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文檔簡介
2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練17
空間幾何體
[考情分析]高考??贾R,主要考查幾何體的表面積與體積、球的組合體問題.常以選擇
題、填空題的形式出現(xiàn),部分題目難度較大.
【練前疑難講解】
一、空間幾何體的截面問題
1.用一個平面去截幾何體,此平面與幾何體的交集叫做這個幾何體的截面,利用平面的性
質(zhì)確定截面形狀是解決截面問題的關(guān)鍵.
2.確定截面的主要依據(jù)有
(1)平面的四個基本事實及推論.
(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì).
(3)兩個平面平行的性質(zhì).
(4)球的截面的性質(zhì).
二、表面積與體積
1.柱體、錐體、臺體、球的表面積公式:
⑴圓柱的表面積S=2a(r+Z);
⑵圓錐的表面積S=u(r+/);
(3)圓臺的表面積S=n(r'2+r2+r/Z+rZ);
⑷球的表面積S=4兀屐
2.柱體、錐體和球的體積公式:
(1W槎體=S/7(S為底面面積,%為高);
(2)V銖體=§S/7(S為底面面積,h為高);
(3)V球=g兀R3.
三、多面體與球
多面體的外接球模型:
(1)長方體的外接球直徑為體對角線,
Eylcr+^+c2
則-2——;
正方體的外接球半徑為R=華;
正方體的內(nèi)切球半徑為r=f.
(2)柱體模型
如圖①,在三棱柱尸6G—A3C中,已知B4,平面4BC,設(shè)外接球半徑為R,球心為。,
△ABC的外接圓圓心為。1,則7?="。0彳+01屋=弋團2十戶,其中廠=。3為△ABC外接
圓半徑.
(3)錐體模型
如圖②,在正三棱錐中,先求出高線長〃=「。1=3出2一戶,
2222
在RtZXOOiA中,R=OOl+r=(h-R)+r,解方程求出R,其中R為外接球半徑,「=。欣
為△ABC外接圓半徑,。1為△ABC的外接圓圓心.
(4)正四面體(構(gòu)造正方體)、對棱相等的三棱錐(構(gòu)造長方體)
如圖③:正四面體Q—A'BC可構(gòu)造正方體(所有面對角線相等);
如圖④:對棱相等的三棱錐A—80可構(gòu)造長方體(對面的對角線相等).
一、單選題
1.(23-24高三上?山東棗莊?期末)已知正四棱臺的上下底面邊長分別為1和3,高為2.用
一個平行于底面的截面截棱臺,若截得的兩部分幾何體體積相等,則截面與上底面的距離
為()
A.|B.呼C.施D.V14-1
2.(2021?天津?高考真題)兩個圓錐的底面是一個球的同一截面,頂點均在球面上,若球的
體積為子,兩個圓錐的高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為()
A.3萬B.4萬C.9兀D.12萬
二、多選題
3.(23-24高三上?云南?階段練習(xí))某班級到一工廠參加社會實踐勞動,加工出如圖所示的
圓臺002,軸截面A8C。為等腰梯形,且滿足CD=2Afi=2AD=28C=4cm.下列說法正
A.該圓臺軸截面A3CD的面積為3瓜n?
B.該圓臺的表面積為Ihrcn?
C.該圓臺的體積為2百兀cn?
D.該圓臺有內(nèi)切球,且半徑為在cm
2
4.(2023?廣東深圳?二模)如圖,在矩形AEFC中,AE=26,EF=4,B為EF中點,現(xiàn)分
別沿AB、8C將AABE、△8CF翻折,使點E、產(chǎn)重合,記為點P,翻折后得到三棱錐P-
ABC,貝lj()
A.三棱錐P-ABC的體積為逑B.直線B4與直線BC所成角的余弦值為趙
36
C.直線出與平面P2C所成角的正弦值為gD.三棱錐尸-ABC外接球的半徑為
V22
~T
三、填空題
5.(2024?全國?高考真題)已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為R下底面半徑均為4,圓臺的
母線長分別為2(弓-4),3(4-4),則圓臺甲與乙的體積之比為.
6.(2024?浙江寧波?模擬預(yù)測)已知圓錐的軸截面面積為3』,則該圓錐的外接球半徑的最
小值為.
