《大學物理(下冊)》課件-第12章

第12章振動12.1簡諧振動的描述12.2-幾種常見的簡諧振動12.3簡諧振動的能量12.4簡諧振動的合成12.5阻尼振動、受迫振動、共振12.6電磁振蕩本章小結習題

12.1簡諧振動的描述

12.1.1簡諧振動最基本、最簡單的振動是簡諧振動。一切復雜的振動都可以分解為若干個簡諧振動的合成。下面我們討論簡諧振動的基本規(guī)律。物體運動時,如果離開平衡位置的位移(或角位移)隨時間按余弦函數(shù)的規(guī)律變化,這種運動稱為簡諧振動。

將一個質量為m的物體系于一端固定的彈簧的自由端,就組成了一個彈簧振子。設一彈簧振子放在光滑水平面上,在彈簧處于自然長度時,物體所受合外力為零,物體處于平衡位置O點。以O點為坐標原點,向右為x軸正向。如果把物體略加移動后釋放,該物體將在彈性力的作用下在O點兩側作往復運動。下面將證明:在這種運動中,物體離開平衡位置的位移x將隨時間t按余弦函數(shù)的規(guī)律變化,是簡諧振動。

12.1.2-簡諧振動的表達式

現(xiàn)在以彈簧振子為例來作動力學分析。如圖12.1所示,一根輕彈簧和一個質量為m的物體(可視為質點)構成一個彈簧振子系統(tǒng),其平衡位置位于x軸的坐標原點O,物體沿x方向運動。圖12.1彈簧振子系統(tǒng)

1.振幅

由式(12-4)可知,當|cos(ωt+φ)|=1時,振動物體的位移x達到最大值A,A表示物體作簡諧運動時離開平衡位置的最大位移,稱為振幅。

2.角頻率

簡諧振動表達式(12－4)中的ω稱為角頻率。振動的特征之一是運動具有周期性。振動往復一次(即完成一次全振動)所經(jīng)歷的時間稱為周期,用T表示。根據(jù)式(12－4)可知,簡諧振動的周期與角頻率的關系為

單位時間內物體完成全振動的次數(shù)叫頻率,用ν表示。頻率與周期及角頻率的關系為

周期的單位為秒(s)。頻率的單位為赫茲(Hz),1Hz=1s-1。

3.相位

由式(12-4)可知,當角頻率ω和振幅A一定時,物體在任一時刻t的位置取決于ωt+φ,ωt+φ稱為相位,它反映出振動物體在任一時刻的運動狀態(tài)。t=0時刻的相位φ稱為初相位,簡稱初相。初相φ用弧度表示,它反映初始時刻(t=0)振動物體的運動狀態(tài)。

12.1.3簡諧振動的速度和加速度

根據(jù)式(12－1),可求得任意一個時刻物體的速度和加速度:

式中,vm=Aω,am

=Aω2。從式(12－9)和式(12－10)可以看出,物體作簡諧運動時,其速度和加速度也隨時間作與位移同頻率的“簡諧振動”,但位移、速度和加速度振動的相位不相同,速度的相位比加速度超前π/2,加速度的相位比速度超前π/2,比位移超前π。圖12.2畫出了簡諧運動的位移、速度、加速度與時間的關系。式x=Acos(ωt+φ)中的A和φ,即簡諧振動的振幅和初相,可由初始條件決定。設t=0時物體的初位移為x0,初速度為v0,則不難得到圖12.2-簡諧振動的位移、速度和加速度

12.1.4簡諧振動的旋轉矢量表示

在研究簡諧運動時,常采用一種比較直觀的幾何描述方法,稱為旋轉矢量法。該方法不僅在描述簡諧運動和處理振動的合成問題時提供了簡捷的手段,而且能把簡諧運動的三個特征量非常直觀地表示出來。在直角坐標系Oxy中,以原點O為始端作一矢量A,讓矢量A以角速度ω繞O點作逆時針方向的勻速轉動,如圖12.3所示。矢量A稱為旋轉矢量。矢量A在旋轉過程中其端點M在x軸上的投影P將以O點為中心作往復振動?，F(xiàn)在我們來考察投影點P的振動規(guī)律。圖12.3簡諧振動的旋轉矢量表示

