中考數學總復習提升專項知識三角形的概念和性質(講義3考點+2命題點22種題型(含8種解題技巧))含答案及解析

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第四章三角形第16講三角形的概念和性質（思維導圖+3考點+2命題點22種題型（含8種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一三角形的基礎考點二三角形中有關線段考點三與三角形有關的角04題型精研·考向洞悉命題點一與三角形有關的線段?題型01三角形的穩(wěn)定性?題型02畫三角形的五線?題型03與三角形高有關的計算?題型04等面積法求高?題型05求網格中的三角形面積?題型06與三角形中線有關的計算?題型07與三角形重心有關的計算?題型08與三角形中位線有關的計算?題型09利用角平分線的性質求解?題型10角平分線的判定?題型11利用垂直平分線的性質求解?題型12垂直平分線線的判定?題型13根據作圖痕跡求解?題型14利用三角形三邊關系求解命題點二與三角形有關的角?題型01利用三角形內角和定理求解?題型02三角形內角和與平行線的綜合應用?題型03三角形內角和與角平分線的綜合應用?題型04與角度有關的折疊問題?題型05利用三角形內角和定理解決三角板問題?題型06利用三角形外角和定理求解?題型07三角形外角性質與平行線的綜合應用?題型08三角形內角和定理與外角和定理的綜合試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁

01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求三角形中的重要線段★★理解三角形及其內角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性；探索并證明三角形的內角和定理，掌握它的推論；證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊；了解三角形重心的概念；探索并證明角平分線的性質定理；理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質定理.三角形的三邊關系★三角形的內角和外角★★三角形的垂直平分線★★【命題預測】在初中幾何數學中，三角形的基礎知識是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎.所以，在中考中，與其它幾何圖形結合考察的幾率比較大，特別是全等三角形的性質和判定的綜合應用.考生在復習該考點時，不僅要熟悉掌握其本身的性質和應用，還要注重轉化思想在題目中的應用，同步聯想，其他幾何圖形在什么情況下會轉化成該考點的知識考察.02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一三角形的基礎一、三角形的相關概念三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.三角形的表示：用符號“Δ”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”.二、三角形的分類1）三角形按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形2）三角形按角分類：三角形直角三角形三、三角形的穩(wěn)定性三角形的穩(wěn)定性:三角形三條邊確定之后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性.【補充】四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.三角形三邊關系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊．三角形三邊關系的應用：1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形．1．（2024·陜西·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E是DC的中點，連接AE，則圖中的直角三角形有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2022·河北石家莊·模擬預測）如圖，一只手蓋住了一個三角形的部分圖形，則這個三角形不可能是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形3．（2023·吉林·中考真題）如圖，鋼架橋的設計中采用了三角形的結構，其數學道理是．4．（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列每組數分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12考點二三角形中有關線段類型三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖形語言性質∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADC=S△ABC∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=12用途舉例1）線段垂直．2）角度相等．1）線段相等．2）面積相等．角度相等．類型三角形的中位線三角形的垂直平分線文字語言連接三角形兩邊中點的線段經過線段的中點并且垂直于這條線段的直線圖形語言性質∵DE是?ABC的中位線∴DE=12∵直線l是AB的垂直平分線∴PA=PB,AC=BC,∠PCA=∠PCB=90°用途舉例1）線段平行．2）線段關系．1）線段相等．2）角度相等．1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是．2．（2024·河北·中考真題）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段BD一定是△ABC的（

）A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線3．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OB，PD=2，則點P到OA的距離是（

）A．4 B．3 C．2 D．14．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小張想估測被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在AB外取一點C，然后步測出AC,BC的中點D，E，并步測出DE的長約為18m，由此估測A，B之間的距離約為（

A．18m B．24m C．36m5．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，△ABC的邊AB的垂直平分線交AC于點D，連接BD．若AC=8，CD=5，則BD=．QUOTEQUOTE考點三與三角形有關的角三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余.三角形的內角和定理的應用：1)在三角形中,已知兩個內角的度數,可以求出第三個內角的度數；2)在三角形中,已知三個內角的比例關系,可以求出三個內角的度數；3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數,可以求出另一個銳角的度數.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角的性質：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．1．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC．則∠1的度數為（A．50° B．60° C．70° D．80°2．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖為商場某品牌椅子的側面圖，∠DEF=120°，DE與地面平行，∠ABD=50°，則∠ACB=（

）

A．70° B．65° C．60° D．50°3．（2023·河北張家口·一模）將一副三角板按如圖所示方式擺放，使有刻度的邊互相垂直，則∠1=（

）A．45° B．50° C．60° D．75°4．（2024·河北·模擬預測）如圖，三角形紙片沿過一個頂點的直線剪開后得到①②兩個三角形紙片，則一定正確的是（

）A．∠A=∠E B．∠C=∠EC．∠B=∠E+∠F D．∠D=∠A+∠B5．（2023·四川遂寧·中考真題）一個三角形的三個內角的度數的比試1:2:3，這個三角形是三角形04題型精研·考向洞悉命題點一與三角形有關的線段?題型01三角形的穩(wěn)定性1)三角形具有穩(wěn)定性.2)四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.1．（2022·湖南永州·中考真題）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（）A．B．C．D．2．（2024·吉林長春·一模）四邊形結構在生活實踐中有著廣泛的應用，如圖所示的升降機，通過控制平行四邊形形狀的升降桿，使升降機降低或升高，其蘊含的數學道理是（

）A．平行四邊形的對邊相等 B．平行四邊形的對角相等C．四邊形的不穩(wěn)定性 D．四邊形的內角和等于360°3．（2021·吉林長春·二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩(wěn)定性，若要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細木條的數量至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4QUOTEQUOTEQUOTE?題型02畫三角形的五線1．（2023·河北石家莊·模擬預測）嘉淇剪一個銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與BC交于點D，連接AD，則線段AD分別是△ABC的（

）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線2．（2024·廣東深圳·中考真題）在如圖的三個圖形中，根據尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線AD平分∠BAC的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①3．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在△ABC中，請用尺規(guī)作圖法在AC邊上確定一點D，連接BD，使得BD平分△ABC的面積．（不寫作法、保留作圖痕跡）4．（2023·廣東江門·一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．(1)根據要求用尺規(guī)作圖：作AB邊上的高CD交AB于點D；（不寫作法，只保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，求CD的長．5．（2023·山東青島·中考真題）用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：△ABC．求作：點P，使PA=PC，且點P在△ABC邊AB的高上．