【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】
一、單選題
1.(2024?湖南長沙?二模)蒙古包(Mongolianyurts)是蒙古族牧民居住的一種房子,建造
和搬遷都很方便,適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活,蒙古包古代稱作穹廬、氈包或氈帳.已知蒙古
包的造型可近似的看作一個圓柱和圓錐的組合體,已知圓錐的高為2米,圓柱的高為3
米,底面圓的面積為64兀平方米,則該蒙古包(含底面)的表面積為()
A.(112+16&5平方米B.(80+16而')無平方米
C.(112+18舊)兀平方米D.(80+18而')兀平方米
2.(2022?全國?高考真題)已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3若和4百,其
頂點都在同一球面上,則該球的表面積為()
A.100兀B.128兀C.1447tD.19271
3.(2024?湖南?二模)如圖,在四面體尸-ABC中,E4_L平面
ABC,ACVCB,PA=AC=2BC^2,則此四面體的外接球表面積為()
A.3兀B.9TIC.36兀D.48兀
4.(2024?寧夏銀川?一模)已知圓錐的底面圓周在球。的球面上,頂點為球心。,圓錐的高
為3,且圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓,則球。的表面積為()
A.1271B.1671C.48KD.96兀
5.(2024?江蘇南京?二模)在圓臺002中,圓。2的半徑是圓。1半徑的2倍,且。2恰為該圓
臺外接球的球心,則圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為()
A.3:4B.1:2C.3:8D.3:10
6.(23-24高三下?江西?階段練習(xí))已知某棱長為20的正四面體的各條棱都與同一球面相
切,則該球的表面積為()
c4兀
A.4兀B.2兀C.—D.兀
3
7.(2023?天津北辰?三模)中國雕刻技藝舉世聞名,雕刻技藝的代表作“鬼工球",取鬼斧神
工的意思,制作相當(dāng)繁復(fù),成品美輪美奐.1966年,玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝
應(yīng)用到玉雕之中,他把玉石鏤成多層圓球,層次重疊,每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動,是中國
玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻大師在棱長為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個可
以任意轉(zhuǎn)動的球,在球內(nèi)部又套雕出一個正四面體(所有棱長均相等的三棱錐),若不計各
層厚度和損失,則最內(nèi)層正四面體的棱長最長為()
A.4.76B.4A/3C.276D.6
8.(2024?天津?二模)已知正方體的外接球的體積為36兀,點E為棱的
中點,則三棱錐G-AEO的體積為().
A.1B.2道C.D.16A/3
9.(2024?河北邢臺?一模)如圖,正四棱臺容器ABCD-ABCA的高為12cm,
A5=10cm,A片=2cm,容器中水的高度為6cm.現(xiàn)將57個大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵
球放入容器中(57個小鐵球均被淹沒),水位上升了3cm,若忽略該容器壁的厚度,則小
鐵球的半徑為()
10.(2024?天津濱海新?二模)如圖所示,這是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德最引以為自豪的發(fā)
現(xiàn):圓柱容球定理.圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球,這個球的直徑恰好與圓柱的高相等,在當(dāng)時并不
知道球的面積和體積公式的情況下,阿基米德用窮竭法解決面積問題,用杠桿法解決體積
問題.我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn),求圓柱的表面積與球的表面積之比和圓柱體積與球體積之
比()
二、多選題
11.(2024?山西朔州?一模)已知圓錐SO的側(cè)面積為4無,底面圓的周長為2兀,則()
A.圓錐的母線長為4
B.圓錐的母線與底面所成角的正弦值為J
4
C.圓錐的體積為巫兀
3
D.沿著圓錐母線的中點截圓錐所得圓臺的體積為△叵兀
24
12.(24-25高三上?廣西?階段練習(xí))刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫
空間的彎曲性,規(guī)定:多面體頂點的曲率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差,其中多
面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如:正四面體每個頂點均有3個面
角,每個面角均為三,故其各個頂點的曲率均為271-3X;=7!.如圖,在正方體
ABC。一A耳£2中,A8=而,貝I()
A.在四面體ABC?中,點A的曲率為石~
B.在四面體ABC?中,點A的曲率大于7T:T
C.四面體ABC?外接球的表面積為12兀
D.四面體ABCR內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為?+4〉+3近
6
13.(2023?遼寧,模擬預(yù)測)在棱長為2的正方體A8CD-A瓦G2中,尸,召,廠分別為棱
AA-CC,,的中點,。|為側(cè)面A4tB避的中心,貝。()
A.直線AB//平面PEF
B.直線AC〃平面。出/
C.三棱錐O「PE尸的體積為:
D.三棱錐P-8CE的外接球表面積97t
14.(2024?安徽?一模)如圖,正方體48a>-4瓦G2的棱長為1,則下列四個命題中正確
的是()
A.直線5c與平面A3G2所成的角等于£
4
B.四棱錐C-ABG2的體積為g
7T
C.兩條異面直線2c和BG所成的角為:
D.二面角C-8G-D的平面角的余弦值為一走
3
三、填空題
15.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為1:2,其內(nèi)
切球的半徑為1,則該正四棱臺的體積為.
