四川省天府名校2023屆高三模擬五理科數(shù)學試題（含答案解析）

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬試題五理科數(shù)學本試卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)復數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】先由復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，再求其模長.【詳解】由，則所以故選：C2.某健身房為了解運動健身減肥的效果，調(diào)查了20名肥胖者健身前（如直方圖（1）所示）后（如直方圖（2）所示）的體重（單位：kg）變化情況：對比數(shù)據(jù)，關(guān)于這20名肥胖者，下面結(jié)論不正確的是（）A.他們健身后，體重在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)較健身前增加了2人B.他們健身后，體重原在區(qū)間內(nèi)的人員一定無變化C.他們健身后，20人的平均體重大約減少了5kgD.他們健身后，原來體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者體重都有減少【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直方圖計算健身前后體重分別在區(qū)間、、的人數(shù)以及平均數(shù)，進而可得出結(jié)論.【詳解】解：體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者由健身前的人增加到健身后的人，增加了人，故A正確；他們健身后，體重在區(qū)間內(nèi)的百分比沒有變，但人員組成可能改變，故B錯誤；他們健身后，人的平均體重大約減少了，故C正確；因為圖（）中沒有體重在區(qū)間內(nèi)的人員，所以原來體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者體重都有減少，故D正確.故選：B.3.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合A,B,然后取交集即可.【詳解】,則,故選：A4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再對和時函數(shù)值的情況討論，利用排除法即可判斷；【詳解】解：因為定義域為，又，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故排除B；當時，，，所以，所以，故排除D；當時，因為，所以，即，故排除C；故選：A5.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖是一個邊長為2的正三角形，則該幾何體中最長棱的長度為（）A.2 B.3 C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】由三視圖得到幾何體的直觀圖，再一一計算可得；【詳解】解：由三視圖可得幾何體的直觀圖如下四棱錐，則，，，，所以該幾何體中最長棱的長度為；故選：D6.已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.36 B.48 C.52 D.66【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及求和公式進行計算即可.【詳解】由，得，得.故選：D7.如圖，在棱長為2的正方體中，M是的中點，點P是正方形（含內(nèi)部）上的動點，且截面，則線段MP形成的區(qū)域面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取CD的中點N,CC1的中點R,B1C1的中點H.連接MN,MH,NR,RH.先證明出平面MNRH∥平面.判斷出線段MP掃過的圖形是△MNR.求出△MNR的面積即可.【詳解】取CD的中點N,CC1的中點R,B1C1的中點H.連接MN,MH,NR,RH.在棱長為2的正方體中，,所以四邊形CNMB1為平行四邊形，所以.又H、R為中點，所以,所以,即M、N、R、H四點共面.因為，面，面，所以面.同理可證：面.又面,面,,所以平面MNRH∥平面.所以平面MNRH.又點P是正方形（含內(nèi)部）上的動點，線段MP掃過的圖形是△MNR.由AB=2,則,,,所以，且∠MRN是直角,所以線段MP形成的區(qū)域面積即為△MNR的面積，為.故選:A8.已知為內(nèi)一點，且，若三點共線，則的值為（）A. B.12 C. D.【答案】C【解析】【分析】把用表示，然后根據(jù)三點共線定理求解．【詳解】取中點，連接，則，又，∴，∴，又三點共線，∴，．故選：C．9.已知正數(shù)滿足，則取得最小值時的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知等式可得，由可配湊出符合基本不等式的形式，根據(jù)基本不等式取等條件可得結(jié)果.【詳解】由得：，；，，，，（當且僅當，即，時取等號），取得最小值時，.故選：A.10.