先對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類，再判斷導(dǎo)數(shù)的

符號(hào)，如果分類也不好判斷，那么需要二次求導(dǎo)，判斷二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)時(shí)，也可能需要分類.

二、由零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍時(shí)

(1)根據(jù)區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)函數(shù)圖象的大致形狀，從而推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)需要滿足的條件，進(jìn)而

求出參數(shù)滿足的條件.

(2)也可以先求導(dǎo)，通過(guò)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，再依據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)情況，推導(dǎo)出函

數(shù)本身需要滿足的條件，此時(shí)，由于函數(shù)比較復(fù)雜，常常需要構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)多次求導(dǎo)，

層層推理得解.

一、單選題

1.(2023,全國(guó)?|Wj考真題)函數(shù)/'(x)=d+or+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則”的取值范圍是()

A.(-a),-2)B.C.(T,-l)D.(-3,0)

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=2”一丘—6恰有一個(gè)零點(diǎn)七,且b＞上＞0,則與

的取值范圍為()

(In2)C'ftl-lln2n2，+C°1JD-(［i-lni2n2，+C°J

二、多選題

3.(23-24高二下?四川遂寧?階段練習(xí))已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的是

()

A.函數(shù)/■(%)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)

B.函數(shù)/(X)既存在極大值又存在極小值

C.若xe上,+oo）時(shí)，/（x）max=-^,貝的最小值為2

D.若方程“x）=Z有兩個(gè)實(shí)根，貝小㈠山圖

4.（2024?重慶?一模）已知函數(shù)〃x）=e，+V—2d-依，則在（0,+“）有兩個(gè)不同零點(diǎn)

的充分不必要條件可以是（）

A.e-2<tz<e-lB.e-lva<e

C.evave+1D.e+lvave+2

三、填空題

5.（2024?四川瀘州?二模）若函數(shù)/（尤）=lnx-Lx+a有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

e

是.

6.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)g（x）=x2e￡-xe-e“，若方程g（x）=上有三個(gè)不同的實(shí)

根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

四、解答題

7.（2024?浙江杭州?二模）已知函數(shù)〃x）=aln（尤+2）-；x2（aeR）.

（1）討論函數(shù)〃尤）的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

（回）求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（回）證明：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

8.（22-23高三上■河北唐山?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=（x-l）lnx-x2+ox（aeR）.

（1）若函數(shù)y=F'（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍；

（2）設(shè)網(wǎng),無(wú)2是函數(shù)/（X）的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：玉+%>2.

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.（23-24高二下?遼寧本溪?期中）若過(guò)點(diǎn)（1,。）可以作曲線y=ln（x+l）的兩條切線，貝|

A.]n2<b<2B.b>ln2

C.Q<b<ln2D.b>l

2.（22-23高三上?山東濟(jì)南?期末）已知函數(shù)〃%）=煮，關(guān)于x的方程

[〃切2-2（a+l）〃尤）+/+2〃=0至少有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，則”的取值范圍是（

A.[1,+8）B.（-l,o）u（l,+00）

C.（―1,O）U[1,+oo）D.（―oo,0）U（l,+oo）

3.（23-24高二上?湖南長(zhǎng)沙?期末）已知函數(shù)〃元）=（x+l）e-，，若函數(shù)/（%）有兩個(gè)零

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.1制B-[°4]C-[I00]D。[hl

二、多選題

4.（24-25高三上?江西九江?開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)“力=2/_3/，貝|（）

A.1是〃尤）的極小值點(diǎn)

B.””的圖象關(guān)于點(diǎn)&,-￡|對(duì)稱

C.g（x）=/（x）+l有3個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)0<x<l時(shí)，/（x2-l）>/（x-l）

5.（2023?山東德州?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)“力=1+6+小",下列結(jié)論正確的是（）

A.若函數(shù)“X）無(wú)極值點(diǎn)，則〃尤）沒(méi)有零點(diǎn)

B.若函數(shù)“力無(wú)零點(diǎn)，則外力沒(méi)有極值點(diǎn)

C.若函數(shù)f（元）恰有一個(gè)零點(diǎn)，則/'（x）可能恰有一個(gè)極值點(diǎn)

D.若函數(shù)/（無(wú)）有兩個(gè)零點(diǎn)，則/（%）一定有兩個(gè)極值點(diǎn)

6.（2023?吉林通化?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃"=三+3/—9尤-10,下列結(jié)論中正確的是

A.尤=1是/'（X）的極小值點(diǎn)

B.〃x）有三個(gè)零點(diǎn)

C.曲線y=〃x）與直線>=-12尤-11只有一個(gè)公共點(diǎn)

D.函數(shù)y=〃x—l）為奇函數(shù)

三、填空題

7.（24-25高三上?四川成都?開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)〃x）=若〃x）=C有三個(gè)

零點(diǎn)項(xiàng)＜%2＜工3，則一+一十工3的取值范圍是____.

%]x2

8.（2023?廣東廣州?一模）若過(guò)點(diǎn)（0力）S＞0）只可以作曲線＞=?的一條切線，則6的取值

范圍是.