設在t=0時,矢量A與x軸之間的夾角為φ。經(jīng)過時間t,矢量A與x軸之間的夾角變?yōu)棣豻+φ,則P點的運動方程為

可見,旋轉矢量A的端點M在x軸上的投影點P的運動是簡諧運動。不難看出,矢量A的長度即為簡諧運動的振幅A,矢量A的角速度即為振動的角頻率ω,在初始時刻(t=0),矢量A與x軸的夾角φ即為初相位,任意時刻矢量A與x軸的夾角即為振動的相位ωt+φ。

【例12.1】已知某質點沿x軸作簡諧振動,其振動曲線如圖12.4所示,求:

(1)質點的振動表達式。

(2)質點的速度和加速度。圖12.4例12.1圖

【例12.2】如圖12.5所示,一質量為0.01kg的物體作簡諧運動,其振幅為0.08m,周期為4s,起始時刻在x=0.04m處,向Ox軸負方向運動。試求:

(1)t=1.0s時物體所處的位置和所受的力;

(2)由起始位置運動到x=-0.04m處所需要的最短時間。圖12.5例12.2圖

12.2-幾種常見的簡諧振動

12.2.1單擺如圖12.6所示,細線的上端固定,下端系一可看做質點的重物自然下垂,就構成一個單擺。細線稱為擺線,其質量和伸長均忽略不計,重物稱為擺球。把擺球從其平衡位置拉開一段距離后放手,擺球就在豎直平面內來回擺動。圖12.6單擺

設在某一時刻擺線偏離鉛垂線的角位移為θ,并取逆時針方向為角位移θ的正方向。在忽略空氣阻力的情況下,擺球沿圓弧運動圖12.6單擺所受的合力沿切線方向的分力(即重力在這一方向的分力)為

根據(jù)牛頓第二定律得

在角位移θ很小時,sinθ≈θ,所以

上式表明:在小角度擺動的情況下,單擺的振動是簡諧振動,其角頻率和周期分別為

可見,單擺的周期取決于擺長和該處的重力加速度,可通過測量單擺周期確定該處的重力加速度。

12.2.2-復擺

一個可繞固定軸O擺動的剛體稱為復擺,也稱物理擺。如圖12.7所示,平衡時,擺的重心C在軸的正下方。設在任一時刻t,重心與軸的連線OC與豎直方向的夾角為θ,規(guī)定偏離平衡位置沿逆時針方向轉過的角位移為正,這時復擺受到對轉軸O的力矩為

式中的負號表明力矩M的轉向與角位移θ的轉向相反。圖12.7復擺

12.3簡諧振動的能量

下面仍以彈簧振子為例來說明振動系統(tǒng)的能量。當物體的位移為x,速度為v時,彈簧振子的彈性勢能和動能分別為

以上分析表明,彈簧振子系統(tǒng)的動能和彈性勢能都隨時間t作周期性變化,但其總能量不隨時間改變,即其機械能不變,如圖12.8所示。這是因為在簡諧振動過程中,只有系統(tǒng)的保守內力作功,其他非保守內力和外力均不作功,所以系統(tǒng)的總能量必然守恒,也就是說,系統(tǒng)的動能與勢能不斷地相互轉換,而總能量卻保持恒定。

【例12.3】如圖12.9所示,已知彈簧的勁度系數(shù)為k,物體的質量為m,滑輪的半徑為R,轉動慣量為J。開始時托住物體m,使得系統(tǒng)保持靜止,繩子剛好拉直而彈簧無形變,t=0時放開m。設繩子與滑輪間無相對滑動。

