中考數(shù)學總復習提升專項知識一元二次方程及其應用(練習)含答案及解析

第二章方程與不等式第07講一元二次方程及其應用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01一元二次方程的定義??題型02已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值??題型03選用合適的方法解一元二次方程??題型04以注重過程性學習的形式考查解一元二次方程??題型05配方法的應用??題型06以開放性試題的形式考查解一元二次方程??題型07不解方程，判斷一元二次方程根的情況??題型08根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍??題型09利用根的判別式求代數(shù)式的值??題型10以開放性試題的形式考查根的判別式??題型11不解方程，求方程中參數(shù)的值??題型12不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值??題型13已知一元二次方程的解滿足的情況求參數(shù)值??題型14一元二次方程的實際應用-傳播/循環(huán)問題??題型15一元二次方程的實際應用-變化率問題??題型16一元二次方程的實際應用-幾何問題??題型17一元二次方程的實際應用-營銷問題??題型18一元二次方程的實際應用-動態(tài)幾何問題??題型19以真實問題情境為背景考查一元二次方程的實際應用??題型20以數(shù)學文化為背景考查一元二次方程的實際應用??題型01一元二次方程的定義1．（2024·湖南郴州·模擬預測）下列方程中是一元二次方程的是（

）A．2x2?x+1=0 C．3x+1=0 D．x+2．（2024·廣西桂林·二模）一元二次方程x2?4x+2=0的一次項系數(shù)是3．（2024·福建福州·模擬預測）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?ax?2a+1=0，若一次項系數(shù)與常數(shù)項相等，則a的值為4．（2024·廣東肇慶·一模）二次項系數(shù)為2，且兩根分別為x1=1，x2=1??題型02已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值5．（2024·云南昆明·一模）若x=a是方程x2+2x?2=0的一個根，則代數(shù)式2a2+4a+2019的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．?20236．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知方程x2?2024x+1=0的兩根分別為x1，x2，則A．1 B．?1 C．2024 D．?20247．（2024·江西·模擬預測）設(shè)m，n是方程x2+x?2024=0的兩個實數(shù)根，則m28．（2024·湖南郴州·模擬預測）已知關(guān)于x的一元二次方程3x2?5x+m=0??題型03選用合適的方法解一元二次方程9．（2024·甘肅·模擬預測）解方程：5x10．（2024·湖南郴州·模擬預測）解方程：(1)x?2(2)211．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）解方程：yy?312．（2024·寧夏銀川·一模）下面是某老師講解一元二次方程的解法時在黑板上的板書過程：請認真閱讀并完成任務(wù)．解方程：2x解：x2?3x2?3x?342x?34=±x1=52，(1)任務(wù)一：①楊老師解方程的方法是；A．直接開平方法

B．配方法

C．公式法

D．因式分解法②第二步變形的依據(jù)是；(2)任務(wù)二：解方程：x2??題型04以注重過程性學習的形式考查解一元二次方程13．（2024·河北石家莊·模擬預測）下面是小華同學解方程2x?3解方程：2x?3解：移項，得2x?3兩邊同時除以x?3，得2=3x…………第二步∴x=2(1)小華同學的解題過程從第________步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是________；(2)請你寫出正確的解題過程．14．（2024·江西景德鎮(zhèn)·二模）小明在學習了用配方法解一元二次方程后，解方程2x(1)小明的解題過程從第__________步開始出現(xiàn)了錯誤；(2)請利用配方法正確地解方程2x15．（2024·寧夏銀川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的過程，請仔細閱讀，并完成相應的問題．解一元二次方程：6解：原方程可以化為：2x3x?1兩邊同時除以3x?1得：2x=?1第二步系數(shù)化為1，得：x=?1任務(wù)：(1)小明的解法是不正確的，他從第_________步開始出現(xiàn)了錯誤；(2)請你繼續(xù)用因式分解法完成這個方程的正確解題過程．16．（2024·山西臨汾·一模）（1）計算：?1（2）下面是小剛同學和小穎同學解一元二次方程5x3x?2小剛同學：解：5x3x?25x=?2第二步解得x=?2小穎同學：解：5x3x?25x3x?25x?23x?25x?2=0或3x?2=0第四步解得x=25或任務(wù)一：①小剛同學的解答過程中，從第_________步開始出現(xiàn)錯誤．錯誤的原因是__________；②小穎同學的解答過程中，從第_________步開始出現(xiàn)錯誤．錯誤的原因是_________．任務(wù)二：該一元二次方程的解為__________．??題型05配方法的應用17．（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預測）若x=3ay=?b是方程2x+y=5的一個解，則代數(shù)式a2+b+5018．（2024·河北邢臺·模擬預測）已知，圖1中陰影面積為S1，圖2中陰影面積為S(1)用含x的代數(shù)式表示S1，S2；當x=1時，求(2)比較S1與S19．（2024·廣東東莞·一模）綜合與探究【閱讀理解】我們在分析解決某些數(shù)學問題時，經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，解決問題的策略一般都是進行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通過作差、變形，利用差的符號確定它們的大小，即要比較代數(shù)式A、B的大小，只要算A?B的值，若A?B>0，則A>B；若A?B=0，則A=B；若A?B<0，則A<B．【知識運用】（1）請用上述方法比較下列代數(shù)式的大?。ㄓ谩?gt;、=、<”填空）：①3?2______4?2②x?1______x+3；（2）試比較與6x2+2x+1【類比運用】（3）圖（1）是邊長為4的正方形，將正方形一組對邊保持不變，另一組對邊增加2aa>0得到如圖（2）所示的長方形，此長方形的面積為S1；將正方形的邊長增加a，得到如圖（3）所示的大正方形，此正方形的面積為S2．請先判斷S??題型06以開放性試題的形式考查解一元二次方程20．（2024·湖北·模擬預測）請寫一個一元二次方程，使得它的一個根為2，另一個根為負數(shù)，則這個一元二次方程可以是．（寫一個即可）21．（2022·廣東汕頭·二模）請寫出一個符合以下所有條件的一元二次方程：（1）二次項的系數(shù)為負數(shù)；（2）一個實數(shù)根為10?1的整數(shù)部分，另一個實數(shù)根為－4，則這個一元二次方程可以是22．（2024·浙江·模擬預測）設(shè)一元二次方程ax①a=1，b=3，c=2．②a=1③ba=?2，④x1+x2=0，x注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．??題型07不解方程，判斷一元二次方程根的情況23．（2024·云南曲靖·一模）一元二次方程x2?2x+1=0的根的情況是（A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．無實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．無法確定24．（2023·河南商丘·二模）關(guān)于x的方程4x2?4x=?1A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．無實數(shù)根25．（2024·山西·模擬預測）下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（

