第五章 三角函數(shù)（壓軸題專練）-2024-2025學年人教版高一數(shù)學必修第一冊

第五章三角函數(shù)（壓軸題專練）

題型一：三角函數(shù)中與。有關的問題

1.（2024?福建龍巖.三模）已知函數(shù)/0）=5皿8+9）［0>0,|9|<；）彳=-：為/（勸的零點，x=:為/（x）

圖象的對稱軸，且/（x）在，詞）上有且僅有1個零點，則。的最大值為（）

A.11B.9C.7D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)對稱性可得。=2左+lKeZ,即可分別取口=11和。=9,代入求解。，進而整體法驗證是否

符合一個零點求解.

【詳解】/（x）=sin（0x+0）（0>O,|d苦）

x=-1為/(尤)的零點，尤=；為f(x)圖象的對稱軸

44

71.71.2女+1丁2女+12兀c717r

----(—)=--------T=----------,69=2k+1,K￡Z,

4444G

,a)>0co=2k+l,kZ+

X--0<7=—

6CD

當0=11時，f(x)=sin(llx+(p)

11兀7977r

1兀+0=5+也，/.0=—7兀+攵兀，左￡z

I?兀71

M<2，"[

71

/./(x)=sin(llx--)

當X￡(0,芻JT時，llx-T9T￡(-T；T,1冬9兀)，故/(%)有2個零點，不符合，舍去.

64412

當°=9時，/(x)=sin(9x+(p)

9兀7777r

—Tt+cp=—+kn:.(p=--Ti+kji.k^7.

??兀兀

?夕=W

71

f(x)=sin(9x+—)

當X￡(0,當JT時，9%+T?T￡(T￡T37兀)，此時/(%)有且僅有1個零點，符合

6444

故選：B.

2.（24-25高三上?廣東?階段練習）若函數(shù)?。?$指［3:-：］與8（尤）=5也（8+：］在區(qū)間（04）上均單調

遞增，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】［o,1

【分析】確定0>0,根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間求出。的范圍，結合正弦函數(shù)的周期性求出。的范圍可得答

案.

【詳解】當刃=0時，"x）=sinlT不具備單調性，

當ty<0時，/1（x）=sin（0x-：］=-sin1-0x+：J,

若在區(qū)間（0，鼻上單調遞增，則在y=sin（s+：J在區(qū)間（0,鼻上單調遞減，

可得:<一的+:<-竿+，因為y=sim在佰,羋上是單調遞增的，

4424<42）

所以y=sin"+：）在峰）上不可能單調遞減，所以。<0不成立，

于是。>0.

若函數(shù)〃x）=sin（8-：J在區(qū)間圈J上單調遞增,則

2'住")，°[

TICD7171-3

<2AJI+—---------------a)<4k+—

24---------2L2

若函數(shù)g（x）=sin,x+￡j在區(qū)間恒J上單調遞增，則

信eZ),。,

TICO兀三，兀八1

-----1-—<2kn+—4Z+一

242L2

因為0〉0,所以左=0時，

綜上所述，0<oW；.

故答案為：（0,1

3.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）已知函數(shù)丫=$皿8+￡）（。>0）在區(qū)間（一2,當上單調遞增，則。的取

363

值范圍是.

【答案】（0,1］

【分析】根據(jù)給定區(qū)間，求出相位所在區(qū)間，再借助單調性列出不等式組求解即得.

【詳解】函數(shù)y=sin（0x+g）（＜y＞0）在區(qū)間（-二與上單調遞增，

363

.1.7C兀>TLCt)JC兀?！?？7L___、［/t7T7T

當一一<%<一時，----+—<CDX+—<——+—,而當X=0時，GX+—=—，

636333333

TIG)+兀〉兀

+

~~6^3~~2En初/曰八一］

因此＜，而切>0,解得0<oW-,

71(0兀,兀2

------1——<—

［33-2

所以0的取值范圍是（0,J.

故答案為：（0q］

4.（23-24高一下.山東臨沂.期中）已知函數(shù)〃x）=sinox（0＞O）,將〃x）的圖象向左平移靠個單位長度，

所得函數(shù)g（x）的圖象關于y軸對稱，且8（無）在］木,［上單調遞減，則°=.

【答案】3

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質可得當==+E#eZ,結合單調性列不等式即可求解.

