中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識(shí)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用(講義3考點(diǎn)+2命題點(diǎn)20種題型(含5種解題技巧))含答案及解析

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第四章三角形第22講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（思維導(dǎo)圖+3考點(diǎn)+2命題點(diǎn)20種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)考點(diǎn)二解直角三角形考點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一銳角三角函數(shù)?題型01理解銳角三角函數(shù)的概念?題型02求角的三角函數(shù)值?題型03由三角函數(shù)求邊長(zhǎng)?題型04由特殊角的三角函數(shù)值求解?題型05特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算?題型06根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)?題型07已知角度比較三角函數(shù)值的大小?題型08利用同角的三角函數(shù)求解?題型09利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系求解?題型10三角函數(shù)綜合?題型11在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值?題型12特殊角三角函數(shù)值的另類應(yīng)用?題型13在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值命題點(diǎn)二解直角三角形?題型01解直角三角形的相關(guān)計(jì)算?題型02構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積?題型03運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決視角相關(guān)問(wèn)題?題型04運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決方向角相關(guān)問(wèn)題?題型05運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決坡角、坡度相關(guān)問(wèn)題?題型06運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題?題型07運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題（新考法/新情境）試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求三角函數(shù)值的確定★★探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)(sinA,cosA，tanA)；知道30°,45°,60°角的三角函數(shù)值；會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角.特殊角的三角函數(shù)值★解直角三角形★★能用銳角三角函數(shù)解直角三角形.解直角三角形的應(yīng)用★★能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【考情分析】銳角三角函數(shù)值的考查多以選擇題、填空題為主，解題的一般過(guò)程是構(gòu)造直角三角形，確定相應(yīng)的邊長(zhǎng)，利用定義求相應(yīng)的三角函數(shù)值，試題難度中等，解題關(guān)鍵是正確添加輔助線，確定合適的直角三角形.【命題預(yù)測(cè)】銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)中考中比較重要的考點(diǎn)，其考察內(nèi)容主要包括：①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數(shù)值，③解直角三角形與其應(yīng)用等.出題時(shí)除了會(huì)單獨(dú)出題以外，還常和四邊形、圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型.預(yù)計(jì)2025年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時(shí)，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關(guān)鍵.02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)1.正弦、余弦、正切正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，則

【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中進(jìn)行定義的，本質(zhì)是兩條線段的比，因此沒(méi)有單位，只與角的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān).2）根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來(lái)理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形.3）表示，可以寫成，不能寫成(正弦、余弦相同).2.銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）取值范圍：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角邊一定比斜邊短，故有如下結(jié)論：，，.增減變化：當(dāng)0°＜∠A＜90°，sinA，tanA隨∠A的增大而增大，cosA隨∠A的增大而減小.【補(bǔ)充】利用銳角三角函數(shù)值的增減變化規(guī)律可比較銳角的大小.3.特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，如下表所示：三角函數(shù)值特殊角30°45°60°sinαcosαtanα14.銳角三角函數(shù)的關(guān)系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時(shí)，有以下兩種關(guān)系：1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：①平方關(guān)系：sin2②商數(shù)關(guān)系：tanA=2)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：①互余關(guān)系：sinA=cos(90°-∠A)=cosB，即一個(gè)銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.sinB=sin(90°-∠A)=cosA，即一個(gè)銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.②倒數(shù)關(guān)系：tanA1．（2024云南真題）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，則tanA的值為（

A．45 B．43 C．352．（2023·江蘇蘇州·一模）化簡(jiǎn)sin28°?cos28°A．sin28°?cosC．cos28°?sin3．（2023·湖北黃石·中考真題）計(jì)算：?134．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若BD=CD，ADBD=1

考點(diǎn)二解直角三角形1.解直角三角形定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過(guò)程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個(gè)元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B.2）三邊之間的關(guān)系：a23）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°.4）邊角之間的關(guān)系：sinA=ac，sinB=bc，cosA=bc【補(bǔ)充】三角函數(shù)是連接邊與角的橋梁.5）面積公式（h為斜邊上的高）.2.解直角三角形的常見(jiàn)類型已知條件解法步驟圖示兩邊斜邊和一直角邊(如c，a)由sinA=兩直角邊(如a，b)由tanA=一邊一角斜邊和一銳角（如c，∠A）∠B=90°－∠A，一直角邊和一銳角（如a，∠A）∠B=90°－∠A，另一直角邊和一銳角（如b，∠A）∠B=90°－∠A，【注意】已知兩個(gè)角不能解直角三角形，因?yàn)橛袃蓚€(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定.【總結(jié)】在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素(至少有一條邊)，可求出其余的三個(gè)未知元素(知二求三).【已知一邊一角的記憶口訣】有斜求對(duì)用正弦，有斜求鄰用余弦，無(wú)斜求對(duì)(鄰)用正切.1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，則BCA．3 B．6 C．8 D．92．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，⊙O的周長(zhǎng)為8π，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．則△OAB的面積為（

）

A．4 B．43 C．6 D．3．（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長(zhǎng)為20cm，且有一個(gè)內(nèi)角為45°，則該菱形的高為cm4．（2023·青海西寧·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，∠A=42°，則BC的長(zhǎng)約為．（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.745．（2024·浙江·中考真題）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC邊上的中線，AB=10,AD=6,tan(1)求BC的長(zhǎng)；(2)求sin∠DAEQUOTEQUOTE考點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用1）仰角、俯角視角：視線與水平線的夾角叫做視角．仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．【注意】仰角和俯角是相對(duì)于水平線而言的，在不同的位置觀測(cè)，仰角和俯角是不同的.2）坡度、坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=h坡角：坡面與水平面的夾角α叫做坡角.【注意】坡度與坡角是兩個(gè)不同的概念，坡角是兩個(gè)面的夾角，坡度(用字母i表示)是比；兩者之壓間的關(guān)系是i=h3）方位角、方向角方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°4）解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟①弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；②將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題；當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí)，可適當(dāng)添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形.③選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；④得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問(wèn)題的解．【常見(jiàn)類型】航海、建橋修路、測(cè)量樓高、塔高等.1．（2024·四川·中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東37°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處．這時(shí)，B處距離A處有多遠(yuǎn)？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，2．（2024·江蘇南通·中考真題）社團(tuán)活動(dòng)課上，九年級(jí)學(xué)習(xí)小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，他們?cè)贐處測(cè)得旗桿頂部A的仰角為60°，BC=6m，則旗桿AC的高度為3．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長(zhǎng)度為20米，∠C=18°，求斜坡AB的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31,

