對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（含對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用）-2025年高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第04講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

（含對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用）

（8類核心考點(diǎn)精講精練）

IN.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

2024年新I卷，第6題,5分判斷對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

2024年新H卷，第8題,5分由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式函數(shù)不等式恒成立問題

對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

2023年新I卷，第10題,5分對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

2021年新H卷,第7題,5分比較對數(shù)式的大小無

2020年新I卷，第12題,5分對數(shù)的運(yùn)算隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)

2020年新II卷，第7題,5分對數(shù)函數(shù)單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題常考內(nèi)容，設(shè)題多為函數(shù)性質(zhì)或函數(shù)模型，難度中等，分值為5-6

分

【備考策略】1.理解對數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，熟練指對互化，能用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或

常用對數(shù)

2.了解對數(shù)函數(shù)的概念，能畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

3.熟練掌握對數(shù)函數(shù)j=logflx（a〉0且aw1）與指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)（a〉0且aw1）的圖象關(guān)

系

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容通常會考查指對幕的大小比較、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對數(shù)的函數(shù)模型等，需要重點(diǎn)備

考復(fù)習(xí)

考點(diǎn)梳理?

1

知識點(diǎn)1對數(shù)的定義

知識點(diǎn)2對數(shù)的分類

知識點(diǎn)3對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

知識點(diǎn)4對數(shù)函數(shù)的定義及一般形式

知識點(diǎn)5對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)1對數(shù)的運(yùn)算

考點(diǎn)2對數(shù)函數(shù)的定義域

考點(diǎn)3對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)4對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

考點(diǎn)5對數(shù)函數(shù)的值域與最值

考點(diǎn)6對數(shù)函數(shù)中奇偶性的應(yīng)用

考點(diǎn)7對數(shù)函數(shù)值的大小比較(含構(gòu)造函數(shù)比較大小)

考點(diǎn)8對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用

知識講解

1.對數(shù)的運(yùn)算

(1)對數(shù)的定義

如果優(yōu)=N(a〉O且awl),那么把x叫做以a為底，N的對數(shù)，記作x=log“N,其中a叫做對數(shù)的底

數(shù)，N叫做真數(shù)

(2)對數(shù)的分類

一般對數(shù)：底數(shù)為a,a>0,且awl,記為log4N

常用對數(shù)：底數(shù)為10,記為IgN,gp：log10x=1gx

自然對數(shù)：底數(shù)為e(e^2.71828…)，記為InN,即：logex=Inx

(3)對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

①兩個(gè)基本對數(shù)：①log〃l=0,②log”a=1

②對數(shù)恒等式：①〃。g*=N，②1。"=N。

log*1g6Inb

c

③換底公式:logflb===——

logfaIgaIna

,,1

推廣1：對數(shù)的倒數(shù)式log.b=~i-----nlog/?log,a=1

logfta

推廣2：log/log；,clogfa=1nlog$10gziclogfd=logfldo

④積的對數(shù)：logaQw)=logoM+log“N；

M

⑤商的對數(shù)：10gaW=10g"M—10gaN;

2

⑥幕的對數(shù)：?log/"'=加log/,?\oga?b=-\ogab,

?log。r,bm=—logb,?logb=log“bm

n/a八

2.對數(shù)函數(shù)

（1）對數(shù)函數(shù)的定義及一般形式

形如：y=log“x（a>0且。*l,x>0）的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)

（2）對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>l0<。<1

4-

yA1rl

圖

象

二(1.0).

O(1,0)工

/廠

定義域：（0,+00）

值域：R

性當(dāng)x=l時(shí)，y=0即過定點(diǎn)（1,0）

質(zhì)當(dāng)0<x<l時(shí)，y€(-co,0)；當(dāng)x>l時(shí)，yG(-00,0)；

當(dāng)x〉l時(shí)，y€(0,+co)當(dāng)0<x<l時(shí)，yG(0,+oo)

在（0,+co）上為增函數(shù)（5）在（0,+oo）上為減函數(shù)

3.對數(shù)型糖水不等式

(1)設(shè)〃eN+，且n>\,則有l(wèi)og,I+1M<log,J+2(M+l)

⑵設(shè)a>b>l,m>0,則有l(wèi)ogab<loga+m(b+m)

,

⑶上式的倒數(shù)形式：設(shè)a>b>\,m>Q則有10gzia〉log.(a+加)

考點(diǎn)一、對數(shù)的運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.（2024?重慶?三模）已知。=log?5,8=5",則a6=.

