分類變量與列聯(lián)表高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修三

8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實(shí)例，理解2×2的統(tǒng)計(jì)意義。2.通過實(shí)例，了解2×2列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用。重點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本方法；難點(diǎn)：χ2的含義、獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或互相影響的問題。例如：就讀不同學(xué)校是否對(duì)學(xué)生的成績(jī)有影響，不同班級(jí)學(xué)生用于體育鍛煉的時(shí)間是否存在區(qū)別，吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)等。為了方便表述eg：班級(jí)：1、2、3，男生、女生：0、1本節(jié)主要討論取值于{0，1}的分類變量的關(guān)聯(lián)性。在討論上述問題時(shí),為了表述方便,我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這類隨機(jī)變量稱為分類變量比較經(jīng)常鍛煉的學(xué)生在女生和男中的比率.男生經(jīng)常鍛煉的比率比女生高出15.4個(gè)百分點(diǎn)，所以該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異，而且男生更經(jīng)常鍛煉。解法一：?jiǎn)栴}1：為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對(duì)學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了普查.全校學(xué)生的普查數(shù)據(jù)如下：523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉。你能利用這些數(shù)據(jù)，說明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎?解法二：對(duì)于Ω中的每一名學(xué)生，分別令性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響：性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響：?jiǎn)栴}1：為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對(duì)學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了普查.全校學(xué)生的普查數(shù)據(jù)如下：523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉。你能利用這些數(shù)據(jù)，說明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎?性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常（Y=0）經(jīng)常（Y=1）女生（X=0）男生（X=1）合計(jì)問題1：為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對(duì)學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了普查.全校學(xué)生的普查數(shù)據(jù)如下：523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉。你能利用這些數(shù)據(jù)，說明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎?19233112847352360132080411242?2列聯(lián)表的概念XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2?2列聯(lián)表：用途：可以清晰的給出成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)。在上面問題的兩種解答中，使用了學(xué)校全部學(xué)生的調(diào)查數(shù)據(jù)，利用這些數(shù)據(jù)能夠完全確定解答問題所需的比率和條件概率.然而，對(duì)于大多數(shù)實(shí)際問題，我們無法獲得所關(guān)心的全部對(duì)象的數(shù)據(jù)，因此無法準(zhǔn)確計(jì)算出有關(guān)的比率或條件概率.在這種情況下，上述古典概型和條件概率的觀點(diǎn)為我們提供了一個(gè)解決問題的思路.比較簡(jiǎn)單的做法是利用隨機(jī)抽樣獲得一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)，再利用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于概率的原理對(duì)問題答案作出推斷。例1:為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異.例1:為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異.解：用Ω表示兩所學(xué)校的全體學(xué)生構(gòu)成的集合.考慮以Ω為樣本空間的古典概型.對(duì)于Ω中每一名學(xué)生，定義分類變量X和Y如下：

學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀（Y=0）優(yōu)秀（Y=1）甲校（X=0）331043乙校（X=1）38745合計(jì)711788所以

例1:為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異.解：我們可以用等高堆積條形圖直觀地展示上述計(jì)算結(jié)果：

通過比較發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)學(xué)校學(xué)生抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率存在差異，甲校的頻率明顯高于乙校的頻率.依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷那么甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率大于乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率.因此，可以認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高.方法總結(jié)判斷兩個(gè)分類變量之間相關(guān)性的方法：1.頻率分析法：通過列聯(lián)表中與的差可粗略地判斷,相差越大,分類變量的相關(guān)性越強(qiáng),獨(dú)立性越弱2.圖形分析法：通過等高堆積條形圖的高度差可粗略地判斷,相差越大,分類變量的相關(guān)性越強(qiáng),獨(dú)立性越弱跟蹤訓(xùn)練1.1為了解對(duì)某班學(xué)生經(jīng)常打籃球和性別是否有關(guān)，對(duì)該班40名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下的2×2列聯(lián)表.性別打籃球合計(jì)經(jīng)常不經(jīng)常男生m420女生8

20合計(jì)

n40則m＝_____，n＝_____.1616題型一列聯(lián)表完善與分析跟蹤訓(xùn)練1.2觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是（）題型一列聯(lián)表完善與分析問題2：你認(rèn)為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能

是錯(cuò)誤的？答：有可能?！皟尚W(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這個(gè)結(jié)論是根據(jù)兩個(gè)頻率間存在差異推斷出來的.有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機(jī)抽取的這個(gè)樣本中，兩個(gè)頻率間確實(shí)存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率實(shí)際上是沒有差別的.對(duì)于隨機(jī)樣本而言，因?yàn)轭l率具有隨機(jī)性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯(cuò)誤，而且在樣本容量較小時(shí)，犯錯(cuò)誤的可能性會(huì)較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時(shí)也希望能對(duì)出現(xiàn)錯(cuò)誤推斷的概率有一定的控制或估算.獨(dú)立性檢驗(yàn)方法1.獨(dú)立性檢驗(yàn)：利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“

”，簡(jiǎn)稱

.2.χ2＝

，其中n＝a＋b＋c＋d.注意點(diǎn)：(1)χ2越大，相關(guān)性越強(qiáng)，獨(dú)立性越弱；χ2越小，相關(guān)性越弱，獨(dú)立性越強(qiáng).(2)當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立

，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.提出零假設(shè)(原假設(shè))H0：分類變量X和Y獨(dú)立.1.獨(dú)立性檢驗(yàn)公式及定義

：卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)2.臨界值的定義：

α0.10.050.010.0050.001Xα2.7063.8416.6357.87910.828

題型二

隨機(jī)變量χ2的意義經(jīng)典例題α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828A.大于10.828B．大于3.841C．小于6.635 D．大于2.706例2依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”，隨機(jī)變量χ2必須滿足(

)經(jīng)典例題【跟蹤訓(xùn)練】2

題型二

隨機(jī)變量χ2的意義

解：零假設(shè)為H0：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒有差異.將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136

不影響療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136療法療效合計(jì)未治愈治愈乙66369甲155267合計(jì)21115136療法療效合計(jì)治愈未治愈甲521567乙63669合計(jì)11521136

解：零假設(shè)為H0：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒有差異.將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136

解：

因此可以推斷乙種療法的效果比甲種療法好。方法總結(jié)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟：①提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋②根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2x2列聯(lián)表③計(jì)算，并與臨界值Xα比較④結(jié)論：基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則:當(dāng)χ2≥Xα?xí)r,我們推斷H0不成立,認(rèn)為X與Y不獨(dú)立,該推斷犯錯(cuò)的概率不超過α當(dāng)χ2<Xα?xí)r,我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.沒關(guān)系，無差異小概率事件，不可能發(fā)生經(jīng)典例題【跟蹤訓(xùn)練】3