04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一銳角三角函數(shù)?題型01理解銳角三角函數(shù)的概念1．（2024廣州市模擬）在Rt△ABC中，∠C=90°，各邊都擴(kuò)大2倍，則銳角A的三角函數(shù)值（

A．?dāng)U大2倍 B．不變 C．縮小12 D．?dāng)U大2．（2024宣化區(qū)一模）如圖，梯子（長(zhǎng)度不變）跟地面所成的銳角為∠α，敘述正確的是（）A．sinα的值越大，梯子越陡B．cosαC．tanαD．陡緩程度與∠α的函數(shù)值無(wú)關(guān)3．（2022·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖是長(zhǎng)春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場(chǎng)的一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A，變幅索的底端記為點(diǎn)B，AD垂直地面，垂足為點(diǎn)D，BC⊥AD，垂足為點(diǎn)C．設(shè)∠ABC=α，下列關(guān)系式正確的是（

）A．sinα=ABBC B．sinα=BCABQUOTEQUOTEQUOTE?題型02求角的三角函數(shù)值求銳角的三角函數(shù)值時(shí)，先確定銳角在哪個(gè)直角三角形中,，若已知三邊，則直接利用定義求解；如果已知兩邊，則利用勾股定理求出第三邊，然后利用定義求解.1．（2024·浙江寧波·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanB=43，則A．34 B．35 C．452．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a2+|c?10|+b?8=12a?36，則3．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線分別交邊AB、CD于點(diǎn)E、F．若AD=8，BE=10，則tan∠ABD=4．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，以CD為直徑的⊙O與AB相切于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥AB，垂足為G．(1)求證：FG是⊙O的切線；(2)若BG=1，BF=3，求CF的長(zhǎng)．5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O外一點(diǎn)，AC=BC，連接OC，DF是AC的垂直平分線，交OC于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)E，連接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．

(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若CD=6，OF=4，求cos∠DAC6．（2024·甘肅·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=BD，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)當(dāng)⊙O的半徑為2，BC=3時(shí)，求tan∠AEB?題型03由三角函數(shù)求邊長(zhǎng)1．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx(x<0)的圖像上，頂點(diǎn)B、C在第一象限，對(duì)角線AC∥x軸，交y軸于點(diǎn)D．若矩形OABC的面積是6，cos∠OAC=

2．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD，(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若CE=1，sin∠BAD=133．（2022·廣西貴港·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，O為AC上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、E的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)D、F，連接OD交AE于點(diǎn)M．

(1)求證：BC是⊙O的切線．(2)若CF＝2，sinC＝35，求AE4．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=10，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，交⊙O的直徑BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CD．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)若tan∠ABE=12，求CD5．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖1，拋物線y=ax2+53x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,1，與

(1)求拋物線的解析式．(2)直線y=23x?4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作直線EF⊥x軸，交AD于點(diǎn)F，連接BE．當(dāng)BE=DF(3)如圖2，點(diǎn)N為x軸正半軸上一點(diǎn)，OE與BN交于點(diǎn)M．若OE=BN，tan∠BME=34QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04由特殊角的三角函數(shù)值求解1．（2023·山東日照·模擬預(yù)測(cè)）在實(shí)數(shù)2,x0A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)是最早使用負(fù)數(shù)的國(guó)家，在數(shù)據(jù)?sin45°，2，0，+7，?0.5，π中是負(fù)數(shù)的有（A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2023·湖南益陽(yáng)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三點(diǎn)A0,1，B4,1，C5,6，則sin

A．12 B．135 C．224．（2023·山東青島·一模）計(jì)算：sin30°+35．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A與點(diǎn)B(cos60°,?3)關(guān)于x軸對(duì)稱，如果函數(shù)y=kx6．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）化簡(jiǎn)求值：x+1x?3?QUOTE?題型05特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算有關(guān)特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算是一類重要題型，解這類問(wèn)題時(shí)，要熟記30°、45°60°角的三種三角函數(shù)值，并能準(zhǔn)確地把值代入算式，結(jié)合實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序及運(yùn)算法則進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）計(jì)算：(12．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）計(jì)算：??3．（2023·四川德陽(yáng)·中考真題）計(jì)算：2?題型06根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)1．（2022·遼寧朝陽(yáng)·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD＝23，DC＝43，將線段DC繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊AB上時(shí)，圖中陰影部分的面積是．2．（2024·湖北·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E在AC上，以CE為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)AB上的點(diǎn)D，與OB交于點(diǎn)F，且BD=BC(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若AD=3，AE=1，求CF3．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖1，將兩個(gè)寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形ABCD．(1)試判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由；(2)已知矩形紙條寬度為2cm，將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時(shí)，四邊形ABCD的面積為8cm2，求此時(shí)直線AD、CD所夾銳角4．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于點(diǎn)A6,a，將正比例函數(shù)圖象向下平移nn>0個(gè)單位后，與反比例函數(shù)圖象在第一、三象限交于點(diǎn)B，C，與x軸，y軸交于點(diǎn)D，E，且滿足BE:CE=3:2．過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，G為x軸上一點(diǎn)，直線BC與BG(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求n的值及△BCG的面積．?題型07已知角度比較三角函數(shù)值的大小1．（2020·湖南婁底·中考真題）如圖，撬釘子的工具是一個(gè)杠桿，動(dòng)力臂L1=L?cosα，阻力臂L2

