高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練：空間幾何體（含答案及解析）

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練17

空間幾何體

［考情分析］高考?？贾R，主要考查幾何體的表面積與體積、球的組合體問題.常以選擇

題、填空題的形式出現(xiàn)，部分題目難度較大.

【練前疑難講解】

一、空間幾何體的截面問題

1.用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個幾何體的截面，利用平面的性

質(zhì)確定截面形狀是解決截面問題的關(guān)鍵.

2.確定截面的主要依據(jù)有

(1)平面的四個基本事實及推論.

(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì).

(3)兩個平面平行的性質(zhì).

(4)球的截面的性質(zhì).

二、表面積與體積

1.柱體、錐體、臺體、球的表面積公式：

⑴圓柱的表面積S=2a(r+Z)；

⑵圓錐的表面積S=u(r+/)；

(3)圓臺的表面積S=n(r'2+r2+r/Z+rZ);

⑷球的表面積S=4兀屐

2.柱體、錐體和球的體積公式：

(1W槎體=S/7(S為底面面積，%為高)；

(2)V銖體=§S/7(S為底面面積，h為高)；

(3)V球=g兀R3.

三、多面體與球

多面體的外接球模型：

(1)長方體的外接球直徑為體對角線，

Eylcr+^+c2

則-2——；

正方體的外接球半徑為R=華；

正方體的內(nèi)切球半徑為r=f.

(2)柱體模型

如圖①，在三棱柱尸6G—A3C中，已知B4,平面4BC,設(shè)外接球半徑為R,球心為。,

△ABC的外接圓圓心為。1，則7?="。0彳+01屋=弋團2十戶,其中廠=。3為△ABC外接

圓半徑.

（3）錐體模型

如圖②，在正三棱錐中，先求出高線長〃=「。1=3出2一戶,

2222

在RtZXOOiA中，R=OOl+r=（h-R）+r,解方程求出R,其中R為外接球半徑，「=。欣

為△ABC外接圓半徑，。1為△ABC的外接圓圓心.

（4）正四面體（構(gòu)造正方體）、對棱相等的三棱錐（構(gòu)造長方體）

如圖③：正四面體Q—A'BC可構(gòu)造正方體（所有面對角線相等）；

如圖④：對棱相等的三棱錐A—80可構(gòu)造長方體（對面的對角線相等）.

一、單選題

1.（23-24高三上?山東棗莊?期末）已知正四棱臺的上下底面邊長分別為1和3,高為2.用

一個平行于底面的截面截棱臺，若截得的兩部分幾何體體積相等，則截面與上底面的距離

為（）

A.|B.呼C.施D.V14-1

2.（2021?天津?高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的

體積為子，兩個圓錐的高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.3萬B.4萬C.9兀D.12萬

二、多選題

3.（23-24高三上?云南?階段練習(xí)）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的

圓臺002,軸截面A8C。為等腰梯形，且滿足CD=2Afi=2AD=28C=4cm.下列說法正

A.該圓臺軸截面A3CD的面積為3瓜n?

B.該圓臺的表面積為Ihrcn?

C.該圓臺的體積為2百兀cn?

D.該圓臺有內(nèi)切球，且半徑為在cm

2

4.（2023?廣東深圳?二模）如圖，在矩形AEFC中，AE=26,EF=4,B為EF中點,現(xiàn)分

別沿AB、8C將AABE、△8CF翻折，使點E、產(chǎn)重合，記為點P,翻折后得到三棱錐P-

ABC,貝lj（）

A.三棱錐P-ABC的體積為逑B.直線B4與直線BC所成角的余弦值為趙

36

C.直線出與平面P2C所成角的正弦值為gD.三棱錐尸-ABC外接球的半徑為

V22

~T

三、填空題

5.（2024?全國?高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為R下底面半徑均為4，圓臺的

母線長分別為2（弓-4）,3（4-4）,則圓臺甲與乙的體積之比為.

6.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）已知圓錐的軸截面面積為3』，則該圓錐的外接球半徑的最

小值為.