【答案】3

【分析】由指數(shù)式與對數(shù)式的互化關(guān)系求出6,再利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.

【詳解】由8=5",得6=log58,=log25-log58=3log25-log52=3.

故答案為：3

3

2.(2024?青海?模擬預(yù)測)若a=bg35,5b=6,則。6-唾32=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式的應(yīng)用.

【詳解】由5"=6n6=logs6，

所以"一logs2=log5-log6-log2=1嗎5-logs2=log6-log2=log=log3=1

353K)g3D333Z3

故選：A

3.(2024?四川?模擬預(yù)測)若實(shí)數(shù)加，"，f滿足5"=7"=f且,+l=2,則/=()

mn

A.273B.12C.V5D.莊

【答案】D

【分析】根據(jù)指對數(shù)的互化可得根=log5，，〃=log7f，代入,+1=2,即可計(jì)算得到f的值.

mn

【詳解】因?yàn)?3=7"=f且1+工=2,易知/>0且

mn

所以機(jī)=logs乙n=log71,

所以工=log,5,-=log,7,

mn

所以工+'=log,5+log,7=log,35=2,貝=

mn

故選：D.

即時(shí)檢測

2

1.(2024?河南鄭州?三模)已知log/+410g/=4,則J的值為

2b

【答案】1/0.5

【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)閘og/+410gzi。=4,

4,

所以唯》+而7=4,可得(loga/?)-41ogflZ>+4=0,

即(log*-2)2=0,

所以log.6=2,即/=人

22i

所以幺=

2b2a2*42

故答案為：y.

4

115

2.(2024?全國?高考真題)已知且5,貝!Ja二

血。log.4

【答案】64

【分析】將log8dlog”4利用換底公式轉(zhuǎn)化成log2。來表示即可求解.

113__'°§2a=W，整理得(loga)2-5loga-6=0,

【詳解】由題22

log8alog。4log2a

=>log2a=-1^4log2a^6,又。>1,

6

^fl^log26Z=6=log22,故。=26=64

故答案為：64.

3.(2024?遼寧丹東?一模)若27,3:5,5,=4,則log4abc=()

C.顯

A.-2BD.1

-I2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)幕與對數(shù)的互化公式，結(jié)合對數(shù)的換底公式，即可求解.

【詳解】由*3,3'=5,5C=4,可得。=1。823,6=1。835,。=10854,

所以成二嚏小隆反皿二哥翳氏2,

則log4abc=log42=.

故選：B.

考點(diǎn)二、對數(shù)函數(shù)的定義域

典例引領(lǐng)

1.(2024?河南?三模)函數(shù)/(x)=Jln(l-x)的定義域?yàn)?)

A.(-oo,0]B.(-℃,1)C.[0,1)D.[0,+oo)

【答案】A

【分析】使函數(shù)有意義，即得關(guān)于工的不等式組，解之即得函數(shù)定義域.

1-x>0

【詳解】函數(shù)/(')=有意義,等價(jià)于

ln(l-x)>0,

解得，x<0,故函數(shù)的定義域?yàn)?一甩0].

故選：A.

即時(shí)檢測

1.(2023?廣東珠海?模擬預(yù)測)函數(shù)〃x)=lg(2x-l)的定義域是(

111

A.—00,—B.—,+ooC.—00—D.—,+00

2222

5

【答案】B

【分析】根據(jù)真數(shù)大于0得到不等式，求出定義域.

【詳解】令2x-l>0,解得x>L

2

故/（x）的定義域?yàn)?/p>

故選：B

2.（2024?青海海南?二模）函數(shù)〃x）=lg0Ox）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（-Vio,Vio）B.（-oo,-Vio）u（Vio,+oo）

c.[-Vw,Vio]D.（-Vio,o）u（o,4o）

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0和分母不為0即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】???函數(shù)/⑴=坨。”『）,

fl0-X2>0…LL

八，解得xe（-V10,0）口（0,710）.

[xw0

故選：D.

考點(diǎn)三、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

中典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)①y=logax；②y=logbx；③>=logcx；④y=logdx的大致圖象

如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是（）

1①

I?^=log^

A.Q+C〈6+QB.〃+d<b+c

C.b+cVa+dD.b+dVa+c

【答案】A

【詳解】

解析：由已知可得b>〃>l>d〉c,貝!J〃+6>a+c,b+d>a+c,故A正確，D錯(cuò)誤；又a+d與b+c的大

小不確定，故B,C錯(cuò)誤.故選A.