A．越來(lái)越小 B．不變 C．越來(lái)越大 D．無(wú)法確定2．（2023·上海靜安·一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA與cosA．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定3．（21-22九年級(jí)上·上海靜安·期末）如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A．0<sinA<1C．33<tan4．（2020·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）比較大?。簊in54°cos35°（填“<”“?題型08利用同角的三角函數(shù)求解1．（2023·湖南婁底·中考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為a、b、c的△ABC的面積為S△ABC=12a2b2?a2+b2?c222．A．cosC=a2C．cosC=a22．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）第二十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個(gè)全等的直角三角形（Rt△DAE，Rt△ABF，Rt△BCG，Rt△CDH）和中間一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，連接BE．設(shè)∠BAF=α，∠BEF=β，正方形EFGH和正方形ABCD的面積分別為S1和S23．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：2sin230°?6（2）已知a、b是一元二次方程x2+2x?3=0的兩個(gè)實(shí)根，求4．（2024·山西晉城·二模）如圖，在矩形ABCD中，BC=6，CD=4，E為BC邊上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE，垂足為G，交AB邊于點(diǎn)F，連接AG．若CE=2，則線段AG的長(zhǎng)為．?題型09利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系求解1．（2021·湖南婁底·中考真題）高速公路上有一種標(biāo)線叫縱向減速標(biāo)線，外號(hào)叫魚骨線，作用是為了提醒駕駛員在開(kāi)車時(shí)減速慢行．如圖，用平行四邊形ABCD表示一個(gè)“魚骨”，AB平行于車輛前行方向，BE⊥AB,∠CBE=α，過(guò)B作AD的垂線，垂足為A'（A點(diǎn)的視覺(jué)錯(cuò)覺(jué)點(diǎn)），若sinα=0.05,AB=300mm，則A2．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為半圓O的直徑，C為AB上一點(diǎn)，連接AC，BC．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在直徑AB上求作一點(diǎn)D，使：sin∠ACD=3．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2據(jù)此，嘉嘉猜想：對(duì)于任意銳角α，β，若α+β=90°，均有sin2(1)當(dāng)α=30°，β=60°時(shí)，驗(yàn)證sin2(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合如圖所示Rt△ABC給予證明，其中∠A所對(duì)的邊為a，∠B所對(duì)的邊為b，斜邊為c(3)利用上面的證明方法，直接寫出tanα與sinα，?題型10三角函數(shù)綜合1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在直線y=34x上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，直角三角板的直角頂點(diǎn)C落在x軸上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，另一條直角邊與直線OA交于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，線段AB2．（2024·四川成都·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來(lái)探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片ABC和ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°．【初步感知】（1）如圖1，連接BD，CE，在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，試探究BDCE【深入探究】（2）如圖2，在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在△ABC的中線BM的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)ED交AC于點(diǎn)F，求CF的長(zhǎng)．【拓展延伸】（3）在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，試探究C，D，E三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．?題型11在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值1．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)且k≠0）上有一點(diǎn)A?3,m，且與直線y=?2x+4

(1)求k與m的值；(2)過(guò)點(diǎn)A作直線l∥x軸與直線y=?2x+4交于點(diǎn)C，求2．（2022·遼寧·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A(3,0)和B(?1,0)，交y(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)D是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OD交AC于點(diǎn)N，當(dāng)DNON的值最大時(shí)，求點(diǎn)D(3)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥CP交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，當(dāng)tan∠PCQ=343．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線L：y=ax2?2ax?3aa>0與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為(1)求線段AB的長(zhǎng)；(2)當(dāng)a=1時(shí)，若△ACD的面積與△ABD的面積相等，求tan∠ABD(3)延長(zhǎng)CD交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)AD=DE時(shí)，將△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'．將拋物線L平移得到拋物線L'，使得點(diǎn)A'，B4．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A，B（A在B的左邊），與y軸相交于點(diǎn)C，已知A1,0、B3,0，C0,3，M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)（M位于點(diǎn)C下方），過(guò)點(diǎn)M的直線l垂直于y軸，與拋物線相交于兩點(diǎn)P、Q（P在(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，四邊形PMGH是正方形，連接CP，△PNC的面積為S1，正方形PMGH的面積為S2，求(3)如圖2，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O．①動(dòng)點(diǎn)F在⊙O上，連接BF、CF，請(qǐng)直接寫出BF+13CF②點(diǎn)P是y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB，當(dāng)sin∠APB的值最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出P5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=?x+6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，連接BC，tan∠BCO=(1)如圖1，求直線BC的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P在線段OA上，點(diǎn)Q在線段OB上，OQ=3OP，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，過(guò)點(diǎn)Q作DQ⊥x軸交BC于點(diǎn)D，連接DP，△BDP的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出自變量t的取值范圍）；(3)如圖2，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PD交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)G，DG交OC于點(diǎn)F，連接DE交y軸于點(diǎn)M，連接PM，tan∠DPM=38?題型12特殊角三角函數(shù)值的另類應(yīng)用1．（2023·湖南婁底·一模）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：sinα?β=sinαcosβ?cosαsinβ，sinα+β=sinα2．（2022·黑龍江綏化·中考真題）定義一種運(yùn)算；sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α?β)=sinαcos3．（2023·湖南婁底·一模）定義一種運(yùn)算：cosα+β=cosαcosβ?sinαsinβ，A．6+24 B．6?244．（2023九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）一般地，當(dāng)α，β為任意角時(shí)，sin(α+β)，sin(α?β)，cos(α+β)sin(α+β)=sin(α?β)=cos(α+β)=cos(α?β)=例如：sin90°=類似地，求：(1)sin15°(2)cos75°(3)tan165°的值[提示：對(duì)于鈍角α，定義它的三角函數(shù)值如下：sinα=sin?題型13在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值1．（2020·湖北荊州·中考真題）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A，B，C均在網(wǎng)格交點(diǎn)上，⊙O是△ABC的外接圓，則cos∠BAC的值是（

）A．55 B．255 C．12．（2022·湖北武漢·中考真題）由4個(gè)形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A．13 B．12 C．333．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格圖中，已知點(diǎn)A、B、C、D、O均在格點(diǎn)上，其中A、B、D又在⊙O上，點(diǎn)E是線段CD與⊙O的交點(diǎn)．則∠BAE的正切值為．4．（2024茅箭區(qū)二模）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的4×4網(wǎng)格，則tan∠BAC=5．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在6×7的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，四邊形ABCD的頂點(diǎn)均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)求sinD(2)操作與計(jì)算：用尺規(guī)作圖法過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，并直接寫出CE的長(zhǎng)．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）命題點(diǎn)二解直角三角形?題型01解直角三角形的相關(guān)計(jì)算1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AD上．連接MN，將四邊形CMND沿MN翻折，點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)A，E處．則tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．52．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中點(diǎn)，則sin∠EBC的值為（

