中考數(shù)學總復習提升專項知識菱形的性質(zhì)與判定(練習)含答案及解析

第五章四邊形第25講菱形的性質(zhì)與判定TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01利用菱形的性質(zhì)求角度??題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長??題型03利用菱形的性質(zhì)求周長??題型04利用菱形的性質(zhì)求面積??題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)求點的坐標??題型06利用菱形的性質(zhì)證明??題型07菱形的折疊問題??題型08添加一個條件使四邊形是菱形??題型09證明四邊形是菱形??題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度??題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長??題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求周長??題型13根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積??題型14根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題??題型15與菱形有關(guān)的新定義問題??題型16與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問題??題型17與菱形有關(guān)的動點問題??題型18與菱形有關(guān)的最值問題??題型19含60°角的菱形??題型20菱形與函數(shù)綜合??題型21與菱形有關(guān)的存在性問題??題型22與菱形有關(guān)的材料閱讀類問題??題型01利用菱形的性質(zhì)求角度1．（2024·廣東·模擬預測）如圖所示，在菱形ABCD中，以點B為圓心，一定長為半徑畫弧分別交BC，BD于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接BP并延長交CD于點Q．若∠C=40°，則2．（2024·重慶·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，點E為垂足，連接DF．若∠BAD=α，則∠CDF為（

）A．α B．32α C．180°?33．（2024·浙江·模擬預測）如圖，點E為菱形ABCD中AB邊上一點，連結(jié)DE，DE=DA，將菱形沿DE折疊，點A的對應點F恰好落在BC邊上，則∠A的度數(shù)為．4．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，已知四邊形ABCD為菱形，以AB為直徑作⊙O，過點A作⊙O的切線交CD于點E．若∠ABC=50°，則∠CAE的度數(shù)為．??題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長5．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點M和N分別是AB和AD上一點，沿MN將△AMN折疊，點A恰好落在邊BC的中點E上．若AB=4，則AM的長為（

）

A．2.4 B．2.8 C．3 D．3.26．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠AEF=90°，∠AFE=∠D，若CE=6，CF=27．（2024·山東臨沂·模擬預測）菱形是日常生活中常見的圖形，如伸縮衣架（如圖1）等，為兼顧美觀性和實用性，活動角α的取值范圍宜為60°≤α≤120°（如圖2），亮亮選購了折疊后如圖3所示的伸縮衣架，則其拉伸長度AB的適宜范圍最接近（）A．30≤AB≤45 B．45≤AB≤45C．45≤AB≤303 D．8．（2024·山西·模擬預測）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC=60°，，對角線AC,BD交于點O，點E是OB的中點，點F是CD的中點，連接EF交AC于點G，則線段GF的長為??題型03利用菱形的性質(zhì)求周長9．（2024·云南曲靖·一模）菱形ABCD的一條對角線長為8，邊AB的長是方程x2?7x+10=0的一個根，則菱形ABCD的周長為（A．16 B．20 C．16或20 D．3210．（2024·貴州黔東南·一模）如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，連接AE，EF，AF，△AEF的周長為33cm，則菱形

A．5cm B．6cm C．4311．（2024·江蘇南京·三模）如圖，菱形ABCD的頂點B，C，D在⊙O上，且AB與⊙O相切，若⊙O的半徑為1，則菱形ABCD的周長為．

12．（2024·四川樂山·二模）如圖，菱形的周長為24cm，相鄰兩個的內(nèi)角度數(shù)之比為1:2A．6cm B．63cm C．12??題型04利用菱形的性質(zhì)求面積13．（2024·江西吉安·模擬預測）已知菱形ABCD的邊長是5，兩條對角線AC、BD交于點O，且AO、BO的長分別是關(guān)于(1)求m的值；(2)求菱形ABCD的面積．14．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，已知菱形ABCD的周長為40，對角線AC、BD交于點O，且AO+BO=14，則該菱形的面積等于（

）A．24 B．56 C．96 D．4815．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知：菱形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AC=8，BD=6，將線段AO繞點A旋轉(zhuǎn)，使點O落在菱形ABCD的邊上，點O的對應點為點P，連接BP，CP，則△BCP的面積為．16．（2024·河北滄州·模擬預測）將矩形ABCD和菱形AFDE按如圖放置，若圖中矩形面積是菱形面積的2倍，則下列結(jié)論正確的是（

）A．∠EAF=60° B．AB=AF C．AD=2AB D．AB=EF??題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)求點的坐標17．（2024·山西·模擬預測）如圖，O是菱形ABCD的對角線BD的中點，以O為原點，建立如圖平面直角坐標系，若AD∥x軸，AD=8，∠A=60°，點C的坐標是（

）A．53,5 B．53,?5 C．18．（2024·山東臨沂·三模）如圖，在直角坐標系中，菱形OABC的頂點A的坐標為?23,0，∠AOC=60°．將菱形OABC沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形O'A'A．1?33,2 B．?23,3 19．（23-24八年級下·山西臨汾·階段練習）如圖，反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象與正比例函數(shù)y=43(1)a=______，k=______，點D坐標為______．(2)不等式kx(3)已知AB∥x軸，以AB，AD為邊作菱形ABCD，求菱形20．（2024·山東濟寧·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B在第一象限，點C在x軸正半軸上，且AC與OB互相垂直平分，D為垂足，連接OA，AB，BC．反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過點D，與OA相交于E．若點B的坐標為(8,4)A．2,43C．145,??題型06利用菱形的性質(zhì)證明21．（2024·貴州·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥CD交CD于點E，延長AE交BC的延長線于點F，且E為AF的中點，連接AC，(1)求證：AC=CD；(2)求AEBE22．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖所示，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點O，分別過點C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和(1)求證：四邊形ODEC是矩形；(2)當∠ADB=60°，AD=22時，求CE23．（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，以點C為圓心，BC長為半徑畫弧交BC的延長線于點E，連接(1)求證：AC∥DE；(2)若AB=4，∠ABC=60°，求??題型07菱形的折疊問題24．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6，E是AB上一點，把四邊形ADCE沿CE折疊后得到四邊形A'D'CE，CD

A．52 B．3 C．6?33 25．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（不與B,D重合），折痕為EF，若DG=2，BG=4，則點E到BD的距離為．

26．（2024·海南?？凇つM預測）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點P是邊BC上一動點，連接AP，將△ABP沿著AP折疊，得到△AEP，連接DE，若∠BAP=16°，則∠ADE=；若點F是DE的中點，AB=4，則CF的最小值為．