16.(2024?河南新鄉(xiāng)?二模)己知一平面截球。所得截面圓的半徑為2,且球心。到截面圓
所在平面的距離為1,則該球的體積為.
17.(2024?全國?二模)已知圓錐SO1的軸截面必為正三角形,球。2與圓錐SO1的底面和
側(cè)面都相切.設(shè)圓錐SO1的體積、表面積分別為乂,耳,球。2的體積、表面積分別為則
KH---------
18.(2023?上海徐匯?二模)如圖所示,圓錐50的底面圓半徑。4=1,側(cè)面的平面展開圖
的面積為3無,則此圓錐的體積為.
【能力提升訓(xùn)練】
一、單選題
1.(2024?廣東?二模)已知球。與圓臺的上、下底面和側(cè)面均相切,且球。與圓臺
的體積之比為;,則球。與圓臺。。2的表面積之比為()
1111
A.-B.—C.—D.一
6432
2.(2024?廣東廣州,一模)已知正四棱臺ABCD-A瓦GR的上、下底面邊長分別為1和2,
且BBt±DD1,則該棱臺的體積為()
7&7四工口Z
2662
3.(2023?浙江寧波?模擬預(yù)測)表面積為4兀的球內(nèi)切于圓錐,則該圓錐的表面積的最小值
為()
A.4兀B.8itC.127rD.16n
4.(2024?江西九江?二模)已知一個圓臺內(nèi)接于球。(圓臺的上、下底面的圓周均在球面
上).若該圓臺的上、下底面半徑分別為1和2,且其表面積為(5+3垃)兀,則球。的體積
為()
32n20后05扃
A.D.57rQ.----------LJ.----------
333
5.(2024?湖南常德?三模)如圖,現(xiàn)有棱長為6cm的正方體玉石缺失了一個角,缺失部分
為正三棱錐A-E尸G,且E,產(chǎn),G分別為棱4AA”AR靠近A1的四等分點,若將該玉石
打磨成一個球形飾品,則該球形飾品的體積的最大值為()
A
A.27百兀cm?B.3671cm'
2
c125g3c”3
C.---------7icm3D.7271cm3
2
6.(2024?福建莆田?二模)柏拉圖多面體是指每個面都是全等正多邊形的正多面體,具有嚴
格對稱,結(jié)構(gòu)等價的特點.六氟化硫具有良好的絕緣性和廣泛的應(yīng)用性.將六氟化硫分子
中的氟原子按圖1所示方式連接可得正八面體(圖2).若正八面體外接球的體積為4半7r,
則此正八面體的表面積為()
A.與B.如C.2A/3D.4A/3
7.(2024?湖北武漢?二模)燈籠起源于中國的西漢時期,兩千多年來,每逢春節(jié)人們便會掛
起象征美好團圓意義的紅燈籠,營造一種喜慶的氛圍.如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分
組成,上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面,中間是球面的一部分(除去兩個球缺).如圖
2,"球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分,截得的圓面叫做球缺的底,垂直于截面的
直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為丫=4(3R-〃)/,其中R是球的半
徑,力是球缺的高.已知該燈籠的高為40cm,圓柱的高為4cm,圓柱的底面圓直徑為24
cm,則該燈籠的體積為(取兀=3)()
圖1圖2
A.32000cm3B.33664cm3C.33792cm3D.35456cm3
8.(2024?北京豐臺?一模)正月十五元宵節(jié),中國民間有觀賞花燈的習(xí)俗.在2024年元宵
節(jié),小明制作了一個“半正多面體"形狀的花燈(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的
正多邊形圍成的多面體,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為24的半正多面體,它的
所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為2.關(guān)于該半正多面體的四個
結(jié)論:
①棱長為應(yīng);
②兩條棱所在直線異面時,這兩條異面直線所成角的大小是60。;
③表面積為S=12+4百;
④外接球的體積為V=48.
