2024-2025學(xué)年江蘇省宿遷市高三上冊第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省宿遷市高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.已知，是兩個(gè)平面，，是兩條不同的直線，則下列說法正確的是（）A若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則3.設(shè)向量，，若，則（）A.0或-6 B.4或 C.2或 D.0或4.生物豐富度是河流水質(zhì)的一個(gè)評價(jià)指標(biāo)，其中，分別表示河流中生物種類數(shù)和生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由2.85提高到3.8，則（）A B.C. D.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C D.6.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B.C. D.7.設(shè)矩形的周長為12，把沿向折疊，折過去后交于點(diǎn)，則（）A.周長為定值，面積有最大值 B.周長為定值，面積有最小值C.面積為定值，周長有最大值 D.面積為定值，周長有最小值8.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.函數(shù)的最小值是4C.“且”是“”的充分不必要條件D.關(guān)于的不等式的解集是，則10.已知，且，則（）A.的最小正周期是B.是偶函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對稱D.若在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則11.在長方體中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A.若與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡長度為B.當(dāng)時(shí)，面C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D.當(dāng)時(shí)，的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.求值：__________．13.若，，，則的最小值為______．14.函數(shù)，若對于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且.（1）求；（2）求在處的切線方程.16.已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角A，，的對邊，且．（1）求；（2）若，是中點(diǎn)，，求的面積．17.如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面，并求直線和平面的距離；（2）求二面角的余弦值；（3）試在線段上確定一點(diǎn)，使與所成角為．18.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，，求的取值范圍；（3）對于任意的且，證明：19.已知集合，若存在數(shù)陣滿足：①；②；則稱為“好集合”，并稱數(shù)陣為的一個(gè)“好數(shù)陣”．（1）已知數(shù)陣是的一個(gè)好數(shù)陣，試寫出，，，的值；（2）若集合為“好集合”，證明：集合的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個(gè)；（3）判斷是否為“好集合”．若是，求出滿足條件所有“好數(shù)陣”；若不是，說明理由．2024-2025學(xué)年江蘇省宿遷市高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】先通過解三角不等式求出集合，再根據(jù)集合間的運(yùn)算即可求解.【詳解】解：由，解得：，即，故.故選：A.2.已知，是兩個(gè)平面，，是兩條不同的直線，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【正確答案】B【分析】根據(jù)空間中平行關(guān)系或垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對于A，若，，則，故A錯誤；對于B，若，，則在平面內(nèi)存在直線，使得，而，故，則，故B成立；對于C，若，，則或，故C錯誤；對于D，若，，則，故D錯誤，故選：B.3.設(shè)向量，，若，則（）A.0或-6 B.4或 C.2或 D.0或【正確答案】B【分析】根據(jù)共線的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【詳解】，，，故，解得或，故選：B4.生物豐富度是河流水質(zhì)的一個(gè)評價(jià)指標(biāo)，其中，分別表示河流中生物種類數(shù)和生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由2.85提高到3.8，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于，的關(guān)系式，化簡即可.【詳解】由題意：.故選：C5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)可排除BD，根據(jù)函數(shù)值的符號可排除A.【詳解】由圖可得，而B中函數(shù)滿足，D中函數(shù)滿足，故排除BD，對于A函數(shù)：當(dāng)時(shí)，，而，故，故當(dāng)時(shí)，，故排除A，故選：C.6.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)，由題意可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)的對稱軸為，所以，解得.故選.7.設(shè)矩形的周長為12，把沿向折疊，折過去后交于點(diǎn)，則（）A.周長為定值，面積有最大值 B.周長為定值，面積有最小值C.面積為定值，周長有最大值 D.面積為定值，周長有最小值【正確答案】A【分析】設(shè)，，分析可得，，即可得周長為定值，根據(jù)勾股定理可得，利用基本不等式求面積的最大值.【詳解】如圖所示：設(shè)，，則，由題意可知：，則，可得的周長為，為定值；因?yàn)椋瑒t，即，整理可得，即，可得的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的面積有最大值；綜上所述：周長為定值，面積有最大值.故選：A.8.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用中間量即可得到，再根據(jù)正余弦函數(shù)的性質(zhì)即可比較出，則得到答案.詳解】，因?yàn)?，則，而，，故.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.函數(shù)的最小值是4C.“且”是“”的充分不必要條件D.關(guān)于的不等式的解集是，則【正確答案】BCD【分析】選項(xiàng)A：利用全稱量詞命題的否定判斷；選項(xiàng)B：由基本不等式可判斷；選項(xiàng)C：由不等式的性質(zhì)可判斷；選項(xiàng)D：利用二次不等式的解集是求參數(shù)即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A：命題“”是一個(gè)全稱量詞命題，所以該命題的否定是：“"，錯誤；選項(xiàng)B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故正確；選項(xiàng)C：當(dāng)且時(shí)，易知，當(dāng)時(shí)，取，此時(shí)且不成立，故“且”是“”的充分不必要條件，正確；選項(xiàng)D：因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，則2和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，解得，所以，正確.故選：BCD.10.已知，且，則（）A.的最小正周期是B.是偶函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對稱D.若在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合最小正周期的計(jì)算公式，可得判定A正確；由函數(shù)，可得判定B正確；由，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可得判定C不正確；由，根據(jù)，得出不等式，可得判定D正確.【詳解】由函數(shù)，因?yàn)?，可得，解得，所以，因?yàn)?，可得，所以，對于A中，由，可得的最小正周期為，所以A正確；對于B中，由，此時(shí)函數(shù)是偶函數(shù)，所以B正確；對于C中，由，令，解得，可得對稱軸的方程為，所以不是的對稱軸，所以C不正確；對于D中，由函數(shù)，當(dāng)，可得，則，要使得在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足，解得，所以D正確.故選：ABD.11.在長方體中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A.若與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡長度為B.當(dāng)時(shí)，面C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D.