中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識(shí)直角三角形(練習(xí))含答案及解析

第四章三角形第19講直角三角形TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01由直角三角形的性質(zhì)求解??題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形??題型03利用勾股定理求解??題型04判斷勾股數(shù)問(wèn)題??題型05以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積??題型06勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題??題型07勾股定理與折疊問(wèn)題??題型08勾股定理與無(wú)理數(shù)問(wèn)題??題型09利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系??題型10勾股定理的證明方法??題型11趙爽弦圖??題型12利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問(wèn)題??題型13在網(wǎng)格中判斷直角三角形??題型14利用勾股定理逆定理求解??題型15利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題??題型16利用勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題??題型17最短距離問(wèn)題??題型01由直角三角形的性質(zhì)求解1．（2023·山東濟(jì)南·三模）將正六邊形與正方形按如圖所示擺放，且正六邊形的邊AB與正方形的邊CD在同一條直線上，則∠BOC的度數(shù)是．2．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF交邊BC于點(diǎn)D，連接AD．若BD=8，則△ACD的周長(zhǎng)為3．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線BP交ACA．∠ABE=∠CBE B．2∠ABE=∠CADC．BF=2DF D．AF=AE4．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，若OB=4，S菱形ABCD=16A．25 B．4 C．2 D．5??題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形5．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列條件：①∠A=∠C?∠B；②a+ba?b③a=32，b=4④∠A:∠B:∠C=3:4:5，其中可以判定△ABC是直角三角形的有個(gè)．6．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，O為邊BC上一點(diǎn)，⊙O過(guò)點(diǎn)C，且與AB相切于點(diǎn)D，連接CD，OD，AD=AC．(1)求證：△ABC為直角三角形．(2)延長(zhǎng)DO與⊙O交于點(diǎn)E，連接CE，若AD=DE=6，求CE的長(zhǎng)．7．（2024·河北秦皇島·一模）如圖，在等邊△ABC中，AB=10，P為BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)P，交線段AB于點(diǎn)M，將PM繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，交線段AC于點(diǎn)N，連接MN，有三位同學(xué)提出以下結(jié)論：嘉嘉：△PNC為直角三角形．淇淇：當(dāng)AM=2時(shí)，AN=7．珍珍：在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中，MN不存在平行于BC的情況．下列說(shuō)法正確的是（

）A．只有嘉嘉正確 B．嘉嘉和淇淇正確C．淇淇和珍珍正確 D．三人都正確??題型03利用勾股定理求解8．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形OABC的頂點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，AC=3，BO=4，函數(shù)y=kx(x<0)的圖象經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)B9．（2024·河南鶴壁·模擬預(yù)測(cè)）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO與弦AB相交于點(diǎn)C，OB⊥OP，若OB=3，OC=1，則PA的長(zhǎng)為．10．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）下面是多媒體上的一道試題：如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AB上，AF=CE，連接BD，DF．求證：四邊形BFDE是矩形．下面是兩位同學(xué)的對(duì)話：(1)請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說(shuō)法，并證明；(2)若BE=23，DE=2，求菱形11．（2024·四川眉山·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A1,0，B1?a,0，C1+a,0a>0，點(diǎn)P在以D4,4為圓心，1為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足∠BPC=90°，則A．3 B．4 C．6 D．2??題型04判斷勾股數(shù)問(wèn)題12．（2024·四川德陽(yáng)·二模）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…這類(lèi)勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類(lèi)勾股數(shù)，如6，8，10；8，15，17；…若此類(lèi)勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其股是（結(jié)果用含m的式子表示）．13．（2024·山東淄博·二模）觀察下列幾組勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根據(jù)上面的規(guī)律，寫(xiě)出第8組勾股數(shù)：．14．（2024·河北滄州·一模）當(dāng)直角三角形的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)時(shí)，我們稱這三個(gè)正整數(shù)為勾股數(shù)．(1)若a，b為一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng)，a，b，c為勾股數(shù)，且a=n+7，c=n+8，n為正整數(shù)，求b的值（用含n的式子表示），并直接寫(xiě)出符合題意的最小的(2)當(dāng)n是大于1的整數(shù)時(shí)，判斷2n，n215．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，則稱這種直角三角形為“完美勾股三角形”，k為其面積和周長(zhǎng)的比值．當(dāng)k=2時(shí)，滿足條件的“完美勾股三角形”的周長(zhǎng)為；當(dāng)0<k≤1時(shí)，若存在“完美勾股三角形”，則k=．??題型05以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積16．（2024·河北唐山·三模）如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面積依次為5、13、30，則正方形C的面積為（

）A．12 B．18 C．10 D．2017．（2024·甘肅天水·二模）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三、股四、弦五”這一結(jié)論．勾股定理與圖形的面積存在密切的關(guān)系，如圖，這是由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)正方形組成的圖形，若△PEF的面積為6，則陰影部分的周長(zhǎng)為．18．（2021·浙江金華·中考真題）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點(diǎn)E,F,G,H,M,N都在同一個(gè)圓上．記該圓面積為S1，△ABC面積為S2，則S1A．5π2 B．3π C．5π D．19．（2023·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，分別以三條邊BC，AC，AB為一邊，在△ABC的外部作正五邊形，三個(gè)五邊形的面積分別記作S1，A．S1+S2=S3 B．20．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖①，分別以RtΔPMN的各邊為一邊向外作三個(gè)三角形，使∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，再按圖②的方式將兩個(gè)較小的三角形放在最大的三角形內(nèi)，使AB=MN，AD=PM，BF=PN，∠GFB=∠A=∠2．若要求出ΔCEH的面積，則需要知道下列哪個(gè)圖形的面積（

A．四邊形CAFG B．四邊形EDBC C．ΔGFB D．??題型06勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題21．（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E都在小正方形格點(diǎn)的位置上，連接AB，CD相交于點(diǎn)P，根據(jù)圖中提示所添加的輔助線，可以求得tan∠BPC的值是（

A．12 B．55 C．2 22．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的8×6的網(wǎng)格，其中點(diǎn)O，A，B均在格點(diǎn)上，將扇形AOB圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面半徑為．23．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，象棋盤(pán)中各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復(fù)路線，按照馬走日的規(guī)則，走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最遠(yuǎn)距離為．

24．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A4,4，B4,1，C2,1．將△ABC關(guān)于原點(diǎn)O(1)畫(huà)出△A(2)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為_(kāi)_____，點(diǎn)C、C??題型07勾股定理與折疊問(wèn)題25．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，沿著EF折疊△B26．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是?5,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)是0,12，點(diǎn)M是OB上一點(diǎn)，將△ABM沿AM折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)B'處，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