9.（23-24高二下?北京朝陽(yáng),期中）已知函數(shù)〃尤）=In—依+1恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是—

四、解答題

10.（24-25高三上?北京?開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)〃x）=（x-l）e'-x2.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求〃尤）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

⑶g（x）=/（x）r”在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求機(jī)的范圍？

11.（22-23高三上?湖北?期末）已知函數(shù)/'（x）=（尤-a）lnx-尤+a-3（。eR）.

（1）若a=0,求/（x）的極小值.

⑵討論函數(shù)尸（x）的單調(diào)性；

（3）當(dāng)。=2時(shí)，證明：/（x）有且只有2個(gè)零點(diǎn).

12.（23-24高二上,湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=f-x+1-ael

⑴當(dāng)。=—1,求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/（無(wú)）有三個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【能力提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?河北石家莊?一模）已知一“=o在x?0,E）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是（）

C.l,e2eD.l,e^

,、一（％+2）—JTI—1,%W—1

2.（2023?四川成都?二模）已知函數(shù)/（X）=2,），若關(guān)于元的方程

（2x+2）e~x—m,x>-1

"（x）]2—（療+3）/（x）+2+3根=0有且僅有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)加的取值范圍

-xex+1,x<0

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)"％）=<11八，

inx——,x>0

4

M元）="（犬）于-2硝x）+4（oeR）,若函數(shù)g）恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

（）

A.['|,+00]B.[m,dC.（1,+co）D.（0,+oo）

二、多選題

4.（23-24高二下?山東濟(jì)寧?期中）已知函數(shù)/（x）=d—x+1,則（）

A./（X）有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.“X）有一個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)（0,1）是曲線y=〃x）的對(duì)稱中心

D.直線y=2x是曲線y=〃x）的切線

5.（23-24高三下?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知三次函數(shù)”無(wú)）=加+/+6+3有三個(gè)不同

的零點(diǎn)電,電，芍（％<代<刊）,函數(shù)g（x）=/（x）T.則（）

A.3ac<l

B.若占,馬，瑞成等差數(shù)列,則”（—1,0）5。」）

C.若g（尤）恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則〃=

3a

D.若g（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)田2，，3年<才2<4），則片+考+考=/；+[+9

6.（2023?湖南?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)〃尤）=e，（d-x+l）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列選項(xiàng)正

確的有（）

A.函數(shù)〃x)的極大值為1

B.函數(shù)的圖象在點(diǎn)(L〃l))處的切線方程為2e尤-y-e=O

a

C.當(dāng)八三時(shí)，方程〃x)=左恰有2個(gè)不等實(shí)根

e

D.當(dāng)時(shí)，方程，(耳=左恰有3個(gè)不等實(shí)根

e

三、填空題

7.(2023?山東濟(jì)寧?一模)已知函數(shù)/'(x)=ajx2-若〃x)=0在|,e上有

解，則的最小值

8.(22-23高三下?重慶沙坪壩?階段練習(xí))已知函數(shù)八%)=。(111%-1)+0+1卜在區(qū)間3,63]

上存在零點(diǎn)，則/+〃的最小值為.

9.(23-24高三上?江蘇蘇州?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=(lnx)2-oxIn%+一有三個(gè)不同的

10.(2022?天津?高考真題)已知a,Z?eR,函數(shù)/(x)="-asinx,g(x)=b?

⑴求曲線y=/(%)在(0"(0))處的切線方程；

⑵若曲線y=/(%)和y=g(%)有公共點(diǎn)，

(i)當(dāng)a=0時(shí)，求6的取值范圍；

(ii)求證：儲(chǔ)+/>e

1L(24-25高三上?廣東?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)

/(x)=x2+alnx-(a+2)x,g(x)=xlnx-x-a+l,aGR.

⑴討論〃元)的單調(diào)性;

⑵若g(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍；

⑶若/(九)+lNg(X)+aliu對(duì)任意％之1恒成立，求〃的取值范圍.

12.(2023?廣東梅州?一模)已知函數(shù)=-2ax)lnx+gx2.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若。＞￡,討論函數(shù)“力的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練10

零點(diǎn)問(wèn)題

［考情分析］在近幾年的高考中，函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點(diǎn)，常以指數(shù)函數(shù)、

對(duì)數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問(wèn)題，難度較大，多以壓軸題出現(xiàn).

【練前疑難講解】

一、判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

(1)如果函數(shù)中沒(méi)有參數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷極值點(diǎn)大于0、小于o的情況，

進(jìn)而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).

(2)如果函數(shù)中含有參數(shù)，往往一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)不好判斷，先對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類，再判斷導(dǎo)數(shù)的

符號(hào)，如果分類也不好判斷，那么需要二次求導(dǎo)，判斷二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)時(shí)，也可能需要分類.

二、由零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍時(shí)

(1)根據(jù)區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)函數(shù)圖象的大致形狀，從而推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)需要滿足的條件，進(jìn)而

求出參數(shù)滿足的條件.

(2)也可以先求導(dǎo)，通過(guò)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，再依據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)情況，推導(dǎo)出函

數(shù)本身需要滿足的條件，此時(shí)，由于函數(shù)比較復(fù)雜，常常需要構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)多次求導(dǎo)，

層層推理得解.