其中所有正確結(jié)論的序號是()
圖1圖2
A.①②B.①③C.②④D.③④
9.(2024?浙江寧波?二模)在正四棱臺中,AB=4,A4=2,A4,=6,若
球。與上底面ABiG,以及棱AB,8C,CD,ZM均相切,則球。的表面積為()
A.9兀B.1671C.25兀D.36兀
10.(2024?黑龍江哈爾濱?二模)已知直三棱柱ABC-AgG的6個頂點都在球。的表面
27t
上,若A3=AC=1,AA=4,ZBAC=y,則球。的表面積為()
A.16TIB.20KC.28TID.32K
11.(23-24高三下?河南?階段練習(xí))已知四棱錐尸-ABC。的底面是邊長為2的正方形,側(cè)
棱長都等于2,則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為()
A.(8-4A國無B.127tC.(8+46)無D.8兀
12.(2024?安徽合肥?一模)已知四面體ABCD的各頂點都在同一球面上,若
AB=BC=CD=DA=BD=2日平面ABD_L平面3a>,則該球的表面積是()
A.100兀B.40兀C.20KD.16兀
二、多選題
13.(2022?山東?模擬預(yù)測)如圖,在棱長為2的正方體耳G2中,M,N,尸分別
是441,CG,G2的中點,。是線段,A上的動點,則下列說法中正確的是()
A.存在點Q,使瓦N,尸,。四點共面
B.存在點。,使〃平面MSN
C.三棱錐尸-MBN的體積為g
9兀
D.經(jīng)過C,M,民N四點的球的表面積為亭
14.(2024?山東濟寧?一模)如圖,在棱長為2的正方體A8CD-A耳GR中,M是棱BC
的中點,N是棱。2上的動點(含端點),則下列說法中正確的是()
A.三棱錐A-AMN的體積為定值
B.若N是棱。2的中點,則過A,M,N的平面截正方體ABCD-A與G2所得的截面
圖形的周長為述
2
C.若N是棱。2的中點,則四面體A-AMN的外接球的表面積為7兀
D.若CN與平面MC所成的角為巴貝Ijsindeg,手
15.(2022?山東聊城?二模)用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱,若兩個截面都是
橢圓形狀,則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱.這兩個截面稱為斜圓柱的底
面,兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高,斜圓柱的體積等于底面積乘以高.橢圓的面積等
于長半軸與短半軸長之積的萬倍,已知某圓柱的底面半徑為2,用與母線成45。角的兩個平
行平面去截該圓柱,得到一個高為6的斜圓柱,對于這個斜圓柱,下列選項正確的是
()
A.底面橢圓的離心率為變
2
B.側(cè)面積為24標
C.在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為36%
D.底面積為4夜兀
三、填空題
16.(2024?河南?模擬預(yù)測)已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球。的直徑相等,則
圓錐的體積與球0的體積的比值是,圓錐的表面積與球O的表面積的
比值是.
17.(2024?浙江溫州?一模)與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球,稱為圓臺的內(nèi)切球,
若圓臺的上下底面半徑為*4,且勺弓=1,則它的內(nèi)切球的體積為.
18.(22-23高一下?湖北武漢?期末)甲、乙兩個圓錐的母線長相等,側(cè)面展開圖的圓心角之
和為勺,側(cè)面積分別為際和治,體積分別為%和吃.若薩=2,則薩=________.
23乙”乙
2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練17
空間幾何體
[考情分析]高考??贾R,主要考查幾何體的表面積與體積、球的組合體問題.常以選擇
題、填空題的形式出現(xiàn),部分題目難度較大.
【練前疑難講解】
一、空間幾何體的截面問題
1.用一個平面去截幾何體,此平面與幾何體的交集叫做這個幾何體的截面,利用平面的性
質(zhì)確定截面形狀是解決截面問題的關(guān)鍵.
2.確定截面的主要依據(jù)有
(1)平面的四個基本事實及推論.
(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì).
(3)兩個平面平行的性質(zhì).
(4)球的截面的性質(zhì).
二、表面積與體積
1.柱體、錐體、臺體、球的表面積公式:
⑴圓柱的表面積S=2a(r+Z);
⑵圓錐的表面積S=u(r+/);
(3)圓臺的表面積S=n(r'2+r2+r/Z+rZ);
⑷球的表面積S=4兀屐
2.柱體、錐體和球的體積公式:
(1W槎體=S/7(S為底面面積,%為高);
(2)V銖體=§S/7(S為底面面積,h為高);
(3)V球=g兀R3.