A．0,5 B．0,103 C．0,2327．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，將△ABC沿EF折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)D處，若ADCD=12，則28．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】在一次數(shù)學(xué)探究課上，老師帶領(lǐng)大家一起研究特殊三角形的性質(zhì).圓圓小組對(duì)直角三角形進(jìn)行了各種類(lèi)型的折疊探究，并嘗試用數(shù)學(xué)方法說(shuō)明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.類(lèi)型1．如圖1，沿著DE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，他們發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)D的位置與AC和BC的長(zhǎng)有關(guān)．問(wèn)題1.若BC=3，AC=1，則BD=________．【變式探究】類(lèi)型2．如圖2，點(diǎn)D為CB上一點(diǎn)，沿著AD折疊，AC恰好落在AB上，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為C'，折痕交BC于點(diǎn)D．問(wèn)題2．①若ABAC=53②請(qǐng)猜測(cè)ABAC與BD【拓展思考】方方小組對(duì)等腰三角形進(jìn)行了各種折疊探究.如圖3，在等腰三角形ABC中，BC為底邊，∠A為鈍角，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，將△ABD沿直線BD翻折得到△A問(wèn)題3．若AD=CD=4，A'C=6，求??題型08勾股定理與無(wú)理數(shù)問(wèn)題29．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示原點(diǎn)，點(diǎn)B表示的數(shù)為2，AB⊥BC，垂足為B，且BC=3，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的數(shù)為．30．（2024·甘肅天水·一模）如圖，在數(shù)軸上，OB=1，過(guò)O作直線l⊥OB于點(diǎn)O，在直線l上截取OA=2，且A在OC上方．連接AB，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作弧交直線OB于點(diǎn)C，則C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為．31．（2020·山西·三模）嘉淇學(xué)習(xí)了“數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系”后，便嘗試在數(shù)軸上找一個(gè)表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)．如圖，數(shù)軸的原點(diǎn)為O，Rt△AOB中，∠OAB=90°，邊AO在數(shù)軸上，AB=3，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作弧，交數(shù)軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)CA．?1和?2之間 B．?2和?3之間C．?3和?4之間 D．?4和?5之間32．（2023·廣東深圳·二模）數(shù)形結(jié)合是解決代數(shù)類(lèi)問(wèn)題的重要思想，在比較2+1與5的大小時(shí)，可以通過(guò)如圖所示幾何圖形解決問(wèn)題：若要比較2+3與17的大小，以下數(shù)形結(jié)合正確的是（

A．

B．

C．

D．

??題型09利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系33．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．AC平分∠BCD B．BC+CD=C．OA2+O34．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，正方形A'B'C'D與斜邊為BC的Rt△ABC按如圖所示的方式放在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)A'與A重合，點(diǎn)D在(1)求A'D的長(zhǎng)和(2)將△BAC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)AC與A'C'重合后，立刻沿射線A'C①求邊AB旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)掃過(guò)的面積；②求平移結(jié)束時(shí)，正方形A'B'C'(3)如圖2，若將（2）中的旋轉(zhuǎn)和平移同時(shí)進(jìn)行，設(shè)邊AB與邊A'D的交點(diǎn)為M，邊AC與邊C'D的交點(diǎn)為N，AM=a，AC'=35．（2024·江蘇鹽城·三模）【閱讀發(fā)現(xiàn)】小明在閱讀數(shù)學(xué)課外讀物時(shí)，讀到了海倫――秦九韶公式．他了解到海倫公式和秦九韶公式分別是由古希臘的幾何家海倫和我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的．這兩個(gè)公式有什么關(guān)系呢？于是小明進(jìn)行了下列思考：兩個(gè)公式：海倫公式：已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)p=12a+b+c秦九韶公式：已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，那么這個(gè)三角形的面積S=1【嘗試應(yīng)用】（1）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別4，5，6．請(qǐng)任選一個(gè)公式算出這個(gè)三角形的面積為_(kāi)_____；請(qǐng)用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解這個(gè)三角形的面積．（2）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，試求出這個(gè)三角形面積的一般表達(dá)形式．（用a，b，c表示）【發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)】思考關(guān)聯(lián)：請(qǐng)你由秦九韶公式S=14a2b??題型10勾股定理的證明方法36．（2022·河北邯鄲·三模）在證明勾股定理時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)了如下方案：甲乙如圖，用四個(gè)全等的直角三角形拼成，其中四邊形ABDE和四邊形CF均是正方形，通過(guò)用兩種方法表示正方形ABDE的面積來(lái)進(jìn)行證明．如圖是兩個(gè)全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，頂點(diǎn)F在BC邊上，頂點(diǎn)C，D重合，通過(guò)用兩種方法表示四邊形ACBE的面積來(lái)進(jìn)行證明．對(duì)于甲、乙分別設(shè)計(jì)的兩種方案，下列判斷正確的是（

）A．甲、乙均對(duì) B．甲對(duì)、乙不對(duì) C．甲不對(duì)，乙對(duì) D．甲、乙均不對(duì)37．（2023·遼寧阜新·二模）動(dòng)手實(shí)踐、歸納和猜想是我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的重要一環(huán)，你也來(lái)試試吧！(1)如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一個(gè)梯形．用兩種不同的方法計(jì)算梯形的面積，得到我們學(xué)習(xí)過(guò)的一個(gè)重要公式，請(qǐng)你寫(xiě)出來(lái)：面積等式為_(kāi)___________，結(jié)論為_(kāi)___________；(2)n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，在它的內(nèi)部再畫(huà)m個(gè)點(diǎn)，以m+n個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，把n邊形剪成若干個(gè)三角形，設(shè)最多可以剪得y個(gè)這樣的三角形．當(dāng)n=3,m=3時(shí)，如圖，最多可以剪得7個(gè)這樣的三角形，所以y=7．①當(dāng)n=4,m=2時(shí)，如圖，y=______；當(dāng)n=5,m=______時(shí)，y=9；②對(duì)于一般的情形，在n邊形內(nèi)畫(huà)m個(gè)點(diǎn)，通過(guò)歸納猜想，可得y=______（用含m、n的代數(shù)式表示）．38．（2022·江蘇鹽城·三模）2000多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頻感興趣，不但因?yàn)檫@個(gè)定理重要、基本還因?yàn)檫@個(gè)定理貼近人們的生活實(shí)際所以很多人都探討、研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn)，如圖2是將圖1中的直角三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移得到的正方形ABCD．

(1)請(qǐng)你利用圖2證明勾股定理；(2)如圖3，以MN為直徑畫(huà)圓O，延長(zhǎng)CF交DM于點(diǎn)E，判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若b=3a，則圖3中陰影部分的面積為_(kāi)___________（用含a的式子表示）39．（2022·廣東佛山·三模）幾千年來(lái)，在勾股定理的多種證明方法中，等面積法是典型的一種證法，清代數(shù)學(xué)家李銳運(yùn)用這一方法借助三個(gè)正方形也證明了勾股定理．如圖，四邊形ABCD，四邊形DEFG，四邊形CGHI均為正方形，EF交BG于點(diǎn)L，DG交IH于點(diǎn)K，點(diǎn)B，L，C，G在同條直線上，若S△ADE=16，S△GHK=9，記四邊形DELC的面積為S1，四邊形CGKI的面積為SA．209 B．34 C．774540．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”經(jīng)修飾后的圖形，四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點(diǎn)H是DE的中點(diǎn)，陰影部分的面積為27，則AD的長(zhǎng)為．41．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測(cè)）三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽第一次對(duì)勾股定理加以證明：用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，AB=c，大正方形的面積=小正方形的面積+4個(gè)直角三角形的面積，化簡(jiǎn)證得勾股定理：a(1)若b=2a，則S小正方形:(2)如果大正方形的面積是13，a=2，求小正方形的面積．??題型11趙爽弦圖42．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，嘉嘉用四個(gè)全等的直角三角形拼接了一個(gè)“趙爽弦圖”，其中大正方形ABCD的面積為25，小正方形EFGH的面積為1．（1）如圖2，連接DG，CF，（2）如圖3，連接AC，交BG于點(diǎn)P，交DE于點(diǎn)M，則S△AFP?43．（2024·山東濟(jì)南·二模）公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出了“趙爽弦圖”．將兩個(gè)大小相同的“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個(gè)小正方形和八個(gè)直角三角形按圖2方式擺放圍成邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD，則空白部分面積為