?題型03與三角形高有關的計算①有高首先想到面積，可以考慮等面積法求高線.②高相等，面積之比等于底邊之比.1．（2024·山東德州·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是中線，AD=4，S△ABC=12，則BE的長為（A．1.5 B．3 C．4 D．62．（2024親水縣三模）如圖，已知△ABC的面積為48，AB=AC=8，點D為BC邊上一點，過點D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF=2DE，則DE長為（

）A．2 B．3 C．4 D．63．（2023·安徽·中考真題）清初數學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設計直角三角形，得出了一個結論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD=12BC+AB2?AC

4．（2022·山東青島·中考真題）【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．例如：如圖①．在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D'分別是【性質探究】如圖①，用S△ABC，S△A'B則S△ABC∵AD=∴S△ABC【性質應用】(1)如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點．若BD=3,DC=4，則S△ABD(2)如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3，S△ABC=1，則S△BEC(3)如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點，若BE:AB=1:m，CD:BC=1:n，S△ABC=a，則QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04等面積法求高等面積法是一種方程思想，即用兩種不同的方法表示同一個三角形的面積，那么這兩個表示的面積是相等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情況下:一種是利用面積公式表示三角形面積,另一種是利用割補法表示三角形的面積.1．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在3×3的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，點A，B，C都在網格線的交點上，則△ABC中邊BC上的高為（

）A．54 B．2105 C．102．（2024·上海寶山·一模）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的?？空続的距離為15km，與公路上另一?？空綛的距離為20km，?？奎cA、B之間的距離為25km，為方便運輸貨物現要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且CD⊥AB．則修建公路CD3．（2021·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）直角三角形的兩條邊長分別3和4，這個直角三角形斜邊兒上的高為．4．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D為AB邊上任意一點（不與點A、B重合），過點D作DE∥BC，DF∥AC，分別交AC、BC于點E

(1)求證：四邊形ECFD是矩形；(2)若CF=2，CE=4，求點C到QUOTE?題型05求網格中的三角形面積1）利用割補法求三角形的面積.2）皮克定理：三角形的面積=內點數+邊點數÷2-11．（2024恩施市一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A?3,?1，B1,3，C2,?3，則三角形ABC

2．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別是A3,?1、B1,?4、C3,?3，將△ABC向左平移1個單位，再向上平移3個單位，得到△A'B'C'，其中點A，B(1)請畫出△A(2)點C'的坐標為_________；△3．（2024浙江模擬預測）正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點，作△ABC，使AB=5，AC=10，BC=17，并求4．（2024洛陽市模擬）如圖，每個小正方形的邊長為1．(1)求四邊形ABCD的面積；(2)求∠BCD的度數．?題型06與三角形中線有關的計算1．（2024珠海區(qū)模擬）在△ABC，AB=20，BC=18，BD是AC邊上的中線，若△ABD的周長為45，△BCD的周長是（

）A．47 B．43 C．38 D．252．（2024·山西太原·三模）如圖示，BE是△ABC的中線，點D是AB邊靠近頂點B的一個三等分點，連接CD，交BE于點F，則DFCF等于（

A．12 B．13 C．143．（2024·云南昆明·二模）如圖，AD，CE是△ABC的兩條中線，連接ED．若S△ABC=16，則陰影部分的面積是（

A．2 B．4 C．6 D．84．（2024南寧市模擬）如圖，點D是△ABC的邊BC上任意一點，點E是線段AD的中點，若S△ABC=12，則陰影部分的面積為（A．10 B．8 C．6 D．4?題型07與三角形重心有關的計算1．（2023·浙江·中考真題）如圖，點P是△ABC的重心，點D是邊AC的中點，PE∥AC交BC于點E，DF∥BC交EP于點F，若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為（）

A．15 B．18 C．24 D．362．（2024·黑龍江綏化·中考真題）已知：△ABC．(1)尺規(guī)作圖：畫出△ABC的重心G．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，連接AG，BG．已知△ABG的面積等于5cm2，則△ABC的面積是______3．（2024·山東青島·一模）三角形的重心定義：三角形三條中線相交于一點，這個點稱為三角形的重心．三角形重心的一個重要性質：重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的13下面是小亮證明性質的過程：已知：如圖，在△ABC中，D，E分別是邊BC，AB的中點，AD，求證：OE證明：連接ED，∵D，E分別是邊BC，AB的中點∴∴△ACO

性質應用：(1)如圖1，在△ABC中，點G是△ABC的重心，連接AG并延長交BC于點E，若AG=4，則AE=______；

(2)如圖2，在△ABC中，中線AE，CF相交于點G，若△ABC的面積為48，則

(3)如圖3，在△ABC中，若BF=1nAB，BE=1nBC，

?題型08與三角形中位線有關的計算1．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，CD是△ABC的中線，E，F分別是AC，DC的中點，EF=3，則BD的長為．2．（2024·湖南·中考真題）如圖，在△ABC中，點D，E分別為邊AB，A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．3．（2024·江蘇無錫·中考真題）在△ABC中，AB=4，BC=6，AC=8，D，E，F分別是AB，4．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，四邊形ABCD各邊中點分別是E,F,G,H，若對角線AC=24,BD=18，則四邊形EFGH的周長是．?題型09利用角平分線的性質求解1．（2024·云南·中考真題）已知AF是等腰△ABC底邊BC上的高，若點F到直線AB的距離為3，則點F到直線AC的距離為（

）A．32 B．2 C．3 D．2．（2022·內蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．23 C．4 D．4+233．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧交射線AB，AC于兩點，分別以這兩點為圓心，以適當的定長為半徑畫弧，兩弧交于點E，作射線AE，交BD于點I，連接CI，以下說法錯誤的是（）A．I到AB，AC邊的距離相等B．CI平分∠ACBC．I是△ABC的內心D．I到A，B，C三點的距離相等4．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE=12，DF=5，則點E到直線AD的距離為．