三、多面體與球
多面體的外接球模型:
(1)長方體的外接球直徑為體對角線,
Eylcr+^+c2
則-2——;
正方體的外接球半徑為R=華;
正方體的內(nèi)切球半徑為r=f.
(2)柱體模型
如圖①,在三棱柱尸6G—A3C中,已知B4,平面4BC,設(shè)外接球半徑為R,球心為。,
△ABC的外接圓圓心為。1,則7?="。0彳+01屋=弋團2十戶,其中廠=。3為△ABC外接
圓半徑.
(3)錐體模型
如圖②,在正三棱錐中,先求出高線長〃=「。1=3出2一戶,
2222
在RtZXOOiA中,R=OOl+r=(h-R)+r,解方程求出R,其中R為外接球半徑,「=。欣
為△ABC外接圓半徑,。1為△ABC的外接圓圓心.
(4)正四面體(構(gòu)造正方體)、對棱相等的三棱錐(構(gòu)造長方體)
如圖③:正四面體Q—A'BC可構(gòu)造正方體(所有面對角線相等);
如圖④:對棱相等的三棱錐A—80可構(gòu)造長方體(對面的對角線相等).
一、單選題
1.(23-24高三上?山東棗莊?期末)已知正四棱臺的上下底面邊長分別為1和3,高為2.用
一個平行于底面的截面截棱臺,若截得的兩部分幾何體體積相等,則截面與上底面的距離
為()
A.|B.呼C.施D.V14-1
2.(2021?天津?高考真題)兩個圓錐的底面是一個球的同一截面,頂點均在球面上,若球的
體積為子,兩個圓錐的高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為()
A.3萬B.4萬C.9兀D.12萬
二、多選題
3.(23-24高三上?云南?階段練習(xí))某班級到一工廠參加社會實踐勞動,加工出如圖所示的
圓臺002,軸截面A8C。為等腰梯形,且滿足CD=2Afi=2AD=28C=4cm.下列說法正
A.該圓臺軸截面A3CD的面積為3瓜n?
B.該圓臺的表面積為Ihrcn?
C.該圓臺的體積為2百兀cn?
D.該圓臺有內(nèi)切球,且半徑為在cm
2
4.(2023?廣東深圳?二模)如圖,在矩形AEFC中,AE=26,EF=4,B為EF中點,現(xiàn)分
別沿AB、8C將AABE、△8CF翻折,使點E、產(chǎn)重合,記為點P,翻折后得到三棱錐P-
ABC,貝lj()
A.三棱錐P-ABC的體積為逑B.直線B4與直線BC所成角的余弦值為趙
36
C.直線出與平面P2C所成角的正弦值為gD.三棱錐尸-ABC外接球的半徑為
V22
~T
三、填空題
5.(2024?全國?高考真題)已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為R下底面半徑均為4,圓臺的
母線長分別為2(弓-4),3(4-4),則圓臺甲與乙的體積之比為.
6.(2024?浙江寧波?模擬預(yù)測)已知圓錐的軸截面面積為3』,則該圓錐的外接球半徑的最
小值為.
參考答案:
題號1234
答案DBABBD
1.D
【分析】延長正四棱臺的棱交于一點P,由三角形相似,求出PO,再由棱臺的體積公式
113
求出截面截得棱臺的上部分幾何體的體積匕=5丫==,設(shè)截面與上底面的距離為x,正方
形AB'C'D'的邊長為。,由三角形相似,得至Ua=l+x,結(jié)合
K=((5]+5+7^9?00'=((1+〃+。)/=?即可求出匕
【詳解】延長正四棱臺ABCZ)-A4GR的棱交于點尸,
如圖所示,截面AB'C'D平行于底面
設(shè)上底面ABCD的面積為航,下底面ABiGA的面積為S2,截面A3'CZ>'的面積為S,
正四棱臺ABC。-A瓦GR的體積為V,平行于底面的截面截棱臺,截得的上部分幾何體體
積為匕,則K=;V,
上底面ABC。的中心為。,下底面4用GA的中心為01,連結(jié)尸。],
則尸??谏系酌鍭3CD,尸?,下底面A4GR,正四棱臺ABC。-A4G2的高為
OOI=2,
設(shè)截面與上底面的距離為x,正方形的邊長為。,
丫=綱+邑+廓可3=;(1+9+沖2母K=m=g,
PAABPAPO
由得,==1由得,==1
xl|21.IXXID.Zli1J
又oq=2,所以PO=I,
pAPOAH11
同理可得育=前=而,得丁市,所以a=l+x,①
,2
又因為K=1(S1+S+A/VS)-OO=|(l+fl+<7)-X=y,②
由①②得,a=^4,無=赤-1,所以截面與上底面的距離為觀1-1
故選:D.
