1.3乘法公式第3課時（課件）-2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊同步課堂（北師大版）

1.3乘法公式

第1章

整式的乘除第3課時北師大版（2024）

七年級

下冊學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點;（重點）2.會運用公式進(jìn)行簡單的運算；(難點)新課導(dǎo)入復(fù)習(xí)回顧平方差公式：(a+b)(a?b)=

.平方差公式的結(jié)構(gòu)特征:(1)_________________________________________________，(2)

.a2?

b2

即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積,等于它們的

.

平方差

左邊是兩個二項式的乘積，即兩項和與這兩項差的積右邊是這兩項的平方差一塊邊長為a米的正方形實驗田，因需要將其邊長增加b米.形成四塊實驗田，以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實驗田的總面積,并進(jìn)行比較.你發(fā)現(xiàn)了什么？aabb新課導(dǎo)入情境引入你會求這塊試驗田的面積嗎？有幾種方法呢？新課講授

探究：完全平方公式計算下列各式：(2)(2+3x)2.(1)(m+3)2;解：(1)(m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+2×3m+9=m2+6m+9.(2)(2+3x)2=(2+3x)(2+3x)=22+2×3x+2×3x+9x2=4+2×2×3x+9x2=4+12x+9x2.

觀察以上算式及其運算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？新課講授(m+3)2=m2+6m+9,(2+3x)2=4+12x+9x2.由以上計算可得：一個二項式(兩數(shù)和)的平方兩數(shù)的平方和加上這兩數(shù)乘積的兩倍你能再具一些類似的例子嗎？與同伴進(jìn)行交流.新課講授例如：(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1(m+n)2=

(m+n)(m+n)=m2+mn+mn+n2=m2+2mn+n2.你能用自己的語言敘述這一結(jié)論嗎?用字母表示為：(a+b)2=

a2+2ab+b2.兩數(shù)和的平方等于這兩數(shù)的平方和加上這兩數(shù)積的兩倍.(1)你能用下圖解釋(a+b)2=a2+2ab+b2這一公式嗎?思考·交流新課講授①大正方形的面積是：

.a2ababb2(a+b)2所以(a+b)2=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2.②大正方形的面積又可以由4小塊組成，它們的面積分別為：___、___、___、___.a2b2abab新課講授(2)如何計算(a-b)2=？你是怎樣做的？與同伴進(jìn)行交流.兩數(shù)差的平方等于這兩數(shù)的平方和減去這兩數(shù)積的兩倍.解:方法一:(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.方法二:(a-b)2=[a+(-b)2]=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2.你能用自己的語言敘述這一結(jié)論嗎?用字母表示為：(a-b)2=

a2-2ab+b2.新課講授(1)陰影部分的面積是：

.a?ba?baabbabb(a-b)(a-b)2(2)陰影部分的面積也可以由大正方形減去______和_________.abb(a-b)所以(a-b)2=a2-ab-b(a-b)

=a2-2ab+b2請你設(shè)計一個圖形解釋(a-b)2=a2-2ab+b2這一公式.嘗試·思考新課講授知識歸納完全平方公式:（a+b)2=

.（a-b)2=

.a2+2ab+b2a2-2ab+b2語言描述：兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.這兩個公式叫作完全平方公式.完全平方公式的特征：①公式左邊是一個二項式的完全平方．②公式的右邊是一個二次三項式,分別是二項式中每一項的平方及兩項乘積的2倍．簡記為：首平方，尾平方，積的兩倍放中央，同號加異號減.新課講授1.利用完全平方公式計算:(1)(2x-3)2;(2)(4x+5y)2;(3)(mn-a)2.(2)(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2=16x2+40xy-25y2.