）A．x2+5x+6=0 C．x2?2x+5=0 26．（2024·山西長治·模擬預測）關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+mA．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)m的取值有關(guān)??題型08根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍27．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+1=0有兩個相等的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)A．0 B．?1或1 C．1 D．?2或228．（2024·新疆烏魯木齊·三模）等腰三角形三邊長分別為a，b，3，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2?4x?1+m=0的兩根，則m的值為（A．4 B．5 C．4或5 D．3或429．（2024·湖南·模擬預測）關(guān)于x的一元二次方程a+2x2?3x+1=0有兩不等實數(shù)根，則a30．（2024·貴州貴陽·一模）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m=0有兩個實數(shù)根，則實數(shù)m的值可能是31．（2024·貴州黔東南·二模）若關(guān)于x的方程2x2?3x+m+1=0沒有實數(shù)根，則m??題型09利用根的判別式求代數(shù)式的值32．（2024·廣東清遠·模擬預測）已知關(guān)于x的方程2x2?6k=0有兩個相等的實數(shù)根，則kA．?3 B．?4 C．3 D．?533．（2022·廣東廣州·一模）一元二次方程x2+x+k=0有兩個相等的實數(shù)根，則A．34 B．12 C．5434．（2021·山東淄博·二模）若關(guān)于x的一元二次方程12x2﹣2kx＋1﹣4k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式（k﹣2）2＋2k（1﹣k）的值為（

A．3 B．﹣3 C．?72 35．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知a，b分別為方程x2?2x?c=0的兩個不相等的實數(shù)根，則1aA．14 B．12 C．2??題型10以開放性試題的形式考查根的判別式36．（2022·福建漳州·模擬預測）若關(guān)于x的方程x2?k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的值可以是37．（2024·河南鄭州·模擬預測）若關(guān)于x的一元二次方程x2?6x+m=0有實數(shù)根，且m為正整數(shù)，請寫出一個合適的m值38．（2024·江蘇泰州·二模）已知一元二次方程x2+mx?4=0有兩個實數(shù)根，兩根之和為負數(shù)，則m的值可以是??題型11不解方程，求方程中參數(shù)的值39．（2024·云南曲靖·一模）已知關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為?2，則另一個根為（A．?10 B．?1 C．2 D．?540．（2024·廣東湛江·模擬預測）已知m，n是方程x2?3x?2=041．（2024·山東棗莊·一模）已知3是關(guān)于x的方程x2?2mx+3m=0的一個根，并且這個方程的兩個根恰好是菱形ABCD的兩條對角線的長，則菱形ABCD的面積為??題型12不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值42．（2024·湖北宜昌·一模）已知m、n是一元二次方程x2+x?2025=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式m2A．2025 B．2024 C．2023 D．202143．（2024·湖北·模擬預測）已知一元二次方程x2?3x?15=0的兩根分別為m，n，則mn?m?n的值是（A．18 B．?12 C．?18 D．1244．（2024·貴州銅仁·一模）已知關(guān)于x的方程x2+m?1x?2=0的兩實數(shù)根為x1，x2，若A．1 B．?5 C．3 D．545．（2024·湖北十堰·三模）若m、n是一元二次方程x2?x?3=0的兩個實數(shù)根，多項式2n46．（2024·四川內(nèi)江·二模）已知x1，x2是方程x2?x?2024=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式??題型13已知一元二次方程的解滿足的情況求參數(shù)值47．（2024·湖南株洲·模擬預測）關(guān)于x的一元二次方程x2?2mx+m2=4有兩個根x1、48．（2024·貴州遵義·模擬預測）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+3x+m=0的兩個實數(shù)根，且x149．（2024·湖北隨州·一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：該方程總有實數(shù)根；(2)設(shè)該方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，若x1>0，50．（2024·四川眉山·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范圍；(2)設(shè)方程兩實數(shù)根分別為x1、x2，且滿足x1??題型14一元二次方程的實際應用-傳播/循環(huán)問題51．（2024·湖北·模擬預測）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是73，設(shè)每個支干長出x個小分支，則可列方程為（

）A．1+x+x2=73C．x+x2=7352．（2024·貴州黔東南·二模）化學課代表在老師的培訓下，學會了高錳酸鉀制取氧氣的實驗室制法，回到班上后，第一節(jié)課手把手教會了若干名同學，第二節(jié)課會做該實驗的每個同學又手把手教會了同樣多的同學，這樣全班49人恰好都會做這個實驗了．問一個人每節(jié)課手把手教會了多少名同學？53．（2024·山東濟南·模擬預測）在一次足球邀請賽中，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場．若共比賽了15場，則參賽的球隊數(shù)為．??題型15一元二次方程的實際應用-變化率問題54．（2024·云南曲靖·一模）收發(fā)微信紅包已成為各類人群進行交流聯(lián)系、增強感情的一種方式，如圖所示是甜甜和她的妹妹在六一兒童節(jié)期間的對話：請問：2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到紅包的年增長率是多少？55．（2024·廣西南寧·模擬預測）某商場一種商品的進價為30元/件，售價為40元/件，經(jīng)統(tǒng)計銷量發(fā)現(xiàn)，該商品平均每天可以銷售48件．商場為盡快減少該商品的庫存，決定對該商品進行降價促銷活動．(1)對該商品進行了兩次降價后的售價為32.4元/件，求平均每次降價的百分率．(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每件降價1元，則每天可多銷售8件．若商場銷售該商品想要每天獲得504元的利潤，則每件應降價多少元？??題型16一元二次方程的實際應用-幾何問題56．（2024·貴州貴陽·一模）被譽為“蘊藏著人類上古文明密碼的哲學之書”的古老苗繡，在貴州文旅市場和時尚行業(yè)中，展現(xiàn)出匠人匠心的“針”功夫．小星奶奶手繡了一幅長為38cm、寬為23cm的矩形繡品(如圖所示)，為了完好保存繡品，計劃將其塑封，塑封時需四周留白(上下左右寬度相同)，且塑封后整幅圖的面積為1000cm2，設(shè)留白部分的寬度為A．(38?2x)(23?2x)=874 B．(38+2x)(23+2x)=874C．(38?2x)(23?2x)=1000 D．(38+2x)(23+2x)=100057．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，公園原有一塊長34m、寬10m的矩形空地．后來在這塊空地中劃出不同區(qū)域種植不同品種的鮮花，中間鋪設(shè)同樣寬度的石子路將各區(qū)域間隔開．已知各區(qū)域鮮花面積的和為58．（2024·浙江紹興·模擬預測）根據(jù)以下素材，完成探索任務(wù)．探索果園土地規(guī)劃和銷售利潤問題素材1某農(nóng)戶承包了一塊長方形果園ABCD，圖1是果園的平面圖，其中AB=200米，BC=300米．準備在它的四周鋪設(shè)道路，上下兩條橫向道路的寬度都為2x米，左右兩條縱向道路的寬度都為x米，中間部分種植水果．已知道路的路面造價是每平方米50元；出于貨車通行等因素的考慮，橫向道路寬度2x不超過24米，且不小于10米．素材2該農(nóng)戶發(fā)現(xiàn)某一種草莓銷售前景比較不錯，經(jīng)市場調(diào)查，草莓培育一年可產(chǎn)果，已知每平方米的草莓銷售平均利潤為100元；果園每年的承包費為25萬元，期間需一次性投入33萬元購進新苗，每年還需25萬元的養(yǎng)護、施肥、運輸?shù)绕溆噘M用．問題解決任務(wù)1解決果園中路面寬度的設(shè)計對種植面積的影響．（1）請直接寫出縱向道路寬度x的取值范圍．（2）若中間種植的面積是44800平方米，則路面設(shè)置的寬度是否符合要求．任務(wù)2解決果園種植的預期利潤問題．（凈利潤=草莓銷售的總利潤?路面造價費用?果園承包費用?新苗購置費用?其余費用）（3）經(jīng)過1年后，農(nóng)戶是否可以達到預期凈利潤400萬元？請說明理由．??題型17一元二次方程的實際應用-營銷問題59．（2024·山西大同·模擬預測）閱讀與思考下面是小明在數(shù)學筆記本上記錄的父親工廠里實際出現(xiàn)過的一個問題，請認真閱讀，并幫助小明解答小明父親給的以下任務(wù)：小明父親的工廠里加工一款紀念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進行銷售，售價不得低于成本價且利潤率不高于80%，銷售一段時間后市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x銷售單價x（元/件）…354045…每天銷售數(shù)量y（件）…908070…（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？（3）若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應定為多少元？任務(wù)一：要解決小明父親提出的問題，主要運用的數(shù)學思想是________；A．公理化思想