?題型10角平分線的判定1．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點I到Rt△ABC三邊的距離相等，則∠AIB的度數為2．（2024·上海·模擬預測）已知在銳角△ABC中，∠BAC的平分線AD交邊BC于D，∠ACB的平分線CF交邊AB于F，AD與CF交于O，連接BO并延長交AC于E(1)尺規(guī)規(guī)范作圖，寫出已知(2)求證：BE平分∠ABC(3)求證：BD3．（2024·江西贛州·二模）【課本再現】思考我們知道，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，反過來，角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上嗎？可以發(fā)現并證明角的平分線的性質定理的逆定理；角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．【定理證明】（1）為證明此逆定理，某同學畫出了圖形，并寫好“已知”和“求證”，請你完成證明過程．已知：如圖1，在∠ABC的內部，過射線BP上的點P作PD⊥BA，PE⊥BC，垂足分別為D，E，且PD=PE．求證：BP平分∠ABC．【知識應用】（2）如圖2，在△ABC中，過內部一點P，作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為D，E，F，且PD=PE=PF，∠A=120°，連接PB，PC．①求∠BPC的度數；②若PB=6，PC=23，求BC?題型11利用垂直平分線的性質求解已知垂直平分線，立馬得到以下三個結論:1）垂直；2）平分；3）連垂直平分線上某點和線段兩端，那么這兩個距離相等.1．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于點D，若△ACD的周長為50A．25?cm B．45?cm C．50?cm54．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，扇形AOB的半徑為2，分別以點A、B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，∠BOP=35°，則AB的長l=．（結果保留

2．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=40°，∠C=90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC=．

3．（2023·青海·中考真題）如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線.若AB=5，AC=8，則△ABD的周長是.

?題型12垂直平分線線的判定1）根據線段垂直平分線的定義，也就是經過線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，使用這種方法必須滿足兩個條件：一是垂直，二是平分；2）可以證明直線上有兩個點在線段的垂直平分線上，根據兩點確定一條直線，可以判定這兩點所在的直線就是這條線段的垂直平分線.1．（2024·四川樂山·模擬預測）如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，AB=AC，直徑AD交BC于點E，若DE:AD=1:4，則BE:AB=（

）．A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:42．（2024·河北·模擬預測）如圖，已知平行四邊形ABCD，AB≤BC．用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點P，使得PA+PC=BC，則下列做法正確的是（）A． B．C． D．3．（2024·黑龍江佳木斯·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AD=6，CD=8，∠ABC=∠ADC=90°，若BD=BC，則BC的長為（

）A．45 B．35 C．53?題型13根據作圖痕跡求解1．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖，∠AOB=60°，點C在OB上，OC=23，P為∠AOB內一點．根據圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，點P到OA的距離為

2．（2023·四川南充·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠CAB的內部相交于點P，畫射線AP與BC

A．∠CAD=∠BAD B．CD=DE C．AD=53 D．3．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點A和點C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點，作直線PQ交AB，AC于點D，E，連接CD．下列說法錯誤的是（

A．直線PQ是AC的垂直平分線 B．CD=C．DE=12BC4．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分別以頂點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M和點N，作直線MN分別與BC，AC交于點E和點F；以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點H和點G，再分別以點H，點G為圓心，大于12HG的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP①∠C=30°；②AP垂直平分線段BF；③CE=2BE；④S△BEF其中，正確結論的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個?題型14利用三角形三邊關系求解若滿足：最短的線段長+中間的線段長＞最長的線段長，即可構成三角形.1．（2023·山東·中考真題）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列說法錯誤的是（）A．1<AB<7 B．SC．△ABC內切圓的半徑r<1 D．當AB=7時，△ABC2．（2023·福建·中考真題）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．93．（2022·西藏·中考真題）如圖，數軸上A，B兩點到原點的距離是三角形兩邊的長，則該三角形第三邊長可能是（）A．﹣5 B．4 C．7 D．84．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖1所示，將長為6的矩形紙片沿虛線折成3個矩形，其中左右兩側矩形的寬相等，若要將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4命題點二與三角形有關的角1）三角形的內角和為180°；2）直角三角形中兩銳角和為90°；3）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.?題型01利用三角形內角和定理求解1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，△ABC≌△CDE，若∠D=35°，∠ACB=45°，則∠DCE的度數為．2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC于點E，再分別以B、E為圓心，大于12BE的長為半徑畫弧，兩弧在∠BAC的內部交于點F，作射線AF3．（2023·新疆·中考真題）如圖，在△ABC中，若AB=AC，AD=BD，∠CAD=24°，則∠C=°

4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）將一個含30°角的三角尺和直尺如圖放置，若∠1=50°，則∠2的度數是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°?題型02三角形內角和與平行線的綜合應用1．（2024·四川德陽·中考真題）如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中AB∥CD，DE⊥BC,∠ABC=70°，則∠EDC等于（

）A．10° B．20° C．30° D．40°2．（2024·山西·中考真題）如圖1是一個可調節(jié)的電腦桌，它的工作原理是利用液體在封閉的管路中傳遞力和能量．圖2是將其正面抽象成的圖形，其中桌面AB與底座CD平行，等長的支架AD,BC交于它們的中點E，液壓桿FG∥BC．若∠BAE=53°，則∠GFD的度數為（

）A．127° B．106° C．76° D．74°3．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，AB∥CD，∠C=33°，OC=OE．則∠A=4．（2024·山東·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，若OA∥CB，∠ACB=25°，則∠CAB=QUOTE?題型03三角形內角和與角平分線的綜合應用1．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110°．現分別作出BC邊上的高AD和∠A的平分線AE．則∠DAE的度數為（

A．25° B．30° C．35° D．40°2．（2022·安徽·模擬預測）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BF與∠ACB的平分線CF交于點F．若將△ABC沿DE翻折，使得點A與點F重合，則（

）A．∠A=∠1+∠2 B．∠3=90°+C．∠A=180°?∠1+∠2 D．3．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是邊AB上的高，AE是∠CAB的平分線，則4．（2023·陜西西安·二模）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD為∠ACB的平分線，CE⊥AB于點E，則∠ECD度數為（