一、單選題

1.(2023,全國(guó)?|Wj考真題)函數(shù)/'(x)=d+or+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則”的取值范圍是()

A.(-a),-2)B.C.(T,-l)D.(-3,0)

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=2”一丘—6恰有一個(gè)零點(diǎn)七,且b＞上＞0,則與

的取值范圍為()

(In2)C'ftl-lln2n2，+C°1JD-(［i-lni2n2，+C°J

二、多選題

3.(23-24高二下?四川遂寧?階段練習(xí))已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的是

()

A.函數(shù)〃x)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)

B.函數(shù)/(尤)既存在極大值又存在極小值

C.若時(shí)，/（x）max=-^,貝!b的最小值為2

D.若方程〃司=上有兩個(gè)實(shí)根，貝1］人（-

4.（2024?重慶?一模）已知函數(shù)/'（0=/+/-2彳2—依，則在（0,+8）有兩個(gè)不同零點(diǎn)

的充分不必要條件可以是（）

A.e-2<a<e-lB.e-lva<e

C.evave+1D.e+lvave+2

三、填空題

5.（2024?四川瀘州?二模）若函數(shù)/（尤）=lnx-Lx+a有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

e

是.

6.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)g（x）=x2e￡-xe-e“，若方程g（x）=上有三個(gè)不同的實(shí)

根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

四、解答題

7.（2024?浙江杭州?二模）已知函數(shù)〃x）=aln（尤+2）-；x2（aeR）.

（1）討論函數(shù)〃尤）的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)〃x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，

（回）求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（回）證明：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

8.（22-23高三上■河北唐山?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=（x-l）lnx-x2+ox（aeR）.

（1）若函數(shù)y=F'（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍；

（2）設(shè)網(wǎng),無(wú)2是函數(shù)/（X）的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：玉+%>2.

參考答案:

題號(hào)1234

答案BABDBCD

1.B

【分析】寫出/''（x）=3/+。，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.

【詳解】f(x)=x3+ax+2,貝1]/'0)=3/+。,

若/(X)要存在3個(gè)零點(diǎn)，則f(x)要存在極大值和極小值，則。<0,

令f\x)=3x2+a=0,解得x=-或

?,+8時(shí)，f\x)>0,

且當(dāng)xe

故的極大值為了,極小值為了

2.A

【分析】先將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及

6〉上>0建立關(guān)于毛的不等式，即可得解.

【詳解】由/'(同=0可得2*=履+6,要使恰有一個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)g(x)=2'的圖象

與直線>=丘+6相切.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為伍,2-).由g(x)=2工，可得g<x)=2，ln2,則切線方程為

y-2&=2&ln2?(x-飛),即y=(2而In2)尤+2'°(1—尤0In2),

故需使左=2及l(fā)n2,b=2^(1-%ln2).

由b>上>0可得2%。一/山2)>2Mln2,解得/<.

故選：A

3.BD

【分析】求導(dǎo)后，結(jié)合廣(X)正負(fù)可得/'(X)單調(diào)性；利用零點(diǎn)存在定理可說(shuō)明了(X)零點(diǎn)個(gè)

數(shù)，知A錯(cuò)誤；根據(jù)極值定義可知B正確；采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得CD正誤.

【詳解】/'(X)定義域?yàn)镽,r(；0=3+'+2=_"-2)《+1),

.?.當(dāng)xe(-8,-L)52,+8)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)xe(-l,2)時(shí),f'(x)>0；

.?./3)在(-8,-1),(2,+8)上單調(diào)遞減，在(-1,2)上單調(diào)遞增；

對(duì)于A,/(-l)=-e<0,/(2)=^>0,/(-2)=e2>0,

/⑺在區(qū)間(-2,-1)和(-1,2)內(nèi)各存在一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)尤>2時(shí)，x2+x-l>0,ex>0,??./(x)>0恒成立;

???/(久)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由〃尤)單調(diào)性可知：的極小值為〃-1)=-e,極大值為〃2)=1,B正

確；

對(duì)于C,〃2)=與，，作出圖象如下圖所示，可知方程=3存在另一個(gè)解

ee

若當(dāng)xeR+e)時(shí)，f(x)1rax=",則”民,2],C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,方程/(力=k有兩個(gè)實(shí)根等價(jià)于/(x)與y=左有兩個(gè)不同交點(diǎn),

作出“X)圖象如下圖所示,

D正確.

故選：BD.

4.BCD

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為+--2x,令g(x)=H+/-2x(x>0),利用導(dǎo)數(shù)討論g。)的

XX

單調(diào)性，求出g(x)mm，由/(x)在(0,+8)有2個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件為a>e-1,從而作出

判斷

【詳解】因?yàn)?(x)=e'+x3-2x2-ax{x>0),

令“無(wú))=0,貝普=《+/一2x,

x

令g(x)=i-x2-2x(尤>0),

x

l、xe*—e'+—2/(e'+2x~)(x—1)

則17b8(X)=-------p-------=------儲(chǔ)------，

注意到e*+2x2>0,令g'(x)=0,解得x=l,

所以當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

貝1J以月血。=g6=e-L且當(dāng)無(wú)趨近于?；?8時(shí)，g(x)都趨近于+8，

若/Q)在(0,+e)有2個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件為函數(shù)，=g(x)與'=a圖象在第一象限有2

個(gè)交點(diǎn)，

所以。>e-1,即/(元)有2個(gè)零點(diǎn)的充要條件為a>e-l,

若符合題意，則對(duì)應(yīng)的取值范圍為(e-L+e)的真子集，

結(jié)合選項(xiàng)可知：A錯(cuò)誤，BCD正確；

故選：BCD.

