算法案例教學(xué)設(shè)計(jì)

算法案例教學(xué)設(shè)計(jì)秦九韶算法浙江省黃巖中學(xué)教材分析本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)3必修本（A版）》第一章1.3算法案例。算法不僅是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，也是計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要基礎(chǔ)。在現(xiàn)代社會中，計(jì)算機(jī)已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ鞑豢扇鄙俚墓ぞ?。從?shù)學(xué)發(fā)展的歷史看，算法并不是一個(gè)全新的概念，中國古代數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵著許多豐富的算法內(nèi)容和思想，秦九韶算法是一個(gè)經(jīng)典的算法，這節(jié)課是在學(xué)習(xí)了算法與程序框圖，基本算法語句之后作為上述知識的一個(gè)應(yīng)用，通過選用中國古代的一個(gè)著名算法，既鞏固和深化前面所學(xué)的知識與技能，又激發(fā)學(xué)生的愛國主義精神和民族自豪感。學(xué)情分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了算法與程序框圖，基本算法語句，并且學(xué)生通過信息技術(shù)課的學(xué)習(xí)，初步掌握了運(yùn)用計(jì)算機(jī)的能力，由于學(xué)生對多項(xiàng)式函數(shù)的概念理解有較好的基礎(chǔ)，這為學(xué)習(xí)算法案例提供較好的能力基礎(chǔ)。但是由于算法是高中數(shù)學(xué)中較新的內(nèi)容，學(xué)生在理解算法上存在一定的困難，因此教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生思想方法的培養(yǎng)和訓(xùn)練，從問題解決的觀點(diǎn)去分析教材和組織教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、思考和解決問題。教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)知識與技能：初步體會算法的思想，會簡單分析算法的數(shù)學(xué)原理，會根據(jù)算法繪制程序框圖，發(fā)現(xiàn)算法中循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。過程與方法：以算法的優(yōu)劣作為突破口，引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)較優(yōu)算法，掌握算法的基本思想，體會算法在數(shù)學(xué)中無處不在以及如何實(shí)現(xiàn)算法的基本方法情感態(tài)度價(jià)值觀：以實(shí)踐活動(dòng)作為教學(xué)的基點(diǎn)，體會算法的時(shí)代特點(diǎn)。了解中國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，激發(fā)愛國熱情。教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)分析重點(diǎn)是理解秦九韶算法的思想；難點(diǎn)是將算法思想轉(zhuǎn)化成算法步驟，循環(huán)結(jié)構(gòu)的使用。教學(xué)的策略：任務(wù)驅(qū)動(dòng)和探究活動(dòng)教學(xué)過程設(shè)計(jì)【模塊一】：問題引入、創(chuàng)設(shè)情景引言：解決任何一個(gè)問題，都有一定的方法與步驟。在數(shù)學(xué)中解決問題的方法與步驟稱為算法。對于一個(gè)數(shù)學(xué)問題如何設(shè)計(jì)合理的算法？算法的設(shè)法有什么要求？這是數(shù)學(xué)問題解決中的重要環(huán)節(jié)。一般說來，算法的設(shè)計(jì)分為兩部分，第一是尋找解決該問題的數(shù)學(xué)方法；第二是描述實(shí)現(xiàn)這個(gè)方法的步驟。而一個(gè)好的解決方法成為算法優(yōu)劣的重要標(biāo)志。著名數(shù)學(xué)家華羅庚就“燒水沏茶”問題設(shè)計(jì)了兩個(gè)算法：（教師展示）算法一：第一步：燒水；第二步：水燒開后，洗刷茶具；第三步：沏茶。算法二：第一步：燒水；第二步：燒水過程中，洗刷茶具；第三步：水燒開后沏茶。算法一框圖：算法二框圖：[設(shè)計(jì)思想：體會算法的優(yōu)劣，了解解決同一問題的不同方法可以產(chǎn)生不同的算法]讓學(xué)生討論，這兩個(gè)算法的區(qū)別在哪里？教師分析這兩個(gè)算法的區(qū)別在于什么時(shí)間洗刷茶具。教師隨后提出哪個(gè)算法有更高的效率？為什么？由學(xué)生回答。教師分析：第二個(gè)算法的好處在于時(shí)間，因而有更高的效率。一個(gè)好的算法應(yīng)該有一個(gè)好的指導(dǎo)思想。一般地，我們判斷一個(gè)算法的優(yōu)劣可以從這個(gè)算法的高效性和通用性等方面考慮?！灸K二】：問題探究，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教師提出問題，設(shè)計(jì)求多項(xiàng)式，當(dāng)x=5時(shí)的值的算法，并寫出程序。[設(shè)計(jì)思想：任務(wù)驅(qū)動(dòng)]提出一般的解決方案：x=5f=2*x^5－5*x^4－4*x^3＋3*x^2－6*x＋7PRINT“f=”；fEND教師分析：這種方法的優(yōu)點(diǎn)是簡單，易懂。但從算法角度看，這不是一個(gè)好算法。為什么呢？首先它不通用，它不能解決任意多項(xiàng)式的求值問題，每做一個(gè)具體問題都要重新設(shè)計(jì)一個(gè)算法；其次算法的效率不高，這個(gè)算法一共做了15次乘法運(yùn)算，5次加法運(yùn)算。提出問題：有沒有比這高效的算法？讓學(xué)生思考并分析：在計(jì)算自變量x的冪的時(shí)候，我們可以利用前面的計(jì)算結(jié)果，以減少計(jì)算量。如先計(jì)算x2，然后依次計(jì)算x2·x，(x2·x)·x，((x2·x)·x)·x的值，這樣我們就可以減少運(yùn)算量，這個(gè)算法一共做了10次乘法，5次加法。