27．（2023·河南信陽·模擬預測）某數(shù)學興趣小組在數(shù)學實踐課上開展了“菱形折疊”研究活動．第一步：每人制作內(nèi)角不同，邊長都為2的菱形若干個，四個頂點為A，B，C，D（為保持一致，活動中，小組內(nèi)制作圖形各點名稱命名規(guī)則相同）；第二步：對折找到一條對角線BD并展開；第三步：將邊AB折疊到對角線BD所在直線上，頂點A的落點為F，所得折痕與邊AD交于點E；第四步：測量∠A，∠FDE，∠FED的度數(shù)，(1)小組長在研究大家測得的數(shù)據(jù)后仔細分析，發(fā)現(xiàn)可以通過∠A的度數(shù)，計算得到∠FED和∠FDE的度數(shù)．如圖①，若一位同學制作的菱形中∠A=30°，請你給出此時∠FDE和∠FED的度數(shù)：∠FDE=_____________°，∠FED=_____________°；(2)若∠A<60°，請?zhí)骄俊螦的度數(shù)為多少時，△DEF為等腰三角形，并說明理由；(3)請直接寫出△DEF為直角三角形時DF的長．??題型08添加一個條件使四邊形是菱形28．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）如圖，在?ABCD中（AD>AB），∠ABC為銳角，將△ABC沿對角線AC方向平移，得到△A'B'C'，連接AB29．（2024·湖南·模擬預測）已知四邊形ABCD的對角線BD垂直平分對角線AC于點O，要使四邊形ABCD為菱形，則可添加的條件是（添加一個條件即可，不添加其他的點和線）．30．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，過O的直線分別交AD、BC于點M、N．(1)求證：OM=ON(2)連接BM，DN．請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形BNDM為菱形．（不需要說明理由）31．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，BE是△ABC的角平分線，點D在AB上，且DE∥BC．(1)求證：DB=DE；(2)在BC上取一點F，連接EF，添加一個條件，使四邊形BDEF為菱形，直接寫出這個條件．??題型09證明四邊形是菱形32．（2024·廣東·模擬預測）如圖，AD是△ABC的角平分線，過點D分別作AC和AB的平行線，交AB于點E，交AC于點F．試判斷四邊形AEDF的形狀，并給出證明．

33．（2024·湖北黃岡·模擬預測）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，AF⊥CD，垂足為F，BD與AE，AF分別相交于點G，H，AG=AH．求證：四邊形ABCD是菱形．34．（2022九年級·上?！ｎ}練習）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD上任意一點（點E與點C、D不重合），過點A作AF⊥AE，交邊CB的延長線于點F，連接EF交邊AB于點G，連接AC．

(1)求證：△AEF∽△DAC；(2)如果FE平分∠AFB，連接CG，求證：四邊形AGCE為菱形．35．（2024·湖南·二模）如圖，BD是?ABCD的對角線，在△ABD和△CDB中，DE，BF分別是邊AB，CD的中線，EF⊥BD．(1)求證：四邊形DEBF是菱形；(2)求證：△ABD是直角三角形．??題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度36．（2024·河南南陽·二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點，連接OD，OB，若OD∥BC，且OD=BC，則∠BOD的度數(shù)是（A．60° B．115° C．130° D．120°37．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在⊙O中，作正方形ABCD和等邊△CDE，其中點A、B、E三點在⊙O上，則劣弧AE所對的圓心角為（

）A．135° B．150° C．120° D．105°38．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E在對角線BD上，點F在邊BC上，連接AE，EF，DE=BF，

(1)如圖①，求證△AED≌(2)如圖②，若AB=AD，AE≠ED，過點C作CH∥AE交BE于點H，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖②中四個角（??題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長39．（2023·廣東深圳·三模）如圖，在ABCD中，以點D為圓心，CD的長為半徑作弧交AD于點G，分別以點C，G為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點E，作射線DE交BC于點F，交CG于點O，若AB=13，GC=24，則DF的長為（）A．10 B．9 C．12 D．6.540．（2024·貴州遵義·模擬預測）如圖，在△ABC中，AB=6，BC=4，點D在邊BC上，點E在邊AB上，將△BDE沿直線DE翻折，點B恰好落在邊AC上的點F處，若DF∥AB，則CD的長為（

）A．1.6 B．2 C．2.4 D．341．（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若AB=5，BD=2，求OE42．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，延長邊CD到點F，使DF=DC，過點F作EF∥AC，交OD的延長線于點E，連接OF，(1)求證：△ODC≌△EDF；(2)連接AF，若OD=DC且∠BEC=45°，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中長度為2OA??題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求周長43．（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DE∥AC，(1)求證：四邊形OCED是菱形；(2)若BC=3，OA=1344．（2024·山東青島·二模）如圖，四邊形ABCD是正方形，BE∥DF，分別交對角線AC于點E，F(xiàn)，連接ED，

(1)求證：四邊形BEDF是菱形：(2)若AE=2，CE=6，求菱形BEDF的周長和面積．45．（2024·江西撫州·一模）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB=AC，∠DAC是△ABC的一個外角，AE平分∠DAC．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)如圖2，過點C作⊙O的切線交AE于點F，若AF=BC．①請判斷四邊形ABCF的形狀，并說明理由；②當AB=2時，求圖中陰影部分的周長．??題型13根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積46．（2024·吉林長春·一模）如圖，矩形AEBO的對角線AB、OE交于點F，延長AO到點C，使OC=OA，延長BO到點D，使OD=OB，連接AD、DC、BC．(1)求證:四邊形ABCD是菱形．(2)若OE=20，∠BCD=60°，則菱形ABCD的面積為47．（2024·江西南昌·模擬預測）定理證明：

（1）如圖1，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點分別為A，B，求證：PA=PB；定理應用：（2）如圖2，△ABC是⊙O的內(nèi)接等腰三角形，AB=AC=2，∠D=60°，DC是⊙O的切線，若DA∥BC，求四邊形48．（2024·貴州貴陽·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，D為AB的中點，過點D作DE∥BC，且DE=BC，連接CD(1)請你選擇一位同學的說法，并進行證明；(2)若BC=2，連接AE，EC，求△AEC的面積．49．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在△ABC中，AB=AC，點M在BA的延長線上，點N在BC的延長線上，AD平分∠CAM，CD∥AB．(1)如圖1，求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)如圖2，當∠ABC=60°時，連接BD，交AC于點O，過點D作DE⊥BD，交BN于點E，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中與△CDE面積相等的4個三角形．??題型14根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題50．（2024·內(nèi)蒙古·二模）如圖．在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點E，延長BC到點F，使CF=BC，連接AF，DF，AF分別交CD，BD于點G，O，則下列結(jié)論：①四邊形ACFD是平行四邊形

②BD2+FD2=BF2

51．（2024·福建福州·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，點M,N是邊AD,AB上任意兩點，將菱形ABCD沿MN翻折，點A恰巧落在對角線BD上的點E處，下列結(jié)論：①△MED∽△ENB；②若∠DME=15°，則∠ENB=105°；③若菱形邊長為4，M是AD的中點，連接MC，則MC=23；④若DE:BE=2:5，則AM:AN=3:4，其中正確結(jié)論是52．（2024·天津河西·二模）已知菱形ABCD，AB=10cm，∠A=60°，點E，F(xiàn)，G，H分別在菱形ABCD的四條邊上，AH=AE=CG=CF．連接EF，F(xiàn)G，GH，HE．有下列結(jié)論：①四邊形EFGH是矩形；②AE長有兩個不同的值，使得四邊形EFGH的面積都為10cm2

