2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高三上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3若，則（）A. B. C. D.74.函數(shù)部分圖象大致為（）A. B.C. D.5.為了得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（）A.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度6.已知，，則（）A. B. C.2 D.－27.已知函數(shù)，直線與的圖象在軸右側(cè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為、、、、、，（其中），若，則（）A. B. C. D.8.定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“躺平點(diǎn)”.若函數(shù)，的“躺平點(diǎn)”分別為，，則，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，都有多個(gè)選項(xiàng)是正確的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，選錯(cuò)或不答的得0分．9.已知，，，下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為9 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為10.已知奇函數(shù)的最小正周期為π，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說法中正確的有()A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則所有零點(diǎn)之和11關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論，則（）A.是偶函數(shù) B.的最小值為C.在上有4個(gè)零點(diǎn) D.在區(qū)間單調(diào)遞增三、填空題：12.請(qǐng)寫出一個(gè)函數(shù)___________，使之同時(shí)具有如下性質(zhì)：①，，②，.13.已知定義在上函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，則滿足的x的取值范圍為_________14.已知，，若存在最大值，則正數(shù)m的取值范圍是______.四、解答題：15.已知向量，向量，記.（1）求表達(dá)式；（2）解關(guān)于x的不等式.16.已知函數(shù).（1）若，判斷并證明在上的單調(diào)性；（2）若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減.（1）求的最大值；（2）若的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且在上的值域?yàn)?，求m的取值范圍.18.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）證明：；（2）若，，求.19.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先求出集合N，再根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)榧希?，故選：C2.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】利用特殊值法，結(jié)合基本不等式及充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】解：充分性：由于，，且，取，，則成立，但，所以充分性不成立.必要性：由于，，且，由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，解得，即，所以由“”能推出“”，所以必要性成立.所以，當(dāng)，時(shí)，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.若，則（）A. B. C. D.7【正確答案】D【分析】利用二倍角公式以及弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)?，則，.故選：D.4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】先根據(jù)奇偶性排除選項(xiàng)C，然后根據(jù)排除選項(xiàng)B，最后由時(shí)，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，又定義域?yàn)镽，所以為R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除選項(xiàng)C；因?yàn)?，所以排除選項(xiàng)B；又時(shí)，，故排除選項(xiàng)D；故選：A.5.為了得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（）A.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【正確答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平移“左加右減”準(zhǔn)則，即可求解．【詳解】解：，把函數(shù)的圖形向左平移個(gè)單位可得到函數(shù)．故選：B．6.已知，，則（）A. B. C.2 D.－2【正確答案】B【分析】根據(jù)同角關(guān)系可得，由正切的二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)樗杂傻茫虼?，由二倍角公式可得，故選：B7.已知函數(shù)，直線與的圖象在軸右側(cè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為、、、、、，（其中），若，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】令，分析可知，由可得出，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值.【詳解】由可得，，則.若，則，不合乎題意，所以，.令，，如下圖所示：由圖可知，，則，，所以，，所以，，所以，，整理可得，由題意可得，解得.故選：B.8.定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“躺平點(diǎn)”.若函數(shù)，的“躺平點(diǎn)”分別為，，則，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】對(duì)求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性和零點(diǎn)，利用零點(diǎn)存在性定理求出；同樣方法求出，得到答案.【詳解】定義域?yàn)?,+∞，，由題意得：，令，x∈0,+∞，則為函數(shù)的零點(diǎn)，，所以在x∈0,+∞上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在性定理，.另外，，由題意得：，令，則為函數(shù)的零點(diǎn)，，令得：或，令得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,0，，單調(diào)遞減區(qū)間為，在處取得極大值，，在處取得極小值，故在上無零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，，由零點(diǎn)存在性定理：所以.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，都有多個(gè)選項(xiàng)是正確的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，選錯(cuò)或不答的得0分．9.已知，，，下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為9 B.的最小值為C.最小值為 D.的最小值為【正確答案】AD【分析】根據(jù)基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，取得最小值9，故A正確；，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，即，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，即最大值，故C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，故D正確．故選：AD．10.已知奇函數(shù)的最小正周期為π，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說法中正確的有()A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則所有零點(diǎn)之和為【正確答案】ABD【分析】用輔助角公式化簡(jiǎn)f(x)的解析式，根據(jù)其為奇函數(shù)和最小正周期分別求出和的值，再根據(jù)圖象平移求出g(x)的解析式.