北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平方根（解析版）

第04講平方根

［學(xué)蔣目標(biāo)］

i.了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根.

2.了解開(kāi)方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用開(kāi)方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平方

根.

3.掌握平方根與算術(shù)平方根的有關(guān)運(yùn)算

［豳基礎(chǔ)知.

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知識(shí)點(diǎn)1:平方根

1.算術(shù)平方根的定義

如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即f=a,那么這個(gè)正數(shù)X叫做。的算術(shù)平方根(規(guī)定

0的算術(shù)平方根還是0)；。的算術(shù)平方根記作、石，讀作的算術(shù)平方根”，。叫做被

開(kāi)方數(shù).

注意：當(dāng)式子女有意義時(shí)，。一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即&N0,a20.

2.平方根的定義

如果好=。，那么x叫做。的平方根.求一個(gè)數(shù)。的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方.平方與

開(kāi)平方互為逆運(yùn)算.a(aNO)的平方根的符號(hào)表達(dá)為土&(a20),其中&是a的算術(shù)

平方根.

知識(shí)點(diǎn)2：平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系

1.區(qū)別：(1)定義不同；(2)結(jié)果不同：土和

2.聯(lián)系：(1)平方根包含算術(shù)平方根；

(2)被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；

(3)0的平方根和算術(shù)平方根均為0.

注意：(1)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方根；負(fù)

數(shù)沒(méi)有平方根.

(2)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫(xiě)出它的另一個(gè)

平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來(lái)研究平方根.

知識(shí)點(diǎn)3：平方根的性質(zhì)

a6/>0

=\a\=<0a=0

-aa<Q

（G）=a（a>0）

知識(shí)點(diǎn)4：平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律

被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位,它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者

向左移動(dòng)1位.例如：J62500=250,7625=25,7625=2.5,,0.0625=0.25.

IG考點(diǎn)剖析

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考點(diǎn)一：平方根的概念和表示

例1.（2023八上東方期末）實(shí)數(shù)9的平方根是（）

A.3B.±3C.+百D.81

【答案】B

【解答］解：；（±3）2=9,

.*.9的平方根為±3.

故答案為：B.

【變式1-1］（2023八上.平昌期末）實(shí)數(shù)4的平方根為（）.

A.16B.2C.±2D.±V2

【答案】C

【解答】解：：（±2）2=4,

.'.4的平方根為±2,

故答案為：C.

【變式1-2】（2022八上.蓮湖月考）計(jì)算俄的平方根結(jié)果是（）

A.±2B.±4C.2D.4

【答案】A

【解答】解：V16=4,4的平方根是±2.

故答案為：A.

【變式1-3】（2022八上.西安月考）已知后二1+|8-4|=0，則年的平方根是（）

A.迎B.+3C.+止D.顯

2~2-44

【答案】B

【解答】解：?：7a_3+|b—4|=0

a=3，b=4

3

--故平方根為：±4

代入得,4

2

故答案為：B.

考點(diǎn)二：平方根的性質(zhì)

V2.（2022八上?電白期中）已知一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)不相等的平方根是a+6與2a-9.

（1）求a和m的值;

（2）求關(guān)于x的方程ax2-16=0的解.

【答案】（1）解：由題意得：a+6+2a-9=0,

解得:a=l,

?'-m=（a+6）2=49;

（2）解：原方程為：%2—16=0）

*'?X2=16，

解得：x=±4.

【變式2-1】（2022八上.龍華期中）若巾+4與巾―2是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根，則m

的值為（）

A.3B.-3C.1D.-1

【答案】D

【解答】解：：巾+4與m—2是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根，

-'-m+4與m—2互為相反數(shù)，

??m4-4+m—2=0，

?*m=—

故答案為：D.

【變式2-2](2022春?仁懷市校級(jí)月考)若根是169的正的平方根，〃是121的負(fù)的平方

根，求：

(1)m+n的值；

(2)(m+n)之的平方根.