(1)證明放開后m作簡諧振動。

(2)求振動周期。

(3)寫出m的振動表達式。圖12.8振動能量

12.4簡諧振動的合成

12.4.1兩個同方向同頻率簡諧振動的合成一般的振動合成問題比較復雜,我們先討論兩個同方向同頻率簡諧振動的合成。

若兩個x方向的簡諧振動,角頻率都是ω,振幅分別為A1和A2,初相分別為φ1和φ2,則它們的表達式分別為

在任意時刻合振動的位移為兩個分振動位移的代數(shù)和,即

用旋轉矢量法可以直觀簡便地求出合成結果。如圖12.10所示,兩個分振動的旋轉矢量分別為A1和A2,t=0時刻它們與x軸的夾角分別為φ1和φ2,在x軸上的投影分別為x1和x2,A1和A2-的合矢量為A,而A在x軸上的投影為x=x1+x2,可見A表示的是兩個分振動的合振動對應的旋轉矢量。又因為A1和A2-以相同的角速度ω勻速旋轉,所以在旋轉過程中平行四邊形的形狀保持不變,因而合矢量A的長度保持不變,并以相同的角速度ω勻速旋轉。因此,合振動是簡諧振動,其表達式為

參照圖12.10,可由余弦定理求得合振動的振幅為

合振動的初相φ應滿足圖12.10兩個同方向同頻率簡諧振動的合成

從式(12－19)可以看到,合振幅不僅與兩個分振動的振幅有關,而且與兩者的初相差有關。下面討論兩個特例:

(1)若兩個振動同相位,即φ2-φ1=2kπ(k=0,±1,±2,…),則

A=A1+A2-

此時合成結果相互加強,合振幅最大。

(2)若兩分振動相位相反,即φ2-1=(2k+1)π(k=0,±l,±2,…),則

A=|A1-A2|

此時合成結果相互減弱,合振幅最小。特別地,如果A1=A2,則A=0,就是說兩個等幅而反相的簡諧振動的合成將使質點處于靜止狀態(tài)。

12.4.2-兩個同方向不同頻率簡諧振動的合成

如果兩個簡諧振動的振動方向相同而頻率不同,那么它們的合振動雖然仍與原來的振動方向相同,但不再是簡諧振動。

為了簡化問題,設兩簡諧振動的振幅都是A,初相都為零,它們的振動表達式可分別寫成

運用三角函數(shù)的和差化積公式可得合振動的表達式為

上式不符合簡諧振動的定義,所以合振動不再是簡諧振動。但當兩個分振動的頻率都較大而其差很小,即|ν2-ν1|?ν2+ν1時,我們就把

看成合振動的振幅,其大小隨時間周期性緩慢變化且具有周期性,表現(xiàn)出振動忽強忽弱的現(xiàn)象。兩個頻率都較大、但頻率之差很小的同方向簡諧振動合成所產(chǎn)生的合振動振幅隨時間周期性變化的現(xiàn)象稱為拍,而將合振幅變化的頻率稱為拍頻。由式(12-21)可知,拍頻

12.4.3相互垂直的簡諧振動的合成

當一個質點同時參與兩個不同方向的振動時,它的合位移是兩個分位移的矢量和。一般情況下質點將在平面上作曲線運動,其軌跡由兩個分振動的頻率、振幅和相位差決定。下面先討論同頻率相互垂直簡諧振動的合成。

設兩個簡諧振動分別在x軸和y軸上進行,它們的振動表達式分別為

聯(lián)立式(12－23(a))和(12－23(b))消去參量t,即可得質點的軌跡方程為

下面簡單討論兩個相互垂直但具有不同頻率的簡諧振動的合成。一般情況下,由于相位差不是定值,因此合振動的軌跡是不穩(wěn)定的。若兩個分振動的頻率之比為有理數(shù),即頻率之比為簡單的整數(shù)比,則合成運動具有穩(wěn)定的、封閉的運動軌跡,這些軌跡稱為李薩如圖形。在工程技術領域常利用李薩如圖形進行頻率和相位的測定。