A．0 B．1 C．2 D．353．（2024·山東棗莊·二模）如圖，OABC是平行四邊形，對角線OB在y軸正半軸上，位于第一象限的點A和第二象限的點C分別在雙曲線y=k1x和y=k2x的一個分支上，分別過點A、C作x軸的垂線段，垂足分別為點M和點N，給出如下四個結(jié)論：①AMCN=k1k2；②陰影部分的面積是12A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①④54．（2024·全國·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，對角線AC，BD交于點O，動點P在邊BC上（不與點C重合），連接AP，AP的垂直平分線交AP于點E，交BD于點F，連接FP，CE，OE，現(xiàn)有以下結(jié)論：①點A，E之間的距離為定值；②FP=2FE；③CEBC的值可以是13；④∠EOF=30°或150°．其中正確的是??題型15與菱形有關(guān)的新定義問題55．（2024·山東菏澤·一模）將菱形的兩個相鄰的內(nèi)角記為m°和n°m>n，定義mn為菱形的“接近度”，則當“接近度”為56．（2023·江蘇鹽城·一模）定義：若四邊形中某個頂點與其它三個頂點距離相等，則這個四邊形叫做等距四邊形，這個頂點叫做這個四邊形的等距點．

(1)判斷：一個內(nèi)角為60°的菱形________等距四邊形．（填“是”或“不是”）(2)如圖2，在5×5的網(wǎng)格圖中有A、B兩點，請在答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找出C、D兩個格點，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形以A為等距點的“等距四邊形”，畫出相應的“等距四邊形”（互不全等），并寫出該等距四邊形的端點均為非等距點的對角線長．端點均為非等距點的對角線長為________．(3)如圖，在海上A，B兩處執(zhí)行任務的兩艘巡邏艇，根據(jù)接到指令A，B兩艇同時出發(fā)，A艇直接回到駐地O，B艇到C島執(zhí)行某項任務后回到駐地O（在C島執(zhí)行任務的時間忽略不計），已知A，B，C三點到O點的距離相等，AO∥BC，BC=100km，tanA=32，若A艇速度為65km57．（2024·湖南長沙·一模）定義：對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”．(1)若?ABCD是圓的“奇妙四邊形”，則?ABCD是_________（填序號）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如圖1，已知⊙O的半徑為R，四邊形ABCD是⊙O的“奇妙四邊形”．求證：AB(3)如圖2，四邊形ABCD是“奇妙四邊形”，P為圓內(nèi)一點，∠APD=∠BPC=90°，∠ADP=∠PBC，BD=4，且AB=3DC．當DC的長度最小時，求58．（2024·四川達州·一模）數(shù)學活動：某數(shù)學興趣小組想探究任意四邊形的中點四邊形的形狀與原四邊形的邊、對角線的關(guān)系；定義：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．[操作]如圖1，點E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點，順次連接點E，F(xiàn)，G，H得到中點四邊形EFGH．[猜想]（1）填空：任意一個四邊形的中點四邊形是___________________；[證明]（2）請補全以下求證內(nèi)容，并完善證明過程；已知：點E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點，順次連接點E，F(xiàn)，G，H得到中點四邊形EFGH．求證：______________________．證明：[應用]（3）如圖2，在四邊形ABCD中，AB，BC，CD，DA的中點分別為P，Q，M，N，在AB上取一點E，連接DE，CE，△ADE和△BCE恰好是等邊三角形，當點A到點C的距離為2時，求四邊形MNPQ的周長．??題型16與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問題59．（2024·廣東汕尾·模擬預測）如圖，已知菱形ABC1D1的邊長AB=1cm，∠D1AB=60°，連接對角線AC1，以AC1為邊作第二個菱形AC1C60．（2024·山東泰安·二模）含60°角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，……，按如圖所示的方式放置在平面直角坐標系xOy中，點A1，A2，A3，……，和點B1A．3×22022,C．3×22024,61．（23-24九年級上·山東青島·期中）如圖，依次連接第一個矩形各邊上的中點，得到一個菱形，在依次連接菱形各邊上的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個矩形的面積是1，則第n個矩形的面積是．62．（2024·河南鄭州·三模）綜合實踐【問題】

小張、小王、小袁在《解析與檢測》中發(fā)現(xiàn)這樣一道題：如圖1，在矩形ABCD中，O為對角線BD的中點，∠ABD=60°，動點E在線段OB上，動點F在線段OD上，點E,F同時從點O出發(fā)，分別向終點B,D運動，且始終保持OE=OF．點E關(guān)于AD,AB的對稱點為E1,E2；點F關(guān)于BC,CD的對稱點為【探究】（1）小張覺得在點E,F運動的過程中，四邊形E1E2（2）小王覺得小張說的不全面，于是三人繼續(xù)探索：①小王看到四邊形E1E2F1F2的四邊分別經(jīng)過了原矩形的四個頂點，并說道：在圖1中，連接DE1和D②小王發(fā)現(xiàn)，點E,F在點O時，四邊形E1E2F1F2為菱形；點E,F分別運動到終點B,D時，四邊形E1E2F1F【應用】（3）經(jīng)過探索，三人得出了四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是菱形、平行四邊形、矩形、平行四邊形、菱形的結(jié)論．如圖3，在原題的基礎上，將條件∠ABD=60°變?yōu)锳B=6??題型17與菱形有關(guān)的動點問題63．（2024·貴州·模擬預測）綜合與探究：在四邊形ABCD中，P為對角線BD上的動點，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上．(1)【動手操作】如圖①，若四邊形ABCD為正方形，P為對角線AC，BD的交點，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點時，連接PE，PF，根據(jù)題意在圖①中畫出PE，PF，則∠EPF為________________度；(2)【問題探究】如圖②，四邊形ABCD為菱形，∠ADC=120°，P為對角線AC，BD的交點，且∠EPF=60°，探究線段DE，DF(3)【問題解決】如圖③，在（2）的條件下，若點P在對角線BD上，菱形ABCD的邊長為8，PA=7，DF=1，求DE的長．64．（2024·湖南長沙·二模）如圖，在菱形ABCD中，點E是BC邊上一動點（且與點B、C不重合），連接AE交BD于點G．(1)若AE⊥BC，∠BAE=18°，求∠BGE的度數(shù)；(2)若AG=BG，求證BE(3)過點G作GM∥BC交AB于點M，記．S△AMG為S1，S四邊形DGEC為S①求證：1BE②求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．65．（22-23九年級上·福建三明·期中）如圖1，點O是?ABCD的對角線AC，BD的交點，過點O作OH⊥AB，OM⊥BC，垂足分別為H，M，若OH≥OM，我們稱λ=OHOM是(1)如圖2，當λ=1，求證：?ABCD是菱形；(2)如圖3，當∠ABC=90°，且AB=OB，求?ABCD的λ值；(3)如圖4，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，動點P從點B出發(fā)．沿線段BC向終點C運動，動點Q自C出發(fā)，沿線段CA向終點A運動，P、Q兩點同時出發(fā)，運動速度均為每秒1個單位，連結(jié)PQ，以PQ、AQ為鄰邊作?AQPE，若?AQPE的中心距比λ=10．求點P??題型18與菱形有關(guān)的最值問題66．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知菱形ABCD的面積為123，E是邊BC上的中點，P是對角線BD上的動點，連接AE，若AE平分∠BAC，則PE+PC的最小值為67．（2024·吉林長春·二模）如圖，在菱形ABCD中，AC=16，BD=12，E是CD邊上一動點，過點E分別作EF⊥OC于點F,EG⊥OD于點G，連接FG．(1)求證：四邊形OGEF為矩形．(2)求GF的最小值．68．（2024·貴州遵義·模擬預測）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠DAB=60°，M，N分別是AD，AC上的兩個動點，則DN+MN的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．269．（2024·江西九江·二模）課本再現(xiàn)如圖1，四邊形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6．（1）求AB，AC的長．應用拓展（2）如圖2，E為AB上一動點，連接DE，將DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到DF，連接EF．①直接寫出點D到EF距離的最小值；②如圖3，連接OF，CF，若△OCF的面積為6，求BE的長．??題型19含60°角的菱形70．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，連接EF．(1)求證：AE=AF；(2)若∠B=60°，求71．（2024·浙江臺州·模擬預測）如圖，四邊形ABCD為菱形，過點D分別作AB,BC的垂線，垂足為E,F．(1)求證△ADE≌△CDF；(2)若∠EDF=60°,DE=3，求AB72．（2024·湖北黃岡·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，若點B的坐標為1,0，∠BCD=120°，則點D的坐標為（

