1.3乘法公式第4課時(shí)（課件）-2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步課堂（北師大版）

1.3乘法公式

第1章

整式的乘除第4課時(shí)北師大版（2024）

七年級(jí)

下冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步掌握完全平方公式；(重點(diǎn))2.靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算．(難點(diǎn))新課導(dǎo)入復(fù)習(xí)回顧1.完全平方公式:(a+b)2=

;(a-b)2=

.

即兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的

.

a2+2ab+b2a2-2ab+b2乘積的2倍2.簡(jiǎn)記為：首平方，尾平方，積的兩倍放中央，和是加差是減．新課導(dǎo)入情境引入

有一個(gè)王國(guó)的公主被妖怪抓到了森林里,兩個(gè)農(nóng)夫一起去森林打獵時(shí)打死了妖怪救出了公主,國(guó)王要賞賜他們.這兩個(gè)農(nóng)夫原來(lái)各有一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形土地,第一個(gè)農(nóng)夫就對(duì)國(guó)王說(shuō):“您可不可以再給我一塊邊長(zhǎng)為b米的正方形土地呢?”國(guó)王答應(yīng)了他,國(guó)王問(wèn)第二個(gè)農(nóng)夫:“你是不是要跟他一樣啊?”第二個(gè)農(nóng)夫說(shuō):“不,我只要您把我原來(lái)的那塊地的邊長(zhǎng)增加b米就好了”.國(guó)王想不通了,他說(shuō):“你們的要求不是一樣的嗎?”第一個(gè)農(nóng)民的土地?cái)U(kuò)大后面積為(a2+b2)米2,第二個(gè)農(nóng)民的土地?cái)U(kuò)大后面積為(a+b)2米2.思考：a2+b2與(a+b)2有什么關(guān)系?新課講授

探究一：運(yùn)用完全平方公式簡(jiǎn)便運(yùn)算思考：怎樣計(jì)算1022，992更簡(jiǎn)便呢？解:(1)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404.(2)1972=(200-3)2=2002-2×200×3+32=40000-1200+9=38809.你是怎樣做的？與同伴進(jìn)行交流.新課講授解:(1)原式=(100-0.2)2=1002-2×100×0.2+0.04=10000-40+0.04=9960.04.

新課講授

探究二：綜合利用乘法公式進(jìn)行計(jì)算計(jì)算:(1)(x+3)2-x2;

(2)(a+b+3)(a+b-3);解:(1)方法一:(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2=6x+9.(2)(a+b+3)(a+b-3)=[(a+b)+3][(a+b)-3]=(a+b)2-32=a2+2ab+b2-9.方法二:逆用平方差公式(x+3)2-x2=(x+3+x)(x+3-x)=(2x+3)·3=6x+9.思考：有幾種計(jì)算方法？新課講授(3)(x+5)2-(x-2)(x-3)；(4)[(a+b)(a-b)]2.(3)(x+5)2-(x-2)(x-3)=x2+10x+25-(x2-5x+6)=x2+10x+25-x2+5x-6=15x+19.注意:不要漏掉括號(hào).(4)[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2=a4-2a2b2+b4.新課講授方法歸納乘法公式的應(yīng)用技巧：(1)在計(jì)算兩數(shù)的平方差時(shí)，若底數(shù)是多項(xiàng)式，則可以直接利用完全平方公式展開后，再合并同類項(xiàng)，也可以把它看成一個(gè)整體，逆用平方差公式計(jì)算.(2)不能直接應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算的式子,可能需要先添括號(hào)變形成符合公式的要求才行;(3)減去多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式時(shí)，需注意添括號(hào).新課講授

探究三：完全平方公式的常見(jiàn)變形及應(yīng)用1×12×23×3...

