湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高三上冊第二次月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測試卷一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，則（）A B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.3.已知是奇函數(shù)，，則是成立的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.若銳角滿足，則（）A. B. C.或 D.或5.某大學(xué)在校學(xué)生中，理科生多于文科生，女生多于男生，則下述關(guān)于該大學(xué)在校學(xué)生的結(jié)論中，一定成立的是（）A.理科男生多于文科女生 B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生 D.理科女生多于理科男生6.如圖，某車間生產(chǎn)一種圓臺形零件，其下底面的直徑為4cm，上底面的直徑為8cm，高為4cm，已知點是上底面圓周上不與直徑端點重合的一點，且為上底面圓的圓心，則與平面所成的角的正切值為（）A.2 B. C. D.7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓交于兩點，則的面積的最大值為（）A.1 B. C. D.8.設(shè)函數(shù)，若，則a的最小值為（）A. B. C.2 D.1二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.已知，且，下列關(guān)于二項分布與超幾何分布的說法中，錯誤的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.當(dāng)樣本總數(shù)遠(yuǎn)大于抽取數(shù)目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布10.已知函數(shù)最大值為2，其部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)為偶函數(shù)C.滿足條件正實數(shù)存在且唯一D.是周期函數(shù)，且最小正周期為11.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線交軸于點，直線經(jīng)過且與交于兩點，其中點A在第一象限，線段的中點在軸上的射影為點.若，則（）A.的斜率為B.是銳角三角形C.四邊形的面積是D.三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12.在中，是邊上的高，若，則______．13.已知定義在R上的函數(shù)滿足，則曲線y=fx在點處的切線方程為_____________.14.小澄玩一個游戲：一開始她在2個盒子中分別放入3顆糖，然后在游戲的每一輪她投擲一個質(zhì)地均勻的骰子，如果結(jié)果小于3她就將中的1顆糖放入中，否則將中的1顆糖放入中，直到無法繼續(xù)游戲．那么游戲結(jié)束時中沒有糖的概率是__________．四?解答題（本大題共5小題，共77分，解簽應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．）15.已知數(shù)列中，，且為數(shù)列的前項和，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．16.如圖，在以為頂點的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，.（1）證明：平面平面；（2）若為線段上一點，且，求二面角的余弦值.17已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意的，都有恒成立，求a的取值范圍．18.已知雙曲線的左?右焦點分別為的一條漸近線方程為，過且與軸垂直的直線與交于，兩點，且的周長為16.（1）求的方程；（2）為雙曲線右支上兩個不同的點，線段的中垂線過點，求的取值范圍.19.對于集合，定義運算符“”兩式恰有一式成立}，表示集合中元素的個數(shù)．（1）設(shè)，求；（2）對于有限集，證明，并求出固定后使該式取等號的的數(shù)量；（用含的式子表示）（3）若有限集滿足，則稱有序三元組為“聯(lián)合對”，定義，．①設(shè)，求滿足“聯(lián)合對”的數(shù)量；（用含的式子表示）②根據(jù)（2）及（3）①的結(jié)果，求中“聯(lián)合對”的數(shù)量．湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測試卷一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】解絕對值不等式與指數(shù)不等式可化簡集合，再利用交集的定義求解即可.【詳解】，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用表示以0,1為圓心，為半徑的圓，表示圓上的點到原點的距離可得答案.【詳解】因為在復(fù)平面內(nèi)，表示到點0,1距離為1的所有復(fù)數(shù)對應(yīng)的點，即表示以0,1為圓心，為半徑的圓，表示圓上的點到原點的距離，所以最短距離為，最長距離為，則的取值范圍是0,2.故選：D.3.已知是奇函數(shù)，，則是成立的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】當(dāng)成立，判斷是否成立，再由成立時，判斷是否成立，即可知是成立何種條件.【詳解】由是奇函數(shù)，則，即，解得，所以，當(dāng)時，，，，所以是奇函數(shù)，所以，所以是的充要條件.故選：A.4.若銳角滿足，則（）A. B. C.或 D.或【正確答案】B【分析】先利用輔助角公式求出，再利用角的變換，結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式求解即可.【詳解】由題意可得，解得，因為是銳角，所以，，所以.故選：B.5.