）A．?2,2 B．?2,3 C．3,2 73．（2024·河南商丘·模擬預測）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E為對角線BD的中點，F(xiàn)為AD邊上一點，且DF=3．若△DEF為等腰三角形，則菱形ABCD的邊長為??題型20菱形與函數(shù)綜合74．（2024·遼寧大連·二模）如圖1，△ABC中，∠ABC=60°，D是BC邊上的一個動點（不與點B，C重合），DE∥AB交AC于點E，EF∥BC交AB于點F．設BD的長為x，四邊形【初步感知】（1）經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)y是關(guān)于x的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖像，其頂點坐標是2,3，請根據(jù)圖像信息，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式．【延伸探究】（2）①當四邊形BDEF的面積為94時，求BD②當四邊形BDEF的面積最大時，求△CDE的面積．（3）如圖3，當四邊形BDEF是菱形時，求BD的長度．75．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，點A的坐標為1,3．點M從點O出發(fā)，以每秒1個單位沿x軸向右移動，過點M且垂直O(jiān)A的直線與菱形的兩邊分別交于P，Q兩點，設△OPQ的面積為S，則S與點M移動的時間tA． B．C． D．76．（2024·湖北武漢·三模）如圖1，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，點F為(1)E為邊AD上一點，連接EF，將△DEF沿EF進行翻折，點D恰好落在BC邊的中點G處，①求DE的長；②tan∠GFC=(2)如圖2，延長CD到M，使DM=DF，連接BM與AF，BM與AF交于點N，連接DN，設DF=xx>0，DN=y，求y關(guān)于x77．（2024·甘肅平?jīng)觥ざ＃┤鐖D，拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于點A(2,0)、B(3,0)兩點，與y軸交于點C，點D是x軸負半軸上一點，AD=5(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)請在圖1中將線段CD向右平移至點D與點A重合，CD平移后對應線段所在直線交拋物線于點E，連接CE，判斷四邊形AECD的形狀，并說明理由；(3)在（2）的條件下，如圖2，連接DE，交y軸于點P，過點P作PM⊥CD于點M，點N從E點向D點運動，連接CN、MN，求△CMN周長的最小值．??題型21與菱形有關(guān)的存在性問題78．（2024·山東泰安·二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過點A?2,0，點B4,0，與y軸交于點C，過點C作直線CD∥x(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)E是拋物線上的點，求滿足∠ECD+∠CAO=90°的點E的坐標；(3)點M在y軸上，且位于點C的上方，點N在直線BC上，點P為直線BC上方拋物線上一點，是否存在點N使四邊形CMPN為菱形，如果存在，請直接寫出點N的坐標．如果不存在，請說明理由．79．（23-24九年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，已知直線y=43x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過A，C兩點，且與(1)求拋物線的表達式；(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點的坐標；(3)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．80．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，二次函數(shù)y=?x2+(m?1)x+m（其中m>1）的圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，連接AC、BC，點D(1)填空：點A的坐標為，∠ABC=°；(2)記△ACD的面積為S1，△ABD的面積為S2，試探究(3)若在第一象限內(nèi)的拋物線上存在一點E，使得以B、D、C、E為頂點的四邊形是菱形，則m=．81．（2024·河南開封·一模）如圖，△ABC的頂點坐標分別為A0,3，B1,0，C2,3(1)求k的值．(2)點D在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，且BD⊥AC于點E，DE=BE(3)是否存在除點D外可與A，B，C三點共同組成菱形的點P？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．??題型22與菱形有關(guān)的材料閱讀類問題82．（2024·山西朔州·模擬預測）閱讀與思考下面是小逸同學的數(shù)學日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務．作矩形的最大內(nèi)接菱形的方法頂點在矩形邊上的菱形叫做矩形的內(nèi)接菱形，在實踐活動課上，數(shù)學老師提出來一個問題“如何從一張矩形紙片中翻作出一個最大的內(nèi)接菱形”實踐小組成員經(jīng)過思考后，分別給了3種不同的方法．方法一：通過折，將矩形紙片橫對折后再豎對折，沿對角線剪一刀將到一個直角三角形，展開后就是菱形EHGF（如圖1）．則四邊形EHGF是矩形ABCD的內(nèi)接菱形．方法二：通過疊，取兩個大小一樣的矩形紙片，讓兩矩形的長兩兩相交，重疊的部分形成四邊形AECF．則四邊形AECF也是矩形ABCD的內(nèi)接菱形，（如圖2）方法三：通過尺規(guī)作圖，作矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線EF，與AD邊交于點E．與BC邊交于點F，連接AF，CE，則四邊形AECF是矩形ABCD的內(nèi)接菱形．實踐小組通過三種方法得到的菱形進行分析，討論，計算，對比，從而得出矩形的最大內(nèi)接菱形．任務：(1)填空：通過“方法一”能得到的菱形，它的依據(jù)是_______．(2)尺規(guī)作圖：請你在圖3中完成日記中的“方法三”的作圖過程，（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)若矩形AB=4，BC=10，請你根據(jù)日記中三種方法，計算此矩形的內(nèi)接菱形的面積最大值為______．83．（2024·湖南長沙·模擬預測）閱讀短文，解決問題．若平行四邊形的四個頂點都在三角形的邊上，且有一個角與三角形的一個角重合，另一個頂點在三角形的這個重合角的對邊上，我們就稱這個平行四邊形是該三角形的“相依四邊形”．例如：如圖1，在平行四邊形AEFD中，∠BAC與∠DAE重合，點F在BC上，則稱平行四邊形AEFD為△ABC的“相依四邊形”．(1)如圖1，平行四邊形AEFD為△ABC的“相依四邊形”，AF平分∠BAC，判斷四邊形AEFD的形狀，并進行證明．(2)在（1）的條件下，如圖2，∠B=90°．①若AC=6，F(xiàn)C=6，求四邊形AEFD②如圖3，M，N分別是DF，AC的中點，連接MN，若84．（2024·山西晉城·二模）請閱讀下列材料，并完成相應的任務．利用尺規(guī)在銳角三角形紙片上作菱形在數(shù)學興趣課上，老師提出一個問題：利用尺規(guī)在銳角三角形紙片ABC上作菱形AEDF，且點D，E，F(xiàn)分別在BC，勤學小組展示了他們的作法：如圖1，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，兩弧分別交AB，AC邊于點G，H；分別以點G，H為圓心，大于12GH的長為半徑畫弧，在△ABC內(nèi)部交于點L；連接AL并延長，交BC邊于點D；以點B為圓心，任意長為半徑畫弧，兩弧分別交AB，BC邊于點M，N；以點D為圓心，BN長為半徑畫弧，交BC邊于點P；以點P為圓心，MN長為半徑畫弧，交前弧于點Q；連接DQ并延長，交AC邊于點F；以點A為圓心，AF長為半徑畫弧，交AB邊于點E；連接勤學小組進行了以下證明：證明：根據(jù)尺規(guī)作圖，得AD平分∠BAC，∠FDC=∠B，AE=AF．∴∠BAD=∠CAD，F(xiàn)D∥∴∠ADF=∠BAD．∴∠ADF=∠CAD．∴AF=DF．（依據(jù)1）∴AE=DF．∴四邊形AEDF是平行四邊形．（依據(jù)2）又∵AE=AF，∴四邊形AEDF是菱形．善思小組也展示了他們的作法：如圖2，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC邊于點R，S；分別以點R，S為圓心，大于12RS的長為半徑畫弧，兩弧交于點T；連接AT并延長，交BC邊于點D；分別以點A，D為圓心，大于12AD的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點W，V；連接WV，分別交AB，AD，AC于點E，任務：(1)填出證明過程中的依據(jù)．依據(jù)1：____________；依據(jù)2：____________．(2)請根據(jù)善思小組的作法，求證：四邊形AEDF是菱形．(3)如圖3，請你在銳角三角形紙片ABC上用尺規(guī)再設計一種不同的方法作菱形AEDF．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）1．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形OAB的邊OB在x軸上，點A在第一象限，OA的長度是一元二次方程x2?5x?6=0的根，動點P從點O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿折線OA?AB運動，動點Q從點O出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線OB?BA運動，P、Q兩點同時出發(fā)，相遇時停止運動．設運動時間為t秒（0<t<3.6），△OPQ的面積為(1)求點A的坐標；(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，當S=63時，點M在y軸上，坐標平面內(nèi)是否存在點N，使得以點O、P、M、N為頂點的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點N2．（2024·吉林長春·中考真題）在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，拋物線y=x2+2x+c（c是常數(shù)）經(jīng)過點?2,?2．點A、B是該拋物線上不重合的兩點，橫坐標分別為m、?m，點C的橫坐標為?5m，點C的縱坐標與點A的縱坐標相同，連結(jié)AB(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)求證：當m取不為零的任意實數(shù)時，tan∠CAB(3)作AC的垂直平分線交直線AB于點D，以AD為邊、AC為對角線作菱形ADCE，連結(jié)DE．①當DE與此拋物線的對稱軸重合時，求菱形ADCE的面積；②當此拋物線在菱形ADCE內(nèi)部的點的縱坐標y隨x的增大而增大時，直接寫出m的取值范圍．3．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠C=120°．點E在射線BC上運動（不與點B，點C重合），△AEB關(guān)于AE的軸對稱圖形為△AEF．(1)當∠BAF=30°時，試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AB=6+63，⊙O為△AEF的外接圓，設⊙O的半徑為r①求r的取值范圍；②連接FD，直線FD能否與⊙O相切？如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由．4．（2023·海南·中考真題）如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=6，∠ABC=60°，點P為線段BO上的動點（不與點B，O重合），連接CP并延長交邊AB于點G，交DA的延長線于點H．