已知函數(shù)，若函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)ω的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡解析式，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解決即可.【詳解】函數(shù)，由函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，且，得，，解，.又因為ω>0，，所以k＝0，所以實數(shù)ω的取值范圍是.故選：B11.設(shè)同時為橢圓與雙曲線的左右焦點，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標原點，現(xiàn)有下述四個結(jié)論：①，則②，則③，則的取值范圍是④，則的取值范圍是其中所有正確結(jié)論的編號是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】D【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合橢圓雙曲線定義可得，當，可得，進而求出；當時，可得，進而，即可求出范圍.【詳解】如圖，設(shè)，焦距為，由橢圓定義可得，由雙曲線定義可得，解得.當時，則，所以，即，由離心率的公式可得，故②正確.當時，可得，即，可得，由，可得，可得，即，則，可設(shè)，則，由在上單調(diào)遞增，可得，則，故④正確.故選：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查橢圓雙曲線離心率的求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件結(jié)合定義正確得出關(guān)系式.12.設(shè)．則a，b，c大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)自然常數(shù)的定義和指數(shù)冪的運算性質(zhì)可知、，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，進而可得，即可得出結(jié)果.【詳解】由，故；，故；假設(shè)，有，令，則，所以在上單調(diào)遞增，而，則，所以成立，；故．故選：A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)的坐標求得其模長，再對兩邊平方求得，利用數(shù)量積即可求得向量夾角.【詳解】因為，所以，因為，所以．所以，設(shè)夾角為，則由平面向量數(shù)量積的定義可得，因為，所以.故答案為：.14.已知分別為橢圓的左、右焦點，直線與橢圓交于P，Q兩點，則的周長為______．【答案】【解析】【分析】首先得到橢圓的焦點坐標，即可判斷直線過左焦點，再根據(jù)橢圓的定義計算可得；【詳解】解：橢圓，所以，即、，直線過左焦點，所以，，，所以；故答案：15.有3位醫(yī)生、2位護士和1位工作人員一起合影，現(xiàn)將這6人隨機排成一排，則3位醫(yī)生中有且只有2位相鄰的概率為______.【答案】##【解析】【分析】利用捆綁法求出所求事件的排法，然后利用古典概型概率公式求解即可.【詳解】由題意，先將2位護士和1位工作人員排成一排，有種排法，然后將3位醫(yī)生分成兩組，一組2人一組1人，有種分組方法，然后插人到2位護士和1位工作人員所排成4個空中的2個空，有種插空方法，最后交換相鄰2位醫(yī)生的位置有種方法，所以3位醫(yī)生中有且只有2位相鄰共有種排法，又6人隨機排成一排有種排法，所以所求概率為.故答案為：16.九連環(huán)是中國的一種古老智力游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮.中國的末代皇帝溥儀（1906-1967）也曾有一個精美的由九個翡翠繯相連的銀制的九連環(huán)（如圖）.現(xiàn)假設(shè)有個圓環(huán)，用表示按照某種規(guī)則解下個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，如果數(shù)列an滿足，則______.【答案】【解析】分析】利用累加法求解即可.【詳解】.故答案為：三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.甲，乙，丙三名同學相約一起打乒乓球，已知丙與甲，乙比賽，丙每局獲勝的概率分別為，，每局比賽的結(jié)果互不影響，若乙，丙采用“三局兩勝制”進行比賽，丙獲勝的概率為.（1）求的值；（2）在甲，乙兩名同學中用抽簽法隨機選擇一名同學與丙進行一局比賽，求丙獲勝的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分情況，丙獲勝有兩種可能：丙前兩局連勝，或者前兩局乙，丙各勝一局且第三局丙勝，再根據(jù)獨立事件的概率公式及互斥事件的概率公式計算可得；（2）根據(jù)全概率公式計算可得.【小問1詳解】由題知，乙，丙進行比賽，丙每局獲勝的概率為，若乙，丙采用“三局兩勝制”進行比賽，丙獲勝有兩種可能：丙前兩局連勝，概率為；或者前兩局乙，丙各勝一局且第三局丙勝，概率為，所以丙獲勝的概率為，計算得.