【解答】解：(1)V132=169,

Am=13,

(-11)2=⑵，

?"=-11,

.,?加+〃=13+(-11)=2；

(2)(m+n)2=4=(±2)2,

(m+n)2的平方根是±2.

故答案為：(1)2,(2)±2.

【變式2-3](2021秋?河南月考)已知一個(gè)數(shù)m的兩個(gè)不相等的平方根分別為〃+2和3a

-18.

(1)求〃的值；

(2)求這個(gè)數(shù)

【解答】解：(1);數(shù)根的兩個(gè)不相等的平方根為〃+2和3〃-18,

?'?(。+2)+(3〃-18)=0,

，4〃=16,

解得〃=4；

(2)???。+2=4+2=6,3a-18=3X4-18=-6,

.\m=(±6)2=36,

???加的值是36

考點(diǎn)三：利用開(kāi)平方解方程

例3.(2022秋?蓮湖區(qū)校級(jí)月考)求下列各式中x的值.

(1)9/-25=0；

(2)(x-1)2=36.

【解答】解：(1)移項(xiàng)得，9/=25,

兩邊都除以9得，

9

由平方根的定義得，X=±9；

3

(2)(x-1)2=36,

由平方根的定義得，x-1=土6,

即尤=7或x=-5.

【變式3-1](2022秋?江陰市校級(jí)月考)求下列各式中尤的值：

(1)x2-4=0；

⑵(x-1)2-9=0.

【解答】解：(1)/-4=0,

1=4,

x=+2.

(2)(x-1)2-9=0,

(xT)2=9,

x-1=±3,

x—4或苫=-2.

【變式3-2](2022秋?新城區(qū)期中)已知2?-8=0,求x的值.

【解答】解：2?-8=0,

2X2=8,

/=4,

x=±2.

考點(diǎn)四：算術(shù)平方根的概念

r、一例4.(2022八上.順義期末)4的算術(shù)平方根是()

A.2B.±2C.y/2

D.16

【答案】A

【解答】解：4的算術(shù)平方根是日=2；

故答案為：A.

【變式4-1】(2023八上?達(dá)州期末)已知產(chǎn)=彳是二元一次方程組『久+叼=?的解，則

(y=1(nx—my=1

2m-n的算術(shù)平方根為()

A.±2B.y/2C.2D.4

【答案】C

【解答】解：..卡二悔二元一次方程組1黑」笥二:的解,

.（2m+n=8①

（2n—m=1②

由①+②x2得

5n=10,

解之：n=2,

；?2m+2=8,

解之：m=3,

..?方程組的解為｛々二:

/.2m-n=2x3-2=4

，2m-n的算術(shù)平方根為2.

故答案為：C

【變式4-2］（2022八上?綿陽(yáng)競(jìng)賽）質(zhì)的算術(shù)平方根是.

【答案】3

【解答】解：V81=9，炳=3,

二9的算術(shù)平方根是3,

故答案為：3.

考點(diǎn)五：算術(shù)平方根的非負(fù)性

例5.（2021八上.河源期末）若|3x-2y+l|+“+y一3=0,則xy的算術(shù)平方根

是.

【答案】V2

【解答】解：|3x-2y+l|+J%+y—3=0,

.（3x—2y=-1

,,Ix+y=3'

解得：『=

ly=2

則xy=2,2的算術(shù)的平方根是北，

故答案為：V2

【變式5-1］（2021秋?濱?？h期末）已知實(shí)數(shù)無(wú)，y滿足JU+（y+l）2=0,則x-y等于

()

A.1B.-1C.-3D.3

【答案】D

【解答】解：工+（y+1）』0,而（尹1）220,

.*.X-2=0,y+l=0,

解得x=2,y=-1,

.'.x-y=2-（-1）=2+1=3.

故選：D.