B．統(tǒng)計思想

C．函數(shù)思想

D．分類思想任務(wù)二：請幫助小明解決相關(guān)的3個問題．60．（2024·湖南長沙·模擬預測）某景區(qū)新開發(fā)一款紀念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進行銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于52元，并且為整數(shù)；銷售一段時間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y(單位：件)與銷售單價x(單位：元/件)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如表所示：銷售單價x/(元/件)…354045…每天銷售數(shù)量y/件…908070…(1)【探究】根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，請判斷y=kx和y=kx+b(k，b為常數(shù))哪一個能正確反映每天的銷售數(shù)量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系？并求出y關(guān)于(2)【應用】若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應定為多少元？??題型18一元二次方程的實際應用-動態(tài)幾何問題61．（2021·安徽·三模）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遺人去買幾株椽，每株腳錢三文足，無錢準與一株椽”，其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文，如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價格，求這批椽的數(shù)量有多少株？62．（2024·甘肅武威·二模）如圖，A、B、C、D為矩形的4個頂點，AB=30cm，BC=21cm，動點P從點B出發(fā)，沿BA方向運動，動點Q同時從點C出發(fā)，沿CB方向運動，如果點P、Q的運動速度均為1cm/s，經(jīng)過多長時間P、Q63．（2023·貴州黔東南·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，點P由C點出發(fā)以2m/s的速度向終點A勻速移動，同時點Q由點B出發(fā)以1(1)當點P移動時間為2秒時，△PCQ的面積為多少？(2)點P移動多少秒時，△PCQ的面積為8m(3)在點P、Q的運動過程中，△PCQ的面積是否會達到10m??題型19以真實問題情境為背景考查一元二次方程的實際應用64．（20224金華市模擬）電影《熱辣滾燙》是2024賀歲檔的最大驚喜，自上映以來，全國票房連創(chuàng)佳績．據(jù)不完全統(tǒng)計，某市第一天票房收入約867萬元，第三天累計票房收入約達到3046萬元，設(shè)票房收入每天平均增長率為x，下面所列方程正確的是（

）A．867(1+x)2=3046C．867(1?x)2=304665．（2024臨川市模擬）“八月十五謂中秋，民間以月餅相送，取團圓之意”．每年中秋節(jié)前是購買月餅的高峰期，2024年中秋節(jié)前期某商場在銷售一種月餅時發(fā)現(xiàn)，如果以20元/kg的單價銷售，則每天可售出100kg，如果銷售單價每增加0.5元，則每天的銷售量會減少2kg．該商場為使每天的銷售額達到1800元，銷售單價應為多少?設(shè)銷售單價應為x元/A．20+x100?2x=1800 C．x100?x?200.566．（2024·山西大同·二模）2023年12月6日，中央廣播電視總臺2024龍年春晚吉祥物“龍辰辰”正式發(fā)布亮相．其從我國歷史出土文物中提取“龍”的要素作為設(shè)計特色，精美別致，充滿了趣味和古韻．某批發(fā)商場在春節(jié)前以60元的進價購進了一批龍辰辰玩偶，計劃以每個80元銷售．春節(jié)來臨之際，為了讓顧客得到實惠，現(xiàn)決定降價銷售．已知玩偶銷售量y（單位：個）與每個玩偶的降價x（單位：元）0<x<20之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)商場銷售y個玩偶所獲利潤為w（單位：元），請直接寫出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式：_____；(3)若商場要想獲利2600元，且讓顧客獲得更大實惠，這種玩偶每個應降價多少元？67．（24-25九年級上·貴州畢節(jié)·期中）在2024國際射聯(lián)射擊世界杯總決賽上，中國射擊運動員謝瑜以244.6環(huán)的優(yōu)異成績摘得男子10米氣手槍金牌，激勵著千千萬萬的青少年堅定理想、奮力拼搏．謝瑜的家鄉(xiāng)貴州省某地盛產(chǎn)核桃，某農(nóng)戶2022年種植核桃80公頃，他逐年擴大規(guī)模，到2024年，核桃種植面積達到了115.2公頃．(1)求該農(nóng)戶這兩年種植核桃公頃數(shù)的年均增長率；(2)某銷售核桃的干果店經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當核桃售價為20元/kg時，每天能售出200kg，售價每降低1元、每天可多售出50kg，為了盡快減少庫存，該店決定降價促銷，已知核桃的平均成本價為12元/kg，若要使該店銷售核桃每天獲利1750元，則售價應降低多少元？68．（2024蕪湖市模擬）2024巴黎奧運會吉祥物“P?ryge”玩偶一經(jīng)開售，就深受大家的喜愛，某商店以每個20元的價格購進該吉祥物玩偶，以每個35元的價格出售時，平均每天可售出30個，為擴大銷售，該商店準備適當降價出售，經(jīng)過一段時間測算，每個吉祥物每降低1元，平均每天可以多售出3個．(1)若該吉祥物玩偶的銷售單價為32元，則當天的銷售量為________個；(2)若該商店想每天銷售該玩偶的利潤為450元，那么每個玩偶應售價多少元？??題型20以數(shù)學文化為背景考查一元二次方程的實際應用69．（2024·山西大同·三模）古今中外，許多數(shù)學家曾研究過一元二次方程的幾何解法，以方程x2+2x?35=0，即xx+2=35為例．三國時期數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造圖1，其中，大正方形的面積是x+x+22，它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×35+22，據(jù)此易得x=5．公元9世紀，阿拉伯數(shù)學家阿爾·花拉子米采用的方法是：構(gòu)造圖2，其中，大正方形的面積為x+1A．分類討論思想 B．數(shù)形結(jié)合思想C．函數(shù)方程思想 D．轉(zhuǎn)化思想70．（2023·寧夏銀川·二模）伊斯蘭數(shù)學家塔比·伊本·庫拉T?abitibnQurra，830?890在其著作《以幾何方法證明代數(shù)問題》中討論了二次方程的幾何解法．例如：可以用如圖來解關(guān)于x的方程x2+mx=n，其中ABFE為長方形，ABCD為正方形，且DE=m，BF×CD=n