44．（2024·浙江杭州·一模）如圖，是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形．（1）連接BF，若F恰為AG中點(diǎn)，則∠BFG的度數(shù)為°；（2）連接CF，若△ABF與△FEC的面積相等，DF=2，則AF的長(zhǎng)為．??題型12利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問(wèn)題45．（2023·四川瀘州·一模）我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將直角三角形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成．若a=6，b=8，則該矩形的面積為（）

A．96 B．1532 C．199446．（24-25八年級(jí)上·山西太原·階段練習(xí)）如圖是一所大型游樂(lè)場(chǎng)，工人在對(duì)游樂(lè)設(shè)施進(jìn)行測(cè)試．大擺錘從高為9m的房屋A處，劃過(guò)90°到達(dá)與房屋A水平距離為17m，高為2m的房屋B處，求大擺錘的長(zhǎng)度47．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）意大利著名畫(huà)家達(dá)芬奇用如圖所示的方法證明了勾股定理，圖2是將圖1沿直線FD剪開(kāi)，將右半部分上下翻轉(zhuǎn)得到的圖形，其中四邊形AFEG，四邊形CDBG與四邊形A'E'B'A．6 B．12 C．15 D．2548．（2022·江西九江·二模）俊俊和霞霞共同合作將一張長(zhǎng)為2，寬為1的矩形紙片進(jìn)行裁剪（共裁剪三次），裁剪出來(lái)的圖形剛好是4個(gè)等腰三角形（無(wú)紙張剩余）．霞霞說(shuō)：“有一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是1”；俊俊說(shuō)：“有一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是2?1”；那么另外兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)可能是??題型13在網(wǎng)格中判斷直角三角形49．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，網(wǎng)格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AB，CD的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上：(1)在圖中畫(huà)出以AB為斜邊的等腰直角△ABE，點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上；(2)在圖中畫(huà)出以CD為腰的等腰△CDF，其△CDF的面積為4，點(diǎn)F在正方形的頂點(diǎn)上；(3)連接EF，請(qǐng)直寫(xiě)出線段EF的長(zhǎng)．50．（23-24九年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③給定的網(wǎng)格中，只用無(wú)刻度的直尺，按要求畫(huà)圖，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出畫(huà)法．(1)圖①中，△ABC的形狀是．(2)圖②中，在AB邊上取一點(diǎn)D，連接CD，使CD=1(3)圖③中，在AB邊上取一點(diǎn)E，連接CE，使CE為∠ACB的平分線．51．（2024·江蘇無(wú)錫·一模）如圖，在網(wǎng)格圖中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），點(diǎn)A、B、C、D均為格點(diǎn)，給出下列三個(gè)命題：①點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短距離為10；②點(diǎn)A到直線CD的距離為45③直線AB、CD所交的銳角為45°；其中，所有正確命題的序號(hào)為．（填序號(hào)）52．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在7×5的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，AD是BC邊上的中線，則AD的長(zhǎng)為（

）A．22 B．352 C．29??題型14利用勾股定理逆定理求解53．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，CE∥AD，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)試判斷線段CE與線段AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)若AD=2，AE=2254．（2024·廣東廣州·一模）如圖，點(diǎn)E為菱形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，且AE=3，DE=2，點(diǎn)F為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，若△DEF的周長(zhǎng)最小值為6，則sin∠BCD=55．（2023·貴州銅仁·三模）如圖，平行四邊形ABCD中以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交BA，BC于F，G，分別以點(diǎn)F，G為圓心大于12FG長(zhǎng)為半作弧，兩弧交于點(diǎn)H，作BH交AD于點(diǎn)A．241 B．402 C．4556．（2023·山東濟(jì)寧·一模）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，則剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)可能是①??題型15利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題57．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A，B兩地之間被一座大山擋在中間，導(dǎo)致一直沒(méi)有直通的公路，需要繞行C地，嚴(yán)重阻礙了A，B兩地間的區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展．為促進(jìn)區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展，A，B兩地準(zhǔn)備通過(guò)開(kāi)挖隧道的方式修建一條直通AB兩地的公路．已知AC=60km，BC=90km，∠C=60°，求58．（2024·福建三明·三模）綜合實(shí)踐：閱讀下列材料，解答問(wèn)題．任務(wù)：如圖1，現(xiàn)要測(cè)量某校旗桿的高度（系在旗桿頂端的繩子垂到地面，并多出一小段）．工具：一把皮尺（測(cè)量長(zhǎng)度達(dá)不到旗桿長(zhǎng)一半）．李明學(xué)習(xí)小組測(cè)量過(guò)程和部分求解過(guò)程如下（如圖2）：測(cè)量過(guò)程：步驟1：測(cè)得多出一小段繩子的長(zhǎng)度為am步驟2：將繩子拉直，繩子末端與地面接觸點(diǎn)為A，測(cè)得A點(diǎn)到旗桿底部C點(diǎn)距離AC=bm部分求解過(guò)程：設(shè)旗桿高度BC=?，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴BC∵AC=b，∴(1)根據(jù)李明學(xué)習(xí)小組求解過(guò)程，請(qǐng)直接寫(xiě)出旗桿高度?=（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)李明學(xué)習(xí)小組求解過(guò)程，所用到的幾何知識(shí)是；(3)請(qǐng)你利用所提供的工具，通過(guò)2次測(cè)量，設(shè)計(jì)另外一種方案，寫(xiě)出你的測(cè)量和求解過(guò)程．（測(cè)量得到的長(zhǎng)度用字母m，n表示）59．（2024·安徽·一模）甲、乙兩船同時(shí)從A碼頭開(kāi)出，45分鐘后，甲船到達(dá)B碼頭，乙船到達(dá)C碼頭；已知甲船航行的速度是12海里/時(shí)．乙船航行的速度是16海里/時(shí)，甲船航行的方向是北偏東40°，乙船航行的方向是南偏東50°，求甲、乙兩船之間的距離BC．

60．（22-23八年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖所示，一艘輪船由A港口沿著北偏東60°的方向航行100km到達(dá)B港口，然后再沿北偏西30°方向航行100km到達(dá)(1)求A，C兩港口之間的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)C港口在A港口的什么方向．??題型16利用勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題61．（2024·廣東清遠(yuǎn)·二模）綜合與實(shí)踐主題：檢測(cè)雕塑(下圖)底座正面的邊AD和邊BC是否分別垂直于底邊AB．素材：一個(gè)雕塑，一把卷尺．步驟1：利用卷尺測(cè)量邊AD，邊BC和底邊AB的長(zhǎng)度，并測(cè)量出點(diǎn)B,D之間的距離；步驟2：通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證底座正面的邊AD和邊BC是否分別垂直于底邊AB．解決問(wèn)題：(1)通過(guò)測(cè)量得到邊AD的長(zhǎng)是60厘米，邊AB的長(zhǎng)是80厘米，BD的長(zhǎng)是100厘米，邊AD垂直于邊AB嗎？為什么？(2)如果你隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為30cm的刻度尺，你能有辦法檢驗(yàn)邊AD是否垂直于邊AB62．（23-24八年級(jí)下·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，某社區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，AB=15m，CD=8m，AD=17m．從點(diǎn)A修了一條垂直BC的小路AE（垂足為E），E恰好是BC(1)求邊BC的長(zhǎng)；(2)連接AC，判斷△ADC的形狀；(3)求這塊空地的面積．??題型17最短距離問(wèn)題63．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐“轉(zhuǎn)化”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題是轉(zhuǎn)化思想的一個(gè)重要方面．為了讓同學(xué)們探究“轉(zhuǎn)化”思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生研究幾何體的最短路線問(wèn)題：?jiǎn)栴}情境：如圖1，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱側(cè)面爬行到點(diǎn)C，其最短路線正是側(cè)面展開(kāi)圖中的線段AC，若圓柱的高AB為2cm．底面直徑BC為8問(wèn)題解決：（1）判斷最短路線的依據(jù)是______；（2）求出螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路線AC的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)和π）；拓展遷移：如圖2，O為圓錐的頂點(diǎn)，M為底面圓周上一點(diǎn)，點(diǎn)P是OM的中點(diǎn)，母線OM=8，底面圓半徑為2，粗線為螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)繞圓錐側(cè)面爬行回到點(diǎn)P時(shí)所經(jīng)過(guò)的路徑的痕跡．（3）請(qǐng)求出螞蟻爬行的最短距離．64．（2023·湖北十堰·一模）如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長(zhǎng)為12m的半圓，其邊緣AB=CD=20m（邊緣的寬度忽略不計(jì)），點(diǎn)E在CD上，CE=4m.一滑板愛(ài)好者從A點(diǎn)滑到