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2024?湖南長沙?二模）蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一種房子，建造

和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包古代稱作穹廬、氈包或氈帳.已知蒙古

包的造型可近似的看作一個圓柱和圓錐的組合體，已知圓錐的高為2米，圓柱的高為3

米，底面圓的面積為64兀平方米，則該蒙古包（含底面）的表面積為（）

A.（112+16&5平方米B.（80+16而'）無平方米

C.（112+18舊）兀平方米D.（80+18而'）兀平方米

2.（2022?全國?高考真題）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3若和4百，其

頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.128兀C.1447tD.19271

3.（2024?湖南?二模）如圖，在四面體尸-ABC中，E4_L平面

ABC,ACVCB,PA=AC=2BC^2,則此四面體的外接球表面積為（）

A.3兀B.9TIC.36兀D.48兀

4.（2024?寧夏銀川?一模）已知圓錐的底面圓周在球。的球面上，頂點為球心。，圓錐的高

為3,且圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則球。的表面積為（）

A.1271B.1671C.48KD.96兀

5.（2024?江蘇南京?二模）在圓臺002中，圓。2的半徑是圓。1半徑的2倍，且。2恰為該圓

臺外接球的球心，則圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為（）

A.3:4B.1:2C.3:8D.3:10

6.（23-24高三下?江西?階段練習(xí)）已知某棱長為20的正四面體的各條棱都與同一球面相

切，則該球的表面積為（）

c4兀

A.4兀B.2兀C.—D.兀

3

7.（2023?天津北辰?三模）中國雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球"，取鬼斧神

工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，成品美輪美奐.1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝

應(yīng)用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動，是中國

玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻大師在棱長為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個可

以任意轉(zhuǎn)動的球，在球內(nèi)部又套雕出一個正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），若不計各

層厚度和損失，則最內(nèi)層正四面體的棱長最長為（）

A.4.76B.4A/3C.276D.6

8.（2024?天津?二模）已知正方體的外接球的體積為36兀，點E為棱的

中點，則三棱錐G-AEO的體積為（）.

A.1B.2道C.D.16A/3

9.（2024?河北邢臺?一模）如圖，正四棱臺容器ABCD-ABCA的高為12cm,

A5=10cm,A片=2cm,容器中水的高度為6cm.現(xiàn)將57個大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵

球放入容器中（57個小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm,若忽略該容器壁的厚度，則小

鐵球的半徑為（）

10.（2024?天津濱海新?二模）如圖所示，這是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德最引以為自豪的發(fā)

現(xiàn)：圓柱容球定理.圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，在當(dāng)時并不

知道球的面積和體積公式的情況下，阿基米德用窮竭法解決面積問題，用杠桿法解決體積

問題.我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，求圓柱的表面積與球的表面積之比和圓柱體積與球體積之

比（）

二、多選題

11.(2024?山西朔州?一模)已知圓錐SO的側(cè)面積為4無，底面圓的周長為2兀，則()

A.圓錐的母線長為4

B.圓錐的母線與底面所成角的正弦值為J

4

C.圓錐的體積為巫兀

3

D.沿著圓錐母線的中點截圓錐所得圓臺的體積為△叵兀

24

12.(24-25高三上?廣西?階段練習(xí))刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫

空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差，其中多

面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面體每個頂點均有3個面

角，每個面角均為三，故其各個頂點的曲率均為271-3X；=7!.如圖，在正方體

ABC。一A耳￡2中，A8=而，貝I()

A.在四面體ABC?中，點A的曲率為石~

B.在四面體ABC?中，點A的曲率大于7T:T

C.四面體ABC?外接球的表面積為12兀

D.四面體ABCR內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為?+4〉+3近

6

13.（2023?遼寧,模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體A8CD-A瓦G2中，尸,召,廠分別為棱

AA-CC,,的中點，。|為側(cè)面A4tB避的中心，貝。（）

A.直線AB//平面PEF

B.直線AC〃平面。出/

C.三棱錐O「PE尸的體積為:

D.三棱錐P-8CE的外接球表面積97t

14.（2024?安徽?一模）如圖，正方體48a>-4瓦G2的棱長為1,則下列四個命題中正確

的是（）

A.直線5c與平面A3G2所成的角等于￡

4

B.四棱錐C-ABG2的體積為g

7T

C.兩條異面直線2c和BG所成的角為:

D.二面角C-8G-D的平面角的余弦值為一走

3

三、填空題

15.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為1:2,其內(nèi)

切球的半徑為1,則該正四棱臺的體積為.

