2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市高三上冊10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.已知是關(guān)于x的方程的一個根，，則（）A.0 B.2 C.1 D.43.已知向量不共線，，其中，若三點共線，則的最小值為（）A.5 B.4 C.3 D.24.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.設(shè)函數(shù)，則的最小值為（）A.780 B.390 C.400 D.2006.已知，則（）A. B. C. D.7.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且.若為的垂心，，則（）A. B. C. D.8.，用表示中的較小者，記為，設(shè)函數(shù)，若，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）AB.C.在上增函數(shù)D.函數(shù)在上有且只有2個零點10.下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）A.已知點是直線l上三個不同的點，O為直線l外一點，且，則B.已知向量，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是C.已知點G為三條邊中線的交點，則D.已知，則在上的投影的坐標(biāo)為11.設(shè)函數(shù)且，則（）A.函數(shù)和圖像關(guān)于直線對稱B.函數(shù)和的圖像的交點均在直線上C.若，方程的根為，方程的根為，則D.已知，若恒成立，則的取值范圍為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，若在上是增函數(shù)，則正數(shù)m的取值范圍是_______.13.設(shè)函數(shù)，若在上是減函數(shù)，則a的取值范圍為_______．14.，若定義，則中的元素有_______個．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知公差d不為0的等差數(shù)列an的前n項和為.（1）求an（2）令，記為數(shù)列bn的前n項和，若，求n的最小值.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，若，求的極值點和極值、最值點和最值；（2）討論在上的單調(diào)性．17.已知函數(shù).（1）求方程在上的解集；（2）設(shè)函數(shù)；（i）證明：在有且只有一個零點；（ii）在（i）的條件下，記函數(shù)的零點為，證明.18.已知函數(shù)．（1）若在上為增函數(shù)，求的值范圍；（2）已知的圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像．且是的一個零點，若在上恰好有6個零點，求n的最大值；（3）已知函數(shù)，在第（2）問的條件下，若對任意，存在，使得成立，求a的取值范圍．19.已知函數(shù)．（1）若，證明：；（2）記數(shù)列的前n項和為．（i）若，證明：．（ii）已知函數(shù)，若，證明：．2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)集合的交集、并集運算求解.【詳解】因為，所以，故選：C2.已知是關(guān)于x的方程的一個根，，則（）A.0 B.2 C.1 D.4【正確答案】D【分析】根據(jù)實系數(shù)一元二次方程根的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可.【詳解】因為是關(guān)于x的方程的一個根，，所以是關(guān)于x的方程的一個根，于是有，故選：D3.已知向量不共線，，其中，若三點共線，則的最小值為（）A.5 B.4 C.3 D.2【正確答案】B【分析】根據(jù)向量共線定理和基本不等式即可求解.【詳解】因為三點共線，所以存在實數(shù)k，使，即，又向量不共線，所以，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”號，故選：B4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】先利用二倍角公式對題中已知條件進行變形，對進行平方化簡變形，然后再判斷兩個條件的邏輯關(guān)系即可得解.【詳解】必要性：由，可得，則，即.所以“”是“的必要條件；充分性；由，可得，即，則，得或.所以“”不是“的充分條件；故選：B5.設(shè)函數(shù)，則的最小值為（）A.780 B.390 C.400 D.200【正確答案】C【分析】根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)，累加并注意等號成立的條件即可得解.【詳解】因，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；以此類推，直到，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由兩角差的正弦公式、兩角和的余弦公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式中的商關(guān)系、兩角差的正切公式進行求解即可.【詳解】由由，于是有，故選：D7.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且.若為的垂心，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)和得，從而可以得出，設(shè)，，得，，再結(jié)合垂心和直角三角形余弦值即可求解.【詳解】如圖，延長交于點，延長交于點，延長交于點.由為的垂心，，且，得，所以，又，則，同理可得，所以，設(shè)，，則，，所以，即，，所以，所以.故選：B.關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用“奔馳定理”得到，從而利用對頂角相等得到，由此得解.8.，用表示中的較小者，記為，設(shè)函數(shù)，若，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題中函數(shù)的定義，利用基本不等式進行求解即可.【詳解】因為函數(shù)都是實數(shù)集上的增函數(shù)，所以在R上為增函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)1時，成立.同時因為當(dāng)時，，所以當(dāng)時，恒成立，即當(dāng)時，，即.設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時取等號，所以.故選：A關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解函數(shù)的性質(zhì)，運用基本不等式進行求解.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.B.C.在上為增函數(shù)D.函數(shù)在上有且只有2個零點【正確答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的周期判斷A，根據(jù)函數(shù)的對稱軸判斷B，根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性判斷C，根據(jù)數(shù)形結(jié)合判斷D.【詳解】由題意得函數(shù)的最小正周期為，所以成立，A項正確；因為，所以是的最小值，所以直線是圖象的一條對稱軸，所以成立，B項正確；當(dāng)時，，當(dāng)時，為減函數(shù)，C項錯誤；由題意知在有兩個不等實根，設(shè)，由函數(shù)的圖象，如圖，易知與直線有兩個不同的交點，D項正確.故選：ABD10.下列關(guān)于平面向量說法中正確的是（）A.已知點是直線l上三個不同的點，O為直線l外一點，且，則B.已知向量，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是C.已知點G為三條邊的中線的交點，則D.已知，則在上的投影的坐標(biāo)為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)平面向量共線的性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角坐標(biāo)公式、三角形重心的性質(zhì)、投影的定義逐一判斷即可.