【變式5-2］（2022春?綏江縣期中）若（a-1）2+再工=0,則Q-b）202』（）

A.1B.-1C.0D.2022

【答案】A

【解答】解：：（a-1）2+匹工=0,而（a-1）220,匹工20,

'.a-1=0,b-2=0,

解得a=l,b=2,

???（〃-。）2022=（一i）202』i.

故選：A.

考點(diǎn)六：算術(shù)平方根的應(yīng)用

例6.（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）小李同學(xué)想用一塊面積為400c源的正方形紙片，

沿著邊的方向裁出一塊面積為300c病的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)寬之比為2：3,他不知道

能否裁得出來(lái)，正在發(fā)愁，這時(shí)小于同學(xué)見(jiàn)了說(shuō)：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙

片裁出一塊面積小的紙片.”

（1）長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)和寬是分別多少

（2）你是否同意小于同學(xué)的說(shuō)法？說(shuō)明理由.

【解答】解：（1）解：設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3x（x>0）cm,則寬為2尤cm,依題意得,

3x?2x=300,

6^=300,<=50,

Vx>0,

?'.x=V50=5V2>

長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為15&cm,

答：長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)是15，5<:小，寬是

（2）不同意小于同學(xué)的說(shuō)法.

理由：V50>49,

A5近>7,

.*.15V2>21.

長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)大于20sj,由正方形紙片的面積為400c/?2,可知其邊長(zhǎng)為200",

長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)大于正方形紙片的邊長(zhǎng)，

不能用這塊紙片裁出符合要求的長(zhǎng)方形紙片.

【變式6]（2022秋?市北區(qū)期中）某新建學(xué)校計(jì)劃在一塊面積為256〃，的正方形空地上建

一個(gè)面積為150加2的長(zhǎng)方形花園（長(zhǎng)方形花園的邊與正方形空地的邊平行），要求長(zhǎng)方

形花園的長(zhǎng)是寬的2倍.請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該學(xué)校能否實(shí)現(xiàn)這個(gè)計(jì)劃.

【解答】解：長(zhǎng)方形花壇的寬為加t,長(zhǎng)為

??,建一個(gè)面積為150療的長(zhǎng)方形花園，

/.2x*x=150,

:?j?=75,

Vx>0,

2X=1OV3?

??,正方形的面積為256m2,

?,?正方形的邊長(zhǎng)為16m,

：10我>16,

...當(dāng)長(zhǎng)方形的邊與正方形的邊平行時(shí)，學(xué)校不能實(shí)現(xiàn)這個(gè)愿望.

[域真題演練

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1.（2022?攀枝花）2的平方根是（）

A.2B.±2C.V2D.士加

【答案】D

【解答】解：因?yàn)椋ㄍ?）2=2,

所以2的平方根是士&,

故選：D.

2.（2021?濟(jì)南）9的算術(shù)平方根是（）

A.3B.-3C.±3D.a

【答案】A

【解答】解：：32=9,

???9的算術(shù)平方根是3.

故選：A.

25.（2021?通遼）小誣的平方根是（）

A.±4B.4C.±2D.+2

【答案】C

【解答】解：A/16=4-士\/1=土2,

故選：C.

3.（2021?南充）如果/=4,貝Ux=.

【答案】±2

【解答】解：/=4,

開(kāi)平方得*=±2；

故答案為：土2.

4.（2018?廣東）一個(gè)正數(shù)的平方根分別是無(wú)+1和x-5,貝Ux=.

【答案】2

【解答】解：根據(jù)題意知x+l+x-5=0,

解得：x=2,

故答案為：2

5.（2022?瀘州）若（a-2）2+|Z?+3|=0,則浦=.

【答案】二國(guó)

【解答】解：由題意得，a-2=0,6+3=0,

解得a—2,b=-3,

所以，ab=2X（-3）=-6.

故答案為：-6.

6.（2021?南充）如果/=4,貝Ux=.