16.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）己知一平面截球。所得截面圓的半徑為2,且球心。到截面圓

所在平面的距離為1,則該球的體積為.

17.（2024?全國?二模）已知圓錐SO1的軸截面必為正三角形，球。2與圓錐SO1的底面和

側(cè)面都相切.設(shè)圓錐SO1的體積、表面積分別為乂,耳，球。2的體積、表面積分別為則

KH---------

18.（2023?上海徐匯?二模）如圖所示，圓錐50的底面圓半徑。4=1,側(cè)面的平面展開圖

的面積為3無，則此圓錐的體積為.

【能力提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2024?廣東?二模）已知球。與圓臺的上、下底面和側(cè)面均相切，且球。與圓臺

的體積之比為;，則球。與圓臺。。2的表面積之比為（）

1111

A.-B.—C.—D.一

6432

2.（2024?廣東廣州,一模）已知正四棱臺ABCD-A瓦GR的上、下底面邊長分別為1和2,

且BBt±DD1,則該棱臺的體積為（）

7&7四工口Z

2662

3.（2023?浙江寧波?模擬預(yù)測）表面積為4兀的球內(nèi)切于圓錐，則該圓錐的表面積的最小值

為（）

A.4兀B.8itC.127rD.16n

4.（2024?江西九江?二模）已知一個圓臺內(nèi)接于球。（圓臺的上、下底面的圓周均在球面

上）.若該圓臺的上、下底面半徑分別為1和2,且其表面積為（5+3垃）兀，則球。的體積

為（）

32n20后05扃

A.D.57rQ.----------LJ.----------

333

5.（2024?湖南常德?三模）如圖，現(xiàn)有棱長為6cm的正方體玉石缺失了一個角，缺失部分

為正三棱錐A-E尸G,且E,產(chǎn),G分別為棱4AA”AR靠近A1的四等分點，若將該玉石

打磨成一個球形飾品，則該球形飾品的體積的最大值為（）

A

A.27百兀cm?B.3671cm'

2

c125g3c”3

C.---------7icm3D.7271cm3

2

6.（2024?福建莆田?二模）柏拉圖多面體是指每個面都是全等正多邊形的正多面體，具有嚴

格對稱，結(jié)構(gòu)等價的特點.六氟化硫具有良好的絕緣性和廣泛的應(yīng)用性.將六氟化硫分子

中的氟原子按圖1所示方式連接可得正八面體（圖2）.若正八面體外接球的體積為4半7r，

則此正八面體的表面積為（）

A.與B.如C.2A/3D.4A/3

7.（2024?湖北武漢?二模）燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛

起象征美好團圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分

組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個球缺）.如圖

2,"球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的

直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為丫=4（3R-〃）/，其中R是球的半

徑，力是球缺的高.已知該燈籠的高為40cm,圓柱的高為4cm,圓柱的底面圓直徑為24

cm,則該燈籠的體積為（取兀=3）（）

圖1圖2

A.32000cm3B.33664cm3C.33792cm3D.35456cm3

8.（2024?北京豐臺?一模）正月十五元宵節(jié)，中國民間有觀賞花燈的習(xí)俗.在2024年元宵

節(jié)，小明制作了一個“半正多面體"形狀的花燈（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的

正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的

所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為2.關(guān)于該半正多面體的四個

結(jié)論:

①棱長為應(yīng);