5.[0,+co)

【分析】利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值，依題意只需/(x)1mx之0，

即可求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】函數(shù)/(x)=lnx-Lx+a的定義域?yàn)?。,+8),

e

I]p-X

又廣(x)=L-L=—，所以當(dāng)0<x<e時(shí)尸(尤)>0,當(dāng)x>e時(shí)/(刈<0,

xeex

所以/(X)在(o,e)上單調(diào)遞增，在(e,+口)上單調(diào)遞減，

所以，(x)1mx=/(e)=a,又xf0時(shí)/'CO-x-+8時(shí)/(元)-_<?,

又函數(shù)/(尤)=lnx-』無(wú)+。有零點(diǎn)，所以/'(x)1rax20,即。20,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是［0,行).

故答案為：［0,+(?)

6.(0,5e2)

【分析】通過(guò)求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得出有三個(gè)實(shí)根時(shí)實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【詳解】由題意，

在g(%)=x2ex-xex-ex>g'(x)=e*(x?+x-2),

當(dāng)g'(x)=0時(shí)，解得尤=-2或1,

當(dāng)g'(x)<0即-2<x<l時(shí),g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)g'(x)>0即x<—2,x>l時(shí)，g(x)單調(diào)遞增,

22211

Eg(-2)=(-2)e^-(-2)e-2-e'=5e",g(l)=-e-e=-e,

當(dāng)M-2,g(尤)=(彳2_彳_1)什0,

方程g(x)=上有三個(gè)不同的實(shí)根，

S10<k<g(-2)即0<左<5b2,

故答案為：(0,5片2).

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)求導(dǎo)，兩函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，在研究函數(shù)的圖象時(shí)很

容易忽略同-2,g(x)=(x2-x-l)e^0這個(gè)條件.

7.⑴答案見(jiàn)解析；

⑵(0)-l<a<0；(0)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分aV-1、-l<a<0,a20三種情況，分別求出函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間；

(2)(0)由(1)直接解得；(回)結(jié)合函數(shù)的最值與零點(diǎn)存在性定理證明即可.

【詳解】(1)函數(shù)〃x)=aln(x+2)YgeR)的定義域?yàn)?—2,內(nèi))，

一(x+1)+〃+1

且「(無(wú))=

2*%+2

當(dāng)aK-1時(shí)，八力4。恒成立，所以/(%)在(-2,+a))單調(diào)遞減；

當(dāng)一IvavO時(shí)，令/'(x)=。，BP-(x+1)2+?+1=0,解得％=-五+1-1,

%2=+1-1，

因?yàn)橐籌vavO,所以O(shè)va+l<l,則-2<-42+1-1<-1,

所以當(dāng)工￡(—2,-+l—1)時(shí)f(x)<0,

當(dāng)無(wú)￡(-Ja+1—1,Ja+1-1)時(shí)—>0,

當(dāng)x￡(&+1-1,+8)時(shí)f\x)<0,

所以/(%)在卜2,-1)上單調(diào)遞減,在(7a+1-1,Ja+1—1)上單調(diào)遞增,

在(Ja+1—1,+oo)上單調(diào)遞減；

當(dāng)。>0時(shí)，此時(shí)-J〃+1-1V-2,

所以無(wú)￡(—2,Ja+1-l)時(shí)/r(x)>0,當(dāng)%￡(血+1-1,+8)時(shí)/f(x)<0,

所以/(%)在卜2,Ja+1—1)上單調(diào)遞增,在(Ja+1-1,+8)上單調(diào)遞減.

綜上可得：當(dāng)a<-l時(shí)/(%)在(-2,y)單調(diào)遞減；

當(dāng)—1vav0時(shí)f(x)在卜2,-Ja+1—lj上單調(diào)遞減，

在卜Ja+1—1,Ja+1—1)上單調(diào)遞增，在(Ja+1—1,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a20時(shí)/(%)在卜2,-1)上單調(diào)遞增，在(，a+1-1,+8)上單調(diào)遞減.

(2)(0)由(1)可知一IvavO.

(團(tuán))由(1)于(%)在卜2,-Ja+1-1)上單調(diào)遞減,

在(-V^TT-1,V^TT-1)上單調(diào)遞增，在(&TT-1,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(%)在片而I-1處取得極大值，在％=-而!-1處取得極小值，

又一IvavO,所以O(shè)va+l<l,則1<J〃+1+1<2,

又/(*)極大值=/(Ja+1-1)=Hn(Ja+l+1-1)<0,

所以/（X）在卜，UT,+℃）上沒(méi)有零點(diǎn)，

444

又一則「<一4,則0<康<廠，-2<e5_2<eT_2，

/4\2

則0<e?-2<4,

\7

/4A/4y

所以/靛-2=4--1e?-2>0,所以〃力在（-2,-而I-1）上存在一個(gè)零點(diǎn)，

kJJ

綜上可得函數(shù)/（X）有且只有一個(gè)零點(diǎn).