2.B
【分析】作出圖形,計算球體的半徑,可計算得出兩圓錐的高,利用三角形相似計算出圓
錐的底面圓半徑,再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】如下圖所示,設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點。,
設(shè)圓錐A£>和圓錐3。的高之比為3:1,即AD=33。,
設(shè)球的半徑為R,則上如=當(dāng),可得R=2,所以,AB=AD+BD=4BD=4,
33
所以,BD=1,AD=3,
■:CDLAB,則NC4D+ZAC£)=ZBCD+ZACr>=90。,所以,NCAD=NBCD,
又因為/A£>C=/3OC,所以,^ACDSACBD,
ADCD----------
所以,CD=VtAD-BD=vr3,
CDDU
因此,這兩個圓錐的體積之和為;4XC£)2.(AO+8D)=;"X3X4=4;T.
故選:B.
3.AB
【分析】求出圓臺的高。。2可判斷A;由圓臺的表面積和體積公式可判斷B,C;由內(nèi)切圓
的性質(zhì)以及切線長定理易知軸截面A3C0不存在內(nèi)切圓可判斷D.
【詳解】對于A,由CD=2AB=2AT)=23C=4cm,可得高o.=J4-(三2)=拒,
則圓臺軸截面ABCD的面積為gx(2+4)x石=37§加2,故A正確;
對于B,圓臺的側(cè)面積為S惻=7t-(l+2)x2=67i(cm2),
又S上=7ixl2=7c(cm2),S下=兀?22=4兀(cn?),
所以S表=6兀+兀+4兀=11兀(加2),故B正確;
對于C,圓臺的體積為丫=:兀.若x(l+4+2)=子.cnP),故C錯誤;
對于D,若圓臺存在內(nèi)切球,則必有軸截面ABC。存在內(nèi)切圓,
由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長定理易知軸截面ABCD不存在內(nèi)切圓,故D錯誤,
故選:AB.
4.BD
【分析】證明3尸,平面PAC,再根據(jù)吃”c=%*c即可判斷A;先利用余弦定理求出
cosZAPC,將耐用定,而表示,利用向量法求解即可判斷B;利用等體積法求出點A到
平面PBC的距離d,再根據(jù)直線陰與平面PBC所成角的正弦值為與即可判斷C;利用
正弦定理求出AR4c的外接圓的半徑,再利用勾股定理求出外接球的半徑即可判斷D.
【詳解】由題意可得BPLARBPLCP,
又APcCP=P,AP,CP=P,AP,CPu平面PAC,
所以BP,平面上4C,
在AR4c中,PA=PC=2y/3,AC邊上的高為
所以4wc=%.皿=gx;x4x2夜x2=^f,故A錯誤;
對于B,在中,C"APC=2X2^2"&,
8c=J12+4=4
,一一、PA-BCTA-CPC-PB'YPA'PC-PA-PB
cos(PA,BC)=?__=-------------------=-----------------------
|PX||BC|2V3X48V3
2V3X2V3X173
—__________2.—__?
-8V3-6
所以直線必與直線BC所成角的余弦值為故B正確;
6
對于C,S,PBC=;PB.PC=26,
設(shè)點A到平面PBC的距離為d,
由明AC=匕一咐得二2四=逑,解得]=應(yīng)
333
4」
所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為2=工=巫,故C錯誤;
PA一2否一3
由B選項知,cosNAPC=-,貝!|sinZAPC=3色,
33
]AC3
所以^PAC的外接圓的半徑r=-———=~f=,
2sinZAPC,2
設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,
又因為3尸,平面PAC,
則尺=2+1=11,所以氏=叵,
即三棱錐尸-ABC外接球的半徑為叵,故D正確.
2
故選:BD.
5.J
4
【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺的高,再根據(jù)圓臺的體積公式直
接代入計算即可得解.
【詳解】由題可得兩個圓臺的高分別為匾=,[2({-刈2_伍_々)2=6(「分
電=心5―2)]2_?_2)2=20(丁辦
性=卞=生=鳳八-琦=、
及二(邑+S,+同)〃「良一2丁(「母一丁
故答案為:好.