62

【詳解】由題意知g（x）=sin［s+等］,g（x）的圖象關于y軸對稱，

冗〃)71

因此匕=C+E?￡Z,解出G=6k+3?GZ,

62

因為g（x）在信；）CD71CO710)71CD71

上單調遞減，s+籌e一十——,——十一

10646

712,0)710)71

—+2人萬<——+——

210615+60左18+24左

所以《，解得<CD<

071071,3?！?5

——+——<——+215

I462

15+60%

<6^+3

8

18+24%所以］＜七,

又26k+3,

5

6左+3>0

即左=0,①=3.

故答案為:

題型二：三角函數(shù)性質綜合問題

1.（多選）（2024?山東淄博二模）已知函數(shù)/（彳）=28$（。龍+夕）[。<0<6,0?1^*,。€[0,5',滿足：VxeR,

成立，且〃x）在（0口上有且僅有2個零點，則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)f（x）的最小正周期為兀

B.函數(shù)“X）在區(qū)間5上單調遞減

C.函數(shù)“X）的一個對稱中心為1

D.函數(shù)小圖是奇函數(shù)

【答案】BCD

【分析】依題意可得了|^J為最大值，則得9=-2。+2也水€%,再由/（X）在（0號）上有且僅有2個零點,

3九7TSir

可得手<玄。+94號，再結合公。的范圍可出@9的值，從而可求出/（x）的解析式，然后逐個分析判斷即

可.

【詳解】因為VxeR,/（x）-/恒成立，所以/（x）的最大值為了（2）

7171

所以一切+0=2k7i,keZ,即0=——G)+2kn,keZ,

當元大04）時,CDX+(p^\(p,—CD+(p,又展0,—

因為/（X）在[o，V上有且僅有2個零點，所以當<卜+夕《爭

37rJrIT57r37rSTT

所以三<三。一乙BP—<2fat<—,^eZ,得上=1,

233222

71

所以°=一§刃+2兀,

因為0<o<6,oeN*,夕所以0=5,°=：,

所以/（x）=2cos[5x+1]；

對于A：函數(shù)〃x）的最小正周期T=],故A錯誤;

對于B：當時，5x+§e[2兀,7-1,又y=cosx在卜兀,7-]上單調遞減，

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間上單調遞減，故B正確；

對于C：因為d=2cos(T+mj=2cosL=0,

所以函數(shù)〃x)的一個對稱中心為,故C正確；

=2cos^5x--|^=-2sin5x,為奇函數(shù)，故D正確.

故選：BCD

2.(多選)(23-24高一下?山東臨沂?期中)已知/(x)=sin[，+x]sin(7兀-x),則()

A.“X)是奇函數(shù)

B.y(x)的最小正周期是2兀

c.“X)圖象的一個對稱中心是

7T

D./(x)±0,-單調遞增

【答案】AC

【分析】由三角恒等變換化簡解析式，由定義判斷A；由周期公式判斷B；由性質判斷CD.

【詳解】/(x)=-cosx-sinx=——sin2x,

對于A：/(-x)=-；sin(-2x)=：sin2;t=-/(x),即/(x)是奇函數(shù)，故A正確；

對于B：/(x)的最小正周期是7=言=萬，故B錯誤；

對于C：令2x=k兀,x=『,keZ,當左=1時，/⑴圖象的對稱中心是C，oJ,故C正確；

對于D：xe0,?,2XG0微，函數(shù)y=sin%在0e上單調遞增，所以/(%)上。,；單調遞減,故D錯

誤；

故選：AC

3.(多選)(23-24高一下.陜西渭南.期中)已知函數(shù)/(%)=Acos(0%+")(A>0,69>0,\(f\<)的部

分圖象如圖所示，其中“X)的圖象與X軸的一個交點的橫坐標為-白，貝U()

A.的最小正周期為TtB.A=2,cp=~

C.的圖象關于點（一”1中心對稱D.在1-m,小上單調遞增

【答案】ABD

【分析】由函數(shù)圖像可確定函數(shù)最小正周期和4。值，判斷AB；代入驗證即可判斷選項C；利用余弦函數(shù)

的單調性可判斷D.