）A．5° B．8° C．10° D．12°?題型04與角度有關的折疊問題1．（2020·湖南邵陽·中考真題）將一張矩形紙片ABCD按如圖所示操作：（1）將DA沿DP向內折疊，使點A落在點A1（2）將DP沿DA1向內繼續(xù)折疊，使點P落在點P1處，折痕與邊AB若P1M⊥AB，則∠DPA．135° B．120° C．112.5° D．115°2．（2023·遼寧·中考真題）如圖，在三角形紙片ABC中，AB=AC,∠B=20°，點D是邊BC上的動點，將三角形紙片沿AD對折，使點B落在點B'處，當B'D⊥BC時，∠BAD

3．（2023·吉林長春·中考真題）如圖，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點B與點E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點B的對應點為點B'，折痕為AF，則∠AFB'

4．（2021·吉林·中考真題）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜邊AB上的中線，點E為射線BC上一點，將△BDE沿DE折疊，點B的對應點為點F．（1）若AB=a．直接寫出CD的長（用含a的代數式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足為G，點F與點D在直線CE的異側，連接CF，如圖②，判斷四邊形ADFC的形狀，并說明理由；（3）若DF⊥AB，直接寫出∠BDE的度數．?題型05利用三角形內角和定理解決三角板問題1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）小華將一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如圖所示的方式擺放，其中AB∥EF，則∠1的度數為（

A．45° B．60° C．75° D．105°2．（2022·山東德州·中考真題）將一副三角板（厚度不計）如圖擺放，使含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，則∠α的度數為（

）A．100° B．105° C．110° D．120°3．（2020·江蘇泰州·中考真題）如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數為．4．（2022·江蘇揚州·中考真題）將一副直角三角板如圖放置，已知∠E=60°，∠C=45°，EF∥BC，則∠BND=?題型06利用三角形外角和定理求解1．（2024·四川達州·中考真題）如圖，在△ABC中，AE1，BE1分別是內角∠CAB、外角∠CBD的三等分線，且∠E1AD=13∠CAB，∠E1BD=13∠CBD，在△ABE12．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，則∠ADB=（

）A．100° B．115° C．130° D．145°3．（2023·山東·中考真題）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點上，線段AB,CD交于點

A．180°?α B．180°?2α C．90°+α D．90°+2α?題型07三角形外角性質與平行線的綜合應用1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，直線m∥n，一塊含有30°的直角三角板按如圖所示放置．若∠1=40°，則∠2的大小為（A．70° B．60° C．50° D．40°2．（2024·四川涼山·中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點E在AB的延長線上，當DF∥AB時，∠EDB的度數為（

）

A．10° B．15° C．30° D．45°3．（2024·山西·中考真題）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α=25°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角βA．155° B．125° C．115° D．65°4．（2023·山西·中考真題）如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心O的光線相交于點P，點F為焦點．若∠1=155°,∠2=30°，則∠3的度數為（

）

A．45° B．50° C．55° D．60°?題型08三角形內角和定理與外角和定理的綜合1．（2024·天津·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=40°，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，交AB于點E，交AC于點F；再分別以點E,F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧（所在圓的半徑相等）在∠BAC的內部相交于點P；畫射線AP，與BC相交于點D，則∠ADC

A．60° B．65° C．70°2．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=44°，則∠2的度數為（）

A．14° B．16° C．24° D．26°3．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線交BC于點D．交AB于點E．連接CE．若CE=CA，∠ACE=40°，則∠B的度數為．

4．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PO交⊙O于點C，連接BC，若∠B=28°，則∠P=°．5．（2024·重慶·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D．若BC=2，則AD的長度為．

第四章三角形第16講三角形的概念和性質（思維導圖+3考點+2命題點22種題型（含8種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一三角形的基礎考點二三角形中有關線段考點三與三角形有關的角04題型精研·考向洞悉命題點一與三角形有關的線段?題型01三角形的穩(wěn)定性?題型02畫三角形的五線?題型03與三角形高有關的計算?題型04等面積法求高?題型05求網格中的三角形面積?題型06與三角形中線有關的計算?題型07與三角形重心有關的計算?題型08與三角形中位線有關的計算?題型09利用角平分線的性質求解?題型10角平分線的判定?題型11利用垂直平分線的性質求解?題型12垂直平分線線的判定?題型13根據作圖痕跡求解?題型14利用三角形三邊關系求解命題點二與三角形有關的角?題型01利用三角形內角和定理求解?題型02三角形內角和與平行線的綜合應用?題型03三角形內角和與角平分線的綜合應用?題型04與角度有關的折疊問題?題型05利用三角形內角和定理解決三角板問題?題型06利用三角形外角和定理求解?題型07三角形外角性質與平行線的綜合應用?題型08三角形內角和定理與外角和定理的綜合