②兩條棱所在直線異面時，這兩條異面直線所成角的大小是60。；

③表面積為S=12+4百；

④外接球的體積為V=48.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

圖1圖2

A.①②B.①③C.②④D.③④

9.（2024?浙江寧波?二模）在正四棱臺中，AB=4，A4=2,A4,=6,若

球。與上底面ABiG，以及棱AB,8C,CD,ZM均相切，則球。的表面積為（）

A.9兀B.1671C.25兀D.36兀

10.（2024?黑龍江哈爾濱?二模）已知直三棱柱ABC-AgG的6個頂點都在球。的表面

27t

上，若A3=AC=1,AA=4,ZBAC=y,則球。的表面積為（）

A.16TIB.20KC.28TID.32K

11.（23-24高三下?河南?階段練習(xí)）已知四棱錐尸-ABC。的底面是邊長為2的正方形，側(cè)

棱長都等于2,則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（）

A.（8-4A國無B.127tC.（8+46）無D.8兀

12.（2024?安徽合肥?一模）已知四面體ABCD的各頂點都在同一球面上，若

AB=BC=CD=DA=BD=2日平面ABD_L平面3a>,則該球的表面積是（）

A.100兀B.40兀C.20KD.16兀

二、多選題

13.（2022?山東?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體耳G2中，M,N,尸分別

是441,CG，G2的中點，。是線段，A上的動點，則下列說法中正確的是（）

A.存在點Q,使瓦N,尸，。四點共面

B.存在點。，使〃平面MSN

C.三棱錐尸-MBN的體積為g

9兀

D.經(jīng)過C,M,民N四點的球的表面積為亭

14.（2024?山東濟寧?一模）如圖，在棱長為2的正方體A8CD-A耳GR中，M是棱BC

的中點，N是棱。2上的動點（含端點），則下列說法中正確的是（）

A.三棱錐A-AMN的體積為定值

B.若N是棱。2的中點，則過A,M,N的平面截正方體ABCD-A與G2所得的截面

圖形的周長為述

2

C.若N是棱。2的中點，則四面體A-AMN的外接球的表面積為7兀

D.若CN與平面MC所成的角為巴貝Ijsindeg,手

15.（2022?山東聊城?二模）用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是

橢圓形狀，則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱.這兩個截面稱為斜圓柱的底

面，兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高.橢圓的面積等

于長半軸與短半軸長之積的萬倍，已知某圓柱的底面半徑為2,用與母線成45。角的兩個平

行平面去截該圓柱，得到一個高為6的斜圓柱，對于這個斜圓柱，下列選項正確的是

（）

A.底面橢圓的離心率為變

2

B.側(cè)面積為24標

C.在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為36%

D.底面積為4夜兀

三、填空題

16.（2024?河南?模擬預(yù)測）已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球。的直徑相等，則

圓錐的體積與球0的體積的比值是,圓錐的表面積與球O的表面積的

比值是.

17.（2024?浙江溫州?一模）與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球，

若圓臺的上下底面半徑為*4,且勺弓=1,則它的內(nèi)切球的體積為.

18.（22-23高一下?湖北武漢?期末）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之

和為勺，側(cè)面積分別為際和治,體積分別為％和吃.若薩=2,則薩=________.

23乙”乙

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練17

空間幾何體

［考情分析］高考?？贾R，主要考查幾何體的表面積與體積、球的組合體問題.常以選擇

題、填空題的形式出現(xiàn)，部分題目難度較大.

【練前疑難講解】

一、空間幾何體的截面問題

1.用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個幾何體的截面，利用平面的性

質(zhì)確定截面形狀是解決截面問題的關(guān)鍵.

2.確定截面的主要依據(jù)有

(1)平面的四個基本事實及推論.

(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì).

(3)兩個平面平行的性質(zhì).

(4)球的截面的性質(zhì).

二、表面積與體積

1.柱體、錐體、臺體、球的表面積公式：

⑴圓柱的表面積S=2a(r+Z)；

⑵圓錐的表面積S=u(r+/)；

(3)圓臺的表面積S=n(r'2+r2+r/Z+rZ);

⑷球的表面積S=4兀屐

2.柱體、錐體和球的體積公式：

(1W槎體=S/7(S為底面面積，%為高)；

(2)V銖體=§S/7(S為底面面積，h為高)；

(3)V球=g兀R3.

三、多面體與球

多面體的外接球模型：

(1)長方體的外接球直徑為體對角線，

Eylcr+^+c2

則-2——；

正方體的外接球半徑為R=華；

正方體的內(nèi)切球半徑為r=f.