【小問2詳解】設(shè)事件為：甲與丙進行比賽，事件為：乙與丙進行比賽，事件為：丙比賽獲勝，則，，，，所以.18.在①；②；③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并解答問題.問題：的內(nèi)角所對的邊分別為，已知______.（1）求；（2）若的周長為6，求面積的最大值.注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選條件①，則利用正弦定理和三角變換公式求出，也可利用余弦定理得到邊的關(guān)系，從而求出，若選條件②，則可根據(jù)正弦定理將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理求出角，若選條件③，則可根據(jù)正弦定理和三角變換公式求出.（2）根據(jù)周長及余弦定理可得，利用基本不等式可求的最大值，故求面積的最大值.【小問1詳解】若選條件①：方法一：由已知，得，所以，而，則，又，所以.方法二：由余弦定理，得，即，則，所以，又，所以.若選條件②：由，得，根據(jù)正弦定理，得，即，則，即，又，所以.若選條件③：由，根據(jù)正弦定理，得即，又，則，即，又，所以.【小問2詳解】由題，，根據(jù)余弦定理，得，則，所以，當且僅當時取等號.所以面積，故面積的最大值為.19.如圖1，已知等邊的邊長為3，點M，N分別是邊，上的點，且滿足，，如圖2，將沿折起到的位置.（1）求證：平面平面；（2）若，求平面和平面的夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)所給的條件，運用勾股定理證明即可；（2）建立直角坐標系，用坐標表示數(shù)量積，用數(shù)量積求夾角即可.【小問1詳解】在△AMN中，由余弦定理得，所以，即，所以，，又因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面；【小問2詳解】由條件：，由（1），平面BCNM，平面BCNM，以M為原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，即，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，有，設(shè)平面的一個法向量為，則由，可化簡得，令，有，設(shè)平面和平面夾角為，則，所以.綜上，平面和平面夾角的正弦值為.20.已知一個半徑為的圓的圓心在拋物線上，該圓經(jīng)過坐標原點且與C的準線l相切.過拋物線C的焦點F的直線AB交C于A，B兩點，過弦AB的中點M作平行于x軸的直線，與直線OA，OB，l分別相交于P，Q，N三點.（1）求拋物線C的方程；（2）當時，求直線AB的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓的圓心坐標為，由題意可得，，從而可求出，進而可得拋物線方程，（2）設(shè)直線AB的方程為，代入拋物線方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出AB的中點M的坐標，的長度，直線OA和OB的方程，表示出，由列方程求出，從而可求出直線AB的方程.【小問1詳解】設(shè)圓的圓心坐標為，可得.易知拋物線的焦點為，準線方程為，由題意得，解得（負值舍去），則拋物線C的方程為.【小問2詳解】由（1）知，設(shè)直線AB的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可得，，，則，，，則AB的中點M的坐標為，易知，故，直線OA的方程為，即，直線OB的方程為，即，令，可得，，則，即，解得，所以直線AB的方程為，即或.21已知函數(shù).（1）若與在處相切，試求的表達式；（2）若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明不等式：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)題設(shè)導數(shù)計算公式及導數(shù)的幾何意義建立方程求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造函數(shù)運用導數(shù)建立不等式，分離參數(shù)借助基本不等式求得參數(shù)的取值范圍；（3）借助（2）的結(jié)論建立遞推式，然后運用疊加的方法進行分析推證.【小問1詳解】由已知得，所以.又因為，所以，所以【小問2詳解】因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立（等號不恒成立），即在上恒成立，則.因為，所以，所以.【小問3詳解】由（1）知與在處相切，當時，圖象在圖象上方，得，所以，得，所以.當時，，當時，，當時，，…當時，.上述不等式相加，得，即①.由（2）可得：當時，在上是減函數(shù)，所以當時，，即，所以，從而得到.當時，，當時，，當時，，…當時，.上述不等式相加得：，即.②由①②，.經(jīng)檢驗當時，，所以原不等式對任意都成立.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已