6

2.（2024?廣東深圳?二模）已知a>0,且awl,則函數(shù)了=logJx+的圖象一定經(jīng)過（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、四象限

【答案】D

【分析】由函數(shù)y=bgjx+J過（o,T）點(diǎn)，分類可解.

【詳解】當(dāng)x=0時(shí)，y=log-=-l,

aa

故選：D

3.（2024?陜西渭南?二模）已知直線2冽x+肥一4=0（m>0,〃>0）過函數(shù)歹=log。（工一1）+2（。>0,且a）

的定點(diǎn)7,則2+9的最小值為.

mn

【答案】5+2指

【分析】先根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的特點(diǎn)求得定點(diǎn)T坐標(biāo)，代入直線方程得2機(jī)+〃=2,運(yùn)用常值代換法即可求得

結(jié)論.

［詳解］令x-l=l時(shí)，可得x=2,y=log/+2=2,

可知函數(shù)V=bg"（x-1）+2（。>0,且a*1）的圖象恒過定點(diǎn)7（2,2）,

因?yàn)槎c(diǎn)7（2,2）在直線2妹+"y-4=0上，

可得2加+〃=2,且加>0,〃〉0,

261(26?_n6mLe

貝nu！J—I——=———I——(2加+n)=5H-----1------>5+25+26,

mn2\mn)mn

7

當(dāng)且僅當(dāng)一=—，即"=〃m=6-2#時(shí)，等號成立,

mn

所以的最小值為5+2痛.

mn

故答案為：5+276.

即時(shí)檢測

且QH1)

【解析】略

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)若函數(shù)>=log,(x-2)+l(a>0,且aw1)的圖象所過定點(diǎn)恰好在橢圓

—+—=l(m>0,?>0)上，則〃?+〃的最小值為.

mn

【答案】16

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)在橢圓上，將定點(diǎn)代入橢圓方程，得到機(jī)與"的等量關(guān)系,

再利用基本不等式即可求解.

【詳解】由題意得，函數(shù)y=log.(x-2)+l(a>0,且。*1)的圖象所過定點(diǎn)為(3,1),

91

則一+—=1,

即加=12,〃=4時(shí)等號成立.

故答案為：16.

8

考點(diǎn)四、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

典例引領(lǐng)

1.(遼寧?高考真題)函數(shù)y=bg!(x2-5x+6)的單調(diào)減區(qū)間為()

2

A.^―,+B.(3,+co)C.(―S'j)D.(一00,2)

【答案】B

【分析】先由解析式求出函數(shù)定義域，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意，x2-5x+6>0?解得：x>3或x<2,

即函數(shù)了=l°g?(x2-5x+6)的定義域?yàn)椋?_g,2)口⑶+8),

2

因?yàn)楹瘮?shù)y=l°g"-5x+6)由klogJ與/=/一5x+6復(fù)合而成,

22

外函數(shù)V=log"顯然單調(diào)遞減，

2

要求了=1。82(--5》+6)的單調(diào)減區(qū)間，只需f=/-5x+6單調(diào)遞增,

2

又/=/一5尤+6是開口向上，對稱軸為x的二次函數(shù)，

2

所以/=/一5%+6在％E(3,+OO)上單調(diào)遞增，

即函數(shù)>=1。8工(--5》+6)的單調(diào)減區(qū)間為彳€(3,+功.

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法即可，涉及一元二

次不等式解法，屬于基礎(chǔ)題型.

2.(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ln3+2)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.a<0B.-lVa<0C.—1<。<0D.a2—1

【答案】B

fa<0

【分析】利用換元法和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，換元后可知只要滿足c即可，從而可求出實(shí)數(shù)

[247+2>0

。的取值范圍.

【詳解】令t=ax+2,則了=lnf,

因?yàn)楹瘮?shù)=ln(ax+2)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，

且了=1型在定義域內(nèi)遞增,

<7<0

所以解得-1W"O,

2?+2>0

9

故選：B

3.(2024?全國?高考真題)已知函數(shù)〃x)=1：26：a，xr)在R上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

[e+ln(x+l),x>0

A.(-8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】因?yàn)?(x)在R上單調(diào)遞增，且x'O時(shí)，/(x)=e，+ln(x+l)單調(diào)遞增，

-一^—>0

則需滿足2x(-1),解得一IV040,

-a<e°+ta1

即。的范圍是[TO].

