2024-2025學年高中數(shù)學第一章三角函數(shù)1.2角的概念的推廣學案含解析北師大版必修4

PAGE§2角的概念的推廣學問點一角的概念[填一填]1．角可以看成平面內(nèi)一條射線圍著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形．[答一答]1．一條射線繞端點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，則這個角越大，這樣說對嗎？提示：不對．假如一條射線繞端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，則它形成負角，旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，則這個角越小，故這個說法不正確．學問點二角的分類[填一填]2．(1)按旋轉(zhuǎn)方向可將角分類(2)按角終邊的位置分類[答一答]2．在坐標系中，將y軸的正半軸繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)到x軸的正半軸形成的角為90°，這種說法是否正確？提示：不正確．在坐標系中，將y軸的正半軸繞坐標原點旋轉(zhuǎn)到x軸的正半軸時，是按順時針方向旋轉(zhuǎn)，故它形成的角為－90°.學問點三終邊相同的角的表示[填一填]3．一般地，全部與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合：S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一個與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和．[答一答]3．銳角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角這四種角有什么差別？提示：受初中所學角的范圍的影響，看到這四種角往往就說它們相同．其緣由是雖然已經(jīng)將角擴充到了隨意角，但是解決問題時，考慮的角還僅僅是銳角、直角、鈍角，即初中所學的角的范圍，沒有按隨意角來看待．其突破方法是把握各種角的取值范圍．這四種角的范圍用集合表示如下：銳角的集合是{α|0°<α<90°},0°～90°的角的集合是{α|0°≤α<90°}，小于90°的角的集合是{α|α<90°}，第一象限角的集合是{α|k×360°<α<k×360°＋90°，k∈Z}，所以銳角肯定是第一象限角，而第一象限角不都是銳角，小于90°的角包括銳角、零角、負角．1．對角的概念的兩點說明(1)描述角時，往往用角的其次種定義，即用運動觀點來定義角，由始邊旋轉(zhuǎn)一個角度到達終邊，其中始邊和終邊要區(qū)分，不能混淆．(2)在描述角度(角的大小)時肯定要抓住三點：①要明確旋轉(zhuǎn)方向；②要明確旋轉(zhuǎn)的大??；③要明確射線未作任何旋轉(zhuǎn)時的位置．2．隨意角概念的四個關注點類型一角的概念的推廣【例1】下列各種說法正確的是()A．終邊相同的角肯定相等B．第一象限角就是銳角C．銳角是第一象限角D．小于90°的角都是銳角【思路探究】銳角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合是{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}，當k＝0時，第一象限角的范圍就與銳角的范圍一樣．【解析】對于選項A，－60°與300°是終邊相同的角，它們并不相等，故說法錯誤；對于選項B,390°是第一象限角，但它不是銳角，故說法錯誤；對于選項D，－30°是小于90°的角，但它不是銳角，故說法錯誤．【答案】C規(guī)律方法(1)熟記一些角的概念，如第一象限角α可表示為{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}．(2)熟識一些角與角的基本關系，如銳角是第一象限角，反之不成立；鈍角是其次象限角，反之也不成立．經(jīng)過5小時25分鐘，時鐘的分針和時針各轉(zhuǎn)過多少度？解：時針走一周用12小時，即12小時轉(zhuǎn)－360°，那么時針每小時應轉(zhuǎn)－30°，而5小時25分鐘為5eq\f(5,12)小時，由此可求出時針轉(zhuǎn)的度數(shù)；而分針每小時轉(zhuǎn)－360°，因而分針轉(zhuǎn)的度數(shù)也可求．所以，時針轉(zhuǎn)過的角度為－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(5,12)))×30°＝－162.5°；分針轉(zhuǎn)過的角度為－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(5,12)))×360°＝－1950°.類型二終邊相同的角及象限角【例2】在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并分別推斷它們是哪個象限的角．(1)1005°；(2)2583°34′；(3)－1342°15′；(4)－470°.【解】(1)因為1005°＝2×360°＋285°，所以285°就是與1005°終邊相同的角，它是第四象限角，所以1005°是第四象限角．