驗(yàn)證是否為g(x)的最大值或最小值可判斷A；根據(jù)，結(jié)合g(x)解析式和三角函數(shù)的性質(zhì)可求其最小值，從而判斷B；根據(jù)，結(jié)合g(x)解析式和三角函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；令，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合即可判斷D．【詳解】由已知，，∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴，可得，又∵，∴，又∵函數(shù)的最小正周期為π，∴，解得，∴．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得．∵，∴是g(x)的一條對(duì)稱軸，故A正確；時(shí)，，，∴，故B正確；時(shí)，，故g(x)在不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；令，則函數(shù)化為，y＝2sin2t和y＝kt有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，如圖：則，，則，，即，∴，故D正確．故選：ABD．11.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論，則（）A.是偶函數(shù) B.的最小值為C.在上有4個(gè)零點(diǎn) D.在區(qū)間單調(diào)遞增【正確答案】ABC【分析】對(duì)A：根據(jù)偶函數(shù)的定義即可作出判斷；對(duì)B：由有界性，，且時(shí)即可作出判斷；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性即可作出判斷；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，利用三角函數(shù)圖象與性質(zhì)即可作出判斷.【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：因?yàn)?，，所以，而時(shí)，所以的最小值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，，令，可得，，又由A知函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上也有兩個(gè)零點(diǎn)，，所以函數(shù)在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：12.請(qǐng)寫出一個(gè)函數(shù)___________，使之同時(shí)具有如下性質(zhì)：①，，②，.【正確答案】【分析】根據(jù)①②可知函數(shù)是周期函數(shù)且關(guān)于對(duì)稱，即可求解.【詳解】性質(zhì)①②分別表示關(guān)于直線對(duì)稱和以4為周期，答案不唯一，寫出一個(gè)即可，例如，故13.已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，則滿足的x的取值范圍為_________【正確答案】.【分析】首先可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)稱性得到，解得即可.【詳解】由函數(shù)是偶函數(shù)，得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，而函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位而得，因此函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式等價(jià)于，即，整理得，解得，所以所求x的取值范圍為.故14.已知，，若存在最大值，則正數(shù)m的取值范圍是______.【正確答案】【分析】由輔助角公式可得，其中，，又由，從而得，因?yàn)榇嬖谧畲笾担瑥亩傻?，最后根?jù)，求解即可.【詳解】因?yàn)?，其中，又因?yàn)椋?，又因?yàn)閙為正數(shù)，所以，，所以，又因?yàn)榇嬖谧畲笾?，所以，又因?yàn)?，從而可得，所以，解?故四、解答題：15.已知向量，向量，記.（1）求表達(dá)式；（2）解關(guān)于x的不等式.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由向量的數(shù)量積運(yùn)算以及三角恒等變換化簡(jiǎn)，得函數(shù)的表達(dá)式；（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)，整體代換可得不等式的解集.【小問1詳解】解：因?yàn)橄蛄?，向量，所?所以.【小問2詳解】解：由（1）得，所以，即，解得，所以的解集為.16.已知函數(shù).（1）若，判斷并證明在上的單調(diào)性；（2）若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；證明見解析（2）【分析】（1）計(jì)算，考慮，和，兩種情況，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）變換得到，設(shè)，計(jì)算函數(shù)的最大值得到答案.【小問1詳解】，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.證明：，且，，，故，，當(dāng)，時(shí)，，所以，故，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，所以，故，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】，即，即，存在，使得成立.令，，.所以存在，成立.所以，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即.17.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減.（1）求的最大值；（2）若的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且在上的值域?yàn)?，求m的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）將看作整體，再根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)果；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的對(duì)稱中心及第一問可得解析式，再利用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得結(jié)果.【小問1詳解】由條件知?jiǎng)t，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：又有，當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式，舍去，所以的最大值為.【小問2詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以.即，由（1）得：，所以，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)?，所以，則，解得，所以m的取值范圍是.18.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）證明：；（2）若，，求.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由正弦定理，半角公式，正弦和角公式得到，結(jié)合得到，由正弦定理得到答案；（2）化切為弦，結(jié)合余弦差角公式，得到，結(jié)合（1）中結(jié)論求出，由余弦定理得到，，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案.【小問1詳解】由已知結(jié)合正弦定理，得，化簡(jiǎn)得，即，所以，又，所以，故由正弦定理得.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，結(jié)合，可得，故，由（1）知，由余弦定理得，則，化簡(jiǎn)得，代入，整理得，所以，所以，故.19.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【正確答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）確定定義域后，求得，分別在和兩種情況下，根據(jù)的正負(fù)即可確定的單調(diào)性；（2）將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為，由，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，可知，由此可得結(jié)果.【小問1詳解】解：由題意知：定義域?yàn)?,+∞，，二次函數(shù)的判別式．①當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞，無單調(diào)遞減區(qū)間；②當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，由得：或．當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增區(qū)間為，，單