某大學(xué)在校學(xué)生中，理科生多于文科生，女生多于男生，則下述關(guān)于該大學(xué)在校學(xué)生的結(jié)論中，一定成立的是（）A.理科男生多于文科女生 B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生 D.理科女生多于理科男生【正確答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為不等式問題，利用不等式性質(zhì)求解.【詳解】根據(jù)已知條件設(shè)理科女生有人，理科男生有人，文科女生有人，文科男生有人；根據(jù)題意可知，，根據(jù)異向不等式可減的性質(zhì)有，即有，所以理科女生多于文科男生，C正確.其他選項沒有足夠證據(jù)論證.故選：C.6.如圖，某車間生產(chǎn)一種圓臺形零件，其下底面的直徑為4cm，上底面的直徑為8cm，高為4cm，已知點是上底面圓周上不與直徑端點重合的一點，且為上底面圓的圓心，則與平面所成的角的正切值為（）A.2 B. C. D.【正確答案】A【分析】作出直線與平面所成的角，通過解直角三角形來求得直線與平面所成的角的正切值.【詳解】設(shè)為下底面圓的圓心，連接和，因為，所以，又因為平面，所以平面，因為是該圓臺的一條母線，所以四點共面，且，又平面，所以平面平面，又因為平面平面，所以點在平面的射影在直線上，則與平面所成角即為，過點作于點，因為，所以.故選：A7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓交于兩點，則的面積的最大值為（）A.1 B. C. D.【正確答案】D【分析】求得直線過定點以及圓心到直線的距離的取值范圍，得出的面積的表達(dá)式利用三角函數(shù)單調(diào)性即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可得直線恒過點，該點在已知園內(nèi)，圓的圓心為，半徑，作于點，如下圖所示：易知圓心到直線的距離為，所以，又，可得；因此可得，所以的面積為.故選：D8.設(shè)函數(shù)，若，則a的最小值為（）A. B. C.2 D.1【正確答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷在不同區(qū)間的符號，在結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得為該二次函數(shù)的一個零點，結(jié)合恒成立列不等式求參數(shù)最值.【詳解】函數(shù)定義域為，而，，，要使，則二次函數(shù)，在上，在上，所以為該二次函數(shù)的一個零點，易得，則，且開口向上，所以，只需，故a的最小值為.故選：B二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.已知，且，下列關(guān)于二項分布與超幾何分布的說法中，錯誤的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.當(dāng)樣本總數(shù)遠(yuǎn)大于抽取數(shù)目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布【正確答案】BC【分析】利用二項分布的期望、方差公式及期望、方差的性質(zhì)計算判斷AB；利用二項分布的概率公式計算判斷C；利用二項分布與超幾何分布的關(guān)系判斷D.【詳解】對于A，由，得，則，A正確；對于B，由，得，則，B錯誤；對于C，由，得，故，C錯誤；對于D，當(dāng)樣本總數(shù)遠(yuǎn)大于抽取數(shù)目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布，D正確.故選：BC10.已知函數(shù)的最大值為2，其部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)偶函數(shù)C.滿足條件的正實數(shù)存在且唯一D.是周期函數(shù)，且最小正周期為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)，且，因為函數(shù)的最大值為，可得，解得，又因為，所以，所以A正確；因為，且函數(shù)在的附近單調(diào)遞減，所以，所以，又因為，可得，所以，解得，所以，此時，其最小正周期為，所以C、D正確；設(shè)，，所以Fx為奇函數(shù)，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以B不正確.故選：ACD.11.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線交軸于點，直線經(jīng)過且與交于兩點，其中點A在第一象限，線段的中點在軸上的射影為點.若，則（）A.的斜率為B.是銳角三角形C.四邊形的面積是D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題意分析可知為等邊三角形，即可得直線的傾斜角和斜率，進(jìn)而判斷A；可知直線的方程，聯(lián)立方程求點的坐標(biāo)，求相應(yīng)長度，結(jié)合長度判斷BD；根據(jù)面積關(guān)系判斷C.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，即，設(shè)，則，可得，因為，即，可知為等邊三角形，即，且∥x軸，可知直線的傾斜角為，斜率為，故A正確；則直線，聯(lián)立方程，解得或，即，，則，可得，在中，，且，可知為最大角，且為銳角，所以是銳角三角形，故B正確；四邊形面積為，故C錯誤；因為，所以，故D正確；故選：ABD.方法點睛：有關(guān)圓錐曲線弦長、面積問題的求解方法（1）涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解；（2）面積問題常采用底高，其中底往往是弦長，而高用點到直線距離求解即可，選擇底很重要，選擇容易坐標(biāo)化的弦長為底．有時根據(jù)所研究三角形的位置，靈活選擇其面積表達(dá)形式，若求多邊形的面積問題，常轉(zhuǎn)化為三角形的面積后進(jìn)行求解；（3）在求解有關(guān)直線與圓錐曲線的問題時，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12.