(2)柱體模型

如圖①，在三棱柱尸6G—A3C中，已知B4,平面4BC,設(shè)外接球半徑為R,球心為。,

△ABC的外接圓圓心為。1，則7?="。0彳+01屋=弋團2十戶,其中廠=。3為△ABC外接

圓半徑.

（3）錐體模型

如圖②，在正三棱錐中，先求出高線長〃=「。1=3出2一戶,

2222

在RtZXOOiA中，R=OOl+r=（h-R）+r,解方程求出R,其中R為外接球半徑，「=。欣

為△ABC外接圓半徑，。1為△ABC的外接圓圓心.

（4）正四面體（構(gòu)造正方體）、對棱相等的三棱錐（構(gòu)造長方體）

如圖③：正四面體Q—A'BC可構(gòu)造正方體（所有面對角線相等）；

如圖④：對棱相等的三棱錐A—80可構(gòu)造長方體（對面的對角線相等）.

一、單選題

1.（23-24高三上?山東棗莊?期末）已知正四棱臺的上下底面邊長分別為1和3,高為2.用

一個平行于底面的截面截棱臺，若截得的兩部分幾何體體積相等，則截面與上底面的距離

為（）

A.|B.呼C.施D.V14-1

2.（2021?天津?高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的

體積為子，兩個圓錐的高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.3萬B.4萬C.9兀D.12萬

二、多選題

3.（23-24高三上?云南?階段練習(xí)）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的

圓臺002,軸截面A8C。為等腰梯形，且滿足CD=2Afi=2AD=28C=4cm.下列說法正

A.該圓臺軸截面A3CD的面積為3瓜n?

B.該圓臺的表面積為Ihrcn?

C.該圓臺的體積為2百兀cn?

D.該圓臺有內(nèi)切球，且半徑為在cm

2

4.（2023?廣東深圳?二模）如圖，在矩形AEFC中，AE=26,EF=4,B為EF中點,現(xiàn)分

別沿AB、8C將AABE、△8CF翻折，使點E、產(chǎn)重合，記為點P,翻折后得到三棱錐P-

ABC,貝lj（）

A.三棱錐P-ABC的體積為逑B.直線B4與直線BC所成角的余弦值為趙

36

C.直線出與平面P2C所成角的正弦值為gD.三棱錐尸-ABC外接球的半徑為

V22

~T

三、填空題

5.（2024?全國?高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為R下底面半徑均為4，圓臺的

母線長分別為2（弓-4）,3（4-4）,則圓臺甲與乙的體積之比為.

6.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）已知圓錐的軸截面面積為3』，則該圓錐的外接球半徑的最

小值為.

參考答案：

題號1234

答案DBABBD

1.D

【分析】延長正四棱臺的棱交于一點P,由三角形相似，求出PO,再由棱臺的體積公式

113

求出截面截得棱臺的上部分幾何體的體積匕=5丫==,設(shè)截面與上底面的距離為x,正方

形AB'C'D'的邊長為。，由三角形相似，得至Ua=l+x,結(jié)合

K=（（5]+5+7^9?00'=（（1+〃+。）/=?即可求出匕

【詳解】延長正四棱臺ABCZ)-A4GR的棱交于點尸，

如圖所示，截面AB'C'D平行于底面

設(shè)上底面ABCD的面積為航，下底面ABiGA的面積為S2，截面A3'CZ>'的面積為S,

正四棱臺ABC。-A瓦GR的體積為V,平行于底面的截面截棱臺，截得的上部分幾何體體

積為匕，則K=；V,

上底面ABC。的中心為。，下底面4用GA的中心為01,連結(jié)尸。］,

則尸?？谏系酌鍭3CD,尸?，下底面A4GR,正四棱臺ABC。-A4G2的高為

OOI=2,

設(shè)截面與上底面的距離為x,正方形的邊長為。，

丫=綱+邑+廓可3=；(1+9+沖2母K=m=g,

PAABPAPO

由得，==1由得，==1

xl|21.IXXID.Zli1J

又oq=2,所以PO=I,

pAPOAH11

同理可得育=前=而，得丁市，所以a=l+x，①

，2

又因為K=1(S1+S+A/VS)-OO=|(l+fl+<7)-X=y,②

由①②得，a=^4,無=赤-1,所以截面與上底面的距離為觀1-1

故選：D.