A．28m B．24m C．20m65．（2023·湖北十堰·三模）如圖，地面上有一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，一只螞蟻在這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的頂點(diǎn)A處，盒子的頂點(diǎn)C'處有一小塊糖粒，螞蟻要沿著這個(gè)盒子的表面A處爬到C'處吃這塊糖粒，已知盒子的長(zhǎng)和寬為均為20cm，高為30cm，則螞蟻爬行的最短距離為（

A．1017 B．50 C．1029 D．70

66．（2024·四川德陽(yáng)·二模）如圖，透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為18cm，底面周長(zhǎng)為12cm，在容器內(nèi)壁離容器底部7cm的A處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁且距離容器上沿1cm的點(diǎn)B處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑長(zhǎng)度是cm．1．（2024·江蘇常州·中考真題）對(duì)于平面內(nèi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)圖形，若將其中一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離d后與另一個(gè)圖形重合，則稱這兩個(gè)圖形存在“平移關(guān)聯(lián)”，其中一個(gè)圖形叫做另一個(gè)圖形的“平移關(guān)聯(lián)圖形”．(1)如圖1，B、C、D是線段AE的四等分點(diǎn)．若AE=4，則在圖中，線段(2)如圖2，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是2．用直尺和圓規(guī)作出△ABC的一個(gè)“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足d=2（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)D、E、G的坐標(biāo)分別是?1,0、1，0、0，4，以點(diǎn)G為圓心，r為半徑畫(huà)圓．若對(duì)⊙G上的任意點(diǎn)F，連接DE、EF、FD所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足d≥3，直接寫(xiě)出r的取值范圍．2．（2024·江蘇徐州·中考真題）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，若CD2=AD?DB，則稱點(diǎn)D(1)如圖（1），在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．試說(shuō)明：點(diǎn)D是點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(2)如圖（2），已知點(diǎn)D在線段AB上，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作一個(gè)△ABC，使其同時(shí)滿足下列條件：①點(diǎn)D為點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；②∠ACB是鈍角（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．(3)若△ABC為銳角三角形，且點(diǎn)D為點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．設(shè)AD=m，DB=n，用含m、n的代數(shù)式表示AC的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果）．3．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）圖1、2是一個(gè)折疊梯的實(shí)物圖．圖3是折疊梯展開(kāi)、折疊過(guò)程中的一個(gè)主視圖．圖4是折疊梯充分展開(kāi)后的主視圖，此時(shí)點(diǎn)E落在AC上，已知AB=AC，sin∠BAC≈45，點(diǎn)D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均與BC所在直線平行，DE=FM=GH=JK=20cm，DF=FG=GJ=30cm．點(diǎn)N在AC上，AN、MN的長(zhǎng)度固定不變．圖5是折疊梯完全折疊時(shí)的主視圖，此時(shí)AB、AC重合，點(diǎn)E、M、H、N、K【分析問(wèn)題】（1）如圖5，用圖中的線段填空：AN=MN+EM+AD?_________；（2）如圖4，sin∠MEN≈_________，由AN=EN+AE=EN+AD，且AN的長(zhǎng)度不變，可得MN與EN【解決問(wèn)題】（3）求MN的長(zhǎng)．4．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）【問(wèn)題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)遇到一個(gè)幾何問(wèn)題：如圖①，在等邊△ABC中，AB=3，點(diǎn)M、N分別在邊AC、BC上，且AM=CN，試探究線段MN長(zhǎng)度的最小值．【問(wèn)題分析】小明通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，將雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，再通過(guò)定角發(fā)現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，進(jìn)而解決上述幾何問(wèn)題．【問(wèn)題解決】如圖②，過(guò)點(diǎn)C、M分別作MN、BC的平行線，并交于點(diǎn)P，作射線AP．在【問(wèn)題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問(wèn)題：（1）證明：AM=MP；（2）∠CAP的大小為度，線段MN長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_______．【方法應(yīng)用】某種簡(jiǎn)易房屋在整體運(yùn)輸前需用鋼絲繩進(jìn)行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫(huà)出了示意圖，如圖④，△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°．MN是一條兩端點(diǎn)位置和長(zhǎng)度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在DE上．在調(diào)整鋼絲繩端點(diǎn)位置時(shí)，其長(zhǎng)度也隨之改變，但需始終保持AM=DN．鋼絲繩MN長(zhǎng)度的最小值為多少米．5．（2024·河南·中考真題）綜合與實(shí)踐在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過(guò)程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究定義：至少有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．(1)操作判斷用分別含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個(gè)四邊形，其中是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的有________（填序號(hào)）．(2)性質(zhì)探究根據(jù)定義可得出鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對(duì)角線相關(guān)的性質(zhì)．如圖2，四邊形ABCD是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，AB=AD，AC是它的一條對(duì)角線．①寫(xiě)出圖中相等的角，并說(shuō)明理由；②若BC=m，DC=n，∠BCD=2θ，求AC的長(zhǎng)（用含m，n，θ的式子表示）．(3)拓展應(yīng)用如圖3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，分別在邊BC，AC上取點(diǎn)M，N，使四邊形ABMN是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．當(dāng)該鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形僅有一組鄰邊相等時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BN1．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AB的中點(diǎn)，連接OE．若OE=3，則菱形的邊長(zhǎng)為（

）

A．6 B．8 C．10 D．122．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，若∠B=25°，則∠CAD°．3．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，將△ABC沿其底邊中線AD向下平移，使A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'滿足AA'4．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在徐州云龍湖旅游景區(qū)，點(diǎn)A為“彭城風(fēng)華”觀演場(chǎng)地，點(diǎn)B為“水族展覽館”，點(diǎn)C為“徐州漢畫(huà)像石藝術(shù)館”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城風(fēng)華”觀演場(chǎng)地與“水族展覽館”之間的距離AB（精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：5．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=25，AC=2，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和N，作直線MN分別交AB，BC于點(diǎn)D，(1)求CD的長(zhǎng)；(2)求△ACE的周長(zhǎng)．6．（2024·山東淄博·中考真題）《九章算術(shù)》中提到：今有戶高多于廣六尺八寸．兩隅相去適一丈．問(wèn)戶高、廣各幾何？其大意為：已知矩形門(mén)的高比寬多6尺8寸，門(mén)的對(duì)角線長(zhǎng)1丈，那么門(mén)的高和寬各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）若設(shè)門(mén)的高和寬分別是x尺和y尺．則下面所列方程組正確的是（