在中，是邊上的高，若，則______．【正確答案】【分析】設(shè)，表達(dá)出，根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出，進(jìn)而得到答案.【詳解】設(shè)，則，由得，解得，故，所以.故答案為.13.已知定義在R上的函數(shù)滿足，則曲線y=fx在點處的切線方程為_____________.【正確答案】【分析】利用方程組法求出函數(shù)解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，由點斜式可得切線方程.【詳解】因為，所以，聯(lián)立可解得，所以，所以.所以曲線在點處的切線方程為，故所求的切線方程為.故答案為.14.小澄玩一個游戲：一開始她在2個盒子中分別放入3顆糖，然后在游戲的每一輪她投擲一個質(zhì)地均勻的骰子，如果結(jié)果小于3她就將中的1顆糖放入中，否則將中的1顆糖放入中，直到無法繼續(xù)游戲．那么游戲結(jié)束時中沒有糖的概率是__________．【正確答案】【分析】設(shè)最初在A中有k顆糖，B中有顆糖時，游戲結(jié)束時B中沒有糖的概率為，歸納找出遞推關(guān)系，利用方程得出，再由遞推關(guān)系求.【詳解】設(shè)A中有k顆糖，B中有顆糖，游戲結(jié)束時B中沒有糖的概率為.顯然，，可得，則，，同理，，解得故關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于建立統(tǒng)一的一個6顆糖果放入2個盒子不同情況的模型，找到統(tǒng)一的遞推關(guān)系，利用遞推關(guān)系建立方程求出，即可得出這一統(tǒng)一模型的答案.四?解答題（本大題共5小題，共77分，解簽應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．）15.已知數(shù)列中，，且為數(shù)列的前項和，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【正確答案】（1）（2）【分析】(1)求出，可求出通項公式，即可求得an的通項公式；(2)求出，再討論為奇、偶數(shù)，利用裂項相消法即可求數(shù)列的前項和.【小問1詳解】根據(jù)題意知①，又因②，①式除②式可得，所以可得是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以，，當(dāng)時也滿足該式，所以.【小問2詳解】由(1)結(jié)論可知，所以，設(shè)的前項和為，則當(dāng)為偶數(shù)時，則當(dāng)為奇數(shù)時，所以.16.如圖，在以為頂點的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，.（1）證明：平面平面；（2）若為線段上一點，且，求二面角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）分析】（1）通過勾股定理及全等得出線線垂直，應(yīng)用線面垂直判定定理得出平面，由平面進(jìn)而得出面面垂直；（2）由面面垂直建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出法向量再應(yīng)用向量夾角公式計算二面角余弦值.【小問1詳解】證明：在平面內(nèi)，過做垂直于交于點，由為等腰梯形，且，則又，所以，連接，由，可知且，所以在三角形中，，從而，又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面【小問2詳解】由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，所以，由圖可以看出二面角為銳角，故二面角的余弦值為.17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意的，都有恒成立，求a的取值范圍．【正確答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）對求導(dǎo)，可得，再分類討論的取值，得出導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得出單調(diào)區(qū)間；（2）對進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求得的最小值，判斷是否滿足，即可求解．【小問1詳解】對求導(dǎo)，可得，令，即，即，當(dāng)時，f'x>0恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，f'x>0，在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】因為對于任意的，都有恒成立，對求導(dǎo)，可得，令，即，即，①當(dāng)時，f'x>0，則在0,+∞單調(diào)遞增，②當(dāng)時，，則，則，在0,+∞單調(diào)遞增，，符合題意；③當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增，所以，令，則，所以在1,+∞上單調(diào)遞減，所以，不合題意；綜上所述，．18.已知雙曲線的左?右焦點分別為的一條漸近線方程為，過且與軸垂直的直線與交于，兩點，且的周長為16.（1）求的方程；（2）為雙曲線右支上兩個不同的點，線段的中垂線過點，求的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）將代入曲線E得，故得，從而結(jié)合雙曲線定義以及題意得，解出即可得解.（2）設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程求得中點坐標(biāo)，再結(jié)合弦長公式求得的正切值，進(jìn)而得范圍，從而由即可得解.【小問1詳解】將代入，得，所以，所以，所以由題得，，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】由題意可知直線斜率存在且，設(shè)，,設(shè)的中點為.由消去y并整理得，，則，即，，，，于是點為，，.由中垂線知，所以，解得.所以