當(dāng)時(shí)，的最小值為【正確答案】BCD【分析】由平面，得到點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，可判定A錯誤；當(dāng)時(shí)，得到點(diǎn)在線段，證得平面和平面，得到平面平面，可得判定B正確；當(dāng)時(shí)，得到點(diǎn)在線段上運(yùn)動,由線面垂直得P的軌跡為圓，可判定C正確；當(dāng)時(shí)，得到點(diǎn)在線段上運(yùn)動，沿著將直角和平面展在一個(gè)平面上，結(jié)合余弦定理，求得，可判定D正確.【詳解】對于A中，連接，在長方體中，可得平面，所以即為與平面所成的角，即，在直角中，可得，所以點(diǎn)軌跡為以為圓心，半徑為的圓，其周長為，所以A錯誤；對于B中，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，且點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)在線段，連接，在長方體中，可得，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，同理可證平面，又因?yàn)?，且平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以B正確；對于C中，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋尹c(diǎn)滿足，取的中點(diǎn)，連接，可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動，若，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，平?故平面，又平面，故,所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，又因?yàn)椋傻镁€段與以為直徑的圓只有一個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，即當(dāng)且僅當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，能使得，所以C正確；對于D中，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋尹c(diǎn)滿足，取的中點(diǎn)，連接，可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動，沿著將直角和平面展在一個(gè)平面上，如圖所示，在中，，由余弦定理得，所以，即的最小值為，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.求值：__________．【正確答案】1【分析】利用三角函數(shù)切化弦，輔助角公式與誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】．故．13.若，，，則的最小值為______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意整理可得，利用基本不等式結(jié)合一元二次不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，，則，又因?yàn)?，即，整理可得，解得或（舍去），?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為.故答案為.14.函數(shù)，若對于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的值為______．【正確答案】9【分析】根據(jù)給定條件，按分段討論，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出最值即得.【詳解】對于任意，都有恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，則；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，，求導(dǎo)得，若，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因此，若，即，恒有，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，所以.故9關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用分段討論的思想，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)求出最值.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且.（1）求；（2）求在處的切線方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由偶函數(shù)的定義可得，代入化簡可得的值.（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得是在處的切線斜率，進(jìn)而結(jié)合得到切線的點(diǎn)斜式方程，化簡可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)，所以有，當(dāng)時(shí)，，即，，，解得，此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，為上的偶函數(shù)，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，則，則，又，所以在處的切線方程為：，即.16.已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角A，，的對邊，且．（1）求；（2）若，是中點(diǎn)，，求的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換化簡計(jì)算即可；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理、三角形的面積公式計(jì)算即可.【小問1詳解】由正弦定理知，又，所以，即，所以，所以，，故；【小問2詳解】由，所以知為等腰三角形，取中點(diǎn)N，連接AN，則，不妨設(shè)，則，由勾股定理知，即，所以面積為.17.如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面，并求直線和平面的距離；（2）求二面角的余弦值；（3）試在線段上確定一點(diǎn)，使與所成角為．【正確答案】（1）證明見解析；.（2）（3）在線段上且.【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求證線面平行和點(diǎn)到平面的距離.（2）在（1）的基礎(chǔ)上，用空間向量求二面角的余弦.（3）先設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩向量所成的角的計(jì)算公式，確定點(diǎn)的位置.【小問1詳解】∵平面平面，平面平面，平面，且，∴平面.又平面，∴，.又四邊形為正方形，所以.故可以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則A0,0,0，，，，，，.∴，，，設(shè)平面的法向量為：m=x,y,z則，可取.∵，且點(diǎn)平面，所以平面.又，所以點(diǎn)到平面的距離為，即直線和平面的距離為.【小問2詳解】易知是平面的法向量，設(shè)二面角為，則.故所求二面角的余弦為.【小問3詳解】∵點(diǎn)在線段上，故可設(shè)，（）.則，又，與所成角為，所以，解得或（舍去）.此時(shí)，點(diǎn)在線段上，且.18.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，，求取值范圍；（3）對于任意的且，證明：【正確答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）（3）證明見解析【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算研究函數(shù)單調(diào)性即可；（2）含參討論的單調(diào)性，結(jié)合端點(diǎn)值計(jì)算即可；（3）利用（2）的結(jié)論得出，結(jié)合累加法即可證明.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增，時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞減，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】由題意知，若，此時(shí)在定義域上單調(diào)遞減，即，不符合題意，若，則，易知上，此時(shí)單調(diào)遞減，則，不符合題意，若，則，在上，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，符合題意，綜上【小問3詳解】由（1）、（2）可知，所以，即，所以，累加得，證畢.關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是得出不等式，進(jìn)而推出，利用累加法求解.19.已知集合，若存在數(shù)陣滿足：①；②；則稱為“好集合”，并稱數(shù)陣為的一個(gè)“好數(shù)陣”．（1）已知數(shù)陣是的一個(gè)好數(shù)陣，試寫出，，，的值；（2）若集合為“好集合”，證明：集合的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個(gè)；（3）判斷是否為“好集合”．若