2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.2.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-3．2.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義[目標(biāo)]1.嫻熟駕馭復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加減法運(yùn)算法則.2.理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題．[重點(diǎn)]復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則．[難點(diǎn)]復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義．學(xué)問點(diǎn)一復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則[填一填]1．設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是隨意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2．對(duì)隨意z1，z2，z3∈C，則z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[答一答]1．兩個(gè)復(fù)數(shù)的和，差分別是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)，那么兩個(gè)虛數(shù)的和，差是否仍為虛數(shù)？提示：兩個(gè)虛數(shù)的和，差可能是虛數(shù)也可能是實(shí)數(shù)．2．若復(fù)數(shù)z1，z2滿意z1－z2>0，能否認(rèn)為z1>z2?提示：不能．如2＋i－i>0，但2＋i與i不能比較大?。畬W(xué)問點(diǎn)二復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義[填一填]如圖：設(shè)eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))分別與復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di對(duì)應(yīng)，則eq\o(OZ1,\s\up16(→))＝(a，b)，eq\o(OZ2,\s\up16(→))＝(c，d)，由平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算，得eq\o(OZ1,\s\up16(→))＋eq\o(OZ2,\s\up16(→))＝(a＋c，b＋d).eq\o(OZ1,\s\up16(→))－eq\o(OZ2,\s\up16(→))＝(a－c，b－d)．這說(shuō)明兩個(gè)向量eq\o(OZ1,\s\up16(→))與eq\o(OZ2,\s\up16(→))的和就是與復(fù)數(shù)(a＋c)＋(b＋d)i對(duì)應(yīng)的向量，eq\o(OZ1,\s\up16(→))與eq\o(OZ2,\s\up16(→))的差就是與復(fù)數(shù)(a－c)＋(b－d)i對(duì)應(yīng)的向量，即圖中四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，則與z1＋z2對(duì)應(yīng)的向量是eq\o(OZ,\s\up16(→))，與z1－z2對(duì)應(yīng)的向量是eq\o(Z2Z1,\s\up16(→)).[答一答]3．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)對(duì)應(yīng)的向量分別是eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))，那么向量eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))的坐標(biāo)分別是什么？z1＋z2對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)是什么？提示：由復(fù)數(shù)與平面對(duì)量的一一對(duì)應(yīng)可知eq\o(OZ1,\s\up16(→))＝(a，b)，eq\o(OZ2,\s\up16(→))＝(c，d)，故eq\o(OZ1,\s\up16(→))＋eq\o(OZ2,\s\up16(→))＝(a＋c，b＋d)．由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可知eq\o(OZ1,\s\up16(→))＋eq\o(OZ2,\s\up16(→))即為z1＋z2對(duì)應(yīng)的向量，故z1＋z2對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)為(a＋c，b＋d)．4．從復(fù)數(shù)減法的幾何意義理解：|z1－z2|表示什么？提示：表示Z1與Z2兩點(diǎn)間的距離．5．若a，b，r為實(shí)常數(shù)，且r>0，則滿意|z－(a＋bi)|＝r的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是什么？提示：是以點(diǎn)(a，b)為圓心，r為半徑的圓．1．對(duì)復(fù)數(shù)加法的理解(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運(yùn)算法則是一種規(guī)定，以后就要根據(jù)規(guī)定進(jìn)行運(yùn)算．(2)復(fù)數(shù)的加法法則是在復(fù)數(shù)的代數(shù)形式下進(jìn)行的．(3)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算的結(jié)果仍舊是復(fù)數(shù)．(4)實(shí)數(shù)的移項(xiàng)法則在復(fù)數(shù)中仍舊成立．(5)復(fù)數(shù)的加法法則可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加的情形．2．對(duì)復(fù)數(shù)加、減法幾何意義的理解(1)對(duì)于應(yīng)用向量加法法則求復(fù)數(shù)的和，可以利用平行四邊形法則，也可以利用三角形法則．(2)復(fù)數(shù)的減法法則用向量的減法法則來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，應(yīng)用向量來(lái)進(jìn)行復(fù)數(shù)的減法，三角形法則顯得更加便利．(3)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算可以通過向量的加減法運(yùn)算進(jìn)行；反之，向量的加減法運(yùn)算也可以通過復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算進(jìn)行．(4)利用復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算的幾何意義可以直觀地解決復(fù)數(shù)問題．類型一復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算【例1】計(jì)算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．【解】(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.1類比實(shí)數(shù)運(yùn)算，若有括號(hào)，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，若沒有括號(hào)，可從左到右依次進(jìn)行.2算式中出現(xiàn)字母，首先要確定其是否為實(shí)數(shù)，再確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，最終把實(shí)部、虛部分別相加.設(shè)f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，則f(z1－z2)等于(D)A．1－5i B．－2＋9iC．－2－i D．5＋3i解析：∵z1－z2＝5＋5i，∴f(z1－z2)＝5＋5i－2i＝5＋3i.類型二復(fù)數(shù)加減法的幾何意義【例2】如圖所示，在平行四邊形OABC中，頂點(diǎn)O，A，C分別表示0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)eq\o(AO,\s\up16(→))所表示的復(fù)數(shù)，eq\o(BC,\s\up16(→))所表示的復(fù)數(shù)；(2)對(duì)角線eq\o(CA,\s\up16(→))所表示的復(fù)數(shù)；(3)對(duì)角線eq\o(OB,\s\up16(→))所表示的復(fù)數(shù)及eq\o(OB,\s\up16(→))的長(zhǎng)度．【解】(1)因?yàn)閑q\a\vs4\al(\o(AO,\s\up16(→)))＝0－(3＋2i)＝－3－2i，所以eq\o(AO,\s\up16(→))所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.