故選：B.

4.(2024?北京?高考真題)已知(國,％),@2,%)是函數(shù)>=2工的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，貝U()

A.1唯乎〈乎B.1唯巖〉丁

C.log.必2%<*+x2D，嚏2'>龍+1工2

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.

【詳解】由題意不妨設(shè)王<工2，因?yàn)楹瘮?shù)>=2”是增函數(shù)，所以0<2''<2須，即0<%<%，

XX

71-L72I-------國+“2vI,,西+“2

對于選項(xiàng)AB：可得/+'>m2冷=22,即拉匹〉22>0,

22

Xi+x,

根據(jù)函數(shù)y=log2%是增函數(shù)，所以1藝2叢產(chǎn)>1咤22=2=土產(chǎn)，故B正確，A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D：例如再=0,%2=1，則必=1,%=2,

可得即10g2&|匹<1=西+%，故D錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C：例如X]=-1/2=-2,則%=；,%=：,

可得log?”21=log?]=log?3-3e(-2,-1),即bg?胃2>.3=網(wǎng)+%，故C錯(cuò)誤，

282

故選：B.

即時(shí)檢測

■一

1.(23-24高三下?青海西寧?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=lg(/+G+l)在區(qū)間(-co,-2)上單調(diào)遞減，則°的

取值范圍為.

10

【答案】（-吟

【分析】將/（x）=lg（x2+ax+l）可看作由>=地","=/+辦+1復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不

等式，即可求得答案.

【詳解】設(shè)u=%2+CIX+1，則/（五）=愴卜2+。尤+1）可看作由夕=坨","=/+依+1復(fù)合而成，

由于，=1g”在（0,+8）上單調(diào)遞增，

故要使得函數(shù)/（X）=1g+ax+1）在區(qū)間（-00,-2）上單調(diào)遞減，

需滿足u>0在區(qū)間（-叫-2）上恒成立，且"=/+如+1在區(qū)間（一叫一2）上單調(diào)遞減，

-->-2解得樂,

故<,2

(-2)2+(-2)a+l>0

故。的取值范圍為（-*》，

故答案為：（-00,3

2.（2022高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)〃x）=l°gj-2/+3X+2）的單調(diào)遞減區(qū)間為.

5

【答案】U

【分析】求出函數(shù)的定義域，確定〃月=.（-2/+3》+2）由了=1叫〃,"=-2爐+3工+2復(fù)合而成，判斷這

55

兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.

［詳解】由題意知函數(shù)“X）=10§1（-2/+3x+2）,

5

令〃=—2x2+3x+2,貝II〃=—2x2+3x+2>0,<x<2,

2

則/（無）=log1（-2x2+3尤+2）即由y=logy,”=-2x2+3x+2復(fù)合而成，

55

由于丁=logy在（0,內(nèi)）上單調(diào)遞減，

5

故要求函數(shù)〃無）=10§i（-2X?+3x+2）的單調(diào)遞減區(qū)間，

5

即求〃=-2/+3無+2,（-g<x<2）的單調(diào)遞增區(qū)間，

3

而〃=—21+3X+2的對稱軸為x=:，

4

則“=-2產(chǎn)+3》+2,（-；口<2）的單調(diào)遞增區(qū)間為卜；,￡|,

則函數(shù)〃x）=logJ-2/+3x+2）的單調(diào)遞減區(qū)間為

11

j_3

故答案為:

254

是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù).的

3.(23-24高三上?甘肅白銀?階段練習(xí))已知/(%)=

取值范圍為.

【答案】[14]

【分析】根據(jù)分段函數(shù)、一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式組，可得答案.

3?！?<0

解得*<g.

【詳解】由題意可得

(3<2-l)+2?>logal

1

故答案為：r—n?.

考點(diǎn)五、對數(shù)函數(shù)的值域與最值

典例引領(lǐng)

1.(山東?高考真題)函數(shù)〃x)=log2(3，+l)的值域?yàn)?)

A.(0,+?)B.[0,+oo)C.(1,+℃)D.[1,+QO)

【答案】A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得3，+1>1,再由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】

3*+1>1,

.?.1嗎(3'+1)>0,

二函數(shù)/(x)的值域?yàn)?0,+00).

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.(22-23高三上?河北?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lg("2-6x+5)的值域?yàn)镽,那么。的取值范圍

是.