A．35 B．75 C．21143．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，DE⊥AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE與BC交于點(diǎn)F．若AB=3，BC=4，則點(diǎn)F到BD的距離為．4．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，將△ABC沿直線AB翻折到△ABD，點(diǎn)D在⊙O上．連接CD，交AB于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BD，CA，兩線相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交BP于點(diǎn)G．(1)求證：AG∥CD；(2)求證：PA(3)若sin∠APD=13，PG=65．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A4,2在函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象上．將直線OA沿y軸向上平移，平移后的直線與y軸交于點(diǎn)B，與函數(shù)y=kxk>0,x>0A．0,5 B．0,3 C．0,4 D．?題型02構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積1．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，求證：asin證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則：在RtΔBCD中，CD=asinB，在RtΔACD中，CD=bsinA∴asinB=b(1)如圖2，在ΔABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，求證：b(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，2．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）知識(shí)再現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．∵sinA=ac，sinB=bc(1)拓展探究：如圖2，在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．請(qǐng)?zhí)骄縜sinA，bsin(2)解決問(wèn)題：如圖3，為測(cè)量點(diǎn)A到河對(duì)岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C，測(cè)得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請(qǐng)用拓展探究中的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離．3．（2022·江蘇蘇州·一模）【理解概念】定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為90°，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)直角三角形”．(1)已知△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，且∠C>90°．①若∠A=60°，則∠B=______°；②若∠A=40°，則∠B=______°；【鞏固新知】(2)如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，BC=2，點(diǎn)D在AC【解決問(wèn)題】(3)如圖②，在四邊形ABCD中，CD=CB，∠ABD=∠BCD，AB=5，4．（2023·安徽·二模）如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在圓上，AB=10，AC=6，點(diǎn)C、E分別在AB兩側(cè)，且E為半圓AB的中點(diǎn)．(1)求△ABC的面積；(2)求CE的長(zhǎng)．5（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線W1：y=ax2+bx?2與x軸交于A，D兩點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)A在直線(1)求拋物線W1(2)將拋物線W1沿x軸翻折后得到拋物線W2，W2與直線l交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線W2上A，B之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），PM⊥AB于M，PN∥y軸交6．（2024·湖北武漢·一模）【問(wèn)題提出】在等腰△ABC中，AB=AC,BC=4,D為BC中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠EDF=∠ABC=∠ACB=α，角的兩邊分別交AB,AC于點(diǎn)E,F，連接EF，試探究點(diǎn)D到線段EF的距離．【問(wèn)題探究】（1）先將問(wèn)題特殊化，如圖2，當(dāng)點(diǎn)E和A重合時(shí)，直接寫出D到線段EF的距離（用含sina（2）再探究一般情形，如圖1，證明（1）中的結(jié)論仍然成立；【問(wèn)題拓展】如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC,D為BC中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠EDF=∠ABC=∠ACB=α，角的兩邊分別交直線AB,AC于點(diǎn)E,F，連接EF．若EF⊥AB，直接寫出ACCF的值（用含tanQUOTE?題型03運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決視角相關(guān)問(wèn)題1）實(shí)際問(wèn)題中已知視角的度數(shù)求邊長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)先根據(jù)題意畫出直角三角形，求出這個(gè)角的三角函數(shù)值，再利用三角函數(shù)的定義求得相應(yīng)邊長(zhǎng).2）利用三角函數(shù)求實(shí)際問(wèn)題中視角的度數(shù)時(shí)，應(yīng)先根據(jù)題意畫出直角三角形，并根據(jù)已知條件求出這個(gè)角的三角函數(shù)值，再求出角的度數(shù).1．（2024·河北·中考真題）中國(guó)的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對(duì)太空的興趣．某晚，淇淇在家透過(guò)窗戶的最高點(diǎn)P恰好看到一顆星星，此時(shí)淇淇距窗戶的水平距離BQ=4m，仰角為α；淇淇向前走了3m后到達(dá)點(diǎn)D，透過(guò)點(diǎn)P恰好看到月亮，仰角為β，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB=CD=1.6m，點(diǎn)P到BQ的距離PQ=2.6m，AC的延長(zhǎng)線交(1)求β的大小及tanα(2)求CP的長(zhǎng)及sin∠APC2．（2024·河南·中考真題）如圖1，塑像AB在底座BC上，點(diǎn)D是人眼所在的位置．當(dāng)點(diǎn)B高于人的水平視線DE時(shí)，由遠(yuǎn)及近看塑像，會(huì)在某處感覺(jué)看到的塑像最大，此時(shí)視角最大．?dāng)?shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓與水平視線DE相切時(shí)（如圖2），在切點(diǎn)P處感覺(jué)看到的塑像最大，此時(shí)∠APB為最大視角．(1)請(qǐng)僅就圖2的情形證明∠APB>∠ADB．(2)經(jīng)測(cè)量，最大視角∠APB為30°，在點(diǎn)P處看塑像頂部點(diǎn)A的仰角∠APE為60°，點(diǎn)P到塑像的水平距離PH為6m．求塑像AB的高（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：3．（2024·甘肅·中考真題）習(xí)近平總書記于2021年指出，中國(guó)將力爭(zhēng)2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰、2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．甘肅省風(fēng)能資源豐富，風(fēng)力發(fā)電發(fā)展迅速．某學(xué)習(xí)小組成員查閱資料得知，在風(fēng)力發(fā)電機(jī)組中，“風(fēng)電塔筒”非常重要，它的高度是一個(gè)重要的設(shè)計(jì)參數(shù)．于是小組成員開(kāi)展了“測(cè)量風(fēng)電塔筒高度”的實(shí)踐活動(dòng)．如圖，已知一風(fēng)電塔筒AH垂直于地面，測(cè)角儀CD，EF在AH兩側(cè)，CD=EF=1.6m，點(diǎn)C與點(diǎn)E相距182m（點(diǎn)C，H，E在同一條直線上），在D處測(cè)得簡(jiǎn)尖頂點(diǎn)A的仰角為45°，在F處測(cè)得筒尖頂點(diǎn)A的仰角為53°．求風(fēng)電塔筒AH的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈454．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的高度．如圖，無(wú)人機(jī)在離地面40米的D處，測(cè)得操控者A的俯角為30°，測(cè)得樓BC樓頂C處的俯角為45°，又經(jīng)過(guò)人工測(cè)量得到操控者A和大樓BC之間的水平距離是80米，則樓BC的高度是多少米？（點(diǎn)A，B，?題型04運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決方向角相關(guān)問(wèn)題方向角問(wèn)題應(yīng)結(jié)合實(shí)際問(wèn)題抽象出示意圖并構(gòu)造三角形，還要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果這些元素不在同一個(gè)三角形中或者在同一個(gè)斜三角形中，需要添加輔助線.在解題的過(guò)程中，有時(shí)需要設(shè)未知數(shù)，通過(guò)構(gòu)造方程(組)來(lái)求解.1．（2024·重慶·中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)A港正東方向的C港裝運(yùn)新的物資．甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達(dá)B港，再沿北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)C港．乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)D港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達(dá)C港．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，(1)求A，C兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠B、D兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)C港？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．2．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，海中有一個(gè)小島C，某漁船在海中的A點(diǎn)測(cè)得小島C位于東北方向上，該漁船由西向東航行一段時(shí)間后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得小島C位于北偏西30°方向上，再沿北偏東60°方向繼續(xù)航行一段時(shí)間后到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30nmile．求C，D間的距離（計(jì)算過(guò)程中的數(shù)據(jù)不取近似值）．3．（2023·遼寧丹東·中考真題）一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時(shí)，測(cè)得燈塔B在它北偏東31°方向上，繼續(xù)向東航行10nmile到達(dá)C港，此時(shí)測(cè)得燈塔B在它北偏西61°方向上，求輪船在航行過(guò)程中與燈塔B的最短距離．（結(jié)果精確到0.1nmile）（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin

?題型05運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決坡角、坡度相關(guān)問(wèn)題解決這類問(wèn)題時(shí)，要利用已知角度構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中求解.1．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開(kāi)展了測(cè)量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng)．如圖所示，斜坡BE的坡度i=1:3，BE=6m，在B處測(cè)得電線塔CD頂部D的仰角為45°，在E處測(cè)得電線塔CD頂部D的仰角為(1)求點(diǎn)B離水平地面的高度AB．(2)求電線塔CD的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．2．（2023·湖北恩施·中考真題）小王同學(xué)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，通過(guò)觀察廣場(chǎng)的臺(tái)階與信號(hào)塔之間的相對(duì)位置，他認(rèn)為利用臺(tái)階的可測(cè)數(shù)據(jù)與在點(diǎn)A，B處測(cè)出點(diǎn)D的仰角度數(shù)，可以求出信號(hào)塔DE的高．如圖，AB的長(zhǎng)為5m，高BC為3m．他在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)D的仰角為45°，在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)D的仰角為38.7°，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)．你認(rèn)為小王同學(xué)能求出信號(hào)塔DE的高嗎？若能，請(qǐng)求出信號(hào)塔3．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩AB長(zhǎng)為10m，坡度i為1:0.75，底端A在地面上，堤壩與對(duì)面的山之間有一深溝，山頂D處立有高20m的鐵塔CD．小明欲測(cè)量山高DE，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線AB上，又在壩頂B處測(cè)得塔底D的仰角α為26°35'．求堤壩高及山高DE．（sin26°35'

4．（2023·四川自貢·中考真題）為測(cè)量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)過(guò)程如下：

(1)測(cè)量坡角如圖1，后山一側(cè)有三段相對(duì)平直的山坡AB，BC，如圖2，同學(xué)們將兩根直桿MN，MP的一端放在坡面起始端A處，直桿MP沿坡面AB方向放置，在直桿MN另一端N用細(xì)線系小重物G，當(dāng)直桿MN與鉛垂線NG重合時(shí)，測(cè)得兩桿夾角α的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角β的度數(shù)．請(qǐng)直接寫出(2)測(cè)量山高同學(xué)們測(cè)得山坡AB，BC，CD的坡長(zhǎng)依次為40米，50米，40米，坡角依次為24°，30°，45°；為求BH，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫了一個(gè)含24°角的(3)測(cè)量改進(jìn)由于測(cè)量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測(cè)量進(jìn)行了深入探究，有了以下新的測(cè)量方法．

如圖4，5，在學(xué)校操場(chǎng)上，將直桿NP置于MN的頂端，當(dāng)MN與鉛垂線NG重合時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)直桿NP，使點(diǎn)N，P，D共線，測(cè)得∠MNP的度數(shù)，從而得到山頂仰角β1，向后山方向前進(jìn)40米，采用相同方式，測(cè)得山頂仰角β2；畫一個(gè)含β1的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為a1厘米，b1厘米，再畫一個(gè)含β2的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為a2厘米，b2厘米．已知桿高?題型06運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題1．（2024·福建·中考真題）無(wú)動(dòng)力帆船是借助風(fēng)力前行的．下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，風(fēng)對(duì)帆的作用力F為400N．根據(jù)物理知識(shí)，F(xiàn)可以分解為兩個(gè)力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起作用，與帆垂直的力F2儀可以分解為兩個(gè)力f1與f2,f1與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架，BC為水平固定桿，豎直固定桿AB⊥BC，活動(dòng)桿AD可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，CD為液壓可伸縮支撐桿，已知AB=10cm，BC=20cm，(1)如圖②，當(dāng)活動(dòng)桿AD處于水平狀態(tài)時(shí)，求可伸縮支撐桿CD的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)如圖③，當(dāng)活動(dòng)桿AD繞點(diǎn)A由水平狀態(tài)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度α，且tanα=34（α3．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）城市軌道交通發(fā)展迅猛，為市民出行帶來(lái)極大方便，某校“綜合實(shí)踐”小組想測(cè)得輕軌高架站的相關(guān)距離，數(shù)據(jù)勘測(cè)組通過(guò)勘測(cè)得到了如下記錄表：綜合實(shí)踐活動(dòng)記錄表活動(dòng)內(nèi)容測(cè)量輕軌高架站的相關(guān)距離測(cè)量工具測(cè)傾器，紅外測(cè)距儀等過(guò)程資料相關(guān)數(shù)據(jù)及說(shuō)明：圖中點(diǎn)A,B,C,D，E,F在同平面內(nèi)，房頂AB，吊頂CF和地面DE所在的直線都平行，點(diǎn)F在與地面垂直的中軸線AE上，∠BCD=98°，∠CDE=97°,AE=8.5m成果梳理……請(qǐng)根據(jù)記錄表提供的信息完成下列問(wèn)題：(1)求點(diǎn)C到地面DE的距離；(2)求頂部線段BC的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan4．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過(guò)一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺．（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）(1)如圖1，請(qǐng)你根據(jù)詞意計(jì)算秋千繩索OA的長(zhǎng)度；(2)如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA'釋放，秋千擺動(dòng)到另一側(cè)與豎直方向夾角為β的地方OA″，兩次位置的高度差PQ=?．根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索OA的長(zhǎng)度？如果能，請(qǐng)用含α、QUOTE?題型07運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題（新考法/新情境）1．（2024·廣東·中考真題）中國(guó)新能源汽車為全球應(yīng)對(duì)氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn)．為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形PQMN充電站的平面示意圖，矩形ABCD是其中一個(gè)停車位．經(jīng)測(cè)量，∠ABQ=60°，AB=5.4m，CE=1.6m，GH⊥CD，