因?yàn)閑q\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→))，所以eq\o(BC,\s\up16(→))所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.(2)因?yàn)閑q\o(CA,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))，所以eq\o(CA,\s\up16(→))所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因?yàn)閷?duì)角線eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))，所以eq\o(OB,\s\up16(→))所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，所以|eq\o(OB,\s\up16(→))|＝eq\r(12＋62)＝eq\r(37).向量加法、減法運(yùn)算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù).利用加法“首尾相接”和減法“指向被減數(shù)”的特點(diǎn)，在三角形內(nèi)可求得第三個(gè)向量及其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).留意向量eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up16(→)).)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是zB－zA終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)減去起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)(1)在復(fù)平面內(nèi)，eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－1＋2i，－2－3i，則eq\o(BC,\s\up16(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(A)A．－1－5i B．－1＋5iC．3－4i D．3＋4i(2)向量eq\o(OA,\s\up16(→))表示的復(fù)數(shù)為3＋2i，將向量eq\o(OA,\s\up16(→))向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，將得到的向量記為eq\o(O′A′,\s\up16(→))，分別寫出：①向量eq\o(O′A′,\s\up16(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；②點(diǎn)O′對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；③向量eq\o(A′O′,\s\up16(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．解：如右圖所示，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度再向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(－2,3)．點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(1,5)，坐標(biāo)平移不變更eq\o(OA,\s\up16(→))的方向和模．①向量eq\o(O′A′,\s\up16(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋2i；②點(diǎn)O′對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2＋3i；③向量eq\o(A′O′,\s\up16(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3－2i.類型三復(fù)數(shù)加減法的綜合運(yùn)算【例3】設(shè)z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq\r(2)，求|z1－z2|.【解】法1：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由題設(shè)知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，∴2ac＋2bd＝0.∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝eq\r(2).法2：作出z1，z2對(duì)應(yīng)的向量eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))，使eq\o(OZ1,\s\up16(→))＋eq\o(OZ2,\s\up16(→))＝eq\o(OZ,\s\up16(→))，∵|z1|＝|z2|＝1，又eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))不共線(若eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))共線，則|z1＋z2|＝2或0與題設(shè)沖突)，∴平行四邊形OZ1ZZ2為菱形，又|z1＋z2|＝eq\r(2)，∴∠Z1OZ2＝90°，即四邊形OZ1ZZ2為正方形，故|z1－z2|＝eq\r(2).與復(fù)數(shù)模有關(guān)的幾個(gè)常見結(jié)論在復(fù)平面內(nèi)，z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，B，Z1＋Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OACB：(1)為平行四邊形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為矩形；(3)若|z1|＝|z2|，則四邊形OACB為菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為正方形．已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.解：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，z1，z2，z1＋z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是邊長(zhǎng)為1的正三角形，∴四邊形OACB是一個(gè)內(nèi)角為60°，邊長(zhǎng)為1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線OC的長(zhǎng)，∴|z1＋z2|＝|OC|＝eq\r(|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°)＝eq\r(3).復(fù)數(shù)與最值【例4】復(fù)數(shù)z滿意|z－1－i|＝1，求|z＋1＋i|的最小值．【思路分析】利用復(fù)數(shù)減法的幾何意義．【解】因?yàn)閨z－1－i|＝1，所以由復(fù)數(shù)減法的幾何意義可知，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)(1,1)為圓心，1為半徑的圓，而|z＋1＋i|則是圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(－1，－1)的距離，所以|z＋1＋i|min＝eq\r(1＋12＋1＋12)－1＝2eq\r(2)－1.【解后反思】|z－(a＋bi)|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到復(fù)數(shù)a＋bi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離；而|z＋(a＋bi)|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與－a－bi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．若z∈C，且|z－1|＝|z＋1|，則|z＋1－i|的最小值是1.解析：∵|z－1|＝|z＋1|，∴z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是虛軸，|z＋1－i|表示對(duì)應(yīng)點(diǎn)與(－1,1)的距離，所以|z＋1－i|min＝1.1．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1＋z2等于(B)A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6，故選B.2．若復(fù)數(shù)z滿意z＋i－3＝3－i，則z等于(D)A．0 B．2iC．6 D．6－2i解析：∵z＋i－3＝3－i，∴z＝(3＋3)＋(－i－i)＝6－2i，故選D.3．設(shè)O是原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，那么向量eq\o(BA,\s\up16(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i.解析：eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝(2－3i)－(－3＋2i)＝5－5i，即eq\o(BA,\s\up16(→))對(duì)應(yīng)的