-

【答案】[-o9.j

【分析】根據(jù)函數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為定義域的問題，對參數(shù)。是否為0進(jìn)行分類討論，即可求出。的取值范

圍

【詳解】解：由題意

在〃x)=lg(a/-6x+5)中，值域?yàn)镽

12

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=1g(—6x+5),

二-6x+5>0解得：x<-

6

當(dāng)Qw0時(shí)，/(x)=lg(QX2—6X+5)

9

綜上，0<d!<—

-9-

故答案為：［o,-.

3.（23-24高一下?上海閔行,階段練習(xí)）函數(shù)vT°gl（x+2）-Y，龍目2,6］的最大值為

2

【答案】-6

【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得答案.

【詳解】由題意，知”--在［2,6］上單調(diào)遞減，尸1（^（》+2）在［2,6］上單調(diào)遞減，

故〉=嗅！（》+2）--在［2,6］上單調(diào)遞減，

2

則當(dāng)X=2時(shí)該函數(shù)取到最大值10§1（2+2）-22=-6,

2

故答案為：-6

即時(shí)檢測

I_______________________

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)/卜）=111.*+員工€［1,6］的值域?yàn)?

【答案】［Le+l］

【分析】

利用函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù)的值域.

【詳解】函數(shù)〃尤）=ln尤+尤,xe［l,e］為增函數(shù)，故其值域?yàn)?.

故答案為：+

2.（2023高一?全國,課后作業(yè)）函數(shù)了=皿//-6苫+17）的值域是.

2

【答案】（7,-3］

【分析】利用換元法，令/=/一6x+17,貝=然后先求出內(nèi)層函數(shù)的值域，再求外層函數(shù)的值域

2

即可

【詳解】令廣卡-6x+17,貝曙=l°gJ,

2

因?yàn)椋?/-6》+17=（x-3）2+8與8,

13

所以/=/一6尤+17的值域?yàn)閇8,+8),

因?yàn)椤?log/在電+M是減函數(shù)，

2

所以》=呵心愿8=-3,

22

所以y=log.(/-6x+17)的值域?yàn)?一叫_刃，

2

故答案為：(-咫-3]

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=log/(lVxV4),則函數(shù)g(x)=[1+/(勾了+/(巧的值域

為.

【答案】[1,6]

【分析】求出函數(shù)g(尤)的定義域，進(jìn)而求出log2》的范圍，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)求函數(shù)的值域.

【詳解】因?yàn)榧褐瘮?shù)/(x)=bg2X的定義域?yàn)閇1,4]

Fl.g(x)=[l+/(x)]2+/(x2),定義域需滿足:《nl'xW2,

可得0WlogzXWl,

令=f,則/卜2)=題2X2=21og2x=2?,

則〉=(1+02+2f=?+41+l,fe[0,l],

又因?yàn)椋?產(chǎn)+4/+1的圖象開口向上，對稱軸為f=-2,

可知了=?+4/+1在[0』內(nèi)單調(diào)遞增，

當(dāng)/=0時(shí)，y=1；當(dāng)f=l時(shí)，y=6；

可知函數(shù)g(尤)的值域?yàn)閇1,6].

故答案為：[1,6].

考點(diǎn)六、對數(shù)函數(shù)中奇偶性的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=log2(,x2+a-x)是奇函數(shù),則。=.

【答案】1

【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后由奇函數(shù)的性質(zhì)得〃0)=0可求出

【詳解】由Jl+a-x＞0,得。＞0,

所以函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,

因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，

14

所以/(O)=log2a=0,解得a=l,

故答案為：1

2.(23-24高一上?安徽阜陽?期末)若函數(shù)/(xbMe,-ef+Hlnk+A/TTIj+l(%，〃為常數(shù))在［1,3］上

有最大值7,則函數(shù)/(無)在卜3,-1］上()

A.有最小值-5B.有最大值5C.有最大值6D.有最小值-7

【答案】A

【分析】先分析函數(shù)8(月=比卜￡-b)+〃山卜+7?石)的奇偶性，然后結(jié)合奇偶性和已知條件判斷出g(x)

在［-3,-1］上的最小值，由此可知結(jié)果.