根據(jù)以上信息回答下列問(wèn)題：（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)3≈1.73(1)求PQ的長(zhǎng)；(2)該充電站有20個(gè)停車位，求PN的長(zhǎng)．2．（2024·貴州·中考真題）綜合與實(shí)踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識(shí)后，結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜合性學(xué)習(xí)．【實(shí)驗(yàn)操作】第一步：將長(zhǎng)方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內(nèi)壁AC的夾角為∠A；第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點(diǎn)E處時(shí)，停止注水．（直線NN'為法線，AO為入射光線，【測(cè)量數(shù)據(jù)】如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O，N，N'在同一平面內(nèi)，測(cè)得AC=20cm，∠A=45°，折射角【問(wèn)題解決】根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)操作和測(cè)量的數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：(1)求BC的長(zhǎng)；(2)求B，D之間的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.623．（2024·四川成都·中考真題）中國(guó)古代運(yùn)用“土圭之法”判別四季．夏至?xí)r日影最短，冬至?xí)r日影最長(zhǎng)，春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度等于夏至和冬至日影長(zhǎng)度的平均數(shù)．某地學(xué)生運(yùn)用此法進(jìn)行實(shí)踐探索，如圖，在示意圖中，產(chǎn)生日影的桿子AB垂直于地面，AB長(zhǎng)8尺．在夏至?xí)r，桿子AB在太陽(yáng)光線AC照射下產(chǎn)生的日影為BC；在冬至?xí)r，桿子AB在太陽(yáng)光線AD照射下產(chǎn)生的日影為BD．已知∠ACB=73.4°，∠ADB=26.6°，求春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1尺；參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96，

4（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時(shí)，入射角α的正弦值與折射角β的正弦值的比值sinα(1)若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為α，折射角為β，且cosα=74(2)現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長(zhǎng)方體介質(zhì)，如圖①所示，點(diǎn)A，B，C，D分別是長(zhǎng)方體棱的中點(diǎn)，若光線經(jīng)真空從矩形A1D1D2A2對(duì)角線交點(diǎn)O處射入，其折射光線恰好從點(diǎn)C5．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1，某人的一器官后面A處長(zhǎng)了一個(gè)新生物，現(xiàn)需檢測(cè)到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測(cè)技術(shù)，檢測(cè)射線可避開(kāi)器官?gòu)膫?cè)面測(cè)量．某醫(yī)療小組制定方案，通過(guò)醫(yī)療儀器的測(cè)量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計(jì)算出新生物到皮膚的距離．方案如下：課題檢測(cè)新生物到皮膚的距離工具醫(yī)療儀器等示意圖

說(shuō)明如圖2，新生物在A處，先在皮膚上選擇最大限度地避開(kāi)器官的B處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚MN的夾角為∠DBN；再在皮膚上選擇距離B處9cm的C處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚MN的夾角為∠ECN測(cè)量數(shù)據(jù)∠DBN=35°，∠ECN=22°，BC=9請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算新生物A處到皮膚的距離．（結(jié)果精確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.376．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對(duì)“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組也類比進(jìn)行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂(lè)城A1A2A3A4A5A6A7A8的邊長(zhǎng)為22km，南門O設(shè)立在A6A(1)∠CA1A2=__________°(2)求點(diǎn)A1到道路BC(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路MB向東行走，求她離B處不超過(guò)多少千米，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂(lè)城的影響？（結(jié)果精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，

第四章三角形第22講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（思維導(dǎo)圖+3考點(diǎn)+2命題點(diǎn)20種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)考點(diǎn)二解直角三角形考點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一銳角三角函數(shù)?題型01理解銳角三角函數(shù)的概念?題型02求角的三角函數(shù)值?題型03由三角函數(shù)求邊長(zhǎng)?題型04由特殊角的三角函數(shù)值求解?題型05特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算?題型06根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)?題型07已知角度比較三角函數(shù)值的大小?題型08利用同角的三角函數(shù)求解?題型09利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系求解?題型10三角函數(shù)綜合?題型11在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值?題型12特殊角三角函數(shù)值的另類應(yīng)用?題型13在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值命題點(diǎn)二解直角三角形?題型01解直角三角形的相關(guān)計(jì)算?題型02構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積?題型03運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決視角相關(guān)問(wèn)題?題型04運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決方向角相關(guān)問(wèn)題?題型05運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決坡角、坡度相關(guān)問(wèn)題?題型06運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題?題型07運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題（新考法/新情境）

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求三角函數(shù)值的確定★★探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)(sinA,cosA，tanA)；知道30°,45°,60°角的三角函數(shù)值；會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角.特殊角的三角函數(shù)值★解直角三角形★★能用銳角三角函數(shù)解直角三角形.解直角三角形的應(yīng)用★★能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【考情分析】銳角三角函數(shù)值的考查多以選擇題、填空題為主，解題的一般過(guò)程是構(gòu)造直角三角形，確定相應(yīng)的邊長(zhǎng)，利用定義求相應(yīng)的三角函數(shù)值，試題難度中等，解題關(guān)鍵是正確添加輔助線，確定合適的直角三角形.【命題預(yù)測(cè)】銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)中考中比較重要的考點(diǎn)，其考察內(nèi)容主要包括：①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數(shù)值，③解直角三角形與其應(yīng)用等.出題時(shí)除了會(huì)單獨(dú)出題以外，還常和四邊形、圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題常考題型.預(yù)計(jì)2025年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時(shí)，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關(guān)鍵.02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)1.正弦、余弦、正切正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，則

【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中進(jìn)行定義的，本質(zhì)是兩條線段的比，因此沒(méi)有單位，只與角的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān).2）根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來(lái)理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形.3）表示，可以寫成，不能寫成(正弦、余弦相同).2.銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）取值范圍：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角邊一定比斜邊短，故有如下結(jié)論：，，.增減變化：當(dāng)0°＜∠A＜90°，sinA，tanA隨∠A的增大而增大，cosA隨∠A的增大而減小.【補(bǔ)充】利用銳角三角函數(shù)值的增減變化規(guī)律可比較銳角的大小.3.特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，如下表所示：三角函數(shù)值特殊角30°45°60°sinαcosαtanα14.銳角三角函數(shù)的關(guān)系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時(shí)，有以下兩種關(guān)系：1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：①平方關(guān)系：sin2②商數(shù)關(guān)系：tanA=2)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：①互余關(guān)系：sinA=cos(90°-∠A)=cosB，即一個(gè)銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.sinB=sin(90°-∠A)=cosA，即一個(gè)銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.②倒數(shù)關(guān)系：tanA1．（2024云南真題）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，則tanA的值為（