01考情透視·目標導航標中考考點考查頻率新課標要求三角形中的重要線段★★理解三角形及其內角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性；探索并證明三角形的內角和定理，掌握它的推論；證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊；了解三角形重心的概念；探索并證明角平分線的性質定理；理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質定理.三角形的三邊關系★三角形的內角和外角★★三角形的垂直平分線★★【命題預測】在初中幾何數學中，三角形的基礎知識是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎.所以，在中考中，與其它幾何圖形結合考察的幾率比較大，特別是全等三角形的性質和判定的綜合應用.考生在復習該考點時，不僅要熟悉掌握其本身的性質和應用，還要注重轉化思想在題目中的應用，同步聯想，其他幾何圖形在什么情況下會轉化成該考點的知識考察.02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一三角形的基礎一、三角形的相關概念三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.三角形的表示：用符號“Δ”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”.二、三角形的分類1）三角形按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形2）三角形按角分類：三角形直角三角形三、三角形的穩(wěn)定性三角形的穩(wěn)定性:三角形三條邊確定之后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性.【補充】四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.三角形三邊關系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊．三角形三邊關系的應用：1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形．1．（2024·陜西·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E是DC的中點，連接AE，則圖中的直角三角形有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】本題主要考查直角三角形的概念．根據直角三角形的概念可以直接判斷．【詳解】解：由圖得△ABD，△ABC，△ADC，△ADE為直角三角形，共有4個直角三角形．故選：C．2．（2022·河北石家莊·模擬預測）如圖，一只手蓋住了一個三角形的部分圖形，則這個三角形不可能是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據三角形的內角和定理和三角形的分類判斷即可.【詳解】解：A、當另外兩角為50°和100°時，該三角形為鈍角三角形，故此選項不符合題意；B、當另外兩角為90°和60°時，該三角形為直角三角形，故此選項不符合題意；C、當另外兩角為30°和120°時，該三角形為等腰三角形，故此選項不符合題意；D、等邊三角形的每一個內角均為60°，由圖可知該三角形有一個內角為30°，故不可能為等邊三角形，符合題意.故選：D．【點睛】本題考查三角形的內角和定理和三角形的分類，會應用三角形的內角和定理和三角形的分類求解是解答的關鍵.3．（2023·吉林·中考真題）如圖，鋼架橋的設計中采用了三角形的結構，其數學道理是．【答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】根據三角形結構具有穩(wěn)定性作答即可．【詳解】解：其數學道理是三角形結構具有穩(wěn)定性．故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．【點睛】本題考查了三角形具有穩(wěn)定性，解題的關鍵是熟練的掌握三角形形狀對結構的影響．4．（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列每組數分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12【答案】D【分析】根據三角形的三邊關系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進行分析判斷．【詳解】A、5+7=12，不能構成三角形，故此選項不合題意；B、7+7=14<15，不能構成三角形，故此選項不合題意；C、6+9=15<16，不能構成三角形，故此選項不合題意；D、6+8=14>12，能構成三角形，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了三角形三邊關系，看能否組成三角形的簡便方法：看較小的兩個數的和能否大于第三個數．考點二三角形中有關線段類型三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖形語言性質∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADC=S△ABC∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=12用途舉例1）線段垂直．2）角度相等．1）線段相等．2）面積相等．角度相等．類型三角形的中位線三角形的垂直平分線文字語言連接三角形兩邊中點的線段經過線段的中點并且垂直于這條線段的直線圖形語言性質∵DE是?ABC的中位線∴DE=12∵直線l是AB的垂直平分線∴PA=PB,AC=BC,∠PCA=∠PCB=90°用途舉例1）線段平行．2）線段關系．1）線段相等．2）角度相等．1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是．【答案】2【分析】根據ΔACE的面積=ΔDCE的面積，Δ【詳解】解：∵AD是BC邊上的中線，E為AD的中點，根據等底同高可知，ΔACE的面積=ΔDCEΔABD的面積=ΔACD的面積=2故答案為：2．【點睛】本題考查了三角形的面積，解題的關鍵是利用三角形的中線平分三角形面積進行計算．2．（2024·河北·中考真題）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段BD一定是△ABC的（

）A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線【答案】B【分析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據作圖痕跡可得BD⊥AC，從而可得答案．【詳解】解：由作圖可得：BD⊥AC，∴線段BD一定是△ABC的高線；故選B3．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OB，PD=2，則點P到OA的距離是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質定理．過點P作PE⊥OA于點E，根據角平分線的性質可得PE=PD，即可求解．【詳解】解：過點P作PE⊥OA于點E，∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=2，故選：C．4．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小張想估測被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在AB外取一點C，然后步測出AC,BC的中點D，E，并步測出DE的長約為18m，由此估測A，B之間的距離約為（

A．18m B．24m C．36m【答案】C【分析】本題考查三角形的中位線的實際應用，由題意，易得DE為△ABC的中位線，根據三角形的中位線定理，即可得出結果．【詳解】解：∵點D，E，分別為AC,BC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴AB=2DE=36m故選：C．5．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，△ABC的邊AB的垂直平分線交AC于點D，連接BD．若AC=8，CD=5，則BD=．【答案】3【分析】本題考查線段垂直平分線的性質，關鍵是由線段垂直平分線的性質推出BD=AD．求出AD=8?5=3，由線段垂直平分線的性質推出BD=AD=3．【詳解】解：∵AC=8，CD=5，∴AD=8?5=3，∵D在AB的垂直平分線上，∴BD=AD=3．故答案為：3．QUOTEQUOTE考點三與三角形有關的角三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余.三角形的內角和定理的應用：1)在三角形中,已知兩個內角的度數,可以求出第三個內角的度數；2)在三角形中,已知三個內角的比例關系,可以求出三個內角的度數；3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數,可以求出另一個銳角的度數.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角的性質：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．1．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC．則∠1的度數為（A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】本題主要考查了三角形內角和定理、平行線的性質等知識點，掌握平行線的性質成為解題的關鍵．由三角形內角和定理可得∠C=70°，再根據平行線的性質即可解答．【詳解】解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，∴∠C=180°?∠BAC?∠B=70°,∵AD∥∴∠1=∠C=70°．故選：C．2．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖為商場某品牌椅子的側面圖，∠DEF=120°，DE與地面平行，∠ABD=50°，則∠ACB=（

）

A．70° B．65° C．60° D．50°【答案】A【分析】根據平行得到∠ABD=∠EDC=50°，再利用外角的性質和對頂角相等，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：DE∥AB，∴∠ABD=∠EDC=50°，∵∠DEF=∠EDC+∠DCE=120°，∴∠DCE=70°，∴∠ACB=∠DCE=70°；故選A．【點睛】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質，對頂角．熟練掌握相關性質，是解題的關鍵．3．（2023·河北張家口·一模）將一副三角板按如圖所示方式擺放，使有刻度的邊互相垂直，則∠1=（

）A．45° B．50° C．60° D．75°【答案】D【分析】本題考查了三角板中的角度計算、三角形的外角性質，熟練掌握三角形的外角性質是解題關鍵．先根據三角板可得∠2=45°,∠4=30°，再根據角的和差可得∠3=45°，然后根據三角形的外角性質即可得．【詳解】解：如圖，由題意可知，∠2=45°,∠4=30°，∵兩個三角板中有刻度的邊互相垂直，∴∠3=90°?∠2=45°，∴∠1=∠3+∠4=45°+30°=75°，故選：D．4．（2024·河北·模擬預測）如圖，三角形紙片沿過一個頂點的直線剪開后得到①②兩個三角形紙片，則一定正確的是（