71．（2020·江蘇南通·中考真題）1275年，我國南宋數(shù)學家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步．若設(shè)長為x步，則可列方程為．72．（2023·陜西西安·三模）我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，問：邑方幾何？”．其大意是：如圖，一座正方形城池，A為北門中點，從點A往正北方向走30步到B處有一樹木，C為西門中點，從點C往正西方向走750步到D處正好看到B處的樹木，設(shè)正方形城池的邊長為x步．根據(jù)題意整理成一元二次方程的一般形式．73．（2024銅山區(qū)二模）中國古代數(shù)學家楊輝的《田畝比數(shù)乘除減法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？翻譯成數(shù)學問題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長少12步，問它的長與寬各多少步？1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）規(guī)定：對于任意實數(shù)a、b、c，有【a，b】★c=ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法運算，如【2，3】★1=2×1+3=5．若關(guān)于A．m<14 B．m>14 C．m>14且2．（2024·四川德陽·中考真題）寬與長的比是5?12的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)的美感，世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計．已知四邊形ABCD是黃金矩形．(AB<BC)，點P是邊AD上一點，則滿足PB⊥PC的點P的個數(shù)為（A．3 B．2 C．1 D．03．（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第個“小屋子”中圖形“○”個數(shù)是圖形“●”個數(shù)的3倍．4．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的一條角平分線，E為AD中點，連接BE．若BE=BC，CD=2，則BD=

5．（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關(guān)問題：下圖是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點……第n行有n個點……容易發(fā)現(xiàn)，三角點陣中前4行的點數(shù)之和為10．(1)探索：三角點陣中前8行的點數(shù)之和為_____，前15行的點數(shù)之和為______，那么，前n行的點數(shù)之和為______(2)體驗：三角點陣中前n行的點數(shù)之和______（填“能”或“不能”）為500．(3)運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？1．（2024·山東日照·中考真題）已知，實數(shù)x1,x2x1≠x2是關(guān)于xA．1 B．?1 C．12 D．2．（2024·山東濟南·中考真題）若關(guān)于x的方程x2?x?m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（A．m<?14 B．m>?14 C．3．（2024·山東濰坊·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?mx?n2+mn+1=0，其中m,nA．無實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定4．（2024·甘肅蘭州·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程9x2?6x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則c=A．?9 B．4 C．?1 D．15．（2024·吉林·中考真題）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（

）A．x?22=?1 B．x?22=0C．6．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程x2A．17或13 B．13或21 C．17 D．137．（2024·貴州·中考真題）一元二次方程x2?2x=0的解是（A．x1=3，x2=1 B．x1=2，x2=0 C．8．（2024·河北·中考真題）淇淇在計算正數(shù)a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，則a=（

）A．1 B．2?1 C．2+1 9．（2024·重慶·中考真題）重慶在低空經(jīng)濟領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了新的突破．今年第一季度低空飛行航線安全運行了200架次，預計第三季度低空飛行航線安全運行將達到401架次．設(shè)第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為x，根據(jù)題意，可列方程為．10．（2024·四川涼山·中考真題）已知y2?x=0，x211．（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程x2+4x?1=0的一個根，則(m+5)(m?1)的值為12．（2024·四川遂寧·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；(2)如果方程的兩個實數(shù)根為x1,x2，且13．（2024·浙江·中考真題）已知關(guān)于x的方程m2?1x2?33m?1x+18=0有兩個正整數(shù)根（m是整數(shù)）．△ABC的三邊a(1)求m的值．(2)求△ABC的面積（結(jié)果允許保留雙重根號），14．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）（1）解一元二次方程：x2（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長．15．（2024·廣東廣州·中考真題）關(guān)于x的方程x2(1)求m的取值范圍；(2)化簡：1?m16．（2023·湖北黃石·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx?1=0，當(1)求黃金分割數(shù)；(2)已知實數(shù)a，b滿足：a2+ma=1,b2?2mb=4(3)已知兩個不相等的實數(shù)p，q滿足：p2+np?1=q,q17．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個實數(shù)根x1，x2和系數(shù)a，材料2：已知一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求解：∵m，n是一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根，∴m+n=1,mn=?1．則根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學的知識，完成下列問題：(1)應用：一元二次方程2x2+3x?1=0的兩個實數(shù)根為x1，(2)類比：已知一元二次方程2x2+3x?1=0的兩個實數(shù)根為m，n(3)提升：已知實數(shù)s，t滿足2s2+3s?1=0，218．（2023·湖北·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設(shè)該方程的兩個實數(shù)根為a，b，若2a+ba+2b=20，求

第二章方程與不等式第07講一元二次方程及其應用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01一元二次方程的定義??題型02已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值??題型03選用合適的方法解一元二次方程??題型04以注重過程性學習的形式考查解一元二次方程??題型05配方法的應用??題型06以開放性試題的形式考查解一元二次方程??題型07不解方程，判斷一元二次方程根的情況??題型08根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍??題型09利用根的判別式求代數(shù)式的值??題型10以開放性試題的形式考查根的判別式??題型11不解方程，求方程中參數(shù)的值??題型12不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值??題型13已知一元二次方程的解滿足的情況求參數(shù)值??題型14一元二次方程的實際應用-傳播/循環(huán)問題??題型15一元二次方程的實際應用-變化率問題??題型16一元二次方程的實際應用-幾何問題??題型17一元二次方程的實際應用-營銷問題??題型18一元二次方程的實際應用-動態(tài)幾何問題??題型19以真實問題情境為背景考查一元二次方程的實際應用??題型20以數(shù)學文化為背景考查一元二次方程的實際應用??題型01一元二次方程的定義1．（2024·湖南郴州·模擬預測）下列方程中是一元二次方程的是（

）A．2x2?x+1=0 C．3x+1=0 D．x+【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫一元二次方程，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、2xB、2xC、3x+1=0是一元一次方程，故此選項不符合題意；D、x+1故選：A．2．（2024·廣西桂林·二模）一元二次方程x2?4x+2=0的一次項系數(shù)是【答案】?4【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的含義”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為a，【詳解】解：一元二次方程x2?4x+2=0的一次項系數(shù)為故答案為：?4．3．（2024·福建福州·模擬預測）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?ax?2a+1=0，若一次項系數(shù)與常數(shù)項相等，則a的值為【答案】1【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2∴?a=?2a+1，解得：a=1，故答案為：1．4．（2024·廣東肇慶·一模）二次項系數(shù)為2，且兩根分別為x1=1，x2=1【答案】2【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的一般形式，根據(jù)題意得出x1+x2=【詳解】解：∵二次項系數(shù)為2，兩根分別為x1=1∴a=2，x1∴b=?3，c=1∴這個方程為：2x故答案為：2x??題型02已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值5．（2024·云南昆明·一模）若x=a是方程x2+2x?2=0的一個根，則代數(shù)式2a2+4a+2019的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．?2023【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值．熟練掌握一元二次方程的解，代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．由題意得，a2+2a?2=0，即a2+2a=2，根據(jù)2a2+4a+2019=2a2+2a【詳解】解：∵x=a是方程x2+2x?2=0的一個根，∴a2+2a?2=0，即a2+2a=2，∴2a2+4a+2019=2a2+2a故選：C．6．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知方程x2?2024x+1=0的兩根分別為x1，x2，則A．1 B．?1 C．2024 D．?2024【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系可得x12=2024【詳解】解：∵方程x2?2024x+1=0的兩根分別為x1∴x12?2024∴x1∴x12?2024x2=2024故選B．7．（2024·江西·模擬預測）設(shè)m，n是方程x2+x?2024=0的兩個實數(shù)根，則m2【答案】?1【分析】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一元二次方程的解的定義可得出m2=2024?m，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出m+n=?1，【詳解】解∶∵m，n是方程x2∴m2+m?2024=0，m+n=?1，∴m2∴m=2024?m+2m+n+mn=2024+m+n+mn=2024+=?1，故答案為：?1．8．（2024·湖南郴州·模擬預測）已知關(guān)于x的一元二次方程3x2?5x+m=0【答案】方程的另一個根是23，m【分析】本題考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，掌握一元二次方程的解和解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．把x=1代入方程3x2?5x+m=0【詳解】解：把x=1代入方程3x2?5x+m=0把m=2代入方程3x2?5x+m=0解方程得：x1=1，∴方程的另一個根是23，m??題型03選用合適的方法解一元二次方程9．（2024·甘肅·模擬預測）解方程：5x【答案】x1=1【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：5xx?1∴x?1=0或5x+3=0解得x1=1，10．（2024·湖南郴州·模擬預測）解方程：(1)x?2(2)2【答案】(1)x1=5(2)x1=1【分析】本題考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．（1）用直接開平方法求解即可；（2）先計算判別式，用公式法求解可得．【詳解】（1）解：x?32x?3=±2，∴x?3=2或x?3=?2，∴x1=5，（2）解：2x∴a=2，b=1，c=?3，∴Δ=∴x=?b±∴x1=1，11．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）解方程：yy?3【答案】y1=3【分析】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵．先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【詳解】解：yy?3yy?3y?3y+2有y?3=0或y+2=0，解得y1=3，12．（2024·寧夏銀川·一模）下面是某老師講解一元二次方程的解法時在黑板上的板書過程：請認真閱讀并完成任務(wù)．解方程：2x解：x2?3x2?3x?342x?34=±x1=52，(1)任務(wù)一：①楊老師解方程的方法是；A．直接開平方法