）A．x=y?6.8x2+C．x=y+6.8x2+7．（2024·海南·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC=120°，邊AB在數(shù)軸上，將AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在數(shù)軸上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E表示的數(shù)是3，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（

）A．1 B．1?3 C．0 D．8．（2024·江蘇南通·中考真題）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為m，nm>n．若小正方形面積為5，m+n2=21A．12 B．13 C．14 D．159．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，EF∥x軸，點(diǎn)E在雙曲線y=kx(k為常數(shù)，k>0)上，將正六邊形ABCDEF向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)DA．43 B．33 C．210．（2024·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BC，BA于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線BP交AC于點(diǎn)F．已知CF=3，AF=5，則BF11．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來(lái)近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416，如圖，⊙O的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)⊙O的面積，可得π的估計(jì)值為332．若用圓內(nèi)接正八邊形近似估計(jì)⊙O的面積，可得π的估計(jì)值為12．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖①，直角三角形的兩個(gè)銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個(gè)正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復(fù)上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”．若圖①中的直角三角形斜邊長(zhǎng)為2，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為．13．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=5，tan∠C=2，則AC+55

14．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A與BC相切于點(diǎn)D．

(1)求圖中陰影部分的面積；(2)設(shè)⊙A上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接CP，BP．當(dāng)CP的長(zhǎng)最大時(shí)，求BP的長(zhǎng)．15．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了圖形的相似后，對(duì)三角形的相似進(jìn)行了深入研究．（一）拓展探究如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足為D．（1）興趣小組的同學(xué)得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴AB∴A請(qǐng)完成填空：①______；②______；（2）如圖2，F(xiàn)為線段CD上一點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，連接CE，當(dāng)∠ACE=∠AFC時(shí)，請(qǐng)判斷△AEB的形狀，并說(shuō)明理由．（二）學(xué)以致用（3）如圖3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面內(nèi)一點(diǎn)D，滿足AD=AC，連接CD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，且∠CEB=∠CBD，當(dāng)線段BE的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求線段CE16．（2024·四川廣元·中考真題）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，還能經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”的過(guò)程，更是培養(yǎng)動(dòng)手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對(duì)“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產(chǎn)生了如下問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們幫他解決．在△ABC中，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，連接CD．(1)初步探究如圖2，若∠ACD=∠B，求證：AC(2)嘗試應(yīng)用如圖3，在（1）的條件下，若點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，BC=4，求CD的長(zhǎng)；(3)創(chuàng)新提升如圖4，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，連接BE，若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EBD，AC=27，求BE

第四章三角形第19講直角三角形TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01由直角三角形的性質(zhì)求解??題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形??題型03利用勾股定理求解??題型04判斷勾股數(shù)問(wèn)題??題型05以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積??題型06勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題??題型07勾股定理與折疊問(wèn)題??題型08勾股定理與無(wú)理數(shù)問(wèn)題??題型09利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系??題型10勾股定理的證明方法??題型11趙爽弦圖??題型12利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問(wèn)題??題型13在網(wǎng)格中判斷直角三角形??題型14利用勾股定理逆定理求解??題型15利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題??題型16利用勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題??題型17最短距離問(wèn)題??題型01由直角三角形的性質(zhì)求解1．（2023·山東濟(jì)南·三模）將正六邊形與正方形按如圖所示擺放，且正六邊形的邊AB與正方形的邊CD在同一條直線上，則∠BOC的度數(shù)是．【答案】30°/30度【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角問(wèn)題，先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出正六邊形的內(nèi)角，然后根據(jù)正多邊形內(nèi)角與外角的互補(bǔ)，求得正六邊形和正方形的外角，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求得∠BOC的度數(shù)．【詳解】解：∵圖中五邊形為正六邊形，∴∠ABO=1∴∠OBC=180°?120°=60°，∵正方形中OC⊥CD，∴∠OCB=90°，∴∠BOC=180°?90°?60°=30°，故答案為：30°．2．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF交邊BC于點(diǎn)D，連接AD．若BD=8，則△ACD的周長(zhǎng)為【答案】8+43/【分析】由作圖知DE是AC的垂直平分線，則DA=DC,DE⊥AC，GA=GC，角度推導(dǎo)得到∠B=30°，繼而求出AD，再解Rt△ADG求出AG【詳解】解：由作圖知DE是AC的垂直平分線，∴DA=DC,DE⊥AC，GA=GC∴∠ACD=∠DAC，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠ACD=180°?120°∴∠DAC=30°，∴∠BAD=∠BAC?∠DAC=90°，∴AD=1在Rt△ADG中，AG=AD?∴AC=2AG=43∴△ACD周長(zhǎng)為：AD+CD+AC=8+43故答案為：8+43【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)30°是解題的關(guān)鍵．3．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線BP交ACA．∠ABE=∠CBE B．2∠ABE=∠CADC．BF=2DF D．AF=AE【答案】C【分析】根據(jù)角平分線定義判斷A；根據(jù)∠CAD和∠ABC都是∠C的余角判斷B；根據(jù)含30°的直角三角形性質(zhì)判斷C；根據(jù)∠C和∠BAC都是∠CAD的余角，∠AEF是△EBC的外角，∠AFE是△FAB的外角，判斷D．【詳解】A、由作圖知，BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴A正確，不符合題意；B、∵Rt△ABC，∠BAC=90°∴∠ADC=90°，∴∠C+∠CAD=∠C+∠ABC=90°，∴∠CAD=∠ABC，∵∠ABC=2∠ABE，∴2∠ABE=∠CAD，∴B正確，不符合題意；C、當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，∠CBE=30°，BF=2DF，∴C不一定正確，C符合題意；D、∵∠C+∠CAD=∠BAD+∠CAD=90°，∴∠C=∠BAD，∵∠AEF=∠C+∠CBE，∴∠AEF=∠AFE，∴AF=AE，∴D正確，D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線和直角三角形．熟練掌握角的平分線定義，直角三角形角性質(zhì)，余角定義，含30°的直角三角形邊性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．4．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，若OB=4，S菱形ABCD=16A．25 B．4 C．2 D．5【答案】C【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由菱形的性質(zhì)得出BD=8，由菱形的面積得出AC=4，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD=4，BD⊥AC，∴BD=2OB=8，∵S菱形∴AC=4，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵O為AC的中點(diǎn)，∴OE=1故選：C．??題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形5．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列條件：①∠A=∠C?∠B；②a+ba?b③a=32，b=4④∠A:∠B:∠C=3:4:5，其中可以判定△ABC是直角三角形的有個(gè)．【答案】2【分析】本題主要考查了直角三角形的判定，對(duì)于①④，求出各內(nèi)角的度數(shù)，判斷即可；對(duì)于②③，根據(jù)勾股定理逆定理判斷即可．【詳解】∵∠A=∠C?∠B，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，則①正確；∵(a?b)(a+b)=c∴a2即a2∴△ABC是直角三角形，則②正確；∵a2=92=81∴a2∴△ABC不是直角三角形．則③不正確；設(shè)∠A=3x,∠B=4x,∠C=5x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴3x=45°，4x=60°，5x=75°，∴△ABC不是直角三角形．則④不正確．正確的有2個(gè)．故答案為：2．6．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，O為邊BC上一點(diǎn)，⊙O過(guò)點(diǎn)C，且與AB相切于點(diǎn)D，連接CD，OD，AD=AC．(1)求證：△ABC為直角三角形．(2)延長(zhǎng)DO與⊙O交于點(diǎn)E，連接CE，若AD=DE=6，求CE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)CE＝6【分析】（1）利用圓的切線的性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)，同圓的半徑相等的性質(zhì)解答即可；（2）利用圓周角定理，四邊形的內(nèi)角和定理和相似三角形的判定與性質(zhì)得到CECD=OEAD=【詳解】（1）證明：∵⊙O與AB相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AD，∴∠ADO=90°，∴∠ADC+∠ODC=90°．∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠ACD+∠OCD=90°．即∠ACO=90°，∴△ABC為直角三角形；（2）解：∵AD=DE=6，OE=1∴OE=1由（1）知：∠ADO=∠ACO=90°，∴∠DOC+∠A=180°．∵∠DOC+∠EOC=180°，∴∠A=∠EOC．∵DE為⊙O的直徑，∴∠DCE=90°，∴∠DCE=∠ACB=90°，∴∠OCE=∠ACD．∴△OCE∽△ACD，∴CECD設(shè)CE=x，則CD=2x，∵CE∴x∵x>0，∴x=6∴CE=6【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2024·河北秦皇島·一模）如圖，在等邊△ABC中，AB=10，P為BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)P，交線段AB于點(diǎn)M，將PM繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，交線段AC于點(diǎn)N，連接MN，有三位同學(xué)提出以下結(jié)論：嘉嘉：△PNC為直角三角形．淇淇：當(dāng)AM=2時(shí)，AN=7．珍珍：在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中，MN不存在平行于BC的情況．下列說(shuō)法正確的是（