【詳解】對AB,由圖4=2,知7一［'一行］=1=］，T=71,co==2,

因為F(￡j=2cos(2x￡+夕卜2,|^|<p則。=/(x)=2cos[2x-g

Vf(x)=2cosf2x--1^,r.T=g=7t,故AB正確；

對C,因為=2cos1-三-撲0,故/⑺的圖象不關于點卜”中心對稱,故C錯誤,

對D,當時，2x-je（-n,0）,

結合余弦函數(shù)V=cosx的單調性知〃尤）=2cosf2x-y

在上單調遞增，D正確.

故選：ABD.

4.（多選）（23-24高二上?江蘇南京?開學考試）已知函數(shù)/（無）對任意無€1<,都有/0+2）+/0）=0成

立，且函數(shù)/（%）是奇函數(shù)，當xe［-l,。）時，/（x）=sinx.則下列結論正確的是（）

A.當xe［2,3］時，/（x）=sin（2-x）

B.函數(shù)y=|〃x）|+l的最小正周期為2

C.函數(shù)y=/（久）的圖象關于點（%,0）（左eZ）中心對稱

D.函數(shù)y=/（|x|）在［2匕2左+1］（林Z）上單調遞減

【答案】AB

/、/、sinx,-l<x<l

【分析】由賦值運算求出“X）的周期為4,可得出/（尤）=j_sin（x-2）］<X<3,再結合圖象求解?

【詳解】因為函數(shù)“X）對任意久6R都有“久+2）+/（%）=0,所以〃x-2+2）+"x—2）=0,

即」(x)+/(x-2)=0,所以f(x+2)=/(x—2),

所以〃x+2+2)=/(x+2—2),即〃x)=〃x+4)恒成立，所以“力的周期為4.

函數(shù)〃x)是奇函數(shù)，當xe[-l,O)時，〃x)=sinx.

故時，/(x)=sinx.

任取xe[l,3],則(x—

因為函數(shù)/(X)對任意XeR都有+2)+/(%)=0,

即f(x)+/(x—2)=0,

所以/(%)=—/(%-2)=—sin(x—2).

對于A.由前面的推導可得：當xe［l,3］時,〃x）=-sin（x_2）=sin（2_x）.故A正確;

對于B.函數(shù)y=|/（尤）|的圖象可以看成y=/（久）的圖象x軸上方的圖象保留，

把x軸上方的圖象軸下方的圖象翻折到x軸上方，

所以函數(shù)y=Y（尤）1的最小正周期為2,故B正確；

11

sinI

對于C.由圖象可知：函數(shù)y=/（%）的圖象關于點（2左,0）QkeZ）中心對稱，故C錯誤;

對于D.作出>=/（國）的圖像如圖所示，在［-2,-1］上函數(shù)y=/（⑷單調遞增.故D錯誤.

故選：AB.

5.（多選）（23-24高一下?江蘇南京?階段練習）已知/（x）=-7^an[2x+]J,則下列說法正確的是（）

A.圖像對稱中心為卜不+5,。：keZ

B.f（x）的最小正周期為方

C.?。┑膯握{遞增區(qū)間為+

\1,乙乙1.乙乙）

..._/\,?5兀kjL7Lkit?.）

D.右/（%）之1,貝拉￡一行+彳,一7+7

\_L4乙T"乙）

【答案】BD

【分析】由正切型函數(shù)的對稱中心、周期、單調性判斷ABC三個選項，解正切函數(shù)不等式得到D選項.

【詳解】對于A,令2尤+W="，則》=一?+"，左?Z,A錯誤；

3264

/、E兀兀

對于B,/'（X）的最小正周期為7=同=萬，B正確；

對于C,根據(jù)正切函數(shù)性質可知，tan[2x+^]只有遞增區(qū)間，則〃x）=-君tanjx+g]只有遞減區(qū)間，C

錯誤；

對于D,由題意可知=

r*Lr、t7t,_7t7T,,rAR/口57rk/C7Ckitr

以--F/CJI<2xH—V-----Fkn,k￡Z角牛-----1<兀V---1----，1左￡Z,

23612242

「Li」（5TIkji兀ku、]十小

所以xe1一立+7，一1+7卜左eZ,D正確.

故選：BD.