B．配方法

C．公式法

D．因式分解法②第二步變形的依據(jù)是；(2)任務(wù)二：解方程：x2【答案】(1)①B；②等式的性質(zhì)(2)x1=1【分析】本題考查配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的求解過程是解答的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)解方程過程可得結(jié)論；②根據(jù)等式的性質(zhì)求解即可；（2）仿照例題中的配方法求解過程求解即可．【詳解】（1）解：①楊老師解方程的方法是配方法，故選：B；②第二步變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)，故答案為：等式的性質(zhì)；（2）解：xxx+1x+1=±2解得x1=1，??題型04以注重過程性學習的形式考查解一元二次方程13．（2024·河北石家莊·模擬預測）下面是小華同學解方程2x?3解方程：2x?3解：移項，得2x?3兩邊同時除以x?3，得2=3x…………第二步∴x=2(1)小華同學的解題過程從第________步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是________；(2)請你寫出正確的解題過程．【答案】(1)二；忽略x?3=0的情況(2)x=3或x=【分析】本題考查了用因式分解法解一元二次方程：（1）首先判定小明的解法從第二步開始出現(xiàn)錯誤；（2）利用因式分解的方法與步驟求得方程的解即可．【詳解】（1）解：小明的解法從第二步開始出現(xiàn)錯誤；錯誤原因是忽略x?3=0的情況；故答案為：二，忽略x?3=0的情況；（2）解：2x?3x?3=0或2?3x=0x=3或x=214．（2024·江西景德鎮(zhèn)·二模）小明在學習了用配方法解一元二次方程后，解方程2x(1)小明的解題過程從第__________步開始出現(xiàn)了錯誤；(2)請利用配方法正確地解方程2x【答案】(1)二(2)x1=2+【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程．（1）根據(jù)等式的性質(zhì)判斷②錯誤；（2）移項，二次項系數(shù)化成1，配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【詳解】（1）解：上述過程中，從第二步開始出現(xiàn)了錯誤，故答案為：二；（2）解：2x移項，得2xx2配方，得x2?4x+4=?3∴x?2=±10∴x1=2+1015．（2024·寧夏銀川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的過程，請仔細閱讀，并完成相應的問題．解一元二次方程：6解：原方程可以化為：2x3x?1兩邊同時除以3x?1得：2x=?1第二步系數(shù)化為1，得：x=?1任務(wù)：(1)小明的解法是不正確的，他從第_________步開始出現(xiàn)了錯誤；(2)請你繼續(xù)用因式分解法完成這個方程的正確解題過程．【答案】(1)二(2)x=13或【分析】本題考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法．（1）第二步不符合等式的性質(zhì)；（2）先移項得到2x3x?1+3x?1=0，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為【詳解】（1）解：他從第二步開始出現(xiàn)了錯誤，故答案為：二；（2）解：62x2x2x+13x?1=0或2x+1=0，解得：x=13或16．（2024·山西臨汾·一模）（1）計算：?1（2）下面是小剛同學和小穎同學解一元二次方程5x3x?2小剛同學：解：5x3x?25x=?2第二步解得x=?2小穎同學：解：5x3x?25x3x?25x?23x?25x?2=0或3x?2=0第四步解得x=25或任務(wù)一：①小剛同學的解答過程中，從第_________步開始出現(xiàn)錯誤．錯誤的原因是__________；②小穎同學的解答過程中，從第_________步開始出現(xiàn)錯誤．錯誤的原因是_________．任務(wù)二：該一元二次方程的解為__________．【答案】（1）109；（2）任務(wù)一：①二，方程兩邊同時除以可能為0的代數(shù)式3x?2；②三，提公因式3x?2時，后邊的2?3x任務(wù)二：x=?25【分析】本題考查了解一元二次方程，實數(shù)的運算．（1）根據(jù)乘方，絕對值，零次冪的性質(zhì)計算即可求解；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程的步驟求解即可．【詳解】解：（1）?===10（2）任務(wù)一：①小剛同學的解答過程中，從第二步開始出現(xiàn)錯誤．錯誤的原因是方程兩邊同時除以可能為0的代數(shù)式3x?2；故答案為：二，方程兩邊同時除以可能為0的代數(shù)式3x?2；②小穎同學的解答過程中，從第三步開始出現(xiàn)錯誤．錯誤的原因是后邊的2?3x沒有變號．故答案為：三，提公因式3x?2時，后邊的2?3x未變號．任務(wù)二：5x3x?25x3x?25x+23x?25x+2=0或3x?2=0，解得x=?25或??題型05配方法的應用17．（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預測）若x=3ay=?b是方程2x+y=5的一個解，則代數(shù)式a2+b+50【答案】36【分析】該題主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．將x=3ay=?b代入2x+y=5求出b=6a?5，再代入a2+b+50【詳解】解：∵x=3ay=?b是方程2x+y=5∴6a?b=5，∴b=6a?5，∴a==a+3∴代數(shù)式a2故答案為：36．18．（2024·河北邢臺·模擬預測）已知，圖1中陰影面積為S1，圖2中陰影面積為S(1)用含x的代數(shù)式表示S1，S2；當x=1時，求(2)比較S1與S【答案】(1)S1=x2(2)S1【分析】本題考查列代數(shù)式，整式的加減運算，完全平方公式：（1）直接利用梯形和長方形的面積公式進行計算，列出代數(shù)式即可，將x=1，代入所列代數(shù)式，進行計算即可；（2）判斷兩個代數(shù)式相減后與0的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵S1S2S1當x=1時，S1（2）S1理由如下：∵S1=∴S∵(x?6)∴(x?6)∴S19．（2024·廣東東莞·一模）綜合與探究【閱讀理解】我們在分析解決某些數(shù)學問題時，經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，解決問題的策略一般都是進行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通過作差、變形，利用差的符號確定它們的大小，即要比較代數(shù)式A、B的大小，只要算A?B的值，若A?B>0，則A>B；若A?B=0，則A=B；若A?B<0，則A<B．【知識運用】（1）請用上述方法比較下列代數(shù)式的大?。ㄓ谩?gt;、=、<”填空）：①3?2______4?2②x?1______x+3；（2）試比較與6x2+2x+1【類比運用】（3）圖（1）是邊長為4的正方形，將正方形一組對邊保持不變，另一組對邊增加2aa>0得到如圖（2）所示的長方形，此長方形的面積為S1；將正方形的邊長增加a，得到如圖（3）所示的大正方形，此正方形的面積為S2．請先判斷S【答案】（1）>，<；（2）6x2+2x+1>5x2【分析】（1）利用作差法即可求解；（2）利用作差再結(jié)合配方法法即可求解；（3）利用作差即可求解；本題考查了整式和實數(shù)的大小比較，掌握作差法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）①∵3?2∴3?2故答案為：>；②∵x?1?x+3∴x?1<x+3，故答案為：<；（2）6x理由如下：6=x∵x?12∴x?12∴6x（3）S1∵S1=44+2a∴S1∴S1??題型06以開放性試題的形式考查解一元二次方程20．（2024·湖北·模擬預測）請寫一個一元二次方程，使得它的一個根為2，另一個根為負數(shù)，則這個一元二次方程可以是．（寫一個即可）【答案】x2【分析】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)另一個根為負數(shù)，令方程另一個根為?1，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得2+(?1)=1，2×(?1)=?2，則該一元二次方程為x2【詳解】解：依題意，令方程另一個根為?1，則2+(?1)=1，2×(?1)=?2，∴該方程可以為x2故答案為：x221．（2022·廣東汕頭·二模）請寫出一個符合以下所有條件的一元二次方程：（1）二次項的系數(shù)為負數(shù)；（2）一個實數(shù)根為10?1的整數(shù)部分，另一個實數(shù)根為－4，則這個一元二次方程可以是【答案】?x?2【分析】先確定出10?1【詳解】∵9＜10＜16，∴3＜10＜4，∴2＜10-1＜3，∴10?1∵方程的另一個根為-4，且二次項系數(shù)為負數(shù)，∴方程可以寫為?(x?2)(x+4)=0，答案不唯一，故答案為：?(x?2)(x+4)=0，（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了按條件構(gòu)造一元二次方程以及確定二次根式整數(shù)部分的知識，確定方程的另一個根為2是解答本題的關(guān)鍵．22．（2024·浙江·模擬預測）設(shè)一元二次方程ax①a=1，b=3，c=2．②a=1③ba=?2，④x1+x2=0，x注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．【答案】見解析【分析】本題考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，得到一元一次方程，然后利用解一元二次方程的方程求解即可．【詳解】解：選擇條件①解方程，則這個方程為x2∴x+1x+2∴x1=?1，選擇條件②解方程，則這個方程為ax即x2∵Δ<0∴此方程無解．選擇條件③解方程，則這個方程為ax2?2ax+a=0∴x?12∴x1選擇條件④解方程，則這個方程為x2∴x1=1，??題型07不解方程，判斷一元二次方程根的情況23．（2024·云南曲靖·一模）一元二次方程x2?2x+1=0的根的情況是（A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．無實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，計算根的判別式Δ=?22?4×1×1=0，即可得出答案，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的判別式【詳解】解：Δ=∴一元二次方程x2故選：C．24．（2023·河南商丘·二模）關(guān)于x的方程4x2?4x=?1A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．無實數(shù)根【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式．熟練掌握一元二次方程的根的判別式是解題的關(guān)鍵．由題意知，Δ=【詳解】解：∵4x∴4x∴Δ=∴方程有兩個相等的實數(shù)根，故選：A．25．（2024·山西·模擬預測）下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（