）A．∠A=∠E B．∠C=∠EC．∠B=∠E+∠F D．∠D=∠A+∠B【答案】D【分析】本題主要考查了三角形三角形外角的性質，根據三角形外角等于不相鄰的兩個內角的和進行判斷即可．【詳解】解：根據圖形可知：∠A≠∠E，∠C≠∠E，∠B≠∠E+∠F，∵∠D相當于△ABC的外角，∴∠D=∠A+∠B，故ABC不符合題意，D符合題意．故選：D．5．（2023·四川遂寧·中考真題）一個三角形的三個內角的度數的比試1:2:3，這個三角形是三角形【答案】直角【分析】本題考查了三角形內角和定理，三角形類別，解答此題應明確三角形的內角度數的和是180°，求出最大的角的度數，然后根據三角形的分類判定類型．【詳解】解：180°×3∴這個三角形是直角三角形，故答案為：直角．04題型精研·考向洞悉命題點一與三角形有關的線段?題型01三角形的穩(wěn)定性1)三角形具有穩(wěn)定性.2)四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.1．（2022·湖南永州·中考真題）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用三角形具有穩(wěn)定性直接得出答案．【詳解】解：三角形具有穩(wěn)定性，四邊形、五邊形、六邊形都具有不穩(wěn)定性，故選D．【點睛】本題考查三角形的特性，牢記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關鍵．2．（2024·吉林長春·一模）四邊形結構在生活實踐中有著廣泛的應用，如圖所示的升降機，通過控制平行四邊形形狀的升降桿，使升降機降低或升高，其蘊含的數學道理是（

）A．平行四邊形的對邊相等 B．平行四邊形的對角相等C．四邊形的不穩(wěn)定性 D．四邊形的內角和等于360°【答案】C【分析】本題考查了四邊形的不穩(wěn)定性，根據四邊形的不穩(wěn)定性求解即可．【詳解】解：升降機降低或升高，其蘊含的數學道理是：四邊形的不穩(wěn)定性，故選：C．3．（2021·吉林長春·二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩(wěn)定性，若要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細木條的數量至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據三角形的穩(wěn)定性及多邊形對角線的條數即可得答案．【詳解】∵三角形具有穩(wěn)定性，∴要使五邊形不變形需把它分成三角形，即過五邊形的一個頂點作對角線，∵過五邊形的一個頂點可作對角線的條數為5-3=2（條），∴要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細木條的數量至少為2條，故選：B．【點睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性及多邊形的對角線，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關鍵．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02畫三角形的五線1．（2023·河北石家莊·模擬預測）嘉淇剪一個銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與BC交于點D，連接AD，則線段AD分別是△ABC的（

）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線【答案】B【分析】根據三角形的高線、角平分線及中線的定義依次判斷即可．【詳解】解：由圖可得，圖①中，線段AD是△ABC的高線，圖②中，線段AD是△ABC的角平分線，圖③中，線段AD是△ABC的中線，故選：B．【點睛】題目主要考查三角形的高線、角平分線及中線的定義，理解題意是解題關鍵．2．（2024·廣東深圳·中考真題）在如圖的三個圖形中，根據尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線AD平分∠BAC的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①【答案】B【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是理解作法、掌握角平分線的定義．利用基本作圖對三個圖形的作法進行判斷即可．在圖①中，利用基本作圖可判斷AD平分∠BAC；在圖③中，利用作法得AE=AF，AM=AN，

可證明△AFM≌△AEN，有∠AMD=∠AND，可得ME=NF，進一步證明△MDE≌△NDF，得DM=DN，繼而可證明△ADM≌△ADN，得∠MAD=∠NAD，得到AD是∠BAC的平分線；在圖②中，利用基本作圖得到D點為BC的中點，則AD為【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷AD平分∠BAC；在圖③中，利用作法得AE=AF，

在△AFM和△AEN中，AE=AF∠BAC=∠BAC∴△AFM≌△AENSAS∴∠AMD=∠AND，∵AM?AE=AN?AF∴ME=NF在△MDE和△NDF中∠AMD=∠AND∠MDE=∠NDF∴△MDE≌△NDFAAS∴DM=DN，∵AD=AD,AM=AN，∴△ADM≌△ADNSSS∴∠MAD=∠NAD，∴AD是∠BAC的平分線；在圖②中，利用基本作圖得到D點為BC的中點，則AD為BC邊上的中線．則①③可得出射線AD平分∠BAC．故選：B．3．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在△ABC中，請用尺規(guī)作圖法在AC邊上確定一點D，連接BD，使得BD平分△ABC的面積．（不寫作法、保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】本題主要考查了尺規(guī)作線段的垂直平分線，三角形中線的性質，作線段AC的垂直平分線，交AC于點D，連接BD即可．【詳解】解：如圖，點D即為所求作的點．根據作圖可知：BD為△ABC的中線，∴S△ABD4．（2023·廣東江門·一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．(1)根據要求用尺規(guī)作圖：作AB邊上的高CD交AB于點D；（不寫作法，只保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，求CD的長．【答案】(1)見解析(2)4.8【分析】（1）根據過直線外一點作已知直線的垂線的步驟畫圖；（2）利用面積相等求解．【詳解】（1）解：如圖：CD即為所求；（2）在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∵CD?AB=AC?BC，∴CD=8×6÷10=4.8．【點睛】本題考查了基本作圖，利用面積法計算是解題的關鍵．5．（2023·山東青島·中考真題）用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：△ABC．求作：點P，使PA=PC，且點P在△ABC邊AB的高上．

【答案】見解析【分析】作AC的垂直平分線和AB邊上的高，它們的交點為P點．【詳解】解：如圖，點P為所作．

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質．?題型03與三角形高有關的計算①有高首先想到面積，可以考慮等面積法求高線.②高相等，面積之比等于底邊之比.1．（2024·山東德州·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是中線，AD=4，S△ABC=12，則BE的長為（A．1.5 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據S△ABC=12和AD=4求出BC=6，根據【詳解】解：∵S△ABC=1∴BC=6∵AE是中線，∴BE=故選：B2．（2024親水縣三模）如圖，已知△ABC的面積為48，AB=AC=8，點D為BC邊上一點，過點D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF=2DE，則DE長為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】如圖所示，連接AD，根據三角形面積公式得到12AB?DE+1【詳解】解：如圖所示，連接AD，∵S△ABC∴12∵AB=AC=8，DF=2DE，∴4DE+8DE=48，∴DE=4，故選C．【點睛】本題考查了三角形的面積計算，將△ABC的面積看作是兩個小三角形的面積之和是解答本題的關鍵．3．（2023·安徽·中考真題）清初數學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設計直角三角形，得出了一個結論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD=12BC+AB2?AC