8.（1）（2,+oo）

（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定義，結(jié)合常變量分離法、構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行

求解即可；

（2）根據(jù)所證明不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

［詳解］（1）/（無(wú)）=（尤_］）ln%_x2+依0（無(wú)）=］_L+inx_2x+a=0,

該方程有兩個(gè)不等實(shí)木艮，由=l---Flnx—2x+a=0nci=2XH----In尤一1,

XX

所以直線y=a與函數(shù)g（x）=2x+：-lnx-1的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

由8（尤）=2尤+，31=8，（）=2-3」=2/-0=?+1甲-1）,

當(dāng)xe（O,l）時(shí)，g［x）<0,g（x）單調(diào)遞減,

當(dāng)尤e(l,e)時(shí)，g<x)>0,g(x)單調(diào)遞增,因此g(x)1nhi=g(l)=2,

當(dāng)XfO時(shí)，g(X)f+8,當(dāng)Xf+co,g(x)f+oo,

如下圖所示:

即。的取值范圍為(2,+8)；

(2)因?yàn)閤”尤2是函數(shù)〃x)的兩個(gè)極值點(diǎn),

所以/'(%)=/(%)=。,由(1)可知：g(xl)=g[x2)=a,不妨設(shè)0＜為＜1＜%,

要證明西+苫2>2,只需證明苫2>2-玉，顯然2-玉>1,

由(2)可知：當(dāng)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增,所以只需證明g(w)>g(2一%),

而g(%)=g(x2)=。，所以證明g(與)>g(2-菁)即可，

即證明函數(shù)〃(x)=g(x)-g(2-x)>0在尤e(O,l)時(shí)恒成立，

X,1,1、(c\A\4(1)2](ifT

由"(1)=4%+——Inx------bln(2-x)-4n0(％)=------------------，

尤2—龍/(2—%)

顯然當(dāng)xe(O,l)時(shí),〃(x)<0,因此函數(shù)/i(x)=g(x)-g(2-x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)0<x<l時(shí)，有Mx)>〃⑴=0,所以當(dāng)。<玉<1時(shí)，gG)>g(2—菁)恒成立，因此

命題得以證明.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：常變量分離構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解證明是解題的關(guān)鍵.

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.(23-24高二下?遼寧本溪?期中)若過(guò)點(diǎn)(1⑼可以作曲線y=ln(x+l)的兩條切線，貝。

()

A.ln2<Z?<2B.Z?>ln2

C.0<Z?<ln2D.b>l

2.(22-23高三上?山東濟(jì)南?期末)已知函數(shù)了(同=u，關(guān)于尤的方程

[/(無(wú))了-2(a+l)/(無(wú))+1+24=0至少有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是()

A.[1,+co)B.(-LO)u(l*)

c.(TO)ui)D.1,+co)

3.（23-24高二上?湖南長(zhǎng)沙?期末）已知函數(shù)/（x）=（x+l）ex-a,若函數(shù)/（x）有兩個(gè)零

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)"的取值范圍是（）

A.1別B.6]C.LD.p+oo）

二、多選題

4.（24-25高三上?江西九江?開(kāi)學(xué)考試）己知函數(shù)〃x）=2d-3/,則（）

A.1是〃尤）的極小值點(diǎn)

B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

C.g（x）=〃x）+l有3個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)0<x<l時(shí)，/（x2-l）>/（x-l）

5.（2023?山東德州?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃力=，+依+6卜，，下列結(jié)論正確的是（）

A.若函數(shù)/（尤）無(wú)極值點(diǎn)，則/（X）沒(méi)有零點(diǎn)

B.若函數(shù)〃x）無(wú)零點(diǎn)，則沒(méi)有極值點(diǎn)

C.若函數(shù)了（尤）恰有一個(gè)零點(diǎn)，則F（x）可能恰有一個(gè)極值點(diǎn)

D.若函數(shù)元）有兩個(gè)零點(diǎn)，則/（“一定有兩個(gè)極值點(diǎn)

6.（2023?吉林通化?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃力=尤3+3/—9尤-10,下列結(jié)論中正確的是

（）

A.x=l是的極小值點(diǎn)

B.〃x）有三個(gè)零點(diǎn)

C.曲線y=〃x）與直線>=-12尤-11只有一個(gè)公共點(diǎn)

D.函數(shù)y=F（x—l）為奇函數(shù)

三、填空題

7.（24-25高三上?四川成都?開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)A》）J"?；:：：；，若〃x）=C有三個(gè)

零點(diǎn)玉</<%3，則，+,+%3的取值范圍是____.

玉x2

8.（2023?廣東廣州?一模）若過(guò)點(diǎn)（0力）（10）只可以作曲線>=金的一條切線，則匕的取值

范圍是.