）A．x2+5x+6=0 C．x2?2x+5=0 【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，熟記根的判別式是解題的關(guān)鍵．直接利用一元二次方程根的判別式對每個方程逐一計算即可求解．【詳解】A、Δ=B、Δ=C、Δ=D、方程化為x2?6x+9=0，故選C．26．（2024·山西長治·模擬預測）關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+mA．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)m的取值有關(guān)【答案】A【分析】先計算出根的判別式的值得到Δ<0，然后利用根的判別式的意義對各選項進行判斷．本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與Δ=b2【詳解】解：依題意，x∴Δ=∴方程無實數(shù)根．故選：A．??題型08根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍27．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+1=0有兩個相等的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)A．0 B．?1或1 C．1 D．?2或2【答案】D【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，解答關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的情況與根的判別式Δ=b2?4ac的關(guān)系：當【詳解】解：∵一元二次方程x2∴Δ=b2故選：D．28．（2024·新疆烏魯木齊·三模）等腰三角形三邊長分別為a，b，3，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2?4x?1+m=0的兩根，則m的值為（A．4 B．5 C．4或5 D．3或4【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的解，一元二次方程根的判別式，等腰三角形的定義，分3為底邊長或腰長兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．分3為底邊長或腰長兩種情況求解即可．【詳解】解：當3為腰時，此時a=3或b=3，把x=3代入方程x2?4x?1+m=0得解得m=4，此時方程為x2解得x1=3，當3為底時，此時a=b，Δ=解得m=5，此時方程為x2解得x1綜上所述，m的值為4或5．故選C．29．（2024·湖南·模擬預測）關(guān)于x的一元二次方程a+2x2?3x+1=0有兩不等實數(shù)根，則a【答案】a<14【分析】本題主要考查學生對一元二次方程的掌握以及一元一次不等式，利用根的判別式求出a的范圍，再結(jié)合一元二次方程的定義即可．【詳解】關(guān)于x的一元二次方程a+2xΔ=(?3)2解得：a<14故答案為：a<14且30．（2024·貴州貴陽·一模）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m=0有兩個實數(shù)根，則實數(shù)m的值可能是【答案】0（答案不唯一）【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元一次不等式等知識點，熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)方程有兩個實數(shù)根，得出Δ≥0，建立關(guān)于m的一元一次不等式，求出m【詳解】解：由題意可知：Δ=∴m≤1，∴實數(shù)m的值可能是0，故答案為：0（答案不唯一）．31．（2024·貴州黔東南·二模）若關(guān)于x的方程2x2?3x+m+1=0沒有實數(shù)根，則m【答案】m>【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=【詳解】解：∵關(guān)于x的方程2x∴Δ=∴m>1故答案為：m>1??題型09利用根的判別式求代數(shù)式的值32．（2024·廣東清遠·模擬預測）已知關(guān)于x的方程2x2?6k=0有兩個相等的實數(shù)根，則kA．?3 B．?4 C．3 D．?5【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2【詳解】解：∵關(guān)于x的方程2x∴Δ=∴k=0，∴k2故選：B．33．（2022·廣東廣州·一模）一元二次方程x2+x+k=0有兩個相等的實數(shù)根，則A．34 B．12 C．54【答案】D【分析】根據(jù)題意可得Δ=12【詳解】解：由題意可得：Δ=12k+1故選：D【點睛】此題考查了一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系，以及二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是正確求得k的值并掌握二次根式的化簡．34．（2021·山東淄博·二模）若關(guān)于x的一元二次方程12x2﹣2kx＋1﹣4k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式（k﹣2）2＋2k（1﹣k）的值為（