2.B

【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓

錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點。，

設(shè)圓錐A￡＞和圓錐3。的高之比為3:1,即AD=33。，

設(shè)球的半徑為R,則上如=當(dāng)，可得R=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=1,AD=3,

■：CDLAB,則NC4D+ZAC￡)=ZBCD+ZACr>=90。，所以，NCAD=NBCD,

又因為/A￡>C=/3OC,所以，^ACDSACBD,

ADCD----------

所以,CD=VtAD-BD=vr3,

CDDU

因此，這兩個圓錐的體積之和為;4XC￡)2.(AO+8D)=；"X3X4=4;T.

故選：B.

3.AB

【分析】求出圓臺的高。。2可判斷A；由圓臺的表面積和體積公式可判斷B,C；由內(nèi)切圓

的性質(zhì)以及切線長定理易知軸截面A3C0不存在內(nèi)切圓可判斷D.

【詳解】對于A,由CD=2AB=2AT)=23C=4cm,可得高o.=J4-(三2)=拒,

則圓臺軸截面ABCD的面積為gx(2+4)x石=37§加2,故A正確；

對于B,圓臺的側(cè)面積為S惻=7t-(l+2)x2=67i(cm2),

又S上=7ixl2=7c(cm2),S下=兀?22=4兀(cn?),

所以S表=6兀+兀+4兀=11兀(加2),故B正確;

對于C,圓臺的體積為丫=:兀.若x(l+4+2)=子.cnP),故C錯誤；

對于D,若圓臺存在內(nèi)切球，則必有軸截面ABC。存在內(nèi)切圓，

由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長定理易知軸截面ABCD不存在內(nèi)切圓，故D錯誤，

故選：AB.

4.BD

【分析】證明3尸，平面PAC,再根據(jù)吃”c=%*c即可判斷A；先利用余弦定理求出

cosZAPC,將耐用定，而表示，利用向量法求解即可判斷B；利用等體積法求出點A到

平面PBC的距離d,再根據(jù)直線陰與平面PBC所成角的正弦值為與即可判斷C；利用

正弦定理求出AR4c的外接圓的半徑，再利用勾股定理求出外接球的半徑即可判斷D.

【詳解】由題意可得BPLARBPLCP,

又APcCP=P,AP,CP=P,AP,CPu平面PAC,

所以BP,平面上4C,

在AR4c中，PA=PC=2y/3,AC邊上的高為

所以4wc=%.皿=gx；x4x2夜x2=^f，故A錯誤；

對于B,在中，C"APC=2X2^2"&，

8c=J12+4=4

，一一、PA-BCTA-CPC-PB'YPA'PC-PA-PB

cos(PA,BC)=?__=-------------------=-----------------------

|PX||BC|2V3X48V3

2V3X2V3X173

—__________2.—__?

-8V3-6

所以直線必與直線BC所成角的余弦值為故B正確；

6

對于C,S,PBC=；PB.PC=26，

設(shè)點A到平面PBC的距離為d,

由明AC=匕一咐得二2四=逑，解得］=應(yīng)

333

4」

所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為2=工=巫,故C錯誤；

PA一2否一3

由B選項知，cosNAPC=-,貝！|sinZAPC=3色，

33

］AC3

所以^PAC的外接圓的半徑r=-———=~f=,

2sinZAPC，2

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,

又因為3尸，平面PAC,

則尺=2+1=11,所以氏=叵，

即三棱錐尸-ABC外接球的半徑為叵，故D正確.

2

故選：BD.

5.J

4

【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺的高，再根據(jù)圓臺的體積公式直

接代入計算即可得解.

【詳解】由題可得兩個圓臺的高分別為匾=，［2（｛-刈2_伍_々）2=6（「分

電=心5―2）］2_?_2）2=20（丁辦

性=卞=生=鳳八-琦=、

及二（邑+S,+同）〃「良一2丁（「母一丁

故答案為：好.