4
6.2
177
【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為小高為h,可得m=36,R=^h+^-h-3,設(shè)
177
/(/?)=1/7+y/r3,利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最值.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為「,高為h,則hr=3幣,
設(shè)圓錐的外接球的半徑為R,則無論球心。在圓錐內(nèi)還是圓錐外,都有爐=(尺_〃)2+/,
r*2+/i2/+27
則尺=」+為尸
2h2/z322
設(shè)/伍)=1/?+,於,則=工_迎廠=81=(?+9)(/7+3)(/L3),
4
22''222h2/Z
當(dāng)0<分<3時,/㈤<0,/㈤單調(diào)遞減,當(dāng)。>3時,⑻>0,"外單調(diào)遞增,
"(%n=△3)=2.
故答案為:2.
【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】
一、單選題
1.(2024?湖南長沙?二模)蒙古包(Mongolianyurts)是蒙古族牧民居住的一種房子,建造
和搬遷都很方便,適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活,蒙古包古代稱作穹廬、氈包或氈帳.已知蒙古
包的造型可近似的看作一個圓柱和圓錐的組合體,已知圓錐的高為2米,圓柱的高為3
米,底面圓的面積為64兀平方米,則該蒙古包(含底面)的表面積為()
A.(112+16,萬)兀平方米B.(80+16J萬)兀平方米
C.(112+18J萬)兀平方米D.(80+18&7)兀平方米
2.(2022?全國?高考真題)己知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3石和4』,其
頂點都在同一球面上,則該球的表面積為()
A.100兀B.1287rC.144TTD.192元
3.(2024?湖南?二模)如圖,在四面體P-A5c中,PA_L平面
ABC,ACLCB,PA=AC=2BC=2,則此四面體的外接球表面積為()
A.3兀B.9兀C.36TID.48兀
4.(2024?寧夏銀川?一模)已知圓錐的底面圓周在球。的球面上,頂點為球心圓錐的高
為3,且圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓,則球。的表面積為()
A.1271B.1671C.48兀D.96K
5.(2024?江蘇南京?二模)在圓臺002中,圓。2的半徑是圓。1半徑的2倍,且。2恰為該圓
臺外接球的球心,則圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為()
A.3:4B.1:2C.3:8D.3:10
6.(23-24高三下?江西?階段練習(xí))已知某棱長為2夜的正四面體的各條棱都與同一球面相
切,則該球的表面積為()
_4兀
A.4兀B.2兀C.—D.兀
3
7.(2023?天津北辰?三模)中國雕刻技藝舉世聞名,雕刻技藝的代表作“鬼工球",取鬼斧神
工的意思,制作相當(dāng)繁復(fù),成品美輪美奐.1966年,玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝
應(yīng)用到玉雕之中,他把玉石鏤成多層圓球,層次重疊,每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動,是中國
玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻大師在棱長為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個可
以任意轉(zhuǎn)動的球,在球內(nèi)部又套雕出一個正四面體(所有棱長均相等的三棱錐),若不計各
層厚度和損失,則最內(nèi)層正四面體的棱長最長為()
A.4?B.46C.2nD.6
8.(2024?天津?二模)已知正方體ABCD-A用CQI的外接球的體積為36兀,點E為棱A3的
中點,則三棱錐的體積為().