9.（23-24高二下?北京朝陽(yáng)?期中）已知函數(shù)〃尤）=hr-依+1恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是—

四、解答題

10.（24-25高三上?北京?開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)〃尤）=（%-1戶-日

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求〃尤）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

⑶g（x）=/（x）-根在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求機(jī)的范圍？

11.（22-23高三上?湖北?期末）己知函數(shù)/'（x）=（尤-a）lnx-尤+a—3（aeR）.

⑴若4=0,求若尤）的極小值.

⑵討論函數(shù)（（X）的單調(diào)性；

⑶當(dāng)。=2時(shí)，證明：/（X）有且只有2個(gè)零點(diǎn).

12.（23-24高二上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃司=f-x+1-ael

（1）當(dāng)。=—1,求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/（無(wú)）有三個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

參考答案:

題號(hào)123456

答案BCAABADABC

1.B

【分析】設(shè)切點(diǎn)點(diǎn)P（r,ln（r+1））,寫出切線方程，將點(diǎn)（L。）代入切線方程得

6==+ln（f+l）,此方程有兩個(gè)不同的解，利用導(dǎo)數(shù)求b的范圍.

【詳解】在曲線y=ln（x+l）上任取一點(diǎn)+y'=-^-,

所以曲線y=ln(x+l)在點(diǎn)尸處的切線方程為y-ln(f+l)=T(xT).

由題意可知，點(diǎn)。力)在直線y-ln(f+l)=21aT)上，可得6=g+ln(f+l),

1_f2

令函數(shù)/(^)=^-j+ln(r+l)=y—j-l+ln(r+l),ZG(-1,+o5),

./\—21t—1

則/(')=即+百=許-

當(dāng)一iw時(shí)，r(o<o,此時(shí)/■(“單調(diào)遞減，

當(dāng)然1時(shí)，尸⑺>0,此時(shí)〃。單調(diào)遞增，

所以/⑺皿=/")=ln2.

設(shè)Zz(x)=lnx-l+L(x>0),

X

所以"8=:一］=三二

所以當(dāng)%>1時(shí),h'(x)>0,h(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)0<尤<1時(shí),?(%)<0,五(%)在(0,1)上單調(diào)遞減,

所以人⑺之硝)二0,

所以InxNl—',

x

2211

所以/(。=---l+ln(r+l)>---1+1----=--,

t+1t+1t+1t+1

當(dāng)，f—1時(shí)，所以〃。一+8,

2

當(dāng)尤一+8時(shí)，-一ojn?+l)f+8,所以

y=/?)的圖象如圖：

由題意可知，直線>與/(，)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則b>ln2.

故選：B

2.C

【分析】畫(huà)出〃無(wú))圖象,解方程［/(x)T—2(Q+1)/(%)+4+2Q=0可得J(%)=a或

/(%)=〃+2,因?yàn)椤?2>々,根據(jù)圖象分類討論,々<0或"=1時(shí),04〃〈1時(shí)，a>1時(shí)，三種情況

下根的情況即可.

【詳解】解:由題知/(%)=京',(%>0且

a(xelnx-e

所以/(司=］「不，

(elnX)

故在(0.1)上,f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

且加YO,

即/⑺=『<0,

在(i,e)上"'⑺<oj(x)單調(diào)遞減,

在(e,+8)上,f'(x)>0J(x)單調(diào)遞增，

有〃e)=l,

畫(huà)圖象如下：

由［〃切2-2(。+1)〃尤)+4+2a=0至少有三互不相等的實(shí)數(shù)解,

即(〃尤)-4("尤)-(a+2))=0至少有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，

即〃x)=a或〃x)=a+2至少有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，

由圖可知，當(dāng)。<0或。=1時(shí),y=〃x)與>=a有一個(gè)交點(diǎn)，

即/(x)=a有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

此時(shí)需要/(力=。+2至少有兩個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，

即&+2>1,解得〃>-1

故一IvavO或。=1;

當(dāng)0Wa<1時(shí)"(X)=。無(wú)解，舍；

當(dāng)a>l時(shí),a+2>3,

此時(shí)〃x)=a有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，

/(x)=a+2有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，

共四個(gè)不等實(shí)數(shù)解，滿足題意.

綜上：-IvavO或々21.

故選:C

3.A

【分析】函數(shù)〃尤)有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)g(x)=(x+l)e*的圖象與>的圖象有兩個(gè)交

點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性、極值，由函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得。的范圍.

【詳解】函數(shù)〃尤)有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)g(x)=(x+l)e"的圖象與>的圖象有兩個(gè)交

點(diǎn)，

函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镽，

g,(x)=ex+(x+l)e'=(x+2)ex,

令g'(x)=。，解得尤=-2,

g'(x),g(x)的變化情況如下表:

X-2(-2,+oo)

g'(x)-0+

g(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

e2

所以，函數(shù)g(x)在區(qū)間(-8,-2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-2,+⑹上單調(diào)遞增,

故當(dāng)x=—2時(shí)，有極小值g(-2)=-三，

令g(x)=0,解得％=一1,

當(dāng)光<一1時(shí)，g{x)<0；當(dāng))>-1時(shí),g{x)>0,

當(dāng)尤無(wú)限趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，g(x)=(x+l)e*=r=無(wú)限趨向于0；當(dāng)x無(wú)限趨向于正無(wú)

窮大時(shí)時(shí)，g(x)無(wú)限趨向于正無(wú)窮大，

由此作出函數(shù)g(x)的大致圖象：

由圖象得：當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為0個(gè)；

當(dāng)。=-■^或a20時(shí)，交點(diǎn)為1個(gè)；

e

當(dāng)-±<。<。時(shí)，交點(diǎn)為2個(gè).

e

若函數(shù)g(x)=(x+l)e"的圖象與y=。的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

則由圖可知，實(shí)數(shù)0的取值范圍為1J,。］.