題型三：五點法作一個周期圖象

1.（23-24高一上?江蘇南通?階段練習）已知了⑴=sin（s_；1o>0）.某同學用“五點法”畫/（%）在一個周期

上的簡圖時，列表如下：

715兀3兀

X

12nT

713兀

a)x——0712兀

4~2

sin(Gx—：J0100

(1)因不慎將墨汁潑在表格陰影部分，請你將缺失數(shù)據(jù)補在答題卡上表格的相應位置，并在坐標系中畫出

/(X)在信引上的簡圖；

(2)求函數(shù)/(x)的單調增區(qū)間.

【答案】(1)答案見解析；(2)1方+丁，：+當］，keZ.

【解析】(1)由表格數(shù)據(jù)得到周期，根據(jù)周期公式可得答案；

(2)利用正弦函數(shù)的單調性可得單調遞增區(qū)間.

【詳解】⑴因為仁哥為小)一個周期的區(qū)間，所以7=邛-《=4，

所以T=@=W，解得。=3,

0)3

所以/a)=sin13x-；),簡圖如下

兀Tt5兀7兀3兀

X

12412124

c兀713兀

3x——0兀2兀

4iT

sin（3x-工］

14）010-10

(2)因為/(%)=sin(3%-,

所以一q+2E<3%—+keZ,解得一2+也色+也，k^Z,

24212343

所以函數(shù)/(X)的單調增區(qū)間為q+岸，>牛，kez.

【點睛】本題考查了正弦函數(shù)的周期、單調性，屬于基礎題.

2.(23-24高一上.江蘇鎮(zhèn)江?期末)某同學用“五點法”畫函數(shù)/(x)=Asin3x+e)(A>0⑷>O,|d<10在某一

個周期內的圖像時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表:

5/r7〃

X

~\2~6

7134

G)X+(p0712〃

~2~2

Asin(8+0)2

（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并補全表中其它的數(shù)據(jù)；

（2）在給定的坐標系中，用“五點法''畫出函數(shù)y=/（x）在一個周期內的圖象;

九

1-

（3）寫出函數(shù)y=f（x）（無eR）的單調減區(qū)間.

S7T117T

【答案】（1）見解析；（2）圖象見解析；（3）單調減區(qū)間（三+左心五十標），keZ.

5%71

——。+0=—

177

【分析】（1）根據(jù)最大值求得A,利用已知條件列方程組；；，求得私。的值.由此求得八4）的

—。+°=2萬

表達式，并將表格補全.（2）根據(jù)表格的數(shù)據(jù)畫出函數(shù)的圖像.（3）根據(jù)圖像可知，函數(shù)的一個減區(qū)間是

5乃11萬

,加上函數(shù)的周期即得到函數(shù)的減區(qū)間.

【詳解】（1）因為當時，Asin（s+"）=Asin]=2,所以A=2.

5萬71

——二一co=2

由表中數(shù)據(jù)有：＜;解得471

7萬八(D=----

-co^(p-2?3

所以“x)=2s《2x-g

表中數(shù)據(jù)補全得表:

715〃2萬\\717〃

X

~677~12~6

713乃

a）x+（p0712萬

~2~2

Asin(^x+^)0200

-2

5萬114

(3)因為函數(shù)y=f(x)在一個周期內的減區(qū)間為IP五

5?7117r7),

所以函數(shù)y=/(x)(xe&的單調減區(qū)間——+k7i,-\-kjt,kEZ.

1212)

【點睛】本小題主要考查已知三角函數(shù)圖像，求三角函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像的五點作圖法，考查

三角函數(shù)單調區(qū)間的求法，屬于中檔題.

題型四：五點法作指定周期圖象

1.(23-24高一下?河南周口?期末)已知函數(shù)〃x)=2cosx?sin[x+gJ-^sin2x+sinx?cosx.

(1)當光￡0段時，求“X)的值域；

(2)用五點法在圖中作出y=〃x)在閉區(qū)間囁染上的簡圖；

(3)說明“X)的圖象可由y=sin%的圖象經過怎樣的變化得到？

【答案】⑴"X)=2sin卜+qje卜后21；(2)見解析;⑶見解析.

【詳解】分析：(1)先利用三角恒等變換的知識化簡得f(x)=2sin12x+q：再利用三角函數(shù)的圖像性質求當

xe0,|時求小)的值域.(2)利用五點法作出y=/(x)在閉區(qū)間嘖g上的簡圖.(3)利用圖像變換的知

識寫出“X)的圖象可由V=sim的圖象經過怎樣的變化得到.