A.|B.2后C.竽D.16^/3
9.(2024?河北邢臺?一模)如圖,正四棱臺容器ABCZ)-A與G2的高為12cm,
AB=10cm,A瓦=2cm,容器中水的高度為6cm.現(xiàn)將57個大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵
球放入容器中(57個小鐵球均被淹沒),水位上升了3cm,若忽略該容器壁的厚度,則小
鐵球的半徑為()
,G
心■cm護cm
A.3/—cm
V71V兀v兀
10.(2024?天津濱海新?二模)如圖所示,這是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德最引以為自豪的發(fā)
現(xiàn):圓柱容球定理.圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球,這個球的直徑恰好與圓柱的高相等,在當(dāng)時并不
知道球的面積和體積公式的情況下,阿基米德用窮竭法解決面積問題,用杠桿法解決體積
問題.我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn),求圓柱的表面積與球的表面積之比和圓柱體積與球體積之
比()
36553337
A.一,—B.一,—C.—,—D.一,一
25442226
二、多選題
11.(2024?山西朔州?一模)已知圓錐SO的側(cè)面積為4兀,底面圓的周長為2無,則()
A.圓錐的母線長為4
B.圓錐的母線與底面所成角的正弦值為:
C.圓錐的體積為巫兀
3
D.沿著圓錐母線的中點截圓錐所得圓臺的體積為跡兀
12.(24-25高三上?廣西?階段練習(xí))刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容用曲率刻畫
空間的彎曲性,規(guī)定:多面體頂點的曲率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差,其中多
面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如:正四面體每個頂點均有3個面
角,每個面角均為,,故其各個頂點的曲率均為2兀-3x]=7t.如圖,在正方體
ABCD—中,AB=斯,貝!]()
A.在四面體ABCR中,點A的曲率為曾
7兀
B.在四面體ABCR中,點。的曲率大于;
C.四面體ABC2外接球的表面積為12兀
D.四面體ABCR內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為f±勺8業(yè)I
13.(2023?遼寧?模擬預(yù)測)在棱長為2的正方體A瓦G2中,尸,召,廠分別為棱
AA-CQ,BC的中點,。1為側(cè)面知與田的中心,貝I]()
A.直線AB//平面PEF
B.直線〃平面。山尸
C.三棱錐。「尸斯的體積為g
D.三棱錐P-8CE的外接球表面積97r
14.(2024?安徽?一模)如圖,正方體ABC。-A瓦G2的棱長為1,則下列四個命題中正確
A.直線BC與平面ABGQ所成的角等于£
4
B.四棱錐C-ABGR的體積為g
TT
c.兩條異面直線DC和8G所成的角為m
D.二面角c-BQ-。的平面角的余弦值為一且
3
三、填空題
15.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為1:2,其內(nèi)
切球的半徑為1,則該正四棱臺的體積為.
16.(2024?河南新鄉(xiāng)?二模)已知一平面截球。所得截面圓的半徑為2,且球心。到截面圓
所在平面的距離為1,則該球的體積為.
17.(2024?全國?二模)已知圓錐SQ的軸截面&4s為正三角形,球。2與圓錐SQ的底面和
側(cè)面都相切.設(shè)圓錐S&的體積、表面積分別為用心,球。2的體積、表面積分別為匕,邑,則
匕H---------
18.(2023?上海徐匯?二模)如圖所示,圓錐SO的底面圓半徑。4=1,側(cè)面的平面展開圖
的面積為3無,則此圓錐的體積為.
參考答案:
題號12345678910
答案AABCCAABAC
題號11121314
答案ACDABDBCDABC
1.A
【分析】由題意可求出底面圓的半徑,即可求出圓錐的母線長,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式以
及圓柱的側(cè)面積公式結(jié)合圓的面積公式,即可求得答案.
【詳解】由題意知圓錐的高為2米,圓柱的高為3米,底面圓的面積為64兀平方米,
設(shè)底面圓的半徑為r,則64兀=兀產(chǎn),二r=8,
則圓錐的母線長為后7記=2,萬(米),
故該蒙古包(含底面)的表面積為兀x8x2j(7+27ix8x3+7ix82=112兀+16a兀(平方
米),
故選:A
2.A
【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑大々再根據(jù)球心距,圓面半
徑,以及球的半徑之間的關(guān)系,即可解出球的半徑,從而得出球的表面積.
【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑小4,所以%=衛(wèi)生,2力=+巨即
sin60°sin60°
4=3,々=4,設(shè)球心到上下底面的距離分別為4,4,球的半徑為R,所以4=,4一9,
故|4—聞=1或4+〃2=1,即的2_9_加_1611或
JR2_9+JR2-16=1,解得&=25符合題意,所以球的表面積為5=4?2=100兀.
故選:A.
【分析】將四面體P-ABC補形成長方體,長方體的長、寬、高分別為2、1、2,長方體的
外接球即為四面體的外接球,而長方體外接球的直徑即為其體對角線,求出外接球的直
徑,即可求出外接球的表面積.
【詳解】將四面體尸-ABC補形成長方體,長方體的長、寬、高分別為2、1、2,
四面體P-ABC的外接球即為長方體的外接球,
而長方體的外接球的直徑等于長方體的體對角線長,設(shè)外接球的半徑為R,
故2R=722+12+22=3,所以外接球表面積為S=4TIR2=9兀.
故選:B.
4.C
【分析】設(shè)圓錐的底面半徑-,母線為/,外接球的半徑為火,依題意求出/、「,即可得
R.最后由球的表面積公式計算可得.
【詳解】依題意圓錐高力=3,設(shè)圓錐的底面半徑-,母線為/,圓錐的外接球的半徑為R,
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