12.5阻尼振動、受迫振動、共振

12.5.1阻尼振動簡諧振動是一種無阻尼自由振動。在簡諧振動過程中,系統(tǒng)的機械能是守恒的,因而振幅不隨時間而變化,即物體只在彈性力或準彈性力的作用下,永不停止地以不變的振幅振動下去,所以簡諧振動屬于等幅振動。

實際上,任何振動物體都要受到阻力的作用,這時的振動叫阻尼振動。由于系統(tǒng)能量的損失,阻尼振動的振幅會不斷地減小,所以它是減幅振動。通常振動系統(tǒng)的能量損失的原因有兩種:一種是摩擦阻力的作用,稱為摩擦阻尼;另一種是振動能量向四周輻射出去,稱為輻射阻尼。在下面的討論中,我們僅考慮摩擦阻尼這一簡單情況。

實驗指出,當物體以不太大的速率在黏性介質中運動時,介質對物體的阻力與物體的運動速率成正比,方向與運動方向相反,即

式中,比例系數(shù)γ叫做阻力系數(shù),它與物體的形狀、大小及介質的性質有關。對彈簧振子,在彈性力及阻力的作用下,物體的運動方程為

令這里ω0為無阻尼時振子的固有角頻率,β稱為阻尼因子,代入上式后可得

對于確定的系統(tǒng),根據(jù)阻尼大小的不同,微分方程式(12-25)有不同形式的解,對應著不同的運動情況。

(1)在阻尼作用較小,即β<ω0時,微分方程式(12-25)的解為

其中:

式(12-26)為小阻尼時阻尼振動的位移表達式,式中A0和φ0是由初始條件決定的兩個積分常數(shù),振動曲線如圖12.11曲線a所示。

從位移表達式可以看出,阻尼振動不是簡諧振動,也不是嚴格的周期運動。在小阻尼的情況下,將式(12－26)中的A0e-βt看做隨時間變化的振幅,這樣阻尼振動就可看做振幅按指數(shù)規(guī)律衰減的準周期振動。把振動物體相繼兩次通過極大(或極小)位置所經(jīng)歷的時間稱為周期,那么阻尼振動的周期為

這就是說,阻尼振動的周期比振動系統(tǒng)的固有周期要長,阻尼作用愈大,振幅衰減得愈快,振動愈慢。

(2)當阻尼過大,即β>ω0時,方程(12-25)的解為

其中,C1和C2-為積分常數(shù)。此時物體將緩慢地回到平衡位置,以后便不再運動,這種情況稱為過阻尼,如圖12.11曲線b所示。

(3)當阻尼作用滿足β=ω0時,方程(12-25)的解為

其中,C1和C2-為積分常數(shù)。此時對應的是小阻尼與過阻尼之間的臨界情況。與過阻尼相比,物體從運動到靜止在平衡位置所經(jīng)歷的時間最短,故稱臨界阻尼,如圖12.11曲線c所示。圖12.11阻尼振動

12.5.2-受迫振動和共振

如果對振動系統(tǒng)施加一個周期性的外力,所發(fā)生的振動稱為受迫振動。這個周期性外力稱為策動力。許多實際的振動屬于受迫振動,如聲波引起耳膜的振動、機器運轉時引起基座的振動等。

假設策動力有簡單形式F=F0cosωt,ω為策動力的角頻率。物體受迫振動的運動方程為

在阻尼較小的情況下,上述微分方程的解為

此解表示,受迫振動是兩個振動的合成。解的第一項表示一個減幅振動,它隨時間t很快衰減;第二項則表示一個穩(wěn)定的等幅振動。經(jīng)過一段時間后,第一項衰減到可忽略不計,所以受迫振動穩(wěn)定時的振動表達式為

將式(12－31)代入式(12－29)可求得

必須指出的是,受迫振動的角頻率不是振子的固有角頻率,而是策動力的角頻率;A(穩(wěn)態(tài)受迫振動的振幅)和φ(穩(wěn)態(tài)受迫振動與策動力的相位差)均與初始條件無關,而與策動力的振幅及頻率有關。