詳解：(1)/(x)=2cosx-sin^x+y^--\/3sin2x+sinx-cosx

=sin2x+A/3COS2X=2sin^2x+gj

7i「%4%

XG0,—,2xHG—,

2J3|_33_

/./(x)=2sin[2x+。)e,目,2]

(2)列表：

c冗n3兀

2xH—07t2〃

3~2~2

7171717〃5兀

~~6127~L2~6

y02

(3)把丫=511?的圖象向左平移個單位，可得函數(shù)＞=$抽1+|^的圖象；

再把所得圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得函數(shù)丫=$m[2苫+。)的圖象;

再把所得圖象上的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得函V=2sin圖象.

點睛：(1)本題主要考查三角恒等變換，考查五點法作三角函數(shù)的圖像，考查三角函數(shù)圖像變換，意在考

查學生對這些知識的掌握水平.(2)對于復合函數(shù)的問題自然是利用復合函數(shù)的性質解答,求復合函數(shù)的最值,

一般從復合函數(shù)的定義域入手，結合三角函數(shù)的圖像一步一步地推出函數(shù)y=Asin(wx+0)+〃的最值.

2.(23-24高一上?天津河北?期末)已知函數(shù)/(x)=sin[2x-；),xER.

⑴用“五點法''在所給的直角坐標系中畫出函數(shù)/(x)在區(qū)間[0,用內的圖象;

⑵求函數(shù)了(天)的最小正周期；

(3)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間.

【答案】(1)圖象詳見解析

⑵兀

J71.3兀77

(3)攵?！?，kuH---，化￡/

_88

【分析】(1)利用五點作圖法畫出圖象.

(2)由7=巧求得的最小正周期.

CD

(3)利用整體代入法求得f(x)的單調遞增區(qū)間.

JTJT7冗

【詳解】(1)0<X<71,0<2X<2TI,——<2x——<一,

444

列表如下:

c兀71713兀7兀

2x--071

4~42~2T

713兀5兀7兀

X071

8TT

一旦_立_

y010-1

__T__2~

描點畫圖如下:

jr47r

解得ku--<x<ku---,

88

所以/(x)的單調遞增區(qū)間為+?,kwZ.

|_oo

題型五：三角函數(shù)中零點個數(shù)問題

1.(24-25高一?上海?隨堂練習)試對實數(shù)a的不同取值，討論方程sinx+括cosx+a=0在。號]上的解的

個數(shù).

【答案】當a>2或a<-2時，原方程無解；

當14a<2或_2<a"石時，原方程有兩個解；

當-6<°<1或。=±2時，原方程有唯一解.

【分析】利用輔助角公式化簡方程，做函數(shù)y=2sin]x+W卜勺圖象，結合圖象求

【詳解】化簡得，2sin(x+f)=-a,xe[O,—],

32

37t(ITA3JT

方程sin%+石COSX+Q=0在。，2的解的個數(shù)與函數(shù)V=2sin[x+IJ,xG0,—

的圖像和函數(shù)y=-〃的圖像的交點的個數(shù)相同，

作函數(shù)y=2sin[x+1],xe0,y的圖象，

結合圖像可得，

a>2^a<-2,原方程無解；

1Vq<2或石時，原方程有兩個解；

-6<。<1或。=±2,原方程有唯一解.

故：當。>2或。<一2時，原方程無解；

當14"2或-2<aW-6時，原方程有兩個解；

當-道<。<1或。=±2時，原方程有唯一解.

71

2.(23-24高一上?江西上饒.階段練習)已知函數(shù)/■(x)=Asin(0x+°)(A>0,co>0,|^|<-)的圖象如

圖所示.將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移g個單位長度得到曲線C,把C上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，

0

縱坐標不變，得到的曲線對應的函數(shù)記作y=g(x).

⑴求函數(shù)〃x)的單調減區(qū)間;

(2)求函數(shù)以x)=dg(x)的最小值；

⑶若函數(shù)尸(苫)=8，-2,+陽(尤)0€2在(0,4兀)內恰有6個零點，求加的值.

【答案】(1)二7+憂=+也，左eZ；；

⑵1

(3)根=1或根=—1.