A．45 B．43 C．35【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴tanA=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，解題關(guān)鍵是理解三角函數(shù)的定義．2．（2023·江蘇蘇州·一模）化簡(jiǎn)sin28°?cos28°A．sin28°?cosC．cos28°?sin【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出sin28°?【詳解】解：sin28°?cos28°2∵cos28°=sin∴原式=cos故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)關(guān)系，掌握三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北黃石·中考真題）計(jì)算：?13【答案】9【分析】先計(jì)算零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減．【詳解】解：?=9+1?2×=9+1?1=9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算能力，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確確定運(yùn)算順序，并能進(jìn)行正確地計(jì)算．4．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若BD=CD，ADBD=1

【答案】22/【分析】由題意可設(shè)AD=x，則CD=3x，AB=4x，在Rt△ADC中求得AC=22x【詳解】解：∵BD=CD，ADBD設(shè)AD=x，則BD=CD=3x，AB=4x，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC=2在Rt△ABC中，tan【點(diǎn)睛】本題考查的是求銳角三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是根據(jù)比值設(shè)未知數(shù)，表示出邊長(zhǎng)從而求出銳角三角函數(shù)值．考點(diǎn)二解直角三角形1.解直角三角形定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過(guò)程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個(gè)元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B.2）三邊之間的關(guān)系：a23）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°.4）邊角之間的關(guān)系：sinA=ac，sinB=bc，cosA=bc【補(bǔ)充】三角函數(shù)是連接邊與角的橋梁.5）面積公式（h為斜邊上的高）.2.解直角三角形的常見(jiàn)類型已知條件解法步驟圖示兩邊斜邊和一直角邊(如c，a)由sinA=兩直角邊(如a，b)由tanA=一邊一角斜邊和一銳角（如c，∠A）∠B=90°－∠A，一直角邊和一銳角（如a，∠A）∠B=90°－∠A，另一直角邊和一銳角（如b，∠A）∠B=90°－∠A，【注意】已知兩個(gè)角不能解直角三角形，因?yàn)橛袃蓚€(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定.【總結(jié)】在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素(至少有一條邊)，可求出其余的三個(gè)未知元素(知二求三).【已知一邊一角的記憶口訣】有斜求對(duì)用正弦，有斜求鄰用余弦，無(wú)斜求對(duì)(鄰)用正切.1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，則BCA．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BD=CD=12BC．根據(jù)sinB=ADAB=【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．∵AB=AC=5，∴BD=CD=1在Rt△ABD中，sin∴AD=4∴BD=A∴BC=2BD=6．故選B．2．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，⊙O的周長(zhǎng)為8π，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．則△OAB的面積為（

）

A．4 B．43 C．6 D．【答案】B【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及解直角三角形進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)半徑為r，由題意得，2πr=8π，解得r=4，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴∠AOB=360°∵OA=OB，∴△AOB是正三角形，∴OAB=60°，∴弦AB所對(duì)應(yīng)的弦心距為OA·sin∴S△AOB故選：B．3．（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長(zhǎng)為20cm，且有一個(gè)內(nèi)角為45°，則該菱形的高為cm【答案】5【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，銳角的正弦的含義，先畫圖，求解EF=EH=5cm，過(guò)E作FI⊥EH于H，結(jié)合∠E=45°【詳解】解：如圖，菱形EFGH的周長(zhǎng)為20cm∴EF=EH=5cm過(guò)E作FI⊥EH于H，而∠E=45°，∴FI=EF?sin故答案為：54．（2023·青海西寧·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，∠A=42°，則BC的長(zhǎng)約為．（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74【答案】8.0【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，∠A=42°

∵sinA=∴sin42°=則BC=12sin故選：8.0【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2024·浙江·中考真題）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC邊上的中線，AB=10,AD=6,tan(1)求BC的長(zhǎng)；(2)求sin∠DAE【答案】(1)14(2)37【分析】本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，分別解Rt△ADC與Rt△ADB，得出DC=6，（1）先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，再利用tan∠ACB=1得出DC=6；在Rt△ADB，根據(jù)勾股定理求出DB=8，然后根據(jù)（2）先由三角形的中線的定義求出BE的值，則DE=BD?BE，然后在Rt△ADE【詳解】（1）解：在Rt△ABD中，AB=10,AD=6∴BD=AB在Rt△ADC中，tan∴DC=6，∴BC=BD+DC=8+6=14；（2）∵AE是BC邊上的中線，∴BE=1∴DE=BD?BE=8?7=1，∴AE=AD∴sin∠DAE=QUOTEQUOTE考點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用1）仰角、俯角視角：視線與水平線的夾角叫做視角．仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．【注意】仰角和俯角是相對(duì)于水平線而言的，在不同的位置觀測(cè)，仰角和俯角是不同的.2）坡度、坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=h坡角：坡面與水平面的夾角α叫做坡角.【注意】坡度與坡角是兩個(gè)不同的概念，坡角是兩個(gè)面的夾角，坡度(用字母i表示)是比；兩者之壓間的關(guān)系是i=h3）方位角、方向角方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°4）解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟①弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；②將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題；當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí)，可適當(dāng)添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形.③選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；④得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問(wèn)題的解．【常見(jiàn)類型】航海、建橋修路、測(cè)量樓高、塔高等.1．（2024·四川·中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東37°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處．這時(shí)，B處距離A處有多遠(yuǎn)？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，【答案】B處距離A處有140海里．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?方向角問(wèn)題．過(guò)P作PC⊥AB于C，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，∠A=37°，AP=100∴PC=AP?sinAC=AP?cos在Rt△PBC中，∵∠B=45°∴BC=PC=60（海里），∴AB=AC+BC=80+60=140（海里），答：B處距離A處有140海里．2．（2024·江蘇南通·中考真題）社團(tuán)活動(dòng)課上，九年級(jí)學(xué)習(xí)小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，他們?cè)贐處測(cè)得旗桿頂部A的仰角為60°，BC=6m，則旗桿AC的高度為【答案】6【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，直接利用銳角三角函數(shù)，求出AC的值即可．【詳解】解：由題意：∠C=90°,∠B=60°,BC=6，∴AC=BC?tan故答案為：633．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長(zhǎng)度為20米，∠C=18°，求斜坡AB的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31,

【答案】斜坡AB的長(zhǎng)約為10米【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，在Rt△DEC中，利用正弦函數(shù)求得DE=6.2，在Rt【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，則四邊形ADEF是矩形，在Rt△DEC中，CD=20DE=CD?sin∴AF=DE=6.2．∵AFBF∴在Rt△ABF中，AB=答：斜坡AB的長(zhǎng)約為10米．【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一銳角三角函數(shù)?題型01理解銳角三角函數(shù)的概念1．（2024廣州市模擬）在Rt△ABC中，∠C=90°，各邊都擴(kuò)大2倍，則銳角A的三角函數(shù)值（