A．3 B．﹣3 C．?72 【答案】D【分析】先根據(jù)一元二次方程根的判別式求出k的值，再代入求值即可得．【詳解】解：由題意得：方程12x2整理得：2k2+4k?1=0則(k?2)2=?k=?(k=?1=7故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、代數(shù)式求值，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．35．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知a，b分別為方程x2?2x?c=0的兩個不相等的實數(shù)根，則1aA．14 B．12 C．2【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的求值，完全平方公式，先由根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=2，再根據(jù)分式的混合計算法則求出所求式子的化簡結(jié)果，最后利用整體代入法求解即可．【詳解】解：∵a，b分別為方程x2∴a+b=2，∴1a===1故選：B．??題型10以開放性試題的形式考查根的判別式36．（2022·福建漳州·模擬預測）若關(guān)于x的方程x2?k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的值可以是【答案】1（答案不唯一）【分析】利用根的判別式計算求值即可．【詳解】x2?k=0的判別式為：△=4方程有兩個不相等的實數(shù)根，則△＞0，4k＞0，k＞0，k=1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根±1，故答案為：1．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判別式△=b2-4ac：△＞0時方程有兩個不等的實數(shù)根；△=0時方程有兩個相等的實數(shù)根；△＜0時方程沒有實數(shù)根．37．（2024·河南鄭州·模擬預測）若關(guān)于x的一元二次方程x2?6x+m=0有實數(shù)根，且m為正整數(shù)，請寫出一個合適的m值【答案】1（答案不唯一）【分析】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根，則Δ=b【詳解】解：由題意得：Δ解得：m≤9∵m為正整數(shù)，∴m值可以為1，故答案為：1，答案不唯一38．（2024·江蘇泰州·二模）已知一元二次方程x2+mx?4=0有兩個實數(shù)根，兩根之和為負數(shù)，則m的值可以是【答案】1（m>0即可）【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，對于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2?4ac>0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若【詳解】解：∵一元二次方程x2∴Δ=∵兩根之和為負數(shù)，∴?m<0，∴m>0，∴m的值可以是1，故答案為：1（m>0即可）??題型11不解方程，求方程中參數(shù)的值39．（2024·云南曲靖·一模）已知關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為?2，則另一個根為（A．?10 B．?1 C．2 D．?5【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)方程的另一個根為a，則a+?2【詳解】解：設(shè)方程的另一個根為b，∴b+?2∴b=?1，故選：B．40．（2024·廣東湛江·模擬預測）已知m，n是方程x2?3x?2=0【答案】?4【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若x1，x2為方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個根，則x1【詳解】解：∵m、n是方程x2∴mn=?2∴2mn=?4，故答案為：?4．41．（2024·山東棗莊·一模）已知3是關(guān)于x的方程x2?2mx+3m=0的一個根，并且這個方程的兩個根恰好是菱形ABCD的兩條對角線的長，則菱形ABCD的面積為【答案】4.5【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系，正確得出方程的兩根之積是解題關(guān)鍵．首先利用一元二次方程的解得出m的值，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得出方程的兩根之積，再結(jié)合菱形面積公式求出答案．【詳解】解：∵3是關(guān)于x的方程x2∴32解得：m=3，∴原方程為：x2∴方程的兩根之積為：x1∴菱形ABCD的面積為：4.5．故答案為：4.5．??題型12不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值42．（2024·湖北宜昌·一模）已知m、n是一元二次方程x2+x?2025=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式m2A．2025 B．2024 C．2023 D．2021【答案】B【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程解的意義．根據(jù)一元二次方程解的意義，得到m2+m=2025，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得到【詳解】解：根據(jù)題意得：m是一元二次方程x2∴m2∴m2又m、n是一元二次方程x2∴m+n=?1，∴m2故選：B．43．（2024·湖北·模擬預測）已知一元二次方程x2?3x?15=0的兩根分別為m，n，則mn?m?n的值是（A．18 B．?12 C．?18 D．12【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得m+n=3，mn=?15，把【詳解】∵一元二次方程x2?3x?15=0的兩根分別為m，∴m+n=3，∴mn?m?n=mn?m+n故選：C．44．（2024·貴州銅仁·一模）已知關(guān)于x的方程x2+m?1x?2=0的兩實數(shù)根為x1，x2，若A．1 B．?5 C．3 D．5【答案】D【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系的知識．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得出x1+x2和【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2+(m?1)x?2=0的兩實數(shù)根為x1∴x1+∵x∴x∴?2+m?1=2，∴m=5．故選：D．45．（2024·湖北十堰·三模）若m、n是一元二次方程x2?x?3=0的兩個實數(shù)根，多項式2n【答案】11【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1,x2，則x【詳解】解：由題意得：n2?n?3=0，m+n=1，∴n2∴2n故答案為：11．46．（2024·四川內(nèi)江·二模）已知x1，x2是方程x2?x?2024=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式【答案】4049【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握方程根的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式變形，整體代入法求代數(shù)式的值，是解決本題的關(guān)鍵．一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根為根據(jù)一元二次方程根的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=1，x【詳解】∵x1，x2是方程∴x1+x∴x1∴x=====4049．故答案為：4049．??題型13已知一元二次方程的解滿足的情況求參數(shù)值47．（2024·湖南株洲·模擬預測）關(guān)于x的一元二次方程x2?2mx+m2=4有兩個根x1、【答案】?9【分析】本題考查一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)x1+x2=?【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?2mx+m∴x1+x∵x1∴(2x2+3)∴x2∴(2×2m?3解得：m1=3，當m1=3時，x2=2×3?3當m2=?9時，x2故答案為：?9．48．（2024·貴州遵義·模擬預測）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+3x+m=0的兩個實數(shù)根，且x1【答案】?2【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0先利用根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=?3，x1x2=m【詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x∵x∴x即m?3+1=?4，解得m=?2．故答案為：?2．49．（2024·湖北隨州·一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：該方程總有實數(shù)根；(2)設(shè)該方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，若x1>0，【答案】(1)見解析(2)a<1【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式：（1）只需要證明Δ=（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1?x2=a?1，再由x【詳解】（1）證明：由題意得，Δ=∴該方程總有實數(shù)根；（2）解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a?1=0的兩個實數(shù)根為x1∴x1∵x1>0，∴x1解得a<1，∴a的取值范圍為a<1．50．（2024·四川眉山·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范圍；(2)設(shè)方程兩實數(shù)根分別為x1、x2，且滿足x1【答案】(1)m的取值范圍是m≤13(2)m的取值范圍?1【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及解一元一次不等式等知識點，（1）根據(jù)根的判別式得出b2（2）求出x1+x2=3熟練掌握一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）方程x2?3x=1?3m整理得∵關(guān)于x的一元二次方程x2∴b2解得：m≤13即m的取值范圍是m≤13（2）∵x1+x又∵x1∴x1∴32∴m≥?1∵m≤13∴?1故m的取值范圍?1??題型14一元二次方程的實際應用-傳播/循環(huán)問題51．（2024·湖北·模擬預測）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是73，設(shè)每個支干長出x個小分支，則可列方程為（