解:(1)(2x-3)2=(2x)2-2·2x·3+32=4x2-12x+9.(3)(mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2=m2n2-2amn+a2.新課講授知識歸納利用完全平方公式計算的基本步驟:①確定公式中的a和b;②確定和差關(guān)系;③選擇公式;④計算結(jié)果.注意:①公式中的字母a,b可以表示具體的數(shù),也可以表示含字母的單項式或多項式.②兩個平方項的底數(shù)要帶上括號.③套用公式時不要漏掉2ab項.新課講授2.你認(rèn)為下列各式應(yīng)該怎樣用完全平方公式計算?(1)(-x+3y)2;(2)(-m-n)2;(3)(a+b+c)2.解:(1)(-x+3y)2=[-(x-3y)]2=(x-3y)2=x2-6xy+9y2.(2)(-m-n)2=[-(m+n)]2=(m+n)2=m2+2mn+n2.(3)(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.新課講授方法歸納完全平方公式的應(yīng)用技巧:(1)當(dāng)首項為負(fù),或者兩項均為負(fù)時,可以利用添括號法則變?yōu)槠湎喾磾?shù)的平方,再套公式計算;(2)三個數(shù)和的完全平方,也可以利用添括號和整體思想轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)的和的完全平方進(jìn)行計算.新課講授

回顧借助幾何圖形解釋或分析問題的過程，對于形與數(shù)的聯(lián)系，你有哪些感悟？回顧·反思

用幾何直觀的方法對完全平方公式進(jìn)行解釋，不僅能清晰地“看到”公式的結(jié)構(gòu)，同時能感受這樣的抽象代數(shù)運算也有直觀的背景.典例分析解:(1)(4x+0.5)2=(4x)2+2·4x·0.5+0.52=16x2+4x+0.25.(3)(2x2-3y2)2=(2x2)2-2·2x2·3y2+(3y2)2=4x4-12x2y2+9y4.

典例分析例2：如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個完全平方式，求m的值．解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61．分析:先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù),再根據(jù)完全平方公式確定m的值．學(xué)以致用2.下列各式能用完全平方公式計算的是 (

)A.(2a+b)(a-2b) B.(a+2b)(2b-a)C.(2a+b)(-2a-b) D.(b-2a)(-2a-b)1.計算(a-3)2的結(jié)果是 (

)A.a2+9 B.a2+6a+9C.a2-6a+9 D.a2-9CC3.下列各式中與2nm-m2-n2相等的是 (

)A.(m-n)2 B.-(m-n)2C.-(m+n)2 D.(m+n)2B學(xué)以致用5.如圖所示，將完全相同的四個長方形紙片拼成一個大的正方形,根據(jù)圖形用兩種不同的方法表示這個大正方形的面積,則可以得出一個等式為(

)A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.(a+b)2=(a-b)2+4ab4.若(x+a)2=x2-8x+b,則a,b的值分別為(

)A.4,16

B.-4,-16

C.4,-16

D.-4,16DD學(xué)以致用6.計算:(ab-1)(-ab+1)=

.

7.若代數(shù)式x2+kx+25可以寫成一個多項式的平方,則k=

.

8.若a-b=7,ab=12,則a2-3ab+b2=

.

-a2b2+2ab-1±1037(2)(-4x+3y)2=(-4x)2+2·(-4x)·3y+(3y)2=16x2-24xy+9y2.

學(xué)以致用10.計算：(1)(2x+y)2-(y-2x)2;(2)(-2x+3y)2(-2x-3y)2.解：(1)原式=(4x2+4xy+y2)-(y2-4xy+4x2)=8xy.(2)原式=(2x-3y)2(2x+3y)2=[(2x-3y)(2x+3y)]2=(4x2-9y2)2=16x4-72x2y2+81y4.學(xué)以致用11.某正方形的邊長為acm(a>3),若把這個正方形的邊長減少3cm,則面積減少了多少?解:原正方形的面積為a2cm2,現(xiàn)正方形的面積為(a-3)2cm2,面積減少了a2-(a-3)2

=a2-(a2-6a+9)=a2-a2+6a-9