由式(12-32)可知,穩(wěn)態(tài)受迫振動的振幅隨策動力的頻率而改變,其變化情況如圖12.12所示。當策動力的頻率為某一特定值時,振幅達到極大值。由式(12-32)利用求極值的方法,可得振幅達到極大值時對應的角頻率為圖12.12-受拍振動的振幅與策動力頻率之間的關系

可見,在阻尼很小(β?ω0)的情況下,若策動力的頻率近似等于振動系統(tǒng)的固有頻率,位移振幅將達到最大值,這種現(xiàn)象稱為位移共振。

共振有利有弊。有利的例子如利用共振來提高樂器的音響效果,利用核磁共振研究物質結構以及醫(yī)療診斷等;有弊的例子如機器在工作過程中由于共振會使某些零部件損壞,大橋會因共振而坍塌等。

12.6電磁振蕩

12.6.1振蕩電路和無阻尼自由電磁振蕩

在電路中,電流和電荷以及與之相伴的電場和磁場的振動,就是電磁振蕩。本節(jié)介紹最簡單、最基本的無阻尼自由電磁振蕩,它由LC電路(即電容C和自感L組成的電路)產(chǎn)生。

如圖12.13所示,先由電源對電容器充電,使兩極板間的電勢差U0等于電源的電動勢ε,這時電容器兩極板A、B上分別帶有等量異號的電荷+Q0和-Q0,然后用轉換開關S使電容器和自感線圈相連接。在電容器放電之前瞬間,電路中沒有電流,電場的能量全部集中在電容器的兩極板間(見圖12.14(a))。

圖12.13LC電磁振蕩電路圖12.14無阻尼自由電磁振蕩

當電容器放電時,電流就在自感線圈中激起磁場,由電磁感應定律可知,在自感線圈中將激起感應電動勢,以反抗電流的增大。因此在放電過程中,電路中的電流將逐漸增大到最大值,兩極板上的電荷也相應地逐漸減少到零。在放電終了時,電容器兩極板間的電場能量全部轉換為線圈中的磁場能量(見圖12.14(b))。

在電容器放電完畢時,電路中的電流達到最大值。這時由于線圈的自感作用,對電容器作反向充電。結果使B板帶正電,A板帶負電。隨著電流的逐漸減弱到零,電容器兩極板上的電荷也相應地逐漸增加到最大值。這時磁場能量又全部轉換為電場能量(見圖12.14(c))。

然后,電容器又通過線圈放電,電路中的電流逐漸增大,不過這時電流的方向與圖12.14(b)中的相反,電場能量又轉換成了磁場能量(見圖12.14(d))。

此后,電容器又被充電,恢復到原狀態(tài),完成了一個完全的振蕩過程。

由上述可知,在只有電容C和自感L組成的LC電路中,電荷和電流都隨時間作周期性變化,相應地電場能量和磁場能量也都隨時間作周期性變化,而且不斷地相互轉換著。這種電荷和電流、電場和磁場隨時間作周期性變化的現(xiàn)象叫做電磁振蕩。如電路中沒有任何能量消耗(轉換為焦耳熱、電磁輻射等),那么這種變化過程將在電路中一直繼續(xù)下去,這種電磁振蕩叫做無阻尼自由電磁振蕩,亦稱LC電磁振蕩。

12.6.2-無阻尼自由電磁振蕩的振蕩方程

下面來定量討論LC電路中,電荷和電流隨時間變化的規(guī)律。在圖12.13中,設某一時刻電路中的電流為i,根據(jù)歐姆定律,在無阻尼的情況下,任一瞬時的自感電動勢為

由于i=dq/dt,上式可寫成

令ω2=1/(LC),有

這正是12.1節(jié)介紹的簡諧運動微分方程,其解為

式中,q為任一時刻電容器極板上的電荷,Q0是其最大值,叫做電荷振幅,φ是初相,Q0和φ的數(shù)值是由起始條件決定的,ω是振蕩的角頻率,而頻率和周期分別為

把q對時間求導數(shù),可得電路中任意時刻的電流為

令I0為電流的最大值,叫做電流振幅,則ωQ0=I0,上式為

由式(12-37)和式(12-39)可以看出,在LC電磁振蕩電路中,電荷和電流都隨時間作周期性變化,電流的相位比電荷的相位超前π/2。當電容器的兩板上所帶的電荷最大時,電路中的電流為零;反之,電流最大時,電荷為零。圖12.15表示電荷和電流隨時間變化的情況。圖12.15無阻尼自由振蕩中的電荷和電流隨時間的變化