［詳解］設(shè)g(x)=/(x)-1=機(jī)(e*-b)+"In(x+Vx2+1j,

因?yàn)?7石〉療=忖，所以x+G7T>0恒成立，所以g(x)的定義域?yàn)镽且關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又g(—x)=加卜一*一1)+〃111(T+心2+］)=一加?*—6一%卜〃ln『---

=-m{cx-)+nIn(x+Vr2+1jj=-g《)，

所以g(x)是奇函數(shù)，

因?yàn)?(x)在［1,3］上有最大值7,所以g(x)在［1,3］上有最大值為6,

所以g(x)在上有最小值—6,所以/⑴在上有最小值—5.

故選：A.

3.(2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=log2［"W］+b，若函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，

則log，=()

11

A.-3B.-2C.—D.—

23

【答案】c

【分析】方法一：由題意，推出/'(x+1)是奇函數(shù)，根據(jù)定義域的對稱性依次求得凡6的值，即可求得log/；

］—4。］—4。

方法二：直接利用/(x)+〃2-x)=0,將其化成26+log?［/+不二亍+而司］=0,再由等式恒成立得到

1-4。=0,繼而求得log/.

【詳解】方法一：依題意將函數(shù)/(x)的圖象向左移1個(gè)單位長度關(guān)于原點(diǎn)對稱，即

/(x+l)=log2^--^-^+Z)是奇函數(shù)，

因奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，而x=-2,時(shí)函數(shù)/(x+1)無意義，故x=2時(shí)J(x+l)也無意義，

15

即?！?0,解得a=—

44

y一，

此時(shí)/卜+1)=1。823-2+，為奇函數(shù)，貝U

丫2Y?2

/(x+1)+f(-x+1)=log--------2+6+log---------2+6=26-4=0

2x+22x—2

解得b=2,故log/=log12=一'.

42

故選：C.

方法二：依題意f(x)+〃2-x)=0恒成立，代入得

x

/(■)+/(2-x)=2Z?+log2fa-—^-'j+logjfa-^=0

化簡得,26+log21a2------------------)]=Q

3—xx+1(3-x)(x+l)'

2a3—x+x+1

整理得:2&+log2[(2-------)]=0

「3-xx+\4(3-x)(x+l)

7[21—4Q1—4Q

即勸+1的r。+不行+即]=0(*),

依題意，此式在函數(shù)的定義域內(nèi)恒成立，故須使……，則得

回代(*)可得，26-4=0,即6=2,故log/=-；.

故選：C.

即時(shí)檢測

I________L__________

1.(22-23高二下?江西上饒?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x3-ln(VZIl-x)+3,xe[-2023,2023]的最大值為

M,最小值為〃?，則可+加=.

【答案】6

【分析】

構(gòu)造g(X)=/(尤)-3,定義判斷奇偶性，利用對稱性有g(shù)(X)max+g(X)11m=。，即可求結(jié)果.

【詳解】令g(x)=/(x)-3=d-In(GTT-x),且xeR,

g(x)=(-x)3-ln[^/(-x)2+1-(-x)]=-x3-ln(&+1+x)=-x3+ln(J+1-x)=-g(x)，

所以g(x)為奇函數(shù)，且在xe[-2023,2023]上連續(xù)，

根據(jù)奇函數(shù)的對稱性：g(x)在xe[-2023,2023]上的最大、最小值關(guān)于原點(diǎn)對稱，

貝11gCOmax+gOOmin="一3+加一3=°,故"+=6.

故答案為：6

16

2.（2024?寧夏銀川?二模）若〃x）=lna+J—+6是奇函數(shù)，貝同=.

【答案】ln2

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，得到。+1匚/0,即可求出。的值，求出函數(shù)的定義域，再

1-X

由奇函數(shù)的性質(zhì)［（0）=0,求出b的值，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ龋?歷“+1!一+6是奇函數(shù)，

1-X

???/（X）定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

由〃+」一w0,可得—〃一辦+1）w0,

1-x

所以XW1且xw3，

a

所以"1=一1,解得“=二，

a2

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?

則/（0）=0,即/（0）=ln_g+l+6=0,解得b=ln2,

止匕時(shí)/（無）=In-—H——1-In2=In,

21—x1—x

/(-x)=ln=-ln=-/(x)符合題意,

所以6=ln2.

故答案為：In2.

考點(diǎn)七、對數(shù)函數(shù)值的大小比較（含構(gòu)造函數(shù)比較大小）

典例引領(lǐng)

03

1.（2024?天津?高考真題）若a=4.2』3,b=4.2,c=lo&20.2,貝（］。，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.