4

6.2

177

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為小高為h,可得m=36，R=^h+^-h-3,設(shè)

177

/（/?）=1/7+y/r3,利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最值.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為「，高為h,則hr=3幣,

設(shè)圓錐的外接球的半徑為R,則無論球心。在圓錐內(nèi)還是圓錐外，都有爐=（尺_〃）2+/,

r*2+/i2/+27

則尺=」+為尸

2h2/z322

設(shè)/伍)=1/?+,於，則=工_迎廠=81=(?+9)(/7+3)(/L3),

4

22''222h2/Z

當(dāng)0＜分＜3時，/㈤＜0,/㈤單調(diào)遞減，當(dāng)。＞3時,⑻＞0,"外單調(diào)遞增,

"(%n=△3)=2.

故答案為：2.

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2024?湖南長沙?二模）蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一種房子，建造

和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包古代稱作穹廬、氈包或氈帳.已知蒙古

包的造型可近似的看作一個圓柱和圓錐的組合體，已知圓錐的高為2米，圓柱的高為3

米，底面圓的面積為64兀平方米，則該蒙古包（含底面）的表面積為（）

A.（112+16，萬）兀平方米B.（80+16J萬）兀平方米

C.（112+18J萬）兀平方米D.（80+18&7）兀平方米

2.（2022?全國?高考真題）己知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3石和4』，其

頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.1287rC.144TTD.192元

3.（2024?湖南?二模）如圖，在四面體P-A5c中，PA_L平面

ABC,ACLCB,PA=AC=2BC=2,則此四面體的外接球表面積為（）

A.3兀B.9兀C.36TID.48兀

4.（2024?寧夏銀川?一模）已知圓錐的底面圓周在球。的球面上，頂點為球心圓錐的高

為3,且圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則球。的表面積為（）

A.1271B.1671C.48兀D.96K

5.（2024?江蘇南京?二模）在圓臺002中，圓。2的半徑是圓。1半徑的2倍，且。2恰為該圓

臺外接球的球心，則圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為（）

A.3:4B.1:2C.3:8D.3:10

6.（23-24高三下?江西?階段練習(xí)）已知某棱長為2夜的正四面體的各條棱都與同一球面相

切，則該球的表面積為（）

_4兀

A.4兀B.2兀C.—D.兀

3

7.（2023?天津北辰?三模）中國雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球"，取鬼斧神

工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，成品美輪美奐.1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝

應(yīng)用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動，是中國

玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻大師在棱長為12的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個可

以任意轉(zhuǎn)動的球，在球內(nèi)部又套雕出一個正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），若不計各

層厚度和損失，則最內(nèi)層正四面體的棱長最長為（）

A.4?B.46C.2nD.6

8.（2024?天津?二模）已知正方體ABCD-A用CQI的外接球的體積為36兀，點E為棱A3的

中點，則三棱錐的體積為（）.

A.|B.2后C.竽D.16^/3

9.（2024?河北邢臺?一模）如圖，正四棱臺容器ABCZ）-A與G2的高為12cm,

AB=10cm,A瓦=2cm,容器中水的高度為6cm.現(xiàn)將57個大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵

球放入容器中（57個小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm,若忽略該容器壁的厚度，則小

鐵球的半徑為（）

，G

心■cm護cm

A.3/—cm

V71V兀v兀

10.（2024?天津濱海新?二模）如圖所示，這是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德最引以為自豪的發(fā)

現(xiàn)：圓柱容球定理.圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，在當(dāng)時并不

知道球的面積和體積公式的情況下，阿基米德用窮竭法解決面積問題，用杠桿法解決體積

問題.我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，求圓柱的表面積與球的表面積之比和圓柱體積與球體積之

比（）

36553337

A.一，—B.一，—C.—,—D.一,一

25442226

二、多選題

11.（2024?山西朔州?一模）已知圓錐SO的側(cè)面積為4兀，底面圓的周長為2無，則（）

A.圓錐的母線長為4

B.圓錐的母線與底面所成角的正弦值為:

C.圓錐的體積為巫兀

3

D.沿著圓錐母線的中點截圓錐所得圓臺的體積為跡兀

12.（24-25高三上?廣西?階段練習(xí)）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容用曲率刻畫

空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差，其中多

面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面體每個頂點均有3個面

角，每個面角均為，，故其各個頂點的曲率均為2兀-3x]=7t.如圖，在正方體

ABCD—中，AB=斯，貝!]()

A.在四面體ABCR中，點A的曲率為曾

7兀

B.在四面體ABCR中，點。的曲率大于;

C.四面體ABC2外接球的表面積為12兀

D.四面體ABCR內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為f±勺8業(yè)I

13.（2023?遼寧?模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體A瓦G2中，尸,召,廠分別為棱

AA-CQ,BC的中點，。1為側(cè)面知與田的中心，貝I]（）

A.直線AB//平面PEF

B.直線〃平面。山尸

C.三棱錐。「尸斯的體積為g

D.三棱錐P-8CE的外接球表面積97r

14.（2024?安徽?一模）如圖，正方體ABC。-A瓦G2的棱長為1，則下列四個命題中正確

A.直線BC與平面ABGQ所成的角等于￡

4

B.四棱錐C-ABGR的體積為g

TT

c.兩條異面直線DC和8G所成的角為m

D.二面角c-BQ-。的平面角的余弦值為一且

3

三、填空題

15.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為1:2,其內(nèi)

切球的半徑為1,則該正四棱臺的體積為.

16.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）已知一平面截球。所得截面圓的半徑為2,且球心。到截面圓

所在平面的距離為1,則該球的體積為.

17.（2024?全國?二模）已知圓錐SQ的軸截面&4s為正三角形，球。2與圓錐SQ的底面和

側(cè)面都相切.設(shè)圓錐S&的體積、表面積分別為用心，球。2的體積、表面積分別為匕，邑，則

匕H---------

18.（2023?上海徐匯?二模）如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑。4=1,側(cè)面的平面展開圖

的面積為3無，則此圓錐的體積為.

參考答案:

題號12345678910

答案AABCCAABAC

題號11121314

答案ACDABDBCDABC

1.A

【分析】由題意可求出底面圓的半徑，即可求出圓錐的母線長，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式以

及圓柱的側(cè)面積公式結(jié)合圓的面積公式，即可求得答案.

【詳解】由題意知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為64兀平方米,

設(shè)底面圓的半徑為r,則64兀=兀產(chǎn),二r=8,

則圓錐的母線長為后7記=2，萬（米），

故該蒙古包（含底面）的表面積為兀x8x2j（7+27ix8x3+7ix82=112兀+16a兀（平方

米），

故選：A

2.A

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑大々再根據(jù)球心距，圓面半

徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑小4,所以％=衛(wèi)生,2力=+巨即

sin60°sin60°

4=3,々=4,設(shè)球心到上下底面的距離分別為4,4，球的半徑為R,所以4=，4一9,

故|4—聞=1或4+〃2=1，即的2_9_加_1611或

JR2_9+JR2-16=1，解得&=25符合題意，所以球的表面積為5=4?2=100兀.

故選：A.

【分析】將四面體P-ABC補形成長方體，長方體的長、寬、高分別為2、1、2,長方體的

外接球即為四面體的外接球，而長方體外接球的直徑即為其體對角線，求出外接球的直

徑，即可求出外接球的表面積.

【詳解】將四面體尸-ABC補形成長方體，長方體的長、寬、高分別為2、1、2,

四面體P-ABC的外接球即為長方體的外接球，

而長方體的外接球的直徑等于長方體的體對角線長，設(shè)外接球的半徑為R,

故2R=722+12+22=3，所以外接球表面積為S=4TIR2=9兀.

故選：B.

4.C

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑-，母線為/,外接球的半徑為火，依題意求出/、「，即可得

R.最后由球的表面積公式計算可得.

【詳解】依題意圓錐高力=3,設(shè)圓錐的底面半徑-，母線為/,圓錐的外接球的半徑為R,