）A．只有嘉嘉正確 B．嘉嘉和淇淇正確C．淇淇和珍珍正確 D．三人都正確【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明∠PNC=180°?∠C?∠NPC=90°，可以判斷嘉嘉正確：然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)判斷淇淇正確：珍珍錯(cuò)誤，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可得：∠MPN=60°∵PM⊥BC∴∠BPM=90°∴∠NPC=180°?∠BPM?∠MPN=30°∵△ABC為等邊三角形∴∠C=60°∴∠PNC=180°?∠C?∠NPC=90°∴△PNC為直角三角形，故嘉嘉正確；∵在等邊△ABC中，AB=10，∠B=60°當(dāng)AM=2時(shí)，BM=8，∵PM⊥BC∴∠BMP=30°∴BP=∴PC=6∵∠NPC=180°?∠BPM?∠MPN=30°∴NC=∴AN=AC?NC=7，故淇淇正確；當(dāng)BM=4時(shí)，AM=10?4=6∴BP=∴CP=10?2=8∴CN=∴AN=AC?CN=6=AM∵∠A=60°由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：PM=PN，∠MPN=60°∴△MPN是等邊三角形∴∠AMN=60°=∠B∴MN∥BC，故珍珍錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)．??題型03利用勾股定理求解8．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形OABC的頂點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，AC=3，BO=4，函數(shù)y=kx(x<0)的圖象經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)B【答案】?【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，以及菱形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，連接AC，OB相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸與點(diǎn)D，利用勾股定理求出CO的長(zhǎng)，判定出△BDO∽△CEO，求出BD，【詳解】解：如圖，連接AC，OB相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸與點(diǎn)∵四邊形OABC為菱形，∴AC⊥BO，EO=12BO=2∴CO=C∵∠CEO=∠BDO=90°，∠BOD=∠COE，∴△BDO∽△CEO，∴DOBO=解得：DO=16BD=B∴B?∵函數(shù)y=kx(x<0)∴k=xy=?16故答案為：?1929．（2024·河南鶴壁·模擬預(yù)測(cè)）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO與弦AB相交于點(diǎn)C，OB⊥OP，若OB=3，OC=1，則PA的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，連接OA，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP=90°，再證明∠PCA=∠PAC得到PA=PC，設(shè)PA=x，則PC=x，PO=x+1，利用勾股定理得到32【詳解】解：連接OA，如圖，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵OB⊥OP，∴∠BOC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∵∠B+∠OCB=90°，∠OAB+∠PAC=90°，∴∠OCB=∠PAC，∵∠OCB=∠PCA，∴∠PCA=∠PAC，∴PA=PC，設(shè)PA=x，則PC=x，PO=x+1，∵OA=OB=3，∴3解得x=4，即PA的長(zhǎng)為4．故答案為：4．10．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）下面是多媒體上的一道試題：如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AB上，AF=CE，連接BD，DF．求證：四邊形BFDE是矩形．下面是兩位同學(xué)的對(duì)話：(1)請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說(shuō)法，并證明；(2)若BE=23，DE=2，求菱形【答案】(1)選擇小星的說(shuō)法，證明見(jiàn)解析；(2)16．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，求出DE=BF=DE=BF，進(jìn)而證明BF=DE，四邊形BFDE是平行四邊形．利用有一個(gè)角是90°的平行四邊形是矩形即可得證；（2）利用勾股定理求出BD，再證明△BCD為等邊三角形，得DC=BD=4，即可得解．【詳解】（1）解：若選擇小星的說(shuō)法，證明如下：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD．∵AF=CE，∴BF=DE，∴四邊形BFDE是平行四邊形．∵BE⊥CD，∴∠∴四邊形BFDE是矩形．（2）解：∵BE⊥CD，∴∠在Rt△BED中，BE=2∴BD=B∵∴∠∵四邊形ABCD是菱形，∴DC=BC，∴△BCD為等邊三角形，∴DC=BD=4，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為4×4=16．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，證明矩形及垂線定義，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2024·四川眉山·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A1,0，B1?a,0，C1+a,0a>0，點(diǎn)P在以D4,4為圓心，1為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足∠BPC=90°，則A．3 B．4 C．6 D．2【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，最短距離等知識(shí)點(diǎn)，利用點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)可得到AB=AC=a，則AB=AC=AP=a，連接AD交⊙D于P'，利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出DA=5，即可得到P'A=4【詳解】解：∵點(diǎn)A1,0，B1?a,0，∴AB=AC=a，∵∠BPC=90°，∴AB=AC=AP=a，如圖，連接AD交⊙D于P'DA=4?12∴P'即⊙D上點(diǎn)到A的最短距離為4，∴a的最小值為4，故選：B．??題型04判斷勾股數(shù)問(wèn)題12．（2024·四川德陽(yáng)·二模）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…這類(lèi)勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類(lèi)勾股數(shù)，如6，8，10；8，15，17；…若此類(lèi)勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其股是（結(jié)果用含m的式子表示）．【答案】a=【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義及求法：滿足a2+b2=c2【詳解】解：∵m為正整數(shù)，∴2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理得，(2m)2解得：a=m故答案為：a=m13．（2024·山東淄博·二模）觀察下列幾組勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根據(jù)上面的規(guī)律，寫(xiě)出第8組勾股數(shù)：．【答案】17，144，145【分析】本題考查的是勾股數(shù)，數(shù)字類(lèi)規(guī)律探究；觀察已知數(shù)據(jù)可得每組第一個(gè)數(shù)=2×組數(shù)+1，第二個(gè)數(shù)=2×組數(shù)×(組數(shù)+1)，第三個(gè)數(shù)=2×組數(shù)×(組數(shù)+1)+1，再把n代入，整理即可得到答案．【詳解】第一組：3，4=32?1第二組：5，12=52?1…，第四組為：11，112?12…，則第n組第一個(gè)數(shù)為：2n+1，第二個(gè)數(shù)為：2×n×(n+1)=2n(n+1)，第三個(gè)數(shù)為：2×n×(n+1)+1=2n∴第八組：17，172?1故答案為：17，144，145．14．（2024·河北滄州·一模）當(dāng)直角三角形的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)時(shí)，我們稱這三個(gè)正整數(shù)為勾股數(shù)．(1)若a，b為一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng)，a，b，c為勾股數(shù)，且a=n+7，c=n+8，n為正整數(shù)，求b的值（用含n的式子表示），并直接寫(xiě)出符合題意的最小的(2)當(dāng)n是大于1的整數(shù)時(shí)，判斷2n，n2【答案】(1)5(2)是勾股數(shù)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，完全平方公式，算術(shù)平方根的求解，準(zhǔn)確理解勾股數(shù)的定義，是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股數(shù)的定義得到n+72+b2=（2）分別表示出2n，n2?1，【詳解】（1）解：a，b，c為勾股數(shù)，c為斜邊長(zhǎng)，∴a∵a=n+7，∴n+7∴b2=2n+15∵n，∴當(dāng)n=5時(shí)，b=2×5+15∴最小的b值為5；（2）∵2n2=4n2∴2n∴2n，n215．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，則稱這種直角三角形為“完美勾股三角形”，k為其面積和周長(zhǎng)的比值．當(dāng)k=2時(shí)，滿足條件的“完美勾股三角形”的周長(zhǎng)為；當(dāng)0<k≤1時(shí)，若存在“完美勾股三角形”，則k=．【答案】4812【分析】本題考查了直角三角形，都是各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，利用a=3,b=4,c=5的直角三角形來(lái)研究，對(duì)三邊同時(shí)擴(kuò)大1,2,3,?倍數(shù)來(lái)計(jì)算，看是否滿足題意即可求解．【詳解】解：設(shè)直角三角形的邊長(zhǎng)分別為a,b,c，其中a,b為直角邊，且a<b，由題意知：k=1利用特殊的勾三股四直角三角形來(lái)研究，當(dāng)a=3,b=4,c=5，上式不成立，依次將a=3,b=4,c=5擴(kuò)大相同的倍數(shù)，當(dāng)都擴(kuò)大4倍時(shí)：a=12,b=16,c=20，等式成立，故此時(shí)滿足條件的“完美勾股三角形”的周長(zhǎng)為：48；當(dāng)0<k≤1時(shí)，當(dāng)a=3,b=4,c=5時(shí)，k=1當(dāng)a=6,b=8,c=10時(shí)，k=1故答案為：48，12??題型05以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積16．（2024·河北唐山·三模）如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面積依次為5、13、30，則正方形C的面積為（