觀察下圖，你認(rèn)為(m+n)×(m+n)點(diǎn)陣中的點(diǎn)數(shù)與m×m點(diǎn)陣、n×n點(diǎn)陣中的點(diǎn)數(shù)之和一樣多嗎?請(qǐng)用所學(xué)的公式解釋自己的結(jié)論.觀察·思考不一樣多.(m+m)2=m2+n2-2mn≠m2+n2新課講授解:(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×1=7.(2)(a-b)2=(a+b)2-4ab=32-4×1=5.已知a+b=3,ab=1,求:(1)a2+b2的值;(2)(a-b)2的值.嘗試·思考新課講授知識(shí)歸納完全平方公式的常見(jiàn)變形：(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;(2)(a+b)2-(a-b)2=4ab;(3)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2).典例分析例1：借助乘法公式計(jì)算:(1)79.82;(2)1992-201×199.解:(1)79.82=(80-0.2)2=802-2×80×0.2+0.22=6400-32+0.04=6368.04.(2)1992-201×199=(200-1)2-(200+1)(200-1)=2002-2×200+1-(2002-1)=2002-400+1-2002+1=-400+2=-398.典例分析例2：計(jì)算:(1)(x+2y-3)(x+2y+3);(2)(2a-b+c)(2a+b-c).解:(1)原式=[(x+2y)-3][(x+2y)+3]=(x+2y)2-32=x2+4xy+4y2-9.(2)原式=[2a-(b-c)][2a+(b-c)]=(2a)2-(b-c)2=4a2-b2+2bc-c2.典例分析例3：已知a+b=10,a2+b2=4,求ab的值.解:因?yàn)?a+b)2=a2+2ab+b2,所以102=4+2ab,所以100=4+2ab,解得ab=48.學(xué)以致用1.將9.52變形,正確的是 (

)A.9.52=92+0.52B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)C.9.52=102-2×10×0.5+0.52D.9.52=92+9×0.5+0.52C2.下列計(jì)算正確的是 (

)A.(b-4c)2=b2-16c2B.(a-2bc)2=a2+4abc+4b2c2C.(x+y)2=x2+xy+y2D.(4m-n)2=16m2-8mn+n2D3.若(a+b)2=(a-b)2+A,則A為 (

)A.2ab B.-2ab C.4ab D.-4abC學(xué)以致用5.如圖①,把一個(gè)長(zhǎng)為2m,寬為2n(n<m)的長(zhǎng)方形對(duì)折兩次后展開,再用剪刀沿圖中折痕剪開,把它分成四塊完全相同的小長(zhǎng)方形,然后按圖②那樣拼成一個(gè)大正方形,則中間空白部分的面積是(

)A.2m B.(m+n)2C.(m-n)2 D.m2-n24.一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為a,b,周長(zhǎng)為14,面積為10,則a2+b2等于 (

)A.27 B.29 C.31 D.32BC學(xué)以致用7.一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加3cm,它的面積就增加45cm2,則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是

.

6.化簡(jiǎn):(x+2)2+4(1-x)=

.

x2+86cm8.若a+b+c=4,ab+bc+ca=4,則a2+b2+c2的值為

.

89.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)962

；(2)2032.解：(1)原式=(100-4)2=1002+42-2×100×4=10000+16-800=9216；(2)原式=(200+3)2=2002+32++2×200×3=40000+9+1200=41209.學(xué)以致用10.計(jì)算:(1)(x+1)2-(x+2)(x-2);(2)(a+2b)(a-2b)+(a+2b)2-4ab;

(3)(2a-b+c)(2a+b-c).解:(1)原式=x2+2x+1-x2+4=2x+5.(3)原式=[2a-(b-c)][2a+(b-c)]=(2a)2-(b-c)2=4a2-b2+2bc-c2.(2)原式=a2-4b2+a2+4ab+4b2-4ab

=2a2.學(xué)以致用11.若a+b=5,ab=－6,求a2+b2,a2－ab+b2.解：a2+b2

=（a+b)2－2ab

=52-2×(－6)=37；a2－ab+b2=a2+b2－ab=37－(－6)=43.學(xué)以致用12.勝利公園有一塊正方形草坪,需要修整成一塊長(zhǎng)方形草坪,在修整時(shí)一邊加長(zhǎng)了4m,與其相鄰的一邊減少了4m,這時(shí)得到的長(zhǎng)方形草坪的面積與原來(lái)正方形草坪的邊長(zhǎng)減少了2m后的面積相等,求原正方形草坪的面積是多少.解:設(shè)原正方形草坪的邊長(zhǎng)為xm.根據(jù)題意,得(x+4)(x-4)=(x-2)2,x2-16=x2-4x+4,4x=20,x=5.所以原正方形草坪的面積為52=25(m2).課堂小結(jié)乘法公式4應(yīng)用完全平方公式簡(jiǎn)便運(yùn)算乘法公式的綜合應(yīng)用完全平方公式的常見(jiàn)變形(1)在計(jì)算兩數(shù)的平方差時(shí)，若底數(shù)是多項(xiàng)式，則可以直接利用完全平方公式展開后，再合并同類項(xiàng)，也可以把它看成一個(gè)整體，逆用