【分析】(1)根據(jù)所給圖象求出函數(shù)的解析式，再列出關于1的不等式即可得解；

(2)由(1)結合給定圖象變換求出g(x)的解析式，再求出力(%)并作變形即可得解；

(3)求出"%)并令Usinx,將"%)=。轉化為關于，的一元二次方程，按根所在區(qū)間討論得解.

【詳解】⑴觀察圖象得A=l,最小正周期為T,

T7K71=|>T=71,則0=，=2,

21212

7Csin(2-+^91=1,貝1]夕=m71+2E,keZ,

而了

123

乂|夕區(qū)于是得夕=三,

JT

所以/(元)=sin(2x+-),

,,兀一c71,371",,~/口兀,,,7兀,T__

由2kliH—W2%H—W---F2kli,%￡Z,---HkitW%W---Fkit,kwZ,

2321212

TT7TE

所以單調遞減區(qū)間為TT++，keZ.

17C71

(2)由題意得g(%)=sin2—X---+—=sinx,

263

1

7/、￡%/、.兀?1.275.7s.e1c1-o兀I]

n(x)=f\—W(x)=smxd■—sinx=—sinxd---sin%cosx=——sin2x——cos2x+—=—sinlx--+—,

,(2尸(3)22444214

7rIT7T(兀、

當2無一一=2kit,ksZ,即x=E-一，4eZ時，sin2x-一取最小值-1,

626I6)

所以/7(X)=/[Jg。)的最小值為+1=

、乙)244

(3)依題意/(x)=sin—~2x\+msinx=cos2x+msinx=-2sin2x+msinx+1,meR,

令/(x)=0,可得Zsin?%—機sinx-l=0,

令/=sin%￡[—l,l],得2/_根，_]=0,

由于A=m2+8>0,即方程必有兩個不同的實數(shù)根4,t2f

1

nm

且％+12=萬，電;.7

由y2=-]<°知。、/2異號，不妨設。>°，/2<。，

①若4>1,則‘2=_，sinx=4，無解,

而sinx=芍在（0,4%）內有四個零點，不符題意；

②若％=1,貝幾=一!，sinx=l在（0,4兀）內有2個零點，

而sinx=-1■在（0,4兀）內有4個零點，

即"X）在（0,4兀）內有6個零點，符合題意，

Iiri

止匕時1--=—，得機=1；

22

③若。<1,‘2，51!1%=4在（0,4兀）有4個零點,

則sin%=w在（°，4兀）內應恰有2個零點,必有t2=-l,

11rrj

此時「5,-i+二萬，解得加=-1,

綜上所述有機=1或機=-1

2后如攵>

尸y=siwc

題型六：三角函數(shù)中零點代數(shù)和問題

1.（23-24高一下?河北張家口?期末）如圖是函數(shù)〃x）=Asin（0x+e“A>O,0>O,O<|d圖象的一部分.

叫

（1）求函數(shù)“X）的解析式；

⑵求函數(shù)/⑴的單調區(qū)間；

⑶記方程〃司=-；在xeq，詈上的根從小到大依次為%,馬，為，，七（〃eN*）,

m=xx+x2+x3++xn,試求"與m的值.

【答案】（l）〃x）=^sin（4x+3

、,、E、乂IJA1—■*、—.、rkit57TkuTC、,、E、乂、i—■A—.、？kit7ckrL7TT

(2)單倜遞增區(qū)間為彳一不?3十五，keZ,單倜遞減區(qū)間為彳十五，彳十五,keZ

乙乙個乙乙一■乙乙一乙乙一

(3)根=號^,n=6

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象可得A,由周期求出。，再根據(jù)函數(shù)過點[最，有)求出。，即可得到函數(shù)解析

式；

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的性質計算可得；

(3)依題意可得sin(4x+「一咚，由x的取值范圍求出4x+2的取值范圍，令d=4x+g,同0,6可，即

sine=_3,結合正弦函數(shù)的圖象及對稱性計算可得.

4

【詳解】(1)由圖可得A=6，

函數(shù)/(幻的最小正周期為T=4x償-曰=『又①>0,

(b24)2

2兀2兀.

則T工，所以/(x)=gsin(4x+e),

2

又函數(shù)過點點可，所以/圖坨sin]+J=?則sin]+,=l,

1JI

則一+0=—+2hi,keZ,解得(p=—+2kn,keZ,

623

因為o(時<■!，所以夕=g,

所以/(另=氐m(41+1).