【答案】1【分析】根據公式求得BD，根據CD=BC?BD，即可求解．【詳解】解：∵AB=7,BC=6，AC=5，∴BD=12∴CD=BC?BD=6?5=1,故答案為：1．【點睛】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關鍵．4．（2022·山東青島·中考真題）【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．例如：如圖①．在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D'分別是【性質探究】如圖①，用S△ABC，S△A'B則S△ABC∵AD=∴S△ABC【性質應用】(1)如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點．若BD=3,DC=4，則S△ABD(2)如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3，S△ABC=1，則S△BEC(3)如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點，若BE:AB=1:m，CD:BC=1:n，S△ABC=a，則【答案】(1)3:4(2)12；(3)a【分析】（1）由圖可知△ABD和△ADC是等高三角形，然后根據等高三角形的性質即可得到答案；（2）根據BE:AB=1:2，S△ABC=1和等高三角形的性質可求得S△BEC，然后根據CD:BC=1:3（3）根據BE:AB=1:m，S△ABC=a和等高三角形的性質可求得S△BEC，然后根據CD:BC=1:n，和等高三角形的性質可求得【詳解】（1）解：如圖，過點A作AE⊥BC，則S△ABD=∵AE=AE，∴S△ABD（2）解：∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC∴S△BEC∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE∴S△CDE（3）解：∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC∴S△BEC∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE∴S△CDE【點睛】本題主要考查了等高三角形的定義、性質以及應用性質解題，熟練掌握等高三角形的性質并能靈活運用是解題的關鍵．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04等面積法求高等面積法是一種方程思想，即用兩種不同的方法表示同一個三角形的面積，那么這兩個表示的面積是相等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情況下:一種是利用面積公式表示三角形面積,另一種是利用割補法表示三角形的面積.1．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在3×3的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，點A，B，C都在網格線的交點上，則△ABC中邊BC上的高為（

）A．54 B．2105 C．10【答案】B【分析】本題考查了勾股定理、面積法以及三角形面積公式等知識，由勾股定理求出BC的長，再由三角形面積求出△ABC中邊BC上的高即可．熟練掌握勾股定理和面積法是解題的關鍵．【詳解】解：設△ABC中邊BC上的高為?，由勾股定理得：BC=1∵S△ABC∴12∴?=2即△ABC中邊BC上的高為210故選：B．2．（2024·上海寶山·一模）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停靠站A的距離為15km，與公路上另一停靠站B的距離為20km，停靠點A、B之間的距離為25km，為方便運輸貨物現要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且CD⊥AB．則修建公路CD【答案】12【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理的應用，以及三角形的面積公式等知識，通過計算可得出AC2+BC2=AB2，根據勾股定理的逆定理得到【詳解】解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km∴AC∴∠ACB=90°，∵CD⊥AB，∴S△ABC∴CD=AC?BC∴修建的公路CD的長是12km故答案為：12．3．（2021·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）直角三角形的兩條邊長分別3和4，這個直角三角形斜邊兒上的高為．【答案】125或【分析】本題主要考查勾股定理，分類討論是解題的關鍵．可分兩種情況：若3，4是直角三角形的兩條直角邊；若3為直角三角形的直角邊，4為斜邊，利用勾股定理分別求解直角三角形的第三邊，利用三角形的面積可求解斜邊上的高．【詳解】解：若3，4是直角三角形的兩條直角邊，則斜邊長為：32∴斜邊上的高為：3×45若3為直角三角形的直角邊，4為斜邊，則另一條直角邊長為：42∴斜邊上的高為：3×7綜上所述，這個直角三角形斜邊上的高為125或3故答案為：125或4．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D為AB邊上任意一點（不與點A、B重合），過點D作DE∥BC，DF∥AC，分別交AC、BC于點E

(1)求證：四邊形ECFD是矩形；(2)若CF=2，CE=4，求點C到【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）利用平行線的性質證明∠CED=∠CFD=90°，再利用四邊形內角和為360°，證明∠EDF=90°，即可由矩形判定定理得出結論；（2）先由勾股定理求出EF=C【詳解】（1）證明：∵DE∥BC，∴四邊形ECFD為平行四邊形，∵∠C=90°，∴四邊形ECFD是矩形．（2）解：∵∠C=90°，CF=2，∴EF=設點C到EF的距離為h，∵S∴2×4=2∴?=答：點C到EF的距離為45【點睛】本題考查矩形的判定，平行線的性質，勾股定理．熟練掌握矩形的判定定理和利用面積法求線段長是解題的關鍵．QUOTE?題型05求網格中的三角形面積1）利用割補法求三角形的面積.2）皮克定理：三角形的面積=內點數+邊點數÷2-11．（2024恩施市一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A?3,?1，B1,3，C2,?3，則三角形ABC