(2)因為2583°34′＝7×360°＋63°34′，所以63°34′就是與2583°34′終邊相同的角，它是第一象限角，所以2583°34′是第一象限角．(3)因為－1342°15′＝－4×360°＋97°45′，所以97°45′就是與－1342°15′終邊相同的角，它是其次象限角，所以－1342°15′是其次象限角．(4)因為－470°＝－2×360°＋250°，所以250°就是與－470°終邊相同的角，它是第三象限角，所以－470°是第三象限角．規(guī)律方法先將這些角表示成k·360°＋α(0°≤α<360°)的形式，再依據(jù)角α來確定它們所屬的象限．寫出與25°角終邊相同的角的集合，并求出該集合中滿意不等式－1080°≤β<－360°的角β.解：法1：賦值法與25°角終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，則有β＝－3×360°＋25°＝－1055°，符合條件；令k＝－2，則有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合條件；令k＝－1，則有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合條件；故符合條件的角有－1055°，－695°.法2：解不等式法與25°角終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．解不等式－1080°≤k·360°＋25°<－360°，得－3eq\f(5,72)≤k<－1eq\f(5,72).又∵k∈Z，∴k＝－3或k＝－2.當k＝－3時，β＝－1055°；當k＝－2時，β＝－695°，故符合條件的角有－1055°，－695°.類型三區(qū)域角的表示【例3】如圖所示，寫出終邊落在陰影區(qū)域Ⅰ，Ⅱ(不包括邊界)的角的集合．【思路探究】由題知，角的終邊在兩個對頂陰影區(qū)域內(nèi)(不包括邊界)．可以先依據(jù)圖形寫出終邊在每個區(qū)域內(nèi)的角的集合，再對寫出的兩個集合求并集，并化簡．也可以用k·180°＋α(k∈Z)的形式干脆寫出．【解】法1：在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在陰影區(qū)域Ⅰ，Ⅱ(不包括邊界)的角α應分別滿意45°<α<135°，225°<α<315°.所以終邊落在陰影區(qū)域Ⅰ，Ⅱ中的角的集合分別為A＝{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋135°，k∈Z}，B＝{α|k·360°＋225°<α<k·360°＋315°，k∈Z}．故滿意題意的角的集合為A∪B＝{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|k·360°＋225°<α<k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋45°<α<2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋45°<α<(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|k·180°＋45°<α<k·180°＋135°，k∈Z}．法2：終邊落在第一、三象限內(nèi)的邊界線上的一個角為45°，則終邊落在該邊界線上的角可寫為45°＋k·180°，k∈Z；終邊落在其次、四象限內(nèi)的邊界線上的一個角為135°，則終邊落在該邊界線上的角可寫為135°＋k·180°，k∈Z，故所求角的集合為{α|k·180°＋45°<α<k·180°＋135°，k∈Z}．規(guī)律方法區(qū)域角的表示是在有限制條件的角的基礎上進行的，解題的關鍵是找出終邊落在區(qū)域邊界上的角．解題時，需留意以下三點：(1)區(qū)域邊界線是實線還是虛線；(2)角的旋轉(zhuǎn)方向；(3)一般地，角α的終邊在兩個對頂陰影區(qū)域內(nèi)(不包括邊界)時，角可以表示為“k·180°＋θ1<α<k·180°＋θ2，k∈Z”(θ1<θ2)的形式．(1)若角α＝45°，β＝150°的終邊分別在射線OA，OB上，求終邊落在如圖(1)中陰影范圍內(nèi)(包括邊界)的角的集合；(2)已知角α的終邊在如圖(2)的陰影部分(不包括邊界)內(nèi)，求角α的集合．解析：(1)在0°～360°之間落入陰影部分的角是45°≤θ≤150°，則終邊落在圖中陰影范圍內(nèi)(包含邊界)的角的集合是{θ|k·360°＋45°≤θ≤k·360°＋150°，k∈Z}．(2)終邊落在l1上的角的集合為{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}，終邊落在l2上的角的集合為{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，則所求角的集合為{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋120°，k∈Z}．類型四由已知角的范圍、象限，探討未知角的范圍、象限【例4】若角α是其次象限角，試確定角2α,eq\f(α,3)分別是第幾象限角.【思路探究】【解】∵α是其次象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．