【詳解】A：因為點是直線l上三個不同的點，O為直線l外一點，且，所以有，正確；B：，當(dāng)與共線且同向時，，此時與的夾角為零，而，不正確；C：設(shè)邊上的中線為，于是，因為點G為三條邊的中線的交點，所以點G是三角形的重心，因此有，于是有，正確；D：因為，所以在上的投影的坐標(biāo)為：，所以本選項正確，故選：ACD11.設(shè)函數(shù)且，則（）A.函數(shù)和的圖像關(guān)于直線對稱B.函數(shù)和的圖像的交點均在直線上C.若，方程的根為，方程的根為，則D.已知，若恒成立，則的取值范圍為【正確答案】AC【分析】對于A：根據(jù)反函數(shù)性質(zhì)分析判斷；對于B：舉反例說明即可；對于C：整理可得，，同構(gòu)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析證明；對于D：根據(jù)題意分析可得，構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析其最值，結(jié)合恒成立問題即可得結(jié)果.【詳解】對于選項A：因為和互為反函數(shù)，可知其圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；對于選項B：例如，則，可知和的圖像有交點和，均不在直線上，故B錯誤；對于選項C：由題意可得：，因為，可得，即，設(shè)函數(shù)，因為在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，又因為，則，即，故C正確；對于選項D：當(dāng)時，為增函數(shù)，若，則，與矛盾，舍去，所以，若恒成立，則，即，兩邊取對數(shù)可得，即，同理可得：等價于，即，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；則，可得，解得，所以的取值范圍為，例如，可得，即，且為增函數(shù)，可得，符合題意，故D錯誤.故選：AC.關(guān)鍵點點睛：對于C：根據(jù)題意整理可得，，進而可同構(gòu)函數(shù)；對于D：根據(jù)題意分析可知：，解得的取值范圍為，進而取反例說明.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，若在上是增函數(shù)，則正數(shù)m的取值范圍是_______.【正確答案】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)對稱軸與周期的關(guān)系，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】因為函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，解得，即，因為在上是增函數(shù)，則，所以函數(shù)的增區(qū)間包含，令，得，所以，所以故的取值范圍為.故13.設(shè)函數(shù)，若在上是減函數(shù)，則a的取值范圍為_______．【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法進行求解即可.【詳解】由，因為在上是減函數(shù)，所以在上恒成立，即，設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，所以，因此當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，所以，因此當(dāng)時，，因此有，于是有，故14.，若定義，則中的元素有_______個．【正確答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算公式，結(jié)合題中定義進行求解即可.【詳解】因為，，所以，，共14個元素.故關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解題中定義.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知公差d不為0的等差數(shù)列an的前n項和為.（1）求an（2）令，記為數(shù)列bn的前n項和，若，求n的最小值.【正確答案】（1）（2）6【分析】（1）利用等差數(shù)列前n項和及通項公式求基本量，即可寫出通項公式；（2）由（1）及題設(shè)，應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式、分組求和得，結(jié)合不等式能成立及單調(diào)性求正整數(shù)n的最小值．【小問1詳解】由題設(shè)，所以，而，所以【小問2詳解】由題設(shè)，則，所以，又在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，求n的最小值6．16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，若，求的極值點和極值、最值點和最值；（2）討論在上的單調(diào)性．【正確答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合極值點、極值、最值點、最值的定義進行求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)，并分類討論參數(shù)a研究函數(shù)單調(diào)性.【小問1詳解】當(dāng)時，，令f′x>0，解得，或，而，所以，或，令f′x<0所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此是函數(shù)的極大值點，極大值為；是函數(shù)的極小值點，極小值為；因為，當(dāng)時，，所以函數(shù)在時，是函數(shù)的最大值點，最大值為，沒有最小值點，無最小值；【小問2詳解】由，當(dāng)時，在[0,1]上，f′x>0，因此函數(shù)當(dāng)時，令，解得，或，若時，即時，在上，，因此函數(shù)單調(diào)遞增，在上，，因此函數(shù)單調(diào)遞減；若時，即時，在[0,1]上，，因此函數(shù)單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時，在[0,1]上函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上函數(shù)單調(diào)遞增，在上函數(shù)單調(diào)遞減；17.已知函數(shù).（1）求方程在上的解集；（2）設(shè)函數(shù)；（i）證明：在有且只有一個零點；（ii）在（i）的條件下，記函數(shù)的零點為，證明.【正確答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）利用余弦二倍角公式化簡方程，再結(jié)合輔助角公式即可；（2）（i）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)分區(qū)間研究函數(shù)的性質(zhì)，利用零點存在定理可證明；（ii）然后利用換元法求值域即可證明.【小問1詳解】所以.所以或當(dāng)時，，則，又，所以或，當(dāng)，則，又.所以或，所以或，所以方程在上解集為.【小問2詳解】（i）設(shè).當(dāng)，則，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，又在區(qū)間上也單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又所以在時有唯一零點，當(dāng)，所以，所以在上沒有零點，綜上，在有唯一零點.（ii）記函數(shù)的零點為，所以，且，所以，所以，令，因為，所以，又，則，所以.18.已知函數(shù)．（1）若在上為增函數(shù)，求的值范圍；（2）已知的圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像．且是的一個零點，若在上恰好有6個零點，求n的最大值；（3）已知函數(shù)，在第（2）問的條件下，若對任意，存在，使得成立，求a的取值范圍．【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件可列，從而解得的值范圍.（2）由，，可得，從而知的解析式，再由正弦函數(shù)的零點，分析即可；（3）原問題可轉(zhuǎn)化為的值域是值域的子集，再根據(jù)正余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分別求得與在對應(yīng)定義域內(nèi)的值域，列出關(guān)于a的不等式組，解之即可.【小問1詳解】因在