(1)當點G恰好為AB的中點時，求證：△AGH≌△BGC；(2)求線段BD的長；(3)當△APH為直角三角形時，求HPPC(4)如圖2，作線段CG的垂直平分線，交BD于點N，交CG于點M，連接NG，在點P的運動過程中，∠CGN的度數(shù)是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由．5．（2023·江蘇·中考真題）對于平面內(nèi)的一個四邊形，若存在點O，使得該四邊形的一條對角線繞點O旋轉(zhuǎn)一定角度后能與另一條對角線重合，則稱該四邊形為“可旋四邊形”，點O是該四邊形的一個“旋點”．例如，在矩形MNPQ中，對角線MP、NQ相交于點T，則點T是矩形MNPQ的一個“旋點”．

(1)若菱形ABCD為“可旋四邊形”，其面積是4，則菱形ABCD的邊長是_______；(2)如圖1，四邊形ABCD為“可旋四邊形”，邊AB的中點O是四邊形ABCD的一個“旋點”．求∠ACB的度數(shù)；(3)如圖2，在四邊形ABCD中，AC=BD，AD與BC不平行．四邊形ABCD是否為“可旋四邊形”？請說明理由．6．（2023·寧夏·中考真題）綜合與實踐問題背景數(shù)學小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為36°的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究．

探究發(fā)現(xiàn)如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點C的對應點是點E，折痕交AC于點D，連接DE，DB，則∠BDE=_______°，設AC=1，BC=x，那么AE=______（用含x的式子表示）；（2）進一步探究發(fā)現(xiàn)：底BC腰AC拓展應用：當?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD=72°，AB=1．求這個菱形較長對角線的長．

1．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AO∥BC，連接CO并延長交⊙O于點D．分別以點A,C為圓心，以大于12AC的長為半徑作弧，并使兩弧交于圓外一點M．直線OM交BC于點E，連接A．AB=AD C．∠AOD=∠BAC D．四邊形AOCE為菱形2．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E在BC上，點F在CD上，連接AE，AF，EF，EF交AC于點G．下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若CECF=B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE=AF，則EFC．若EF∥BD，CE=CFD．若AB=AD，AE=AF，則EF3．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）四邊形ABCD為矩形，過A、C作對角線BD的垂線，過B、D作對角線A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形4．（2024·湖北武漢·中考真題）小美同學按如下步驟作四邊形ABCD：①畫∠MAN；②以點A為圓心，1個單位長為半徑畫弧，分別交AM，AN于點B，D；③分別以點B，D為圓心，1個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點C；④連接BC，CD，BD．若∠A=44°，則∠CBD的大小是（

）

A．64° B．66° C．68° D．70°5．（2024·山東德州·中考真題）已知∠AOB，點P為OA上一點，用尺規(guī)作圖，過點P作OB的平行線．下列作圖痕跡不正確的是（

）A． B．C． D．6．（2024·山西·中考真題）在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，EG，F(xiàn)H交于點O．若四邊形ABCD的對角線相等，則線段EG與FH一定滿足的關(guān)系為()A．互相垂直平分 B．互相平分且相等C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等7．（2024·海南·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=120°，邊AB在數(shù)軸上，將AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點C落在數(shù)軸上的點E處，若點E表示的數(shù)是3，則點A表示的數(shù)是（

）A．1 B．1?3 C．0 D．8．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中點，則sin∠EBC的值為（

A．35 B．75 C．21149．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，點E是AB邊上的點，AE=4，BE=8，點F是BC上的一點，△EGF是以點G為直角頂點，∠EFG為30°角的直角三角形，連結(jié)AG．當點F在直線BC上運動時，線段AG的最小值是（A．2 B．43?2 C．210．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，連接BD，點M從B出發(fā)沿BD方向以3cm/s的速度運動至D，同時點N從B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運動至C，設運動時間為xs，△BMN的面積為ycm2，y

