浙江省之江教育評價聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期8月返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

浙江省之江教育評價聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期8月返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．集合，集合，則（）A． B． C． D．2．雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．3．若實數(shù)、滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．4．函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象可能是（）A． B．C． D．5．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的表面積（單位：）是（）A． B． C． D．6．設(shè)、是實數(shù)，則“，”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件7．有9本不同的書，其中語文書2本，英語書3本，數(shù)學(xué)書4本.現(xiàn)從中隨機拿出2本，記拿出數(shù)學(xué)書的本數(shù)為，則（）A．， B．，C．， D．，8．為了得到的圖象，只需將的圖象（）A．向右平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向左平移個單位9．已知，若函數(shù)有個零點，則方程的實數(shù)根個數(shù)為（）A． B． C． D．與的取值有關(guān)10．設(shè)，若數(shù)列是無窮數(shù)列，且滿足對任意實數(shù)不等式恒成立，則下列選項正確的是（）A．存在數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列 B．存在數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列C．恒成立 D．恒成立二、雙空題11．已知，（是虛數(shù)單位），則______，______.12．二項展開式，則______，______.13．已知為第二象限角，，則______，______.14．已知圓：和圓：相交于，兩點，則直線的方程是______，線段的長度是______.三、填空題15．已知單位向量，若向量滿足，則______.16．已知橢圓的左右焦點分別為、.直線過橢圓的左頂點且與橢圓相切，為直線上任意一點，若的最大值為，則橢圓的離心率是______.17．若函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間上存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是______.四、解答題18．已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，求面積的最大值.19．如圖，在三棱臺中，平面平面，，，，，點是的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.20．等差數(shù)列滿足，，，成等比數(shù)列，數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式；（Ⅱ）數(shù)列的前項和為，證明.21．如圖，已知拋物線：與圓：有四個不同的公共點，，，.（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.22．已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)存在極大值點與極小值點，當(dāng)時，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案1．C【分析】解不等式確定集合，再由交集的定義求解．【詳解】由題意，∴．故選：C．【點睛】本題考查求集合的交集運算，屬于簡單題．2．D【分析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的漸近線方程即可知的漸近線方程【詳解】根據(jù)雙曲線的漸近線方程：，知：的漸近線方程為故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線，根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)漸近線方程求題設(shè)給定雙曲線的漸近線方程3．A【分析】令，作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出使得在軸上的截距最大時對應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)計算即可.【詳解】令，作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，即點，平移直線，當(dāng)該直線經(jīng)過可行域的頂點時，該直線在軸上的截距最小，此時取最小值，即.故選：A.【點睛】本題考查線性目標(biāo)函數(shù)最值的求解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4．A【詳解】試題解析：函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，排除B、D，時，舍去C，選A.考點：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，函數(shù)的圖象.5．B【分析】由三視圖，還原出原幾何體，然后根據(jù)組合體的性質(zhì)求得表面積．【詳解】由三視圖知原幾何體是下方一個長方體，上面兩個半圓柱組合而成，圖，尺寸見三視圖，其表面積為．故選：B．

【點睛】本題考查三視圖，考查由三視圖求組合體的表面積，解題關(guān)鍵是由三視圖還原出原幾何體．6．A【分析】由可推導(dǎo)出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】由可得，，則，則“，”“”，但“”“，”.所以，“，”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，考查推理能力，屬于中等題.7．C【分析】由題意知的取值有，根據(jù)古典概率可求各X取值的概率，再根據(jù)期望即可求【詳解】由題意知：拿出數(shù)學(xué)書的本數(shù)的取值有∴，，即故選：C【點睛】本題考查了應(yīng)用古典概率求離散型隨機事件的發(fā)生概率，并根據(jù)所得概率求期望值，注意離散型隨機事件概率的求法及數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用8．B【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，再將圖像向左平移個單位，即可得到答案；【詳解】，圖象向左平移個單位，可得的圖象.故選：B.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、平移變換，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.9．C【分析】由可得出，將問題轉(zhuǎn)化為曲線與曲線有個交點，數(shù)形結(jié)合可求得實數(shù)的取值范圍，進而結(jié)合判別式可判斷出方程的實數(shù)根個數(shù).【詳解】由可得出，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：，若使得函數(shù)有個零點，則直線與均與函數(shù)的圖象有兩個交點，聯(lián)立可得，，解得，聯(lián)立可得，，解得，當(dāng)時，則，令，可得或，此時，函數(shù)只有個零點，不合乎題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.對于二次方程，，因此，關(guān)于的二次方程有兩個實根.故選：C.【點睛】本題考查二次方程根的個數(shù)的判斷，同時也考查了利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.10．D【分析】求出，根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)可判斷A、B；舉例可判斷C；利用數(shù)學(xué)歸納法判斷D.【詳解】由當(dāng)時，，當(dāng)時，則，由，無窮數(shù)列，對任意實數(shù)不等式恒成立，可得，對于A，若為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，設(shè)，遞增，則，故A不正確；對于B，若為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，設(shè)，遞增，則，故B不正確；對于C，由，不妨設(shè)，取，則，，顯然不成立，對于D，當(dāng)時，由，顯然恒成立，假設(shè)當(dāng)時，成立，則當(dāng)時，則，故恒成立.故選：D【點睛】本題考查了數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題，考查了考生的分析能力、計算能力，此題綜合性比較強，屬于難題.11．【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算即可求解.【詳解】，所以，.故答案為：；【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算，考查了基本運算能力，屬于基礎(chǔ)題.12．80243【分析】根據(jù)二項式通項知第三項為，即可求；由于，結(jié)合二項式即可求【詳解】由二項式通項，知：，故∵∴故答案為：80；243.【點睛】本題考查了二項式定理，根據(jù)二項式通項求某一項的系數(shù)，并結(jié)合二項式求展開式系數(shù)的和.13．【分析】由平方關(guān)系求得，然后由余弦的二倍角公式和兩角差的正弦公式求值．【詳解】∵為第二象限角，，∴，∴，．故答案為：；．【點睛】本題考查二倍角公式和兩角差的正弦公式，考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】兩個方程相減即可得直線的方程，求出圓心到直線的距離，利用即可.【詳解】①，②，兩式相減得：，即，由：得：則圓心，，圓心到直線的距離所以故答案為：，【點睛】本題主要考查了求兩圓公共弦所在的直線的方程，以及弦長，屬于中檔題.15．【分析】利用，結(jié)合求得，進而求的值即可【詳解】由題意知：，又由，有，可得∴，即故答案為：【點睛】本題考查了已知線性組合向量的模求向量的模，利用求出中間量，應(yīng)用待定系數(shù)法求目標(biāo)向量的模16．【分析】作出圖形，設(shè)點為第二象限的點，可設(shè)點，則，設(shè)直線、的傾斜角分別為、，利用兩角差的正切公式可得出關(guān)于的表達式，利用基本不等式結(jié)合已知條件可得出關(guān)于、的關(guān)系式，進而可求得該橢圓離心率的值.【詳解】易知點、，如下圖所示：由題意可知，直線的方程為，設(shè)直線、的傾斜角分別為、，設(shè)點為第二象限的點，可設(shè)點，則，則，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，即的最大值為，，即，整理得.因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，考查了斜率公式以及基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.17．【分析】分別討論、、，三種情況的單調(diào)區(qū)間，由題意知在區(qū)間內(nèi)必存在的極小值點，即可得出不等式，解不等式即可求解.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間上存在最小值，則，即，解得：當(dāng)時，對于區(qū)間恒成立，則，令，得，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；若區(qū)間上存在最小值，則，解得:，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值，不符合題意.故答案為：【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，屬于中檔題.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用降冪公式及輔助角公式將解析式化簡，然后利用整體法求解單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）先利用解出角，再結(jié)合余弦定理及基本不等式求解的最值，從而得到的面積最值.【詳解】解：（Ⅰ）.令，則，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（Ⅱ）或或（不符），則得，則當(dāng)且僅當(dāng)“”時取等號，所以.【點睛】本題考查降冪公式、輔助角公式等在分析三角函數(shù)性質(zhì)問題中的運用，考查三角形的面積公式及面積最值的求解，難度一般.19．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理可證得平面；（Ⅱ）以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，平面內(nèi)垂直于的直線為軸，平面內(nèi)垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（Ⅰ）在三棱臺中，，又，，，為的中點，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；（Ⅱ）以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，平面內(nèi)垂直于的直線為軸，平面內(nèi)垂直于的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，在梯形中，，，則，所以，四邊形為菱形，且，為等邊三角形，所以，，則，，，，設(shè)是平面的一個法向量，則，取，則，，設(shè)與平面所成角為，則.因此，與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，同時也考查了利用空間向量法求解直線與平面所成角的正弦值，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20．（Ⅰ）；；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）由等比數(shù)列的性質(zhì)求得公差可得通項公式，利用累加法可求得通項公式；（Ⅱ）用裂項相消法求得和后可證得不等式成立．【詳解】（Ⅰ）由題意得（不符）或，所以.則當(dāng)時.當(dāng)時符合，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.【點睛】本題考查求等差數(shù)列的通項公式，考查累加法求通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，裂項相消法求和．本題屬于中檔題．21．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）聯(lián)立拋物線與圓的方程，由題意可得在上有兩個不同的解，即，解不等式組可得答案.（Ⅱ）用半徑表示出四邊形的面積為，令，此時，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判單調(diào)性，由單調(diào)性即可得到最值.【詳解】（Ⅰ）聯(lián)立得.由題可知，在上有兩個不同的解，所以，得，所以.（Ⅱ）設(shè)，，，，由韋達定理可知，，.又.，所以.令，則，此時.記，..當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以，得四邊形的最大值為.【點睛】本題考查圓與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，屬于中檔題.22．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定減區(qū)間；（Ⅱ）求出，由確定與的關(guān)系（用韋達定理確定），同時判別式，同時利用已知條件可得的取值范圍，計算并變形后化為的函數(shù)，求出此關(guān)于的函數(shù)的最大值