）A．12 B．18 C．10 D．20【答案】A【分析】本題主要考查了正方形和勾股定理，解題關(guān)鍵是勾股定理的正確應(yīng)用．由所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根據(jù)勾股定理得SA+SB=SE=SD?SC，由正方形A、B、D【詳解】解：由題意可得SA由正方形A、B、D的面積依次為5、13、30，得5+13=30?S求得正方形C的面積為12．故A正確故答案為：A17．（2024·甘肅天水·二模）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三、股四、弦五”這一結(jié)論．勾股定理與圖形的面積存在密切的關(guān)系，如圖，這是由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)正方形組成的圖形，若△PEF的面積為6，則陰影部分的周長(zhǎng)為．【答案】28【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，根據(jù)根據(jù)勾股定理得AB=5，則正方形AEFB的面積是25，因?yàn)椤鱌EF的面積為6，所以2PE?PF=24，即可算出陰影部分的周長(zhǎng)為4PE+PF【詳解】解：依題意，AB=A∴EF=AB=5，∴正方形AEFB的面積是25，∴PE∵△PEF的面積為6，∴1∴2PE?PF=24，∴PE+PF即PE+PF=7．∴陰影部分的周長(zhǎng)為4PE+PF故答案為：28．18．（2021·浙江金華·中考真題）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點(diǎn)E,F,G,H,M,N都在同一個(gè)圓上．記該圓面積為S1，△ABC面積為S2，則S1A．5π2 B．3π C．5π D．【答案】C【分析】先確定圓的圓心在直角三角形斜邊的中點(diǎn)，然后利用全等三角形的判定和性質(zhì)確定△ABC是等腰直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到S2=14A【詳解】解：如圖所示，∵正方形的頂點(diǎn)E,F,G,H,M,N都在同一個(gè)圓上，∴圓心O在線段EF,MN的中垂線的交點(diǎn)上，即在Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，且AC=MC，BC=CG，∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，∴AG=BM，又∵OG=OM，OA=OB，∴△AOG≌△BOM，∴∠CAB=∠CBA，∵∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴OC=1∴∵O∴S∴S故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)、圓的面積、三角形的面積等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．19．（2023·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，分別以三條邊BC，AC，AB為一邊，在△ABC的外部作正五邊形，三個(gè)五邊形的面積分別記作S1，A．S1+S2=S3 B．【答案】D【分析】如圖所示，設(shè)AB所在的正五邊形的外接圓圓心為O，連接OA，OB，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，先求出∠AOB=72°，再根據(jù)三線合一定理得到BD=12AB，∠BOD=∠AOD=36°，解直角三角形得到OD=【詳解】解：如圖所示，設(shè)AB所在的正五邊形的外接圓圓心為O，連接OA，OB，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于由正五邊形的性質(zhì)可得∠AOB=360°∵OA=OB，∴BD=1在Rt△AOD中，OD=∴S3同理S1=5B∵在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°∴BC=1∴S1+S2=5BC∴S3故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，正多邊形與圓，解直角三角形，正確用直角三角形ABC的三邊長(zhǎng)表示出三個(gè)正五邊形的面積是解題的關(guān)鍵．20．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖①，分別以RtΔPMN的各邊為一邊向外作三個(gè)三角形，使∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，再按圖②的方式將兩個(gè)較小的三角形放在最大的三角形內(nèi)，使AB=MN，AD=PM，BF=PN，∠GFB=∠A=∠2．若要求出ΔCEH的面積，則需要知道下列哪個(gè)圖形的面積（

A．四邊形CAFG B．四邊形EDBC C．ΔGFB D．【答案】D【分析】由勾股定理可得MN2=MP2+NP2，可得【詳解】如圖①中，∠MPN=90°，∴MN如圖②中：∵AB=MN，AD=PM，BF=PN，∴AB∵∠GFB=∠A=∠2，∴AC//FG，∠B=∠ADE，∴DE//BC，∴四邊形CEHG是平行四邊形，∴S∵AC//FG，DE//BC，∴ΔADE∽Δ∴SΔADES∴SΔ∴S∴S故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明SΔ??題型06勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題21．（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E都在小正方形格點(diǎn)的位置上，連接AB，CD相交于點(diǎn)P，根據(jù)圖中提示所添加的輔助線，可以求得tan∠BPC的值是（

A．12 B．55 C．2 【答案】C【分析】本題考查了三角函數(shù)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．由題得：CD∥BE，∠AED=45°，∠BED=45°，根據(jù)勾股定理求出AE=22，BE=2，進(jìn)而求出【詳解】解：由題得，CD∥BE，∠AED=45°，∠BED=45°，∴∠BPC=∠ABE，∠AEB=90∵AE=22+∴在Rt△ABE中，tan則tan∠BPC=故選：C．22．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的8×6的網(wǎng)格，其中點(diǎn)O，A，B均在格點(diǎn)上，將扇形AOB圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面半徑為．【答案】3【分析】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是明確圓錐的底面圓的周長(zhǎng)即為扇形的弧長(zhǎng)．根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式求得弧長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐的底面圓的周長(zhǎng)即為扇形的弧長(zhǎng)進(jìn)行求解．【詳解】解：OA=3設(shè)圓錐的底面半徑為r，根據(jù)題意，得90π?32解得r=3故答案為：3223．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，象棋盤(pán)中各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復(fù)路線，按照馬走日的規(guī)則，走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最遠(yuǎn)距離為．