(2)^2fai-^<4^+^<2fat+pkeZ,解得+keZ,

42fat+-<4.r+-<2fat+—,keZ,^—+—<x<—+—,keZ.

232224224

.—?>>——、[〃/?,、?,、“、>???__*、_.、(klL57rA.717T、,、、ix___v_.、>klL7TA.7177T

因此函數(shù)/(%)的單調遞增區(qū)間為V-94'keZ,單倜遞減區(qū)間為——，keZ.

(3)方程/(x)=[,B|]V3sin^+^=-|,即sin[4x+?=-5，

因為代哈得,所以4x+乂0,6可，

設。=4x+4，其中[0,6可，即sin。=一日，

結合正弦函數(shù)y=sin6的圖象，可得方程sin*-日在區(qū)間1°，6可有6個解，即"=6,

71

又〉=sinx的對稱軸為無二萬+也#EZ,

不妨設6個解從小到大依次為400，，

則配。2關于。二3三兀對稱，關于6=73兀對稱，處。6關于6=;11兀-對稱,

所以q+q=3兀，a+夕4=7兀，q+a=IE,

即4%+]+4入2+]=3兀，4七+三+4/+三=7兀，4毛+三+4/+三=11兀，

左刀/口7兀197131

角牛行士+%2=TT-，毛+%4=，九5+%6=TT九?

所以根=%+元2+忍+%4+毛+/=—^―

所以根=丁，n=6.

4

【點睛】關鍵點點睛：本題第三問關鍵是換元轉化為方程sin*-乎在區(qū)間［0,6可上的解的個數(shù)，結合正弦

函數(shù)的圖象及對稱性計算得解.

2.（23-24高一下?內蒙古赤峰?階段練習）已知函數(shù)/（司=若$也（8+夕）+25山2［用辿］一1（。＞0,0＜9＜兀）

為奇函數(shù)，且/'（X）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為

JT1T

⑴當xe時，求/（尤）的單調遞減區(qū)間；

1

⑵將函數(shù)/（%）的圖象向右平移T7r個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的7（縱坐標不變），得到函數(shù)

62

■rrrr

y=g（x）的圖象，當X?時，求函數(shù)g（x）的值域；

（3）對于第（2）問中的函數(shù)g（x）,記方程g（x）=］A在xeTT47r上的根從小到大依次為%,馬，…%，試確定

H

〃的值，并求玉+2々+2%-1---2%T+xn的值.

【答案】⑴［-展-］

⑵［一2,6］

20兀

（3）〃=5,玉+2%2+2%3+…+2%“_］+%”=~-—

【分析】（1）結合二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡/（X）,再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和奇偶性，分別求

出。和9,然后利用正弦函數(shù)的單調性，得解；

（2）先求出函數(shù)g（x）的解析式，再根據(jù)根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質，可得解；

(3)由(2)得g(x)的解析式，從而得到sin［敘-?=］解的個數(shù)，結合函數(shù)圖象求解根的對稱關系，可

求解.