A．?dāng)U大2倍 B．不變 C．縮小12 D．?dāng)U大【答案】B【分析】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義，三角形相似的判定和性質(zhì)，根據(jù)三角形相似的判定，可以確定各邊擴(kuò)大后的三角形與原三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知銳角A的度數(shù)不變，所以銳角A對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值就不變．【詳解】解：因?yàn)楦鬟厰U(kuò)大后的三角形與原三角形相似，銳角A的度數(shù)不變，銳角A對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值就不變．故選：B．2．（2024宣化區(qū)一模）如圖，梯子（長(zhǎng)度不變）跟地面所成的銳角為∠α，敘述正確的是（）A．sinα的值越大，梯子越陡B．cosαC．tanαD．陡緩程度與∠α的函數(shù)值無(wú)關(guān)【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義與性質(zhì)，sinα值越大∠α越大；cosα值越小∠α越大；tanα本題考查三角函數(shù)定義與性質(zhì)，熟記“sinα值越大∠α越大；cosα值越小∠α越大；tanα【詳解】解：A、sinαB、cosαC、tanαD、陡緩程度與的三角函數(shù)值有關(guān)，故D不符合題意．故選：A．3．（2022·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖是長(zhǎng)春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場(chǎng)的一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A，變幅索的底端記為點(diǎn)B，AD垂直地面，垂足為點(diǎn)D，BC⊥AD，垂足為點(diǎn)C．設(shè)∠ABC=α，下列關(guān)系式正確的是（

）A．sinα=ABBC B．sinα=BCAB【答案】D【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】∵BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵∠ABC=α，∴sinα=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義．在直角三角形中任意銳角∠A的對(duì)邊與斜邊之比叫做∠A的正弦，記作sin∠A．掌握正弦三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02求角的三角函數(shù)值求銳角的三角函數(shù)值時(shí)，先確定銳角在哪個(gè)直角三角形中,，若已知三邊，則直接利用定義求解；如果已知兩邊，則利用勾股定理求出第三邊，然后利用定義求解.1．（2024·浙江寧波·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanB=43，則A．34 B．35 C．45【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，能熟記銳角三角函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵；根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出tanB=ACBC=43，設(shè)【詳解】解：∵tan∴設(shè)AC=4x，BC=3x，由勾股定理得：AB=(4x)∴sin故選：B．2．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a2+|c?10|+b?8=12a?36，則【答案】45/【分析】由a2+|c?10|+b?8=12a?36，可得a?62【詳解】解：∵a2∴a2∴a?62∴a?6=0，c?10=0，b?8=0，解得：a=6,b=8,c=10，∴a2∴∠C=90°，∴sinB=故答案為：45【點(diǎn)睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，算術(shù)平方根，絕對(duì)值，偶次方的非負(fù)性，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，銳角的正弦的含義，證明∠C=90°是解本題的關(guān)鍵．3．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線分別交邊AB、CD于點(diǎn)E、F．若AD=8，BE=10，則tan∠ABD=【答案】1【分析】本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)EF與BD相交于點(diǎn)O，證明△BOE∽△BAD，根據(jù)相似的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】解：BD的垂直平分線分別交邊AB、CD于點(diǎn)E、F．∴EF⊥BD，BO=1∴∠BOE=∠A=90°，∵∠ABD=∠ABD，∴△BOE∽△BAD，∴BE∵AD=8，BE=10，BO=1∴10∴OE?BO=40，∵OE令OE=x,OB=y，xy=40x解得x=25y=45∴tan故答案為：124．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，以CD為直徑的⊙O與AB相切于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥AB，垂足為G．(1)求證：FG是⊙O的切線；(2)若BG=1，BF=3，求CF的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）連接DF,OF，設(shè)∠ODF=∠OFD=β，∠OFC=α，根據(jù)已知條件以及直徑所對(duì)的圓周角相等，證明α+β=90°，進(jìn)而求得∠DFG=α,∠DFO=β，即可證明FG是⊙O的切線；（2）根據(jù)已知條件結(jié)合（1）的結(jié)論可得四邊形GEOF是正方形，進(jìn)而求得DC的長(zhǎng)，根據(jù)∠BFG=∠FDC=β，sinβ=【詳解】（1）如圖，連接DF,OF，∵OF=OD，則∠ODF=∠OFD，設(shè)∠ODF=∠OFD=β，∠OFC=α，∵OF=OC，∴∠OFC=∠OCF=α，∵DC為⊙O的直徑，∴∠DFC=90°，∴∠DFO+OFC=∠DFC=90°，即α+β=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=α，∵FG⊥AB，∴∠GFB=90°?∠B=90°?α=β，∵∠DFB=∠DFC=90°，∴∠DFG=90°?∠GFB=90°?β=α，∴∠GFO=GFD+DFO=α+β=90°，∵OF為⊙O的半徑，∴FG是⊙O的切線；（2）如圖，連接OE，∵AB是⊙O的切線，則OE⊥AB，又OF⊥FG,FG⊥AB，∴四邊形GEOF是矩形，∵OE=OF，∴四邊形GEOF是正方形，∴GF=OF=1在Rt△GFB中，BG=1，BF=3∴FG=B∴DC=42由（1）可得∠BFG=∠FDC=β，∵FG⊥AB,DF⊥FC，∴sin∴13解得FC=4【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，正弦的定義，掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O外一點(diǎn)，AC=BC，連接OC，DF是AC的垂直平分線，交OC于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)E，連接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．

(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若CD=6，OF=4，求cos∠DAC【答案】(1)見(jiàn)解析(2)30【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得CO⊥AB,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得∠DAC=∠DCA,由∠DCA=∠OCA可得∠DAC=∠OCA,證明AD//OC，從而可得結(jié)論；（2）連接AF，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AF=AD=CD=CF=6,再由勾股定理求出相關(guān)線段長(zhǎng)即可．【詳解】（1）∵O為圓心，∴OA=OB，∵AC=BC，∴CO⊥AB,即∠COA=∠COB=∵DF是AC的垂直平分線，∴AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,∵∠DCA=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC,∴∠DAO=∠COB=90°又AB是圓O的直徑，∴AD是⊙O的切線；（2）連接AF，如圖，

由（1）知，AD=CD,AE=CE,∵∠DCA=∠OCA,DF⊥AC,∴CD=CF,AF=AD.∴AF=AD=CD=CF=6,在RtΔAOF∴AO=