【答案】2【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，

走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最遠(yuǎn)距離的點(diǎn)為A處，最遠(yuǎn)距離為42故答案為：2524．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A4,4，B4,1，C2,1．將△ABC關(guān)于原點(diǎn)O(1)畫(huà)出△A(2)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為_(kāi)_____，點(diǎn)C、C【答案】(1)見(jiàn)解析(2)?4,?1，2【分析】本題考查中心對(duì)稱、勾股定理，熟練掌握軸對(duì)稱中心對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．（2）由圖可得點(diǎn)B1的坐標(biāo)；利用勾股定理計(jì)算C【詳解】（1）解：如圖，△A；（2）解：由圖可得，點(diǎn)B1的坐標(biāo)為?4,?1由勾股定理得，CC故答案為：?4,?1；25??題型07勾股定理與折疊問(wèn)題25．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，沿著EF折疊△B【答案】8±2【分析】取BC中點(diǎn)為D、連接ED，作AB'中點(diǎn)G，連接EG交BB'，交EF于O，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，由折疊性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)得出E，O'【詳解】解：如圖所示，取BC中點(diǎn)為D、連接ED，作AB'中點(diǎn)G，連接EG交BB'，交在Rt△ABC中∴AB=∵E為AB中點(diǎn)，∴AE=BE=5，由折疊可知：B'∵點(diǎn)G是AB'中點(diǎn)，在△EAB'中有在Rt△EGA中，EG=在△ABB'中，E為AB中點(diǎn)，G為∴BB取BB'中點(diǎn)為O'∵BF=B∴FO∴E，O'，F(xiàn)∴BO=1在Rt△EOB中，EO=∵E為AB的中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，∴ED∥∵∠C=90°，∴∠EDB=∠EDF=90°，在Rt△EDF中，設(shè)DF=x，則BF=4+xEF=E∴FO=x在Rt△BOF中，F(xiàn)O2整理得：5x解得：x1∴CF=BC?BD?DF=8?4?12±2故答案為：8±26【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，一元二次方程的幾何應(yīng)用，中位線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，折疊性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，準(zhǔn)確作出輔助線為解題關(guān)鍵．26．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是?5,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)是0,12，點(diǎn)M是OB上一點(diǎn)，將△ABM沿AM折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)B'處，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

A．0,5 B．0,103 C．0,23【答案】B【分析】此題重點(diǎn)考查圖形與坐標(biāo)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)．由勾股定理得AB=OA2+OB2=13【詳解】解：∵A(?5,0)，B(0,12)，∠AOB=∠MOB∴OA=5，OB=12，∴AB=O由折疊得AB'=AB=13∴OB∵OM∴OM解得OM=10∴M0,故選：B．27．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，將△ABC沿EF折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)D處，若ADCD=12，則【答案】526【分析】過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，設(shè)AD=x，則CD=2x，AC=BC=3x，設(shè)CE=y，折疊得到DE=BE=3x?y，勾股定理，求出y的值，證明△CDE∽△GFD，得到DEDF【詳解】解：∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=∠A=45°，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，則∠DGA=∠DGF=90°，∵ADCD∴設(shè)AD=x，則CD=2x，AC=BC=AD+CD=3x，∵∠A=45°，∴DG=AD?sin設(shè)CE=y，則：BE=BC?CE=3x?y，∵將△ABC沿EF折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)D處，∴DE=BE=3x?y，∠EDF=∠B=45°，∵∠C=90°，∴DE2=C解得：y=5∴CE=5∵∠CDF=∠CDE+∠EDF=∠A+∠AFD，∠EDF=45°=∠A，∴∠CDE=∠AFD，∵∠C=90°=∠DGF，∴△CDE∽△GFD，∴DEDF故答案為：52【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理與折疊問(wèn)題，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的外角，等邊對(duì)等角等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線，構(gòu)造相似三角形和特殊三角形，是解題的關(guān)鍵．28．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】在一次數(shù)學(xué)探究課上，老師帶領(lǐng)大家一起研究特殊三角形的性質(zhì).圓圓小組對(duì)直角三角形進(jìn)行了各種類(lèi)型的折疊探究，并嘗試用數(shù)學(xué)方法說(shuō)明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.類(lèi)型1．如圖1，沿著DE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，他們發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)D的位置與AC和BC的長(zhǎng)有關(guān)．問(wèn)題1.若BC=3，AC=1，則BD=________．【變式探究】類(lèi)型2．如圖2，點(diǎn)D為CB上一點(diǎn)，沿著AD折疊，AC恰好落在AB上，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為C'，折痕交BC于點(diǎn)D．問(wèn)題2．①若ABAC=53②請(qǐng)猜測(cè)ABAC與BD【拓展思考】方方小組對(duì)等腰三角形進(jìn)行了各種折疊探究.如圖3，在等腰三角形ABC中，BC為底邊，∠A為鈍角，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，將△ABD沿直線BD翻折得到△A問(wèn)題3．若AD=CD=4，A'C=6，求【答案】問(wèn)題1．53；問(wèn)題2．①53；②ABAC=BD【分析】問(wèn)題1．由折疊可得，AD=BD，設(shè)AD=BD=x，則CD=3?x，在Rt△ACD中由勾股定理得12+問(wèn)題2．①證明△BCA∽△BC'D可得CAC'D=BABD，進(jìn)而可得BD問(wèn)題3．連接AA'，與BD相交于點(diǎn)O，由折疊可得AO=A'O，AA'⊥BD，進(jìn)而可得OD為本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形額判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：?jiǎn)栴}1：由折疊可得，AD=BD，設(shè)AD=BD=x，則CD=3?x，在Rt△ACD中，A∴12解得x=5∴BD=5故答案為：53問(wèn)題2：①由折疊可得，∠AC'D=∠C=90°∴∠BC∴∠C=∠BC∵∠B=∠B，∴△BCA∽△BC∴CAC∴BDC∵C'∴BDCD②猜測(cè)：ABAC證明：由折疊可得，∠AC'D=∠C=90°∴∠BC∴∠C=∠BC∵∠B=∠B，∴△BCA∽△BC∴CAC∴BDC∵C'∴BDCD即ABAC問(wèn)題3：連接AA'，與BD相交于點(diǎn)由折疊可得，AO=A'O∴∠AOB=∠AOD=90°，∵AD=CD=4，∴OD為△AA'C∴OD=1∴AO=A∴BO=A∴BD=BO+OD=57??題型08勾股定理與無(wú)理數(shù)問(wèn)題29．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示原點(diǎn)，點(diǎn)B表示的數(shù)為2，AB⊥BC，垂足為B，且BC=3，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的數(shù)為．【答案】13【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，利用勾股定理可得AC=AB2【詳解】解：∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵點(diǎn)A表示原點(diǎn)，點(diǎn)B表示的數(shù)為2∴AB=2，又∵BC=3，∴AC=A∴AD=AC=13∴點(diǎn)D表示的數(shù)為13，故答案為：13．30．（2024·甘肅天