【答案】14【分析】利用割補法求解即可，【解答】解：S△ABC＝5×6﹣×3×7﹣×2×7＝30﹣6﹣3﹣5＝16．2．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別是A3,?1、B1,?4、C3,?3，將△ABC向左平移1個單位，再向上平移3個單位，得到△A'B'C'，其中點A，B(1)請畫出△A(2)點C'的坐標為_________；△【答案】(1)見解析(2)C'2,0，【分析】本題主要考查了作圖-平移作圖，點的坐標平移規(guī)律，以及割補法求三角形面積．（1）先將A、B、C向左平移1個單位，再向上平移3個單位后的對應點描出來，再順次連接為A'，B'，（2）按照平移規(guī)律求解即可得點C'的坐標為．再根據網格利用割補法求△【詳解】（1）解：如圖，△A'B'C'為所求，（2）解：點C'的坐標為C△B'BC故答案為：C'2,0，3．（2024浙江模擬預測）正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點，作△ABC，使AB=5，AC=10，BC=17，并求【答案】作圖見解析；S【分析】本題考查的是勾股定理，格點三角形，三角形的面積，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．根據勾股定理畫出圖形即可．利用割補法求出三角形的面積即可．【詳解】解：如圖，△ABC為所求作的三角形．根據勾股定理得：AB=3AC=1BC=4S△ABC4．（2024洛陽市模擬）如圖，每個小正方形的邊長為1．(1)求四邊形ABCD的面積；(2)求∠BCD的度數．【答案】(1)17.5(2)∠BCD=90°【分析】本題考查勾股定理和逆定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．（1）利用網格割補法求面積進行求解即可；（2）先用勾股定理求出各邊的長，再利用勾股定理的逆定理進行求解即可．【詳解】（1）四邊形ABCD的面積=5×7?1（2）解：連接BD，根據勾股定理得AB=12+CD=12+∵BC=25，CD=5，∴BC∴∠BCD=90°．?題型06與三角形中線有關的計算1．（2024珠海區(qū)模擬）在△ABC，AB=20，BC=18，BD是AC邊上的中線，若△ABD的周長為45，△BCD的周長是（

）A．47 B．43 C．38 D．25【答案】B【分析】本題主要考查三角形的中線以及三角形的周長，掌握三角形的中線的定義是解題的關鍵．根據△ABD的周長為45，可得BD+CD=25，再結合三角形中線的定義，即可求解．【詳解】解：∵△ABD的周長為45，∴AB+BD+AD=45，∵BD是AC邊上的中線，∴CD=AD，∵AB=20，∴BD+CD=45?AB=25，∵BC=18，∴△BCD的周長是BC+BD+CD=43．故選：B．2．（2024·山西太原·三模）如圖示，BE是△ABC的中線，點D是AB邊靠近頂點B的一個三等分點，連接CD，交BE于點F，則DFCF等于（

A．12 B．13 C．14【答案】B【分析】本題考查相似三角形的性質和判定，三角形中線的性質，作EH∥AB，交CD于點H，證明△CEH∽△CAD，結合三角形中線的性質，得到EH=12AD，CH=DH=12CD，根據題意得到BD=1【詳解】解：作EH∥AB，交CD于點∴△CEH∽△CAD，∵BE是△ABC的中線，∴CHCD=CEAC∵點D是AB邊靠近頂點B的一個三等分點，∴BD=1∴BD=EH，∵EH∥∴△EHF∽△BDF，∴DF即DF=HF=12DH=∴DFCF故選：B．3．（2024·云南昆明·二模）如圖，AD，CE是△ABC的兩條中線，連接ED．若S△ABC=16，則陰影部分的面積是（

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查的是三角形的中線，熟記三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關鍵．根據三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分計算即可．【詳解】解：∵AD是△ABC的中線，S△ABC∴S∵E是AB的中點，∴S故選：B4．（2024南寧市模擬）如圖，點D是△ABC的邊BC上任意一點，點E是線段AD的中點，若S△ABC=12，則陰影部分的面積為（A．10 B．8 C．6 D．4【答案】C【分析】本題考查了三角形的面積，解題的關鍵是掌握三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．利用角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分得到S△EBD=12S【詳解】解：∵點D是△ABC的邊BC上任意一點，點E是線段AD的中點，∴S△EBD=1∴S△EBD∴陰影部分的面積為6，故選：C．?題型07與三角形重心有關的計算1．（2023·浙江·中考真題）如圖，點P是△ABC的重心，點D是邊AC的中點，PE∥AC交BC于點E，DF∥BC交EP于點F，若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為（）

A．15 B．18 C．24 D．36【答案】B【分析】連接BD,根據三角形重心的性質可知：P在BD上，由三角形中線平分三角形的面積可知：S△ABC=2S△BDC，證明【詳解】解：如圖，連接BD，

∵點P是△ABC的重心，點D是邊AC的中點，P在BD上，∴S△ABCBP:PD=2:1，∵DF∥∴△DFP～△BEP∴S∵EF∥∴△BEP～△BCD，∴S設△DFP的面積為m，則△BEP的面積為4m，△BCD的面積為9m，∵四邊形CDFE的面積為6，∴m+9m?4m=6，∴m=1，∴△BCD的面積為9，∴△ABC的面積是18．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形重心的性質，相似三角形的判定與性質，難度適中，準確作出輔助線是解題的關鍵．2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）已知：△ABC．(1)尺規(guī)作圖：畫出△ABC的重心G．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，連接AG，BG．已知△ABG的面積等于5cm2，則△ABC的面積是______【答案】(1)見解析(2)15【分析】本題考查了三角形重心的性質，尺規(guī)畫垂線；（1）分別作BC,AC的中線，交點即為所求；（2）根據三角形重心的性質可得S△ABGS【詳解】（1）解：如圖所示作法：①作BC的垂直平分線交BC于點D②作AC的垂直平分線交AC于點F③連接AD、BF相交于點G④標出點G，點G即為所求（2）解：∵G是△ABC的重心，∴AG=∴S∵△ABG的面積等于5cm∴S又∵D是BC的中點，∴S故答案為：15．3．（2024·山東青島·一模）三角形的重心定義：三角形三條中線相交于一點，這個點稱為三角形的重心．三角形重心的一個重要性質：重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的13下面是小亮證明性質的過程：已知：如圖，在△ABC中，D，E分別是邊BC，AB的中點，AD，求證：OE證明：連接ED，∵D，E分別是邊BC，∴DE∥AC,DE∴△ACO∴∴

性質應用：(1)如圖1，在△ABC中，點G是△ABC的重心，連接AG并延長交BC于點E，若AG=4，則AE=______；

(2)如圖2，在△ABC中，中線AE，CF相交于點G，若△ABC的面積為48，則

(3)如圖3，在△ABC中，若BF=1nAB，BE=1nBC，

【答案】(1)6(2)8(3)n?1【分析】本題主要考查了三角形重心性質的應用、相似三角形的判定與性質、三角形中位線的判定與性質等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．（1）根據重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的13（2）在△ABC中，點G是△ABC的重心，S△AEC=（3）如圖：連結EF，