A．22cm B．42cm C．11．（2024·西藏·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AC與BD相交于點O，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形ABCD是菱形．12．（2024·廣西·中考真題）如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長為cm13．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線AC，BD相交與點O，點E在BC延長線上，OE與CD相交與點F．若∠ACD=2∠OEC，OFFE=56，則菱形14．（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長為20cm，且有一個內(nèi)角為45°，則該菱形的高為cm15．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=120°，過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，連結(jié)AE分別交BD，CD于點F，G，則FG的長為．16．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點F在邊AD上，AB=AF，連接BF，點O為BF的中點，AO的延長線交邊BC于點E，連接EF(1)求證：四邊形ABEF是菱形：(2)若平行四邊形ABCD的周長為22,CE=1,∠BAD=120°，求AE的長．17．（2024·河南·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，BE∥DC交AC

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射線CM交BE于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)證明（1）中得到的四邊形CDBF是菱形18．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12，AC=8，以BC為邊向△ACB外作有一個內(nèi)角為60°的菱形BCDE，對角線BD，CE交于點O，連接OA19．（2024·山東德州·中考真題）如圖，?ABCD中，對角線AC平分∠BAD．

(1)求證：?ABCD是菱形；(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的邊長．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，

第五章四邊形第25講菱形的性質(zhì)與判定TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01利用菱形的性質(zhì)求角度??題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長??題型03利用菱形的性質(zhì)求周長??題型04利用菱形的性質(zhì)求面積??題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)求點的坐標??題型06利用菱形的性質(zhì)證明??題型07菱形的折疊問題??題型08添加一個條件使四邊形是菱形??題型09證明四邊形是菱形??題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度??題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長??題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求周長??題型13根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積??題型14根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題??題型15與菱形有關(guān)的新定義問題??題型16與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問題??題型17與菱形有關(guān)的動點問題??題型18與菱形有關(guān)的最值問題??題型19含60°角的菱形??題型20菱形與函數(shù)綜合??題型21與菱形有關(guān)的存在性問題??題型22與菱形有關(guān)的材料閱讀類問題??題型01利用菱形的性質(zhì)求角度1．（2024·廣東·模擬預測）如圖所示，在菱形ABCD中，以點B為圓心，一定長為半徑畫弧分別交BC，BD于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接BP并延長交CD于點Q．若∠C=40°，則【答案】75【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，作角平分線，由作圖步驟可得BP平分∠DBC，由菱形的性質(zhì)求出∠DBC的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的外角求∠DQB即可．【詳解】∵菱形ABCD，∴∠C+∠ABC=180°，∠DBC=1∵∠C=40°，∴∠ABC=140°，∴∠DBC=1由作圖步驟可得BP平分∠DBC，∴∠QBC=1∴∠DQB=∠QBC+∠C=35°+40°=75°，故答案為：75．2．（2024·重慶·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，點E為垂足，連接DF．若∠BAD=α，則∠CDF為（

）A．α B．32α C．180°?3【答案】C【分析】本題考查全等三角形的判定條件，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)．熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用SAS判定△BCF≌△DCF，從而得到∠CBF=∠CDF，根據(jù)已知可求得∠CBF的度數(shù)，即可求出∠CDF．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DCF=∠BCF，CD=CB，∠BAF=12∠BAD=在△BCF和△DCF中，CB=CD∠BCF=∠DCF∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵FE垂直平分AB，∠BAF=1∴∠ABF=∠BAF=1∵∠ABC=180°?∠BAD=180°?α，∴∠CBF=∠ABC?∠ABE=180°?α?1∴∠CDF=180°?3故選：C．3．（2024·浙江·模擬預測）如圖，點E為菱形ABCD中AB邊上一點，連結(jié)DE，DE=DA，將菱形沿DE折疊，點A的對應點F恰好落在BC邊上，則∠A的度數(shù)為．【答案】72°/72度【分析】由將菱形ABCD沿DE折疊，點A的對應點F，DE=DA，得DA=DE=DF，得∠A=∠DEA=∠DEF=∠DFE=x，由DC=DA=DF，得∠DFC=∠C=∠A=x，得∠BEF=∠BFE=180°?2x，∠B=180?∠A=180°?x，得180?2x+180?2x+180?x=180，即可得∠A=x=72°．本題主要考查了圖形的折疊，菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確應用折疊的性質(zhì)．【詳解】解：∵將菱形ABCD沿DE折疊，點A的對應點F，DE=DA，∴DA=DE=DF，∴∠A=∠DEA=∠DEF=∠DFE=x，∵DC=DA=DF，∴∠DFC=∠C=∠A=x，∴∠BEF=∠BFE=180°?2x，∠B=180?∠A=180°?x，∴180?2x+180?2x+180?x=180，∴∠A=x=72°．故答案為：72°．4．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，已知四邊形ABCD為菱形，以AB為直徑作⊙O，過點A作⊙O的切線交CD于點E．若∠ABC=50°，則∠CAE的度數(shù)為．【答案】25°/25度【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、切線以及等腰三角形，由菱形的性質(zhì)得到∠BAC=∠BCA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠BAC=∠BCA=65°，最后利用切線的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】∵AE是⊙O的切線∴∠OAE=90°∵四邊形ABCD為菱形∴AB=BC∴∠BAC=∠BCA∵∠ABC=50°∴∠BAC+∠BCA=180°?∠ABC=180°?50°=130°∴∠BAC=∠BCA=65°∴∠CAE=∠OAE?∠BAC=90°?65°=25°故答案為：25°??題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長5．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點M和N分別是AB和AD上一點，沿MN將△AMN折疊，點A恰好落在邊BC的中點E上．若AB=4，則AM的長為（

）

A．2.4 B．2.8 C．3 D．3.2【答案】B【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、30°角的直角三角形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)等知識．過點M作MF⊥CB于點F．求出∠BMF=30°．則BM=2BF，MF=3BF．設BF=x，則BM=2x，EM=AM=AB?BM=4?2x，F(xiàn)M=3x，EF=BF+BE=x+2．根據(jù)勾股定理，得EM2=F【詳解】如圖，過點M作MF⊥CB于點F．