故選：A.

4.AB

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值點(diǎn)判斷選項(xiàng)A；通過(guò)證明/(尤)+/(1-尤)=-1得函數(shù)圖象的對(duì)

稱點(diǎn)判斷選項(xiàng)B；利用函數(shù)單調(diào)性判斷選項(xiàng)C；利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小判斷選項(xiàng)D.

2

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)/(X)=2/_3/,r(x)=6x-6x=6x(x-l),令1f(x)=0,解得

%=0或%=1,

故當(dāng)工￡(0,0)時(shí)廣(%)>0,當(dāng)久E(0,1)時(shí)，尸(%)<0,當(dāng)久E(1,+8)時(shí)廣(%)〉0,

則/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

故1是“X)的極小值點(diǎn)，故A正確：

對(duì)于B,因?yàn)?/p>

y(x)+/(l—尤)=2尤3—3尤2+2(1—無(wú))3—3(1—%)2=2_?—3尤2+2—6%+6為2—2尤3_3+6%-3無(wú)2=—1

所以“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)\,-￡|對(duì)稱，故B正確；

對(duì)于C,g(x)=/(x)+l=2x3-3%2+l,易知g(x)"(x)的單調(diào)性一致，而g(l)=O,

故g(x)=/(x)+l至多有2個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)0〈無(wú)<1時(shí)，—1〈尤2—1〈無(wú)一i<o,而在(—1,0)上單調(diào)遞增，故

f(x2-l)<f(^-l),故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

5.AD

【分析】畫(huà)出可能圖象，結(jié)合圖象判斷選項(xiàng)即可.

若函數(shù)f(x)無(wú)極值點(diǎn)則，貝l]A=(a+2)2-4(〃+6)40,

此時(shí)儲(chǔ)-4b+4V0,BPa2-4b<-4,所以/(x)=(/+辦+6)e*>0,沒(méi)有零點(diǎn)，如圖①；

若函數(shù)/(X)無(wú)零點(diǎn)，則有。2-46<0,止匕時(shí)片一46+4<4.

當(dāng)片一仞+4>。時(shí)，/'(X)先正再負(fù)再正，原函數(shù)先增再減再增，故有極值點(diǎn)，如圖②；

若函數(shù)/(X)恰有一個(gè)零點(diǎn)，貝02_傷=0,

此時(shí)02一4〃+4=4>0,尸(x)先正再負(fù)再正，原函數(shù)先增再減再增，有兩個(gè)極值點(diǎn)，如圖

③；

若函數(shù)“X)有兩個(gè)零點(diǎn)，則/-4)>0,此時(shí)笛-4b+4>4>0,/'(X)先正再負(fù)再正，

函數(shù)先增再減再增，有兩個(gè)極值點(diǎn)，如圖④;

所以AD正確.

故選：AD.

6.ABC

【分析】對(duì)于A,利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合極小值點(diǎn)的定義，可得答案；

對(duì)于B,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，可得答案；

對(duì)于C,根據(jù)切線的求解方程，利用導(dǎo)數(shù)檢測(cè)，可得直線為函數(shù)的切線，結(jié)合圖象，可得

答案；

對(duì)于D,整理函數(shù)解析式，利用奇函數(shù)的定義，可得答案.

【詳解】由函數(shù)〃x)=V+3d—9x-10,則求導(dǎo)可得/(X)=3X2+6X-9=3(X+3)(X-1),

令/'(x)=0,解得無(wú)=一3或1,可得下表：

(-CO,-3)-3(Tl)1

+0—0+

極大值、極小值

則尤=1是的極小值點(diǎn)，故A正確；

丁(尤)極大=/(一3)=(一3Y+3x(-3)2-9x(-3)-1。=17，

，(龍)板小=/(l)=『+3xl2—9x1-10=75，

/(-5)=(-5)3+3x(-5)2-9x(-5)-10=-15,/(3)=33+3x32-9x3-10=17,

顯然函數(shù)八%)在(-5,-3),(-3,1),(1,3)分別存在一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)〃尤)存在三個(gè)零點(diǎn)，故B

正確；

v—3%29%10

)y--12x-H一，消去、可得爐+3尤2+3X+1=0,化簡(jiǎn)可得(x+廳=0,

則該方程組存在唯一實(shí)根x=-l,故C正確；

令g(x)=/(x-1)=(x-1)+3(x-1)—9(x—1)—10=x3—12x+l,

g(-x)=—x3+12x+1—g(x),故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

7.pe+1,e2+2

【分析】根據(jù)分段函數(shù)得出根，再應(yīng)用指對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化結(jié)合換元法求解即可.