第二種做法與第一種做法相比，乘法的運(yùn)算次數(shù)減少了，因而能提高運(yùn)算的效率，對于計(jì)算機(jī)來說做一次乘法的運(yùn)算時(shí)間比做一次加法運(yùn)算要長得多，第二種做法自然能更快地得到結(jié)果。教師再進(jìn)一步提出：對于這個(gè)問題能否探索更好的算法，來解決任意多項(xiàng)式的求值問題？[設(shè)計(jì)思想：進(jìn)一步深化問題，從規(guī)律上探索問題的解決方法]先來分析多項(xiàng)式變形的過程：（展示課件）====。教師提問：變形后的式子有什么特點(diǎn)？特別是自變量x的系數(shù)有什么規(guī)律？[設(shè)計(jì)思想：培養(yǎng)學(xué)生觀察問題的能力]分析：原多項(xiàng)式自變量x的系數(shù)是2，－5，－4，3，－6，7；變形后自變量x的系數(shù)分別為2，2x－5，(2x－5)x－4，((2x－5)x－4)x＋3，(((2x－5)x－4)x＋3)x－6。教師提問：此時(shí)，若將x的值代入變形后的最后一式，那么求值的計(jì)算過程是怎樣的？[設(shè)計(jì)思想：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納總結(jié)]教師：（展示課件）計(jì)算的過程我們可以列表表示：原多項(xiàng)式x系數(shù)2－5－43－67運(yùn)算10251055402670＋變換后x的系數(shù)25211085342677×5最后的系數(shù)2677即為所求的值。歸納：從表上看，每一級運(yùn)算都是將前一項(xiàng)系數(shù)乘以x的值再加上后一項(xiàng)系數(shù)，將此系數(shù)繼續(xù)乘以x的值再加上新的后一項(xiàng)系數(shù)，其和再作為新的前一項(xiàng)系數(shù)，依次類推，直至最后一項(xiàng)為止。該系數(shù)即為所求的多項(xiàng)式的值。教師介紹：這種算法稱為“秦九韶算法”。秦九韶（――約公元1202－1261年），字古道，四川省安岳縣人，南宋杰出數(shù)學(xué)家。淳祐七年（1247年）撰成《數(shù)書九章》（又名《數(shù)學(xué)九章》）18卷，對“大衍求一術(shù)”（整數(shù)論中的一次同余式解法）和“正負(fù)開方術(shù)”（高次方程的數(shù)值解法）的研究，取得卓越的成果，比西方數(shù)學(xué)家歐拉、高斯以及霍納等人所取得的同樣成果早500多年。教師提出問題：秦九韶算法的計(jì)算效率如何？用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值，與多項(xiàng)式的組成有直接關(guān)系嗎？分析：秦九韶算法計(jì)算該問題共做了5次乘法，5次加法，效率明顯提高。在求值的過程中，計(jì)算只與多項(xiàng)式的系數(shù)有關(guān)。教師分析：從這兩點(diǎn)看，秦九韶算法符合好算法的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)即高效性和通用性，直到今天這種算法仍是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法。[設(shè)計(jì)思想：介紹中國古代杰出的數(shù)學(xué)成就，激發(fā)民族自豪感]【模塊三】：數(shù)學(xué)建模，探求一般規(guī)律教師提出問題：對于秦九韶算法，核心是將多項(xiàng)式進(jìn)行變形，那么對于一般的多項(xiàng)式：，如何按上面的方式將其變形？分析（可由學(xué)生自主完成）：可以按下面方式改寫：===教師分析：對于這種變形我們首先計(jì)算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項(xiàng)式的值，然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，將n次多項(xiàng)式的求值轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值。整個(gè)計(jì)算過程形成了一個(gè)數(shù)列：；；；………………。這種數(shù)列各項(xiàng)的計(jì)算具有很強(qiáng)的規(guī)律性，是一種重復(fù)計(jì)算的過程，適合用計(jì)算機(jī)來計(jì)算?！灸K四】：描述算法，設(shè)計(jì)步驟體現(xiàn)算法思想教師分析：有了好的算法以后，我們就要設(shè)計(jì)解題步驟去實(shí)現(xiàn)算法。觀察秦九韶算法的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算時(shí)要用到的值。若令，我們可以得到下面的遞歸算法：。這是一個(gè)在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟，可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)。課件演示：（以5次多項(xiàng)式為例）教師提出要求學(xué)生根據(jù)算法框圖，計(jì)算用秦九韶算法求n次多項(xiàng)式當(dāng)x=x0（x0是任意實(shí)數(shù)）時(shí)，需要多少次乘法運(yùn)算，多少次加法運(yùn)算？分析：共需要n次乘法運(yùn)算，n次加法運(yùn)算。[設(shè)計(jì)思想：了解計(jì)算機(jī)算法的基本原理，掌握循環(huán)結(jié)構(gòu)的使用]要求學(xué)生根據(jù)算法框圖編寫一個(gè)程序，驗(yàn)證上面多項(xiàng)式值的計(jì)算。CLSDIMa(100)INPUT"輸入多項(xiàng)式次數(shù)n="；nFORi=nTO0STEP－1PRINT"輸入第"+STR$(i)+"系數(shù)"INPUTa(i)CLSNEXTiINPUT"輸入自變量的值x=";xv=a(n)FORi=n－1TO0STEP－1v=v*x+a(i)NEXTiPRINT"多項(xiàng)式的值f="；vEND可以利用計(jì)算機(jī)或可編程計(jì)算器（如TI圖形計(jì)算器）驗(yàn)證結(jié)果，并進(jìn)行多項(xiàng)式求值的計(jì)算。五、后記在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中結(jié)合具體數(shù)學(xué)實(shí)例引入算法的基本思想，特別是以中國古代數(shù)學(xué)方