【詳解】(1)由題意，函數(shù)/(x)=J^sin(0x+0+2sin2(@U)-l

=^sin(0x+0)-cos(0x+e)=2sin18+e-《),

因為函數(shù)/(x)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為所以丁=無，可得。=2,

又由函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，可得〃0)=2sin%.1=0,

TTTT

所以°一一=kn,ksZ,因為0<。<兀，所以。=一,

66

所以函數(shù)/(x)=2sin2x,

jr3717t371

令一+2EV2xV---卜2kR,keZ,解得一■\-kit<x<卜kn,keZ,

2244

TV37r

可得函數(shù)/(尤)的遞減區(qū)間為~+kn,—+kn，左eZ,

再結合xe-頻,可得函數(shù)“X)的減區(qū)間為；

(2)將函數(shù)“X)的圖象向右平移￡個單位長度，

可得y=2sin12x-.的圖象，

再把橫坐標縮小為原來的g,得到函數(shù)y=g(x)=2sin14尤-鼻的圖象，

.7T7C..兀2兀7T

當工￡---時，4x——G--------,

L126J333」

當好一4=一1時，函數(shù)g(x)取得最小值，最小值為-2,

當以-5=1時，函數(shù)g(x)取得最大值，最大值為6，

(3)由⑵得函數(shù)g(x)=2sin(4x-|J的圖象，

由方程g(x)=j即2sin(4x-]]=g,即sin(4x-[=g,

.一.、t7t47r_..7C71_

因為'可得a4%一彳￡彳，5兀,

63」3|_3

設。=4%-］，其中6ej,57r,即sind=|,

.7iV32

［Wsin—=——>—，

323

結合正弦函數(shù)y=sin。的圖象,

y=sin3

可得方程sind=：2在區(qū)間§71,5兀有5個解，即力=5,

其中6]+。2=371,%+°3=5兀,°3+04=7兀,。4+g=9兀，

71兀

.7T.71?

4%4—1+4/一］=9兀，

117i17K23兀29兀

解得%+9=—^X2+X3=方-，%3+%4=7y，%4+%5=~^~

A.4X乙X乙乙

+214+/=("1+，2)+(*2+*3)+(七+*4)+(*4+*5)=~~~

所以玉+2X2+2X3+

【點睛】方法點睛：求函數(shù)f（x）=Zsin（3x+0）在區(qū)間目上值域的一般步驟：

第一步：三角函數(shù)式的化簡，一般化成形如y=Asin3x+°）+Z的形式或丁=Acos（°x+0）+人的形式；

第二步：由x的取值范圍確定。X+。的取值范圍，再確定sin（0x+0）（或cos（ox+。））的取值范圍；

第三步：求出所求函數(shù)的值域（或最值）.

3.（2022高三?全國?專題練習）已知函數(shù)7'（x）=Asin（ox+夕）]。＞0,04夕W的圖象的兩相鄰對稱軸之間

的距離為且在尤=2時取得最大值2.

2o

⑴求函數(shù)〃尤）的解析式；

-9九~1

（2）當"0,—時，若方程/（x）=a恰有三個根，分別記為占,3,三，求玉+Z+三的取值范圍.

_O

【答案】（l）〃x）=2sin（2x+：j

5兀1171\

⑵匕十J

【分析】(1)由題設條件分別求出A,。,。，即得“X)的解析式；

JT5冗

(2)通過換元，將問題轉化成方程2sinr=。在法-,y恰有三個根，結合函數(shù)y=2sint的圖象，利用其

對稱特征可得乙+弓+%的范圍，再轉化成%+%+%的范圍即得.

T7T2兀

【詳解】(1)由題意得，A=2,彳=g,則丁=兀，由G=—=2,

227i

.函數(shù)在X處取最大值，?.?sin[:+0)=1,又OV9V曰,.〔9=:,

/(x)=2sin(2x+：].

(2)令2x+J=f,由xe。，巨可得：tc:，

4X」|_42_

兀571

依題可知方程2sin/=a在/￡了了恰有三個根，記為。/,與，

則「2尤,+：,(i=l,2,3),畫出y=a與y=2sinr在:號上的圖象.

7T

由圖象易知關于直線/=萬對稱，則4+芍=兀，

L,rmj「9兀5兀\J,「13兀7兀1

f

又由圖知4￡r貝iJ/i+L+Gw'

%++13=2(再+々+電)+，貝~~2(%i+%2+%3)+，

解得詈為+9+%,〈旨.故%+%+%的取值范圍是個，詈)?

【點睛】思路點睛：本題解題的思路即是先將三角函數(shù)中的0X+0看成整體/,將問題轉化成函數(shù)y=2sinr

TT5冗

與直線y=a在fe上的交點問題，利用圖象對稱性先求出乙+弓+與的范圍，再轉化成求當+X2+X,的

范圍.

題型七：三角函數(shù)中恒成立問題

1.(23-24高一下.山東日照.期中)將函數(shù)/(x)=sin(2x+°)+l(其中帆上^)的圖象向左平移?個單位,

得到函數(shù)g(x)的圖象，且g(x)為偶函數(shù).

(1)求函數(shù)g(x)的解析式和對稱中心；

⑵若對Va點w0,〃?],當。<6時,都有〃b)-〃a)>gS)-g0)成立，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】⑴g(x)=cos2x+l,對稱中心為。+￡,1](左eZ)

71

(2)0<m<—

【分析】(1)借助函數(shù)平移與偶函數(shù)的性質計算即可得。，即可得g