(1)180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，∴2α是第三象限角或第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角．(2)法1：k·120°＋30°<eq\f(α,3)<k·120°＋60°(k∈Z)，當k＝3n(n∈Z)時，n·360°＋30°<eq\f(α,3)<n·360°＋60°(n∈Z)，此時，eq\f(α,3)是第一象限角；當k＝3n＋1(n∈Z)時，n·360°＋150°<eq\f(α,3)<n·360°＋180°(n∈Z)，此時，eq\f(α,3)是其次象限角；當k＝3n＋2(n∈Z)時，n·360°＋270°<eq\f(α,3)<n·360°＋300°(n∈Z)，此時，eq\f(α,3)是第四象限角．綜上所述，eq\f(α,3)是第一象限角或其次象限角或第四象限角．法2：將平面直角坐標系中的每一個象限進行三等分，從x軸非負半軸起，按逆時針方向把各等分區(qū)域依次循環(huán)標上號碼1,2,3,4，如圖所示．∵α是其次象限角，∴圖中標有數(shù)字2的區(qū)域即eq\f(α,3)的終邊所在的區(qū)域，故eq\f(α,3)是第一象限角或其次象限角或第四象限角．規(guī)律方法倍角是第幾象限角的判定思路已知角α終邊所在的象限，確定nα終邊所在的象限，可依據(jù)角α的范圍求出nα的范圍，再轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可．留意不要漏掉nα的終邊在坐標軸上的狀況．已知角θ終邊所在的象限，確定eq\f(θ,n)(n∈N＋)終邊所在象限的常用方法有以下兩種：方法1分類探討法．利用已知條件寫出角θ的范圍(用k表示)，由此確定eq\f(θ,n)的范圍，然后對k進行分類探討，從而確定eq\f(θ,n)的終邊所在的象限．方法2等分象限法．要確定eq\f(θ,n)終邊所在的象限，可以作出n等分各個象限的從原點動身的射線，它們與坐標軸把周角等分成4n個區(qū)域，從x軸的非負半軸起，按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次循環(huán)標上號碼1,2,3,4，則標號是幾的區(qū)域，就是θ為第幾象限角時eq\f(θ,n)的終邊所在的區(qū)域，這樣角eq\f(θ,n)的終邊所在的象限就可以直觀地看出．說明：當n≥4時，角eq\f(θ,n)的終邊所在的區(qū)域分布在四個象限，探討的價值不大，一般只探討n＝2，n＝3的情形．已知α為第三象限角，則eq\f(α,2)所在的象限是(D)A．第一或其次象限 B．其次或第三象限C．第一或第三象限 D．其次或第四象限解析：由k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，得eq\f(k,2)·360°＋90°<eq\f(α,2)<eq\f(k,2)·360°＋135°，k∈Z.當k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)為其次象限角；當k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)為第四象限角．——易錯警示——對角的概念理解不正確致誤【例5】下面說法正確的個數(shù)為()(1)其次象限角大于第一象限角．(2)三角形的內(nèi)角是第一象限角或其次象限角．(3)鈍角是其次象限角．(4)小于90°的角是銳角．A．1 B．2C．3 D．4【錯解】選B或C【正解】其次象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)錯；三角形的內(nèi)角可能為直角①，直角既不是第一象限角，也不是其次象限角，故(2)錯；(3)中鈍角是其次象限角是對的；小于90°的角②如－60°，不是銳角，故(4)錯．所以正確的只有1個．【錯解分析】在①處三角形的內(nèi)角誤認為只有銳角和鈍角，忽視了直角，從而誤認為(2)正確；在②處依據(jù)初中的習慣，認為小于90°的角為銳角誤認為(4)正確．【答案】A【防范措施】明確角的分類的實質(zhì)依據(jù)角的旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負角和零角類似于實數(shù)正負之分；依據(jù)角的終邊位置分為象限角和終邊在坐標軸上的角，如在本例①處易忽視終邊落在坐標軸上的角的狀況．在坐標系中，下列說法中錯誤的是(C)A．銳角是第一象限角B．順時針方向旋轉(zhuǎn)生成的角是負角C．始邊與終邊重合的角是零角D．相等的角終邊相同解析：360°角的終邊也與始邊重合．即始邊與終邊重合的角的集合應為{α|α＝360°k，k∈Z}．故選C．一、選擇題1．下列說法正確的是(D)A．終邊相同的角都相等B．鈍角比第三象限角小C．第一象限角都是銳角D．銳角都是第一象限角解析：任何一個角α的終邊旋轉(zhuǎn)360°的整數(shù)倍后，還與它的終邊相同，但它們相差360°的整數(shù)倍．象限角只反映角的終邊的位置，而不反映角的大小，某象限角有多數(shù)多個，其中有正角，也有負角，所以第三象限角不肯定比鈍角大．第一象限角不肯定是銳角，但銳角肯定是第一象限角．2．下列各組角中，終邊相同的是(C)A．495°和－495°B．1