）A．1+x+x2=73C．x+x2=73【答案】A【分析】本題考查的是一元二次方程的應用，熟練的表示支干與小分支的數(shù)量是解本題的關(guān)鍵.設(shè)每個支干長出x個小分支，則主干生出x個小分支，而x個小分支每個又生出x個小分支，所以一共有1+x+x【詳解】解：設(shè)每個支干長出x個小分支，則1+x+x故選：A．52．（2024·貴州黔東南·二模）化學課代表在老師的培訓下，學會了高錳酸鉀制取氧氣的實驗室制法，回到班上后，第一節(jié)課手把手教會了若干名同學，第二節(jié)課會做該實驗的每個同學又手把手教會了同樣多的同學，這樣全班49人恰好都會做這個實驗了．問一個人每節(jié)課手把手教會了多少名同學？【答案】一個人每節(jié)課手把手教會了6名同學【分析】本題考查了一元二次方程的應用．設(shè)一個人每節(jié)課手把手教會了x名同學，根據(jù)第二節(jié)課后全班49人恰好都會做這個實驗了，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)一個人每節(jié)課手把手教會了x名同學，根據(jù)題意得：1+x2解得：x1=6，答：一個人每節(jié)課手把手教會了6名同學．53．（2024·山東濟南·模擬預測）在一次足球邀請賽中，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場．若共比賽了15場，則參賽的球隊數(shù)為．【答案】6【分析】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確找出題中的等量關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．設(shè)有x個隊參賽，根據(jù)題意列出方程即可求出答案．【詳解】解：設(shè)有x個隊參賽，根據(jù)題意，可列方程為：12解得：x=6或x=?5（舍去），答：參賽的球隊數(shù)為6．故答案為：6．??題型15一元二次方程的實際應用-變化率問題54．（2024·云南曲靖·一模）收發(fā)微信紅包已成為各類人群進行交流聯(lián)系、增強感情的一種方式，如圖所示是甜甜和她的妹妹在六一兒童節(jié)期間的對話：請問：2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到紅包的年增長率是多少？【答案】2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到紅包的年增長率為10%【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設(shè)甜甜和她妹妹在“六一”收到紅包的年增長率是x，依題意得400×1+x【詳解】解：設(shè)甜甜和她妹妹在“六一”收到紅包的年增長率是x，依題意得：400×1+x解得：x1=?2.1（舍去）∴x=0.1=10%答：2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到紅包的年增長率為10%55．（2024·廣西南寧·模擬預測）某商場一種商品的進價為30元/件，售價為40元/件，經(jīng)統(tǒng)計銷量發(fā)現(xiàn)，該商品平均每天可以銷售48件．商場為盡快減少該商品的庫存，決定對該商品進行降價促銷活動．(1)對該商品進行了兩次降價后的售價為32.4元/件，求平均每次降價的百分率．(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每件降價1元，則每天可多銷售8件．若商場銷售該商品想要每天獲得504元的利潤，則每件應降價多少元？【答案】(1)平均每次降價的百分率為10%(2)每件應降價3元【分析】此題主要考查了一元二次方程應用，（1）設(shè)每次降價的百分率為x，根據(jù)“售價40元/件進行了兩次降價后的售價為32.4元/件”列出方程求解即可．（2）設(shè)每天要想獲得504元的利潤，每件商品應降價y元，由銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可．【詳解】（1）解：設(shè)平均每次降價的百分率為x，40(1?x)解得：x1=0.1=10%，答：平均每次降價的百分率為10%．（2）解：設(shè)每天要想獲得504元的利潤，，則每件商品應降價y元，由題意，得(40?30?y)(8y+48)=504，解得：y1=1，又∵商場為盡快減少該商品的庫存，∴y=3，答：每件應降價3元．??題型16一元二次方程的實際應用-幾何問題56．（2024·貴州貴陽·一模）被譽為“蘊藏著人類上古文明密碼的哲學之書”的古老苗繡，在貴州文旅市場和時尚行業(yè)中，展現(xiàn)出匠人匠心的“針”功夫．小星奶奶手繡了一幅長為38cm、寬為23cm的矩形繡品(如圖所示)，為了完好保存繡品，計劃將其塑封，塑封時需四周留白(上下左右寬度相同)，且塑封后整幅圖的面積為1000cm2，設(shè)留白部分的寬度為A．(38?2x)(23?2x)=874 B．(38+2x)(23+2x)=874C．(38?2x)(23?2x)=1000 D．(38+2x)(23+2x)=1000【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程解實際問題，根據(jù)題意，塑封的長為38+2xcm，寬為23+2x【詳解】解：根據(jù)題意，塑封后的長為38+2xcm，寬為23+2xcm，面積為∴列方程為：38+2x故選：D．57．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，公園原有一塊長34m、寬10m的矩形空地．后來在這塊空地中劃出不同區(qū)域種植不同品種的鮮花，中間鋪設(shè)同樣寬度的石子路將各區(qū)域間隔開．已知各區(qū)域鮮花面積的和為【答案】所鋪設(shè)的石子路的寬度為1【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)鋪設(shè)的石子路的寬度為xm，根據(jù)種植花卉的面積為297【詳解】解：設(shè)所鋪設(shè)的石子路的寬度為xm根據(jù)題意，得(34?x)(10?x)=297．解得x1答：所鋪設(shè)的石子路的寬度為1m58．（2024·浙江紹興·模擬預測）根據(jù)以下素材，完成探索任務(wù)．探索果園土地規(guī)劃和銷售利潤問題素材1某農(nóng)戶承包了一塊長方形果園ABCD，圖1是果園的平面圖，其中AB=200米，BC=300米．準備在它的四周鋪設(shè)道路，上下兩條橫向道路的寬度都為2x米，左右兩條縱向道路的寬度都為x米，中間部分種植水果．已知道路的路面造價是每平方米50元；出于貨車通行等因素的考慮，橫向道路寬度2x不超過24米，且不小于10米．素材2該農(nóng)戶發(fā)現(xiàn)某一種草莓銷售前景比較不錯，經(jīng)市場調(diào)查，草莓培育一年可產(chǎn)果，已知每平方米的草莓銷售平均利潤為100元；果園每年的承包費為25萬元，期間需一次性投入33萬元購進新苗，每年還需25萬元的養(yǎng)護、施肥、運輸?shù)绕溆噘M用．問題解決任務(wù)1解決果園中路面寬度的設(shè)計對種植面積的影響．（1）請直接寫出縱向道路寬度x的取值范圍．（2）若中間種植的面積是44800平方米，則路面設(shè)置的寬度是否符合要求．任務(wù)2解決果園種植的預期利潤問題．（凈利潤=草莓銷售的總利潤?路面造價費用?果園承包費用?新苗購置費用?其余費用）（3）經(jīng)過1年后，農(nóng)戶是否可以達到預期凈利潤400萬元？請說明理由．【答案】（1）5≤x≤12；（2）路面設(shè)置的寬度符合要求；（3）可以，理由見解析．【分析】本題考查了一元一次不等式組的應用，一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）由“橫向道路寬度2x不超過24米，且不小于10米”，可得出x的取值范圍；（2）根據(jù)種植的面積是44