由式(12-38)可以看出,LC電路電磁振蕩的頻率ν是由振蕩電路本身的性質,即由線圈的自感L和電容器的電容C所決定的。圖12.16為一簡單的半導體收音機調諧電路,改變電路中電容C或自感L,就可得到所需的頻率或周期。圖12.16調諧電路

12.6.3無阻尼自由電磁振蕩的能量

下面定量討論LC振蕩電路中的電場能量、磁場能量和總能量。設電容器的極板上帶有電荷q,則電容器中的電場能量為

式(12-40)表明LC振蕩電路中電場能量是隨時間作周期性變化的。當自感線圈中通過電流i時,線圈中的磁場能量為

這表明LC振蕩電路中的磁場能量也是隨時間t作周期性變化的,于是LC振蕩電路中的總能量為

可見,在無阻尼自由電磁振蕩過程中,電場能量和磁場能量不斷地相互轉化,但在任何時刻其總和保持不變。在電場能量最大時,磁場能量為零;反之,在磁場能量最大時,電場能量為零。

應當指出的是,LC振蕩電路中的電磁場能量守恒是有條件的。首先,電路中的電阻必須為零,這樣在電路中才會避免因電阻產(chǎn)生焦耳熱而損耗電磁能;其次,電路中不存在任何電動勢,即沒有其他形式的能量與電路交換;最后,電磁能不能以電磁波的形式輻射出去。但實際上任何振蕩電路都有電阻,電磁能量不斷地轉換為焦耳熱,而且在振蕩過程中,電磁能量不可避免地還會以電磁波的形式輻射出去。因此LC電磁振蕩電路是一個理想化的振蕩電路模型。

【例12.4】在LC電路中,已知L=260μH,C=120pF,初始時兩極板間的電勢差U0=1V,且電流為零。

(1)求振蕩頻率;

(2)求最大電流;

(3)求電容器兩極板間電場能量隨時間變化關系;

(4)求自感線圈中的磁場能量隨時間變化關系;

(5)證明在任意時刻電場能量與磁場能量之和總是等于初始時的電場能量。

本章小結

1.基本概念和數(shù)學表達式簡諧振動x=Acos(ωt+φ)簡諧振動的旋轉矢量表示如圖12.3所示。

簡諧振動的動力學特征

單擺:由擺線和擺球組成繞固定軸轉動的系統(tǒng)。

復擺:繞固定軸轉動的剛體。

在簡諧振動中,系統(tǒng)的動能與勢能不斷地相互轉換,而總能量保持恒定。

阻尼振動:阻力作用下的振動,能量逐漸減少。

受迫振動:對振動系統(tǒng)施加一個周期性的外力所發(fā)生的振動。

共振:策動力的頻率近似等于振動系統(tǒng)的固有頻率,位移振幅將達到最大值。

2.重要結論

兩個同方向同頻率簡諧振動的合成:

習題

12-1兩個相同的彈簧掛著質量不同的物體,當它們以相同的振幅作簡諧振動時,振動的能量是否相同?

12-2-兩個同方向、同頻率的簡諧振動合成時,合振幅最大和最小的條件分別是什么?

12-3彈簧振子作簡諧振動時,如果振幅增為原來的兩倍而頻率減小為原來的一半,那么它的總能量怎樣改變?

12-4一系統(tǒng)先作無阻尼自由振動,然后作阻尼振動,它的周期將如何變化?

12-5一簡諧振動的運動方程為,求角頻率ω、頻率ν、周期T、振幅A和初相位φ。

12-6若簡諧運動方程為x=0.