，八.\||lnx|,O<x<e~

【詳解】因?yàn)?所以為<%<X3

I2-Inx,x>e

—<玉<1<兀2<e<%<e2且1叫+lnx=0,

e2

-cc2c

零滿足點(diǎn)一1叫=lnx2=2—ln%3=C(0<C<1),即e=xpe=x2,e~=x3,

故目標(biāo)式=小+00+62菖，令e-c=f且此[：,1

則上式=；+6+1,，

令y=；+(e2+l)f,貝ljy=-J+e2+l,'e,故y'=-J+e?+1>0

y在內(nèi)單調(diào)遞增，貝IJy=；+(e2+l)te(2e+g,e2+2).

故答案為：|^2e+1,e2+2^

8.[

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為則得切線方程

22

過(guò)點(diǎn)(0/)3>0),則6=普，構(gòu)造函數(shù)萬(wàn)⑺哈，

確定函數(shù)的單調(diào)性及取值情況，即可得6的取值范圍.

【詳解】解：函數(shù)y后的定義域?yàn)镽,則設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為

則切線斜率為左=9,故切線方程為：y-飛=上m(x-x°),

e與e與e與、7

又切線過(guò)點(diǎn)(。,6)仍>0),則萬(wàn)一興=三產(chǎn)(一%)=6=9,

設(shè)〃(x)=《，則”(x)=x(2-x)=o得,x=o或尤=2,

exeA

貝ij當(dāng)xe(f,O)時(shí)，〃(x)<0,函數(shù)/z(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(O,2)時(shí)，砥力>0,函數(shù)Jx)單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(2,y)時(shí)，〃(x)<0,函數(shù)/z(x)單調(diào)遞減,

4

所以〃(0)=0,M2)=r，

e

又無(wú)->一00時(shí)，/l(x)f+co,尤—+8時(shí)，力(無(wú))一0,

所以6=另有且只有一個(gè)根，且b>0,則匕>《，故6的取值范圍是(W，+8

e&e[e

故答案為：

9.(0,1)

1r>y_|_1113y_|_1

【分析】由題意可得了。)=0即。=上山有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，令g(x)=^求出導(dǎo)

XX

數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值、最值，畫(huà)出圖象，通過(guò)圖象即可得到結(jié)論.

【詳解】函數(shù)/(X)=Inx-奴+1恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于"X)=0即a=笠」有兩個(gè)不等的實(shí)

數(shù)解，

令gQ)=也擔(dān)(x>0)

X

當(dāng)x>l時(shí)，g'(無(wú))<0,g(x)在。,內(nèi))上單調(diào)遞減;

當(dāng)0〈尤<1時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;

當(dāng)x=l時(shí)，g'(x)=。，g(x)在x=l處取極大值，極大值為g⑴=1,且極大值也為/(x)的最

大值；

當(dāng)》=工時(shí)，gO)=0,當(dāng)xf+8時(shí)，g(x)-0,

e

畫(huà)出g(x)的圖象如下：

由圖可得當(dāng)0<。<1時(shí)，y=g(x)與y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，函數(shù)有

兩個(gè)零點(diǎn);

故答案為：(0,1)

10.(l"(x)的單調(diào)減區(qū)間為：(o,ln2)；單調(diào)增區(qū)間為：(-8,0),(ln2,+s)

(2)1個(gè)

rVe1

⑶『三一"J

【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)與原函數(shù)的關(guān)系求解即可；

(2)結(jié)合(1)問(wèn)的單調(diào)性，求出函數(shù)/(x)的值域，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求解.

(3)將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，求出了(元)在區(qū)間-1,：上的值域即可求解.

【詳解】⑴由題可得：/'(x)=xe=2x=xC-2),

令/解得：x=?；騲=ln2,

令/(x)<0,解得：0<x<ln2；

令廣食)>0,解得：x<0或x>ln2；

所以/(x)的單調(diào)減區(qū)間為：(0/n2)；單調(diào)增區(qū)間為：(F,0),(ln2,『)

(2)因?yàn)?(x)的單調(diào)減區(qū)間為：(0,ln2);單調(diào)增區(qū)間為：(-8,0),(ln2,+s),

由于/(。)=-1<0,則/(無(wú))在(一*0)上無(wú)零點(diǎn)；

由于/(ln2)=2(ln2-l)-(ln2)2<0,則/(x)在(0,In2)上無(wú)零點(diǎn)；

由于/⑵=e?-4>0,則/(x)在(In2,2)上存在唯一零點(diǎn)；

綜上，函數(shù)/(x)在R上存在唯一零點(diǎn).

(3)若g(x)=/(x)-根在區(qū)間-1,1上有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)y=/(x)與>=機(jī)在區(qū)間

-1，；上有兩個(gè)交點(diǎn)；

由(1)知，/(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，(0,g)上單調(diào)遞減;

所以函數(shù)y=/(x)與了=根在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，則一XL3nl<_i,

12」24

即g(x)=/(x)-根在區(qū)間-1,1上有兩個(gè)零點(diǎn)，則力的范圍為普-卜1

L」/

11.(1)-4