【答案】±2

【解答】解：7=4,

開(kāi)平方得％=±2；

故答案為：±2.

7.根據(jù)圖中呈現(xiàn)的運(yùn)算關(guān)系，可知a=,b=.

【答案】-2020,-2020

【解答】解：依據(jù)圖中呈現(xiàn)的運(yùn)算關(guān)系，可知2020的立方根是巾〃的立方根是-如

/.m*123=2020,(-m)3=a,

'.a—-2020；

又??”的平方根是2020和b,

：.b=-2020.

故答案為：-2020,-2020.

1晝過(guò)關(guān)檢測(cè)門:

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1.（2022八上.南寧開(kāi)學(xué)考）a的算術(shù)平方根是4,那么a的值是（）

A.8B.16C.2D.±2

【答案】B

【解答】解：???a的算術(shù)平方根是4,

CL—16?

故答案為：B.

2.（2022八上.沈北新期中）若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2m—4與3m-1,則m的

值是（）

A.1B.-1C.-3D.-3或1

【答案】A

【解答】解：???一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2n1-4與3m-1,

/.2m-4+3m-l=0,

m=l；

故答案為：A.

3.（2022八上?寶雞月考）若實(shí)數(shù)x,y滿足|x-3|+所［=0，則（x+y）3的平方根為

（）

A.4B.8C.±4D.±8

【答案】D

【解答】解：由題意得：

v|x-3|+Jy—1=0,

|x-3|=0,yjy—1=0>解得x=3,y=

A(%+y)3=(3+l)3=64，

???(x+的平方根為土V64=±&

故答案為：D.

4.（2021八上?紫金期末）已知仔二:是二元一次方程組產(chǎn)"+ny=?的解，貝IJ2m-n的

（y=1（nx-my=1

平方根為（）

A.+2B.V2C.2D.4

【答案】A

【解答】解：?.干=彳是二元一次方程組產(chǎn)+政=?的解，

（y=1（nx-my=1

?（2m+n=8

*l2n—m=1'

解得｛魯二，

2m-n=4,

??2m-ri平方根為±2，

故答案為：A.

5.（2022八上?江都月考）已知VZT=1.449,V21=4,573>則A/21000的值是（）

A.457.3B.45.73C.1449D.144.9

【答案】D

［解答］解：,/x/21000=V2.1X10000=100VZ1-

而VZ1=L449,

?,-V21000=1.449x100=144.9.

故答案為：D.

6.（2023八上?寧強(qiáng)期末）若好=64，則x的值為.

【答案】±8

【解答】解：M=64

X=±V64=±8

故答案為：士8.

7.(2022八上?將樂(lè)期中)若a,b是2022的兩個(gè)平方根，則a+b-a、=.

【答案】2022

【解析】【解答】解：:a,b是2022的兩個(gè)平方根，

--a=V2022,b=一,2022,

-,-a+b-ab=V2022+(-V2022)-72022x(-V2022)=2022，

故答案為：2022.

7.(2022八上?渭濱月考)若一2檔一叩2與3X4y2m+"是同類項(xiàng)，則巾_3力的平方根

是.

【答案】±2&

【解答】解：???-2/-叼2與3X4y2m+r是同類項(xiàng)，

.(m—n=4

,12771+n=2'

解得：［m=\,

m=-2

,,m—3n=2—3x(-2)=8,

二巾-3n的平方根是±2近,

故答案為：±2&.

8.(2021八上.榆林期末)已知V19在兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)a和b之間，貝Ua+匕的平方

根為

【答案】±3

【解答】解：由題意，

,?"V16<V19<V25>

??4<V19<5，

a=4，b=5，

，a+b=4+5=9，

.,.a+b的平方根為±3

故答案為：±3.

9.(2021八上?沈陽(yáng)期中)若丫=遮F+4,則x2+y2的算術(shù)平方根

是.

【答案】5

【解答】解：根據(jù)題意