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=4∵∠ABC=120°，∴∠FBM=60°．∴∠BMF=30°．∴BM=2BF，MF=3設BF=x，則BM=2x，EM=AM=AB?BM=4?2x，F(xiàn)M=3x，根據(jù)勾股定理，得EM2=FM2∴AM=4?2x=4?2×0.6=2.8．故選：B．6．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠AEF=90°，∠AFE=∠D，若CE=6，CF=2【答案】11【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，作FH⊥AD于點H，在AH上取點G，使GH=DH，連接FG．證明△AFG∽△FEC，得出AGFG=CFCE=13．設AG=x，則DF=FG=3x，AD=CD=3x+2，DG=2x+2，DH=x+1，由∠AFE=∠D【詳解】解：如圖，作FH⊥AD于點H，在AH上取點G，使GH=DH，連接FG．∴∠FGD=∠D，DH=GH=12∵菱形ABCD，∴AD∥∴∠C=180°?∠D，∴∠AGF=180∵∠AFE=∠D，∠DAF=180°?∠D?∠DFA，∠CFE=180?∠AFE?∠DFA，∴∠FAG=∠EFC，∴△AFG∽△FEC，∴AG設AG=x，則DF=FG=3x，AD=CD=3x+2，DG=2x+2，DH=x+1，∵∠AFE=∠D，∴cos∴EF∵△FEC∽△AFG，∴EF∴CF∴2解得x=5，∴BC=CD=3x+2=17，∴BE=11．故答案為：11．7．（2024·山東臨沂·模擬預測）菱形是日常生活中常見的圖形，如伸縮衣架（如圖1）等，為兼顧美觀性和實用性，活動角α的取值范圍宜為60°≤α≤120°（如圖2），亮亮選購了折疊后如圖3所示的伸縮衣架，則其拉伸長度AB的適宜范圍最接近（）A．30≤AB≤45 B．45≤AB≤45C．45≤AB≤303 D．【答案】B【分析】本題主要考查了菱形及其計算，解直角三角形的相關(guān)計算，解題關(guān)鍵是找準直角三角形進行計算．由菱形CDEF中，CE⊥DF，DE+EF=30，得DE=15，當∠CDE=α=120°時，得∠ODE=60°，得OE=1523，得CE=153，此時拉伸長度AB=453【詳解】解：由菱形CDEF中，∵CE⊥DF，DE+EF=30，得DE=15，當∠CDE=α=120°時，得∠ODE=60°，得OE=DE?sin得CE=2OE=153，此時拉伸長度AB=3CE=45同理當∠CDE=α=60°時，拉伸長度AB=45．總之，45≤AB≤453故選：B．8．（2024·山西·模擬預測）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC=60°，，對角線AC,BD交于點O，點E是OB的中點，點F是CD的中點，連接EF交AC于點G，則線段GF的長為【答案】132/【分析】過點F作FH⊥BD于點H，可證明△ABC為等邊三角形，則BA=BC=AC=4，則OA=OC=2，由勾股定理得OB=OD=23，可得△DHF∽△DOC，求得FH=1，DH=OH=3，而OE=3，則EH=23，在Rt△EHF中，由勾股定理得，EF=13，由【詳解】解：過點F作FH⊥BD于點H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=12AC，OB=OD=∵∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴BA=BC=AC=4，∴OA=OC=2，∴OB=OD=4∵FH⊥BD，AC⊥BD，∴FH∥AC，∴△DHF∽△DOC，∴FHOC∴FH=1，DH=OH=3∵點E為OB中點，∴OE=3∴EH=23∴在Rt△EHF中，由勾股定理得，EF=∵OG∥FH，∴EOOH∴FG=1故答案為：132【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．??題型03利用菱形的性質(zhì)求周長9．（2024·云南曲靖·一模）菱形ABCD的一條對角線長為8，邊AB的長是方程x2?7x+10=0的一個根，則菱形ABCD的周長為（A．16 B．20 C．16或20 D．32【答案】B【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解一元二次方程等知識，先解方程得x1=2，x2【詳解】解：由題意可知，邊AB的長是方程x2解方程：x2∴x?2解得：x1=2，∵菱形ABCD的一條對角線長為8，∴當x1=2時，當x2=5時，∴AB=5，∴菱形ABCD的周長=5×4=20，故選：B．10．（2024·貴州黔東南·一模）如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，連接AE，EF，AF，△AEF的周長為33cm，則菱形

A．5cm B．6cm C．43【答案】D【分析】連接AC，證明△ABC、△ACD是等邊三角形，再證明△AEF是等邊三角形，求出AE=AF=EF=3cm，在Rt△ABE【詳解】連接AC，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA．∵∠B=60°，∴∠B=∠D=60°，∠BAD=120°．∴△ABC、△ACD是等邊三角形，∴∠BAC=∠CAD=60°．∵E、F分別是BC、CD的中點，∴∠BAE=∠DAF=30°，AE⊥BC，∠EAF=120°?30°?30°=60°，BE=DF，∴△ABE≌△ADFSAS∴AE=AF，∴△AEF是等邊三角形．∵△AEF的周長為33∴AE=AF=EF=3在Rt△ABE中，sin∴AB=2cm∴菱形ABCD的周長為AB+BC+CD+DA=4AB=8cm故選D．【點睛】此題重點考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2024·江蘇南京·三模）如圖，菱形ABCD的頂點B，C，D在⊙O上，且AB與⊙O相切，若⊙O的半徑為1，則菱形ABCD的周長為．

【答案】4【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握知識點、作輔助線推理是解題的關(guān)鍵．連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠ABO=90°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BA=BC，再根據(jù)外角的性質(zhì)，求出∠BAO=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得出OA=2OB=2，根據(jù)勾股定理計算AB=OA2【詳解】解：如圖，連接OB，

∵AB與⊙O相切，∴AB⊥OB，∴∠ABO=90°，∴∠BAO+∠AOB=90°，∵四邊形ABCD為菱形，∴BA=BC，∴∠BAO=∠BCA，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB=2∠BAO，∴∠BAO+∠AOB=∠BAO+2∠BAO=3∠BAO=90°，∴∠BAO=30°，∵⊙O的半徑為1，∴OA=2OB=2，∴AB=O∴菱形ABCD的周長=4×3故答案為：4312．（2024·四川樂山·二模）如圖，菱形的周長為24cm，相鄰兩個的內(nèi)角度數(shù)之比為1:2A．6cm B．63cm C．12【答案】B【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=DA=6cm，AC⊥BD，∠ABO=∠CBD，AB∥CD，BO=DO，AO=CO【詳解】解：如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，其中∠ABC:∠BCD=1:2．∵四邊形ABCD是菱形，菱形ABCD的周長24cm，∴AB=BC=CD=DA=6cm，AC⊥BD，∠ABO=∠CBD，AB∥CD，BO=DO∵AB∥∴∠ABC+∠BCD=180°．∵菱形兩相鄰角∠ABC:∠BCD=1:2，∴∠ABC=60°∠BCD=120°，∴∠ABO=30°，∵Rt△ABO中∠ABO=30°，AB=6AO=3cm∴BO=62∴AC=2AO=6cm，BD=2BO=6∴其較長對角線長為63故選：B．??題型04利用菱形的性質(zhì)求面積13．（2024·江西吉安·模擬預測）已知菱形ABCD的邊長是5，兩條對角線AC、BD交于點O，且AO、BO的長分別是關(guān)于(1)求m的值；(2)求菱形ABCD的面積．【答案】(1)m=?3(2)24【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的判別式及解一元二次方程．（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AO（2）由（1）知m的值，代入方程，解一元二次方程，求出AO、【詳解】（1）解：∵菱形ABCD中，AC⊥BD，由直角三角形的三邊關(guān)系可得：AO∵AO、BO的長分別是關(guān)于x的方程∴AO+BO=?2m+1，AO?BO=m∴AO整理得：m2解得：m=?3或5．又∵Δ≥0∴2m?12解得m≤?11∴m=?3；（2）解：將m的值代入方程得：x2解得x1=3，∴菱形ABCD的面積=4×114．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，已知菱形ABCD的周長為40，對角線AC、BD交于點O，且AO+BO=14，則該菱形的面積等于（

）A．24 B．56 C．96 D．48【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理，先根據(jù)菱形的周長求出邊長AB，再根據(jù)AO+BO=14得出AO+BO2=AO2+BO2+2AO?BO=196，根據(jù)勾股定理得出AO【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，周長為40，對角線AC、BD交于點O，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，AB=BC=CD=AD=10，∵AO+BO=14，∴AO+BO2∵AO∴100+2AO?BO=196，∴2AO?BO=96，∵菱形ABCD的面積=4×1故選：C．15．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知：菱形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AC=8，BD=6，將線段AO繞點A旋轉(zhuǎn)，使點O落在菱形ABCD的邊上，點O的對應點為點P，連接BP，CP，則△BCP的面積為．【答案】12或12【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．由菱形的性質(zhì)可得AO=CO=4，BO=DO=3，AC⊥BD，可求AB的長，菱形ABCD的面積，分兩種情況討論由面積關(guān)系可求解．【詳解】解：∵菱形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AC=8，BD=6，∴AO=CO=4，BO=DO=3，AC⊥BD，∴AB=S菱形當點P在AD上時，S△BCP當點P在AB上時，BP=4，∴BP=1，∴S故答案為：12或12516．（2024·河北滄州·模擬預測）將矩形ABCD和菱形AFDE按如圖放置，若圖中矩形面積是菱形面積的2倍，則下列結(jié)論正確的是（

）A．∠EAF=60° B．AB=AF C．AD=2AB D．AB=EF【答案】D【分析】此題考查了矩形和菱形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的面積公式以及菱形的面積公式解答即可，解題的關(guān)鍵是掌握知識點的應用．【詳解】解：∵矩形ABCD的面積=AD·AB，菱形AEDF的面積=1∴AD·AB=2×1∴AB=EF，故選：D．??題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)求點的坐標17．（2024·山西·模擬預測）如圖，O是菱形ABCD的對角線BD的中點，以O為原點，建立如圖平面直角坐標系，若AD∥x軸，AD=8，∠A=60°，點C的坐標是（

）A．53,5 B．53,?5 C．【答案】D【分析】令AD與y軸的交點為字母E，根據(jù)菱形的性質(zhì)和∠A=60°說明△ABD是等邊三角形，再求出OD，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得DE，結(jié)合勾股定理求出OE，可知點A的坐標，最后根據(jù)點A和點C關(guān)于原點對稱得出答案．【詳解】如圖所示，令AD與y軸的交點為字母E，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD．∵∠A=60°，AD=8，∴△ABD是等邊三角形，則BD=AD=8，∵點O是菱形ABCD的對角線的BD中點，∴OD=1∵AD∥x軸，則∠DEO=90°，∴∠EOD=30°，∴DE=根據(jù)勾股定理，得OE=O∴A(?6，∵點A和點C關(guān)于原點對稱，∴C(6，故選：D．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，理解菱形的對稱性是解題的關(guān)鍵．18．（2024·山東臨沂·三模）如圖，在直角坐標系中，菱形OABC的頂點A的坐標為?23,0，∠AOC=60°．將菱形OABC沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形O'A'A．1?33,2 B．?23,3 【答案】A【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、直角坐標系中點的平移規(guī)律，作BE⊥x軸于E，先求出點B的坐標，再由平移規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：如圖，作BE⊥x軸于E，∴∠BEA=90°，∵點A的坐標為?23∴OA=23∵四邊形OABC是菱形，∴AB=OA=23，AB∥OC∴∠EAB=∠AOC=60°，∴∠ABE=30°，∴AE=1∴由勾股定理得BE=A∴OE=AE+OA=3∴點B的坐標為33∵將菱形OABC沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形O'∴點B'的坐標為?33+1,3?1故選：A．19．（23-24八年級下·山西臨汾·階段練習）如圖，反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象與正比例函數(shù)y=43(1)a=______，k=______，點D坐標為______．(2)不等式kx(3)已知AB∥x軸，以AB，AD為邊作菱形ABCD，求菱形【答案】(1)32；3；(2)x<?32(3)20【分析】（1）將點A的坐標分別代入正比例函數(shù)與反比例函數(shù)中，即可得出a、k的值，再根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可得點D的坐標；（2）利用圖象可得反比例函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象下方時，自變量的取值范圍；（3）作AH⊥BC于H，由勾股定理求出AB的長，利用菱形的面積公式可得答案．【詳解】（1）解：將A(a,2)代入y=43x得4∴A3將A32,2代入y=∵點A與D關(guān)于原點對稱，∴D?故答案為：32；3；?（2）解：不等式kx>4由圖象知，當x<?32或0<x<3故答案為：x<?32或（3）解：作AH⊥BC于H，如圖所示：∵A32,2，∴AH=4，DH=3，在Rt△AHD中，由勾股定理得AD=∵四邊形ABCD是菱形，∴DC=AD=5，∴菱形ABCD的面積為5×4=20．【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點問題，函數(shù)與不等式的關(guān)系，菱形的性質(zhì)等知識，運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．20．（2024·山東濟寧·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B在第一象限，點C在x軸正半軸上，且AC與OB互相垂直平分，D為垂足，連接OA，AB，BC．反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過點D，與OA相交于E．若點B的坐標為(8,4)A．2,43C．145,【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解一元二次方程；根據(jù)題意得出四邊形ABCO是菱形，求得D4,2，則反比例函數(shù)y=8x，進而根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C5,0，A3【詳解】解：∵AC與OB互相垂直平分∴四邊形ABCO是菱形，∴OC=OB，AB∵點B的坐標為(8,4)，∴D∵反比例函數(shù)y=kxx>0∴k=4×2=8，則y=設Cc,0∴c解得：c=5∴C5,0，即∴AB=OC=5，∵點B的坐標為(8,4)，AB∴A設直線OA的解析式為y=k1解得：k∴y=聯(lián)立y=解得：x=6∴E故選：D．??題型06利用菱形的性質(zhì)證明21．（2024·貴州·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥CD交CD于點E，延長AE交BC的延長線于點F，且E為AF的中點，連接AC，(1)求證：AC=CD；(2)求AEBE【答案】(1)見解析；(2)217【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD∥BC，則∠DAE=∠F，進而證明△ADE≌△FCE，得出DE=CE（2）由（1）可得△ADC是等邊三角形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，設CE=x，則AB=CD=2x，AE=EF=3x，在Rt△ABE【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥∴∠∵E是AF的中點，∴AE=FE．在△ADE和△FCE中，∠DAE=∠FAE=FE∴△ADE≌△FCE(ASA∴DE=CE．又∵AE⊥DC，∴AD=AC．∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=CD，∴AC=CD．（2）解：由（1）可得AD=AC=CD，∴△ADC是等邊三角形，∴∠∵AE⊥DC，∴∠AED=∠∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD∴∠設CE=x，則AB=CD=2x，AE=EF=3在Rt△ABE中，BE=∴AE【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．22．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖所示，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點O，分別過點C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和(1)求證：四邊形ODEC是矩形；(2)當∠ADB=60°，AD=22時，求CE【答案】(1)證明見解析(2)CE【分析】本題考查了勾股定理，菱形是性質(zhì)以及矩