【詳解】因?yàn)閥=4.2，在R上遞增，且-0.3<0<0.3,

所以0<4.233<4.2°<4.2°-3,

所以0<4.2?3<1<4.2°3,即0<。<1<6,

因?yàn)閥=log4,2X在（0,+oo）上遞增，且0<0.2<1,

所以logqzOZ<log4.21=。，即c<0,

17

所以b>4>c,

故選：B

2.(2022?天津?高考真題)已知Q=2°7,6=1)，。=1。82§，則()

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】C

【分析】利用幕函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出。、6、。的大小關(guān)系.

【詳解】因?yàn)?°，>［；)>0=log21>log21,故a〉6〉c.

故答案為：C.

3.(2022?全國?高考真題)設(shè)。=0.1e°",6=g,c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定。,仇C的大小.

【詳解】方法一：構(gòu)造法

1y

設(shè)/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因?yàn)?(x)=:——1=-丹，

1+X1+X

當(dāng)了￡(一1,0)時(shí)，f\x)>0,當(dāng)X￡(0,+oo)時(shí)/'(x)<0,

所以函數(shù)"X)=ln(l+%)-X在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以/(g)</(0)=0,所以111?一3<0,故g>lng=-ln0.9,即6>c,

所以/(—而)</(0)=0，所以In仿+正<0,故所以自6。<:，

故Q<6，

設(shè)g(x)=xe*+ln(l-x)(0<x<l),貝I]g，Q)=(了+1)~+'

令〃(尤)=e*(f-1)+1,h\x)=e'(f+2尤-1),

當(dāng)0<x<夜-1時(shí),力)<0,函數(shù)〃(x)=e*(f-1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)1<X<1時(shí),〃(乃>0,函數(shù)〃(x)=e，(f-1)+1單調(diào)遞增，

又〃(0)=0,

所以當(dāng)0<x〈行一1時(shí)，"(x)<0,

所以當(dāng)0<x〈收-1時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)=xe*+ln(l-x)單調(diào)遞增,

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°,>一山0.9,所以a>c

故選：C.

方法二：比較法

18

解：a=0.1e°/，b=——,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

g)lntz-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令fW=x+ln(l-x),xe(0,0.1],

1—y

則=-=--<0,

l-x1-X

故/(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減，

可得/(0.1)</(0)=0,即lna-ln&<o,所以a<b：

(2)a-c=O.le01+ln(l-0.1),

令g(x)=xex+ln(l-x),xe(0,0.1],

?/、1(1+%)(1—%)e"—1

則ng\x}=xex+ex—-—=——△——』----,

')l-xl-x

令k(x)=(1+x)(l-x)ex-1,所以k\x)=(1-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得左(%)>左(0)>0,即gr(x)>0,

所以g(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得g(0.1)〉g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

4.(2021?全國?高考真題)設(shè)a=21nl.01,6=lnl.O2,C=VLO4-1.貝(J()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于。與c,6與c的大小關(guān)系,

將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù)/(x)=2In(1+尤)-Vl+4x+l,g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+1,禾!J用導(dǎo)數(shù)分析其在

0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合XO)=O,g(O)=O即可得出。與c,b與c的大小關(guān)系.

【詳解】［方法一］:

a=21nl.01=In1.012=ln(l+0.01)2=In(1+2x0.01+0.Ol2)>Ini.02=6,

所以，<“；

下面比較c與。,6的大小關(guān)系.

+4x—1—x

，己/(尤)=21n(l+尤)-Jl+4x+l,貝i]/(O)=O,/7x)=———^―=-;_____

1+xJl+4x(1+x)Jl+4x

由于l+4x-(l+x『=2X-X2=x(2-x)

所以當(dāng)0a<2時(shí)，1+4X—(1+X)2〉0,即Jl+4x>(l+x),/可%)〉0,

所以〃力在［0,2］上單調(diào)遞增,

所以/(0.01)>/(0)=0,BP21nl.01>VT04-b即a>c；

2A/1+4x—1—2.

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,則g(O)=。,g'(x)=--------,

l+2xJ1+4尤(1+x)Jl+4x

19

由于1+4X—(1+2X『=—4X2,在x>0時(shí)，1+4X-(1+2X)12<0,

所以g'(x)<0,即函數(shù)g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，所以g(0.01)<g(0)=0,即lnl.02<Vf麗-1，即從C

綜上，b<c<a,

故選：B.

［方法二］: