2025年中考數(shù)學專項復習：相似三角形（6類重點考向）（解析版）

專題16相似三角形

目錄一覽

知識目標（新課程標準提煉）

中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）

重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一黃金分割

A考向二平行線分線段成比例

A考向三相似三角形的判定與性質

A考向四相似三角形的應用

A考向五位似變換

A考向六相似形綜合題

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）

知識目標

1.了解比例的基本性質、線段的比、成比例線段；通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割；

2.掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；

3.了解相似三角形的判定定理和性質定理；

4.通過具體實例認識圖形的相似；了解相似多邊形和相似比；

5.會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題.

中考解密

該板塊內容主要考查相似的性質和判定，2024年各地中考仍以考查基礎為主，在選擇題中單獨考查，是

廣大考生的得分點，相似應用的考查，主要體現(xiàn)在綜合題中，作為綜合題的一部分，在解決求線段長問題

時和勾股定理、三角函數(shù)一起運用，此時解答題的難度變大，綜合性就較強了，分值在15分左右，為避

免丟分，應扎實掌握，靈活應用。

重點考向

A考向一黃金分割

1.(2023?綿陽)黃金分割由于其美學性質，受到攝影愛好者和藝術家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫

黃金構圖法.其原理是：如圖，將正方形N3CD的底邊8C取中點￡,以E為圓心，線段?！隇榘霃阶?/p>

圓，其與底邊3C的延長線交于點憶這樣就把正方形/BCD延伸為矩形N3/G,稱其為黃金矩形.若

A.(V5-1)aB.(275-2)aC.(VB+1)aD.(275+2)a

AB

【思路點撥】設根據(jù)正方形的性質可得/B=BC=x,然后根據(jù)黃金矩形的定義可得而=

_1xVs-i

2,從而可得不五一2~,最后進行計算即可解答.

【規(guī)范解答】解：設

:四邊形/BCD是正方形，

：.AB=BC=x,

???矩形尸G是黃金矩形，

ABV5-1

.?.麗=2,

x娓-]

x+4a=2,

解得：x=(2+2A^5)a,

經檢驗：x=(2+2遙)。是原方程的根，

：.AB=(2+2遍)a,

故選：D.

【真題點撥】本題考查了黃金分割，正方形的性質，矩形的性質，熟練掌握黃金分割的定義是解題的

關鍵.

2.(2023?泰安)如圖，△48C是等腰三角形，AB=AC,//=36。.以點3為圓心，任意長為半徑作

工

弧，交.AB于點、F,交BC于點G,分別以點產和點G為圓心，大于2bG的長為半徑作弧，兩弧相交

于點

X,作射線交/C于點。；分別以點2和點。為圓心，大于2AD的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N

兩點，作直線交于點￡,連接DB.下列四個結論：①N4ED=/4BC；②BC=AE；③ED=

2BC；④當NC=2時，1.其中正確結論的個數(shù)是()

A

M

N

A.1B.2C.3D.4

【思路點撥】根據(jù)角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質，可得到也是含有36。角的等腰三

角形，進而得出再根據(jù)三角形內角和定理和等腰三角形的判定，進一步得出

=BD=BC,對①作出判斷；在根據(jù)平行線的判定方法可得出。石〃5C,對①作出判斷；由力母BE,

可得QE不是△ZBC的中位線，對③作出判斷，最后再根據(jù)相似三角形的判定和性質，得出

△BCDsAABC,進而求出5C,即4。即可對④作出判斷.

【規(guī)范解答】解：由題意可知，8。是N48C的平分線，是線段的中垂線，

?；AB=AC,N4=36。，

1800-36°

???ZABC=ZACB=2=72°,

,??8。是NZ8C的平分線，

JZABD=ZCBD=2ZABC=36°=ZAf

：?AD=BD,

在△BCD中，NC=72。，NCBD=36。,

：.ZBDC=1800-36°-72°=72°=ZC,

：.BD=BC,

：.AD=BD=BC,

??,MN是AD的中垂線，

:?EB=ED,

：./BDE=ZABD=36°=ZCBDf

:.DE//BC9

：.ZAED=ZABC,

因此①正確，

：.AE=AD=BD=BC,

因此②正確；

由于。E不是△45C的中位線，

因此③不正確；

?：/CBD=/BAC=36。,ZBCD=ZACB=72°,

：.△BCDsAABC,

ACBC

BC=CD,

即B—AOCD,

設5C=x,則CZ)=2-x,

.*.x2=2x(2-x),

解得％=-1-赤(舍去)或％=赤-1,

即叱=泥-\=AD,

因此④正確，

綜上所述，正確的結論有①②④，共有3個，

故選：C.

【真題點撥】本題考查角平分線，等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理以及相似三角形的判

定和性質，掌握角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質，三角形內角和是180。以及相似三角形的

判定和性質是正確解答的前提.

3.(2023?黃石)關于x的一元二次方程N+mx-1=0,當〃?=1時，該方程的正根稱為黃金分割數(shù).寬

與長的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農神廟采用的就是黃金矩形的設計；我國著

名數(shù)學家華羅庚的優(yōu)選法中也應用到了黃金分割數(shù).

(1)求黃金分割數(shù)；

(2)已知實數(shù)0,6滿足：c^+ma—1,b2-2mb=4,且分-2a,求。6的值；

(3)已知兩個不相等的實數(shù)0,g滿足：p2+np-l=q,q2+nq-l=p,求pq-〃的值.

【思路點撥】(1)依據(jù)題意，將〃?=1代入然后解一元二次方程/+x-1=0即可得解；

_bb_b_

(2)依據(jù)題意，將〃-2"仍=4變形為(-萬)2+機?(--2)-1=0,從而可以看作a,-5是一元二

次方程1=0的兩個根，進而可以得解；

(3)依據(jù)題意，將已知兩式相加減后得到，兩個關系式，從而求得pq,進而可以得解.

【規(guī)范解答】解：(1)由題意，將加=1代入N+mx-1=0得，x2+x-1=0,

T±{F-4X(-1)-1土巡

?，?xi,2=2=2

??,黃金分割數(shù)大于0,

???黃金分割數(shù)為-2一.

(2),??抉一2mb=4,

b2-2mb-4=0.

b_b_

(-2)2+m*(-2)-1=0.

又b*~2a,

b_

「?a,-2是一元二次方程/+冽%—i=o的兩個根.

b_

tz*(-2)=-1.

***ab'=2.

(3)由題意，令F+呼-1=夕①，q2+nq-l=p②,

???①+②得，(p2+q2)+n(p+q)-2=/?+g,

(p+q)2-2pq+n(2+q)-2=〃+q.

又①-②得，(加一夕2)+〃Qp一q)=_(p-q),

?:p，夕為兩個不相等的實數(shù)，

??p-q桃,

(p+q)+n=-1.

:,p+q=一i.

又(p+q)2~2pq+n('+夕)-2=p+q.

(-?-1)2—2pq+n(-n-1)-2=-n-1.

.\n2+2n+\-2pq-n2-n-2=-n-1.

?*pq~~n.

pq-〃=0?

【真題點撥】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是掌握根與系數(shù)的關系，靈活

運用所學知識解決問題.

A考向二平行線分線段成比例

「解題接西7易錯易值

11.比例的基本性質：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項.兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做

1比例的內項.

12.對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的比(即它們的長度比)與另兩條線段的比相等，如

[a：b=c：d(即ad=bc),我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.

13.判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之

I比

「亮菩寤率酊可「泵茯段乏正沖「荽憲琥二廢質廟正展革在「霰后謠塞第后面盅戢曲豆在完關系[………一……一

發(fā)一石o55?麗永丁如鼠一元殘譜基由等函函「等聯(lián)度的互余平存橫或函版的「扃二案直及壬的三不反7「一

B,C都在橫線上.若線段/3=3,則線段3。的長是()

2.3_

A.3B.1C.2D.2

【思路點撥】過點N作平行橫線的垂線，交點8所在的平行橫線于D,交點。所在的平行橫線于E,

根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可.

【規(guī)范解答】解：過點/作平行橫線的垂線，交點5所在的平行橫線于。，交點C所在的平行橫線于

E,

ABAD3

則BC=DE,即BC=2,

3_

解得：BC=2,

【真題點撥】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵.

5.（2022?襄陽）如圖，在△NBC中，。是ZC的中點，△/呂。的角平分線NE交AD于點尸，若BF：FD

=3：1,AB+BE=3M,則A/BC的周長為573.

【思路點撥】如圖，過點/作于點FNLAC于氤N,過點。作。T〃/E交于點T.證

明48=340,設ND=CD=a,證明ET=CT,設ET=CT=b,則3E=3b,求出a+6,可得結論.

【規(guī)范解答】解：如圖，過點尸作尸于點M,FN1AC于點、N,過點。作。7〃NE交3c于點

T.

平分NB4C,FMLAB,FNLAC,

:*FM=FN,

y-AB-FM

SAABFBF

y.AD'FN

?.SAADF=DF==3,

：.4B=3AD,

設/O=Z)C=a,則N8=3a,

'：AD=DC,DT//AE,

：.ET=CT,

BEBF

.-.Ef=DF=3,

設ET=CT=b,則8E=36,

:AB+BE=3^,

：.3a+3b=3M,

.,.a+b=^3,

：.AABC的周長=AB+AC+BC=5a+5b=5近,

故答案為：5百.

【真題點撥】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質定理等知識，解題的關鍵是學會利

用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

6.（2023?岳陽）如圖，在。。中，N3為直徑，8。為弦，點C為礪的中點，以點C為切點的切線與

的延長線交于點E.

（1）若//=30。，48=6,貝UBC的長是兀（結果保留兀）；

【思路點撥】（1）連接。。，根據(jù)圓周角定理可得N80C=60。，利用弧長公式即可求出BC的長；

（2）連接OC,根據(jù)垂徑定理得到。CL2D,再由切線得到EC〃8D,利用平行線分線段成比例得出

EB_^1

瓦而，再根據(jù)勾股求出EC=2x,代入比例式即可解決問題.

【規(guī)范解答】解：（1）如圖，連接。C,

VZA=30°,AB=6,

：.ZB(9C=60°,08=3,

—60兀X3

BC的長=180=兀；

故答案為：兀；

(2)如圖，連接OC,

:點C為弱的中點，

/.BC=DC,

：.OCVBD,

又是。。的切線,

：.OCLEC,

：.EC//BD,

CFX

vAF=7,

EB1

/.AB

3_5

設E8=x,則/2=3x,BO=OC=2X,EO=2X,NE=4X,

.-.EC=VEO2-OC2=VTX)-份X)=2x,

CE,2x1

AE=4x=2.

2

故答案為：2'.

【真題點撥】本題考查的是平行線分線段成比例定理、圓周角定理、切線的判定與性質，勾股定理,

弧長的計算，掌握圓周角定理、切線的判定與性質是關鍵.

A考向三相似三角形的判定與性質

i.相似三角形的性質：①相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；②相似三角形的周長的比等于相

似比；相似三角形的對應線段(對應中線、對應角平分線、對應邊上的高)的比也等于相似比；③相似

三角形的面積的比等于相似比的平方.由三角形的面積公式和相似三角形對應線段的比等于相似比可以

推出相似三角形面積的比等于相似比的平方.

2.相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原

i三角形相似；②三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比

I相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；④兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似.

!3.相似三角形的對應線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；

I4.相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

15.如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個

i圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.

亍―（203?重慶下若兩不i被三扇形扃聯(lián)南衽為丁麗欣兩不三而形為"應近前正臭7）■-"

A.1：2B.1：4C.1：8D.1：16

【思路點撥】根據(jù)相似三角形的性質：相似三角形周長的比等于相似比，求解即可.

【規(guī)范解答】解：?.?兩個相似三角形周長的比為I：4,

???這兩個三角形對應邊的比為1：4,

故選：B.

【真題點撥】本題考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵.

8.（2023?紹興）如圖，在A/BC中，。是邊8C上的點（不與點3,C重合）.過點D作DE〃/3交NC

于點E;過點。作。尸〃/C交于點RN是線段AF上的點，BN=2NF：M是線段上的點，DM

=2ME.若已知ACW的面積，則一定能求出（）

A.△4FE的面積B.△ADF的面積

C.ABCN的面積D.ADCE的面積

FBFDNF_BF

【思路點撥】如圖所示，連接ND,證明AFSOs△成）C,得出ED=EC,由已知得出ME-DE,則

FD_NF

EC-ME,又NNFD=/MEC,則進而得出/“CD=/NOB,可得MC〃ND,結合

題意得出S2kMECWS^DMC而$詆，即可求解.

【規(guī)范解答】解：如圖所示，連接ND,

:.NECD=NFDB,ZFBD=ZEDC,NBFD=NA,ZA=DEC.

?.AFBD^/\EDC,ZNFD=ZMEC.

FBFD

ED=EC,

DM=2ME,BN=2NF,

NF.BF1

ME=3DE,

NF_BE

ME"DE

FD_NF

.'.EC=ME,

又,:NNFD=/MEC,

:ANFDs/\MEC.

NECM=ZFDN.

'：ZFDB=ZECD,

：.NMCD=NNDB.

C.MC//ND.

SxMNC=SxMDC-

,:DM=2ME,

...SAMEC節(jié)S/kDMC^^MNC

故選：D.

【真題點撥】本題考查相似三角形的判定和性質，平行線的性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵

是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

9.(2023?蘇州)如圖，A/BC是。。的內接三角形，是。。的直徑，AC=45,BC=2''后，點、F在

43上，連接CF并延長，交00于點D,連接作BELCD,垂足為E.

(1)求證：ADBEsAABC；

(2)若/尸=2,求即的長.

【思路點撥】(1)根據(jù)圓周角定理得進而可以證明結論；

BDDE

(2)過點C作CG_LN8,垂足為G,證明ADBESZUBC,得AB=AC,代入值即可解決問題.

【規(guī)范解答】(1)證明：：/臺為直徑，

，ZACB=90°,

,:BELCD,

NBED=90。,

'：BC所對的圓周角為/BOE和NA4C,

ZBDE=ABAC,

.,.△DBEsAABC；

(2)解：如圖，過點C作CGL/3,垂足為G,

VZACB=90°,AC=4^,BC=2炳,

22

.-.^=VAC+BC=5,

U：CGLAB,

Vs

.??/G=4CcosZ=5=1,

?；AF=2,

：.FG=AG=lf

：.AC=FC,

：.ZCAF=ZCFA=ZBFD=/BDF,

：.BD=BF=AB-AF=5-2=3,

△DBEs^ABC,

BDDE

AB=AC,

3_匹

5=V5,

a娓

：.ED=5.

【真題點撥】本題考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質、解直角三角形、勾股定理等知識點,

解決本題的關鍵是得到XDBEs△45C.

A考向四相似三角形的應用

10.（2023?南充）如圖，數(shù)學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，然

后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已知小菲

的眼睛離地面高度為1.6%,同時量得小菲與鏡子的水平距離為2陸鏡子與旗桿的水平距離為10叫則

【思路點撥】根據(jù)鏡面反射的性質，AABCS^EDC,再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解即可.

【規(guī)范解答】解：如圖：

■:ABLBD,DELBD,

：.NABC=ZEDC^90°,

'：ZACB=ZDCE,

:.△ABCS^EDC,

AB_BC

/.DE-CD,

1.6=2

即

:.DE=8（〃?），

【真題點撥】本題考查了相似三角形的應用.應用鏡面反射的基本性質，得出三角形相似，再運用相

似三角形對應邊成比例即可解答.

0C0D

11.（2023?鎮(zhèn)江）如圖，用一個卡鉗（AD=BC,OB=0A=3）測量某個零件的內孔直徑N3,量得。

長度為6cm,則N3等于18cm.

【思路點撥】根據(jù)相似三角形的判定和性質，可以求得的長.

OC0D1

【規(guī)范解答】解：：OB=OA=3,/COD=NAOB,

:.△CODs^AOB,

:.AB：CD=3,

VCD=6cm,

.??45=6x3=18（cm）,

故答案為：18.

【真題點撥】本題考查相似三角形的應用，求出的值是解答本題的關鍵.

12.（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內，是保存

最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術珍品.某數(shù)學興趣小

組決定采用我國古代數(shù)學家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度.東塔的高度為

AB,選取與塔底3在同一水平地面上的￡、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為15*的標桿M和

GH,兩標桿間隔EG為46加，并且東塔/8、標桿M和G〃在同一豎直平面內.從標桿E尸后退2加到

。處（即即=2機），從。處觀察/點，/、尸、。在一直線上；從標桿G/Z后退4機到C處（即CG=

4m）,從C處觀察/點，/、H、C三點也在一直線上，且2、E、D、G、C在同?直線上，請你根據(jù)

以上測量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔N3的高度.

1.5=21.5=42=4

而7,同理得到冠=x+48,則可建立方程￡=X+48,解方程即可得到答案.

【規(guī)范解答】解：設BD=xm,則3C=BD+DG+CG=x+46-2+4=（x+48）m,

"JABLBC,EFLBC,

C.AB//EF,

：.AABDS/\FED,

EF_DE1.5=2

AB"BD,即萬

同理可證

GH_CG1.5二4

/.AB-'BC,gp-AB-=X+48,

2=4

/.xx+48,

解得x=48,

經檢驗，x=48是原方程的解,

1.52

.?.^=48,

:.AB=36m,

...該古建筑的高度為36加.

【真題點撥】本題主要考查了相似三角形的應用，利用相似三角形的性質建立方程是解題的關鍵.

A考向五位似變換

:廨窺拉百/易錯嵬窟一

［位似圖形與坐標：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,那么位似圖

i形對應點的坐標的比等于k或-k.

朝雨了如囹「在下面直扁巫標素幣,-巨知煮775「萬)萬7m；-以原瓦萬為瓦彳以幣

C.(4,4)D.(4,4)或(-4,-4)

【思路點撥】根據(jù)位似變換的性質計算，得到答案.

【規(guī)范解答】解：：以原點O為位似中心，相似比為2,把AO/B放大，點/的坐標為(2,2),

...點4的對應點?的坐標為(2x2,2x2)或(2/(-2),2x(-2)),即(4,4)或(-4,-

4),

故選：D.

【真題點撥】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相

似比為比那么位似圖形對應點的坐標的比等于左或-k.

14.(2023?綏化)如圖，在平面直角坐標系中，A/BC與的相似比為1：2,點/是位似中心，已

知點/(2,0),點C(a,6),ZC=90°.則點C的坐標為(6-2a,-26).(結果用含a,b

【思路點撥】過C作于M,過CL4夕于N,則/4NC=//MC=90。，根據(jù)相似三角形的判

定和性質定理即可得到結論.

【規(guī)范解答】解：過。作CM±AB于以過夕于N,

則ZANC'=ZAMC=90°,

:△43C與449。的相似比為1：2,

AC1

.?.AC'7

?/ZNAC'=ZCAM,

：./\ACM^/\AC'N,

AM二CM二AC

.?.版下N=AC',

:點/(2,0),點C(a,b),

.".OA=2,OM=a,CM=b,

.".AM=a-2,

a-2b1

.?.詞N而,

：.AN=2a-4,C'N=2b,

：.ON=AN-OA=2a-6,

.?.點。的坐標為(6-2a,-26),

【真題點撥】本題考查的是位似變換和坐標與圖形性質，掌握相似三角形的性質：相似三角形的對應

邊的比相等是解題的關鍵.

15.(2023?盤錦)如圖，ZUB。的頂點坐標是/(2,6),B(3,1),。(0,0),以點。為位似中

22_2_

心，將A/B?？s小為原來的3,得到A/?。，則點?的坐標為―(3,2)或(-3,-2).

【思路點撥】根據(jù)位似變換的性質計算，得到答案.

1

【規(guī)范解答】解：...以原點。為位似中心，把A/2C縮小為原來的目，可以得到△48。，點/的坐標

為

(2,6),

112122

...點/'的坐標是(2x3,6X3)或(2X(-3),6*(-3)),即(3,2)或(-3,-2).

2_2_

故答案為：(3,2)或(-3,-2).

【真題點撥】本題考查的是位似變換的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中

心，相似比為公那么位似圖形對應點的坐標的比等于左或-k.

A考向六相似形綜合題

16.(2023?蒲澤)(1)如圖1,在矩形中，點E,尸分別在邊DC,BC±.,AELDF,垂足為點

G.求證：AADEsADCF.

【問題解決】

(2)如圖2,在正方形4BCD中，點E,尸分別在邊。C,上，AE=DF,延長8C到點X,使CH

=DE,連接求證：ZADF=ZH.

【類比遷移】

(3)如圖3,在菱形中，點、E,歹分別在邊DC,BC±.,AE=DF=11,DE=8,/AED=

(2)證RtZUDE名RtADC尸(AL),得DE=CF,再證ADCFgADSlSNS),得/DFC=NH,然

后由平行線的性質得N4D尸=N。尸C,即可得出結論；

(3)延長8c至點G,使CG=DE=8,連接。G,XADE沿4DCG(&4S),得NDGC=NAED=

60°,AE=DG,再證△￡>bG是等邊三角形，得/G=D廣=11,即可解決問題.

【規(guī)范解答】(1)證明：???四邊形/BCD是矩形，

：.ZC=NADE=90°,

：.NCDF+NDFC=90°,

'：AE±DF,

：.ZDGE=90°,

.\ZCDF+ZAED=90°,

：.NAED=ZDFC,

???△ADEs/\DCF；

(2)證明：???四邊形是正方形，

：.AD=DC,AD//BC,ZADE=ZDCF=90°f

?：AE=DF,

.'.RtA^DE'^RtADCF(HL),

:?DE=CF,

?：CH=DE,

:?CF=CH,

??,點"在5C的延長線上，

???ZDCH=ZZ)CF=90°,

又*：DC=DC,

:ADCFQADCH(SAS),

JNDFC=NH,

?:AD〃BC,

：.ZADF=ZDFC,

：.ZADF=ZH；

(3)解：如圖3,延長5c至點G,使CG=Q￡=8,連接。G,

圖3

???四邊形458是菱形，

：.AD=DC,AD//BC,

：.ZADE=/DCG,

:?△ADEQ^DCG(SAS),

JZDGC=NAED=60。,AE=DG,

■:AE=DF,

：.DG=DF,

???△ObG是等邊三角形，

：.FG=DF=\\,

■:CF+CG=FG,

：.CF=FG-CG=11-8=3,

即CF的長為3.

【真題點撥】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、正方形的性

質、菱形的性質、全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質等知識，本題綜合性強，熟

練掌握矩形的性質、正方形的性質和菱形的性質，證明三角形全等和三角形相似是解題的關鍵，屬于

中考?？碱}型.

17.(2023?湖州)【特例感知】

(1)如圖1，在正方形/BCD中，點P在邊的延長線上，連結尸過點。作交BC

的延長線于點求證：4DAP咨ADCM.

【變式求異】

(2)如圖2,在Rt/UBC中，ZABC=90°,點。在邊上，過點。作。Q_L/8,交/C于點。，點

尸在邊的延長線上，連結尸。，過點。作0MLp0,交射線3c于點M.已知3C=8,ZC=10,

PQ

AD=2DB,求QM的值.

【拓展應用】

(3)如圖3,在Rt2U8C中，/A4c=90。，點尸在邊48的延長線上，點。在邊/C上(不與點力,

C重合)，連結P0,以。為頂點作的邊交射線8C于點若/C=

PQ

圖1圖2圖3

【思路點撥】(1)根據(jù)正方形的性質及角的和差推出=AD=DC,ZADP=ZCDM,利

用ASA即可證明△￡)/尸鄉(xiāng)△OCM；

(2)作。NLBC于點N,則四邊形。3NQ是矩形，根據(jù)矩形的性質推出/Z)QN=90。，QN=DB,tg

據(jù)角的和差推出/Z)QP=NA/0N,結合NQ￡)P=/QVM=90。，推出根據(jù)相似三角

PQ_DQ_DQ

形的性質得到QM-QNiDB,根據(jù)勾股定理求出48=6,則。2=2,根據(jù)矩形的性質推出

進而推出根據(jù)相似三角形的性質求解即可；

(3)根據(jù)題意推出。。=加〃/2,AQ=(%-mn)AB,根據(jù)勾股定理求出BC=Q根據(jù)四邊

形內角和定理及鄰補角定義推出//QP=NNQW,結合N/=NQW=90。，推出SQ根

△Q4P^W,

PQ_AQ

據(jù)相似三角形的性質得出而而，根據(jù)題意推出AQCNs^BC4,根據(jù)相似三角形的性質求出

m

QN-/?AB

Vl+mz,據(jù)此求解即可.

【規(guī)范解答】(1)證明：在正方形/BCD中，Z/4=ZADC=ABCD=90°,AD=DC,

：.180°-ZBCZ>=90°,

ZA=ZDCM,

■:DMLPD,

?.ZADP+ZPDC=ZCDM+APDC=9G°,

：.ZADP=ZCDM,

在尸和△DCM中，

'ZA=ZDCM

<AD=CD

ZADP=ZCDM,

:.ADAP冬ADCM(ASA)；

(2)解：如圖2,作。NL3C于點N,

：/48C=90。，DQ±AB,QN±BC,

...四邊形。3N。是矩形，

AZDQN=9Q°,QN=DB,

,-,QMLPQ,

：.ZDQP+ZPQN^ZMQN+ZPQN^90°,

NDQP=ZMQN,

"：ZQDP=ZQNM=90°,

ZDQPsXNQM,

PQ_DQ,DQ

.?.QM'QN'DB,

：2C=8,NC=10,ZABC^90°,

??.AB=VAC2-BC2=6,

?；AD=2DB,

:?DB=2,

ZADQ=ZABC=90°,

C.DQ//BC,

：.△4。0s△ZB。，

DQ二他二2

BCAB3,

.DQ喏

??Oj

PQ_DQ_8

而而而；

(3)解：'：AC=mAB,CQ=nAC,

'.CQ=mnAB,

.'.AQ=AC-CQ=(m-mn)AB,

,/ZBAC=90°,

BC=VAB2+AC2=71+m2AB,

如圖3,作。AU5C于點N,

ZBAC+ZABN+ZBNQ+ZAQN=360°fZBAC=90°,

：.ZABN+ZAQN=1SO0,

,//ABN+NPBN=18V,

：.ZAQN=/PBN,

,/ZPQM=APBC,

：.ZPQM=/AQN,

：.ZAQP=NNQM,

ZA=ZQNM=90°,

:?AQAPs/\QNM,

PQJQ

.\QM"NQ,

VZA=ZQNC=90°,ZQCN=ZBCAf

:?XQCNsl\BCA,

QN_CQ_imAB_mn

;.BACB{1+1rl2杷71+ir?,

QN=-）m-AB

/.V1+m2,

世M上由不

.,.QMNQn.

【真題點撥】此題是相似綜合題，考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、矩形

的判定與性質、勾股定理等知識，熟練運用相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、矩

形的判定與性質、勾股定理并作出合理的輔助線是解題的關鍵.

1.（2023?濟南）如圖，在A/8C中，AB=AC,ZBAC=36°,以點C為圓心，以8c為半徑作弧交NC于

2

點。，再分別以瓦。為圓心，以大于28。的長為半徑作弧，兩弧相交于點P,作射線CP交于點

E,連接?！暌韵陆Y論不正確的是（）

A

A.NBCE=36。B.BC=AE

二泥

BE^[5-1S/^AEC+1

C.AC=2D.SABEC

【思路點撥】根據(jù)等腰三角形的性質以及三角形內角和定理可得N/3C=/NC5=72。，再根據(jù)題意可

得:CP平分乙4CB,從而可得/BCE=//CE=36。，然后利用等量代換可得//=N4C￡=36。，從而

可得/E=CE,再利用三角形的外角性質可得4B=/C班=72。，從而可得C3=CE,進而可得/￡=

BE娓-1BE娓-1

CE=CB,最后根據(jù)黃金三角形的定義可得而=2,從而可得蕊=2,再利用三角形的面

5謝_BEV5-1

積可得,△AEC=Nf=2,從而進行計算即可解答.

【規(guī)范解答】解：NR4c=36°,

180°-NBAC

AZABC=ZACB=2=72°,

由題意得：CP平分N4CB,

2

NBCE=NACE=2ZACB=36°,

：.ZA=ZACE=36°,

：.AE=CE,

:NCEB=-ACE=12°,

：.ZB=ZCEB=12°,

：.CB=CE,

：.AE=CE=CB,

「△BCE是頂角為36。的等腰三角形,

...△8CE是黃金三角形，

BE疾-1

BC=2,

BE娓-1

「?AE=2,

s*..BEh

SAAEC=AE=-2一,

,酒2巫+1

SABCE=V5-1=2~,

故/、B、D不符合題意，。符合題意；

故選：C.

【真題點撥】本題考查了黃金分割，角平分線的性質，等腰三角形的判定與性質，作圖-基本作圖，

熟練掌握等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵.

2.（2022?紹興）將一張以為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形，在剩下的紙片中，

再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片

ABCD,其中/N=90。，AB=9,BC=1,CD=6,AD=2,則剪掉的兩個直角三角形的斜邊長不可能

是（）

A.2B.4C.10D.4

【思路點撥】根據(jù)題意，畫出相應的圖形，然后利用相似三角形的性質和分類討論的方法，求出剪掉

的兩個直角三角形的斜邊長，然后即可判斷哪個選項符合題意.

【規(guī)范解答】解：如圖1所示，

由已知可得，ADFEs△ECB,

DF_FE_DE

則而fW,

設。F=x,CE=y,

x__9_6+y

則y-2+x,

，-27

XT

JI

解得［y-7,

2145

：.DE=CD+CE=6+4=4,故選項8不符合題意；

2735

EB=DF+AD=4+2=4,故選項。不符合題意；

如圖2所示，

由已知可得，KDCFS^FEB,

DC_CF_DF

則而

設尸C=",FD=n,

6_mn

貝ij9n+2m+7,

(m=8

解得in=10,

：.FD^10,故選項C不符合題意;

BF=FC+BC=8+7=15；

如圖3所示：

此時兩個直角三角形的斜邊長為6和7；

故選：A.

圖1

【真題點撥】本題考查相似三角形的性質、矩形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用分類討論

的方法解答.

3.（2022?連云港）A/8C的三邊長分別為2,3,4,另有一個與它相似的三角形其最長邊為12,

則ADM的周長是（）

A.54B.36C.27D.21

【思路點撥】（1）方法一：設2對應的邊是x,3對應的邊是力根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等列

等式，解出即可；

方式二：根據(jù)相似三角形的周長的比等于相似比，列出等式計算.

【規(guī)范解答】解：方法一：設2對應的邊是x,3對應的邊是乃

△ABCS^DEF,

21A

x=y=12,

.'.x=6,y=9,

.?.△DE■尸的周長是27；

方式二：；△ABCsADEF,

,△ABC4

CADEF=72,

2+3+4工

CADEF=百，

C^DEF=27；

故選：C.

【真題點撥】本題考查了相似三角形的性質，掌握相似三角形的性質的應用是解題關鍵.

4.（2023?東營）如圖，及花。為等邊三角形，點、D,E分別在邊5C,43上，ZADE=60°.若BD=

4DC,DE=2.4,則4。的長為（）

【思路點撥】先證/C4D=/BQE,再根據(jù)N5=NC=60。，得出△4DCs△。防，根據(jù)相似三角形的

性質即可求出AD的長.

【規(guī)范解答】解：,??△45。是等邊三角形，

：.BC=AC,N5=NC=60。，

???ZCAD+ZADC=120°,

ZADE=60°.

：.ZBDE+ZADC=120°,

：.ZCAD=ZBDE,

：.△ADCs^DEB,

ADJC

JDE~DB,

,:BD=4DC,

J設。C=x,

則BD=4x,

*.BC=AC=5x,

AD=5x

2.4-4x,

'.AD=3,

故選：C.

【真題點撥】本題考查了三角形相似的判定與性質，等邊三角形的性質，掌握有兩個角相等的兩個三

角形相似是解題的關鍵.

5.（2023?東營）如圖，正方形/BCD的邊長為4,點瓦廠分別在邊。C,上，且平分

ZCAD,連接。尸，分別交/C于點G,M.P是線段ZG上的一個動點，過點P作PNL/C,垂足

為N,連接有下列四個結論：

①4E垂直平分0攸；

②尸M+PN的最小值為3衣；

③CF2=GE,AE；

④S&ADM=.

其中正確的是（）

【思路點撥】①先根據(jù)正方形的性質證得A/DE和△。。尸全等，再利用ASA證得A/GM和A/GZ）全

等，即可得出NE垂直平分。M；

②連接3D與4c交于點。，交ZG于點H,連接根據(jù)題意當點尸與點〃重合時，PA什PN的值

最小，即尸M+PN的最小值是。。的長，根據(jù)正方形的性質求出8。的長，從而得出D0=2&,即

PM+7W的最小值2\歷；

③先證△DGESA/DE,再根據(jù)相似三角形的性質及CF=DE,即可判斷；

④先求出NM的長，再根據(jù)三角形面積公式計算即可.

【規(guī)范解答】解：①???四邊形/8CD是正方形，

：.AD=DC=BC,ZADC=ZDCB=90°,

,:BF=CE,

：.BC-BF=DC-CE,

即CF=DE,

在A4DE和中,

'AD=DC

<ZADE=ZDCF

LDE=CF,

:.△ADE"ADCF(&4S),

：.ZDAE=ZCDF,

"：ZCDF+ZADG=90°,

：.ZDAE+ZADG=90°,

：.ZAGD=90°,

：.ZAGM=90°,

：.ZAGM=ZAGD,

平分NC4。，

ZMAG=ZDAG,

又NG為公共邊，

：./\AGM^/\AGD(ASA),

:.GM=GD,

又；ZAGM=ZAGD=90°,

.,.AE垂直平分DM,

故①正確；

②