2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理【四大題型】解析版

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

見大題型】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用】............................................................3

【題型2分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用】............................................................5

【題型3涂色問題】...........................................................................6

【題型4兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用】...........................................................10

?考情分析

1、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計考情分析

2023年新高考I卷：第13題，

5分

⑴理解分類加法計數(shù)原從近幾年的高考情況來看，高考對

2023年新高考II卷：第3題，

理、分步乘法計數(shù)原理及兩個計數(shù)原理的考查比較穩(wěn)定，多以選

5分

其意義擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以考查兩個

2023年全國乙卷（理數(shù)）：

⑵能利用計數(shù)原理解決計數(shù)原理的基本概念與步驟方法為主，

第7題，5分

簡單的實際問題往往與排列組合結(jié)合考查，難度不大.

2023年全國甲卷（理數(shù)）：

第9題，5分

?知識梳理

【知識點(diǎn)1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理】

1.分類加法計數(shù)原理

（1）分類加法計數(shù)原理的概念

完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法,

那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有〃類不同方案，在第1類方案中有人種不同的方法，在第2類方案中有叱種

不同的方法，…，在第〃類方案中有"4種不同的方法，那么完成這件事共有N=〃％+%+…+加”種不同

的方法.

(2)分類的原則

分類計數(shù)時，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定一個適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后利用這個分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，

分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類；二是不同類的任意兩種

方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數(shù)時不重不漏.

2.分步乘法計數(shù)原理

(1)分步乘法計數(shù)原理的概念

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有加種不同的方法，做第2步有“種不同的方法，那么完成這件

事共有N=m^n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要〃個步驟，做第1步有預(yù)種不同的方法，做第2步有g(shù)種不同的方法，

***,

做第"步有加.種不同的方法，那么完成這件事共有加=殉又%乂…X加“種不同的方法.

(2)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經(jīng)過哪幾步才

能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件

事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這〃個步驟逐步去做，才能完成這件事，各

個步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.

3.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的辨析

(1)聯(lián)系

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問題.

(2)區(qū)別

分類加法計數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)

別如下表：

區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理

①針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題

②各種方法相互獨(dú)立各個步驟中的方法互相依存

用其中任何一種方法都可以完成這件

③只有各個步驟都完成才算完成這件事

事

(3)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的合理選擇

分類-將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決一分類加法計數(shù)原理;

分步一將問題分為幾個相互關(guān)聯(lián)的步驟，逐步解決一分步乘法計數(shù)原理.

在解決有關(guān)計數(shù)問題時，應(yīng)注意合理分類，準(zhǔn)確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換

法的應(yīng)用.

【知識點(diǎn)2分類、分步計數(shù)原理的解題策略】

1.分類加法計數(shù)原理的解題策略

分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.

(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn)；

(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才

是不同的方法，不能重復(fù)；

(3)分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.

2.分步乘法計數(shù)原理的解題策略

(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步

必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.

(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.

【方法技巧與總結(jié)】

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.

(1)分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.

(2)分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間”相互獨(dú)立，分步完成”.

?舉一反三

【題型1分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用】

【例1】(2024?全國?模擬預(yù)測)從1至7這7個整數(shù)中隨機(jī)取出3個不同的數(shù)，則它們的積與和都是3的

倍數(shù)的不同取法有()

A.9種B.12種C.20種D.30種

【解題思路】

根據(jù)題意分3個不同的數(shù)中不含3和6,取出的3個不同的數(shù)中含有3不含有6,取出的3個不同的數(shù)中含

有6不含有3,取出的3個不同的數(shù)中含有3和6時四種情況研究即可.

【解答過程】

①當(dāng)取出的3個不同的數(shù)中不含3和6時，顯然它們的積不可能是3的倍數(shù)，不符合題意；

②當(dāng)取出的3個不同的數(shù)中含有3不含有6時，它們的積一定是3的倍數(shù)，

但只有當(dāng)另外2個數(shù)是(1,2),(1,5),(2,4),(2,7),(4,5),(5,7)時,

它們的和才是3的倍數(shù)，共有6種取法；、

③當(dāng)取出的3個不同的數(shù)中含有6不含有3時，它們的積一定是3的倍數(shù)，

但只有當(dāng)另外2個數(shù)是（1,2）,（1,5）,（2,4）,（2,7）,（4,5）,（5,7）時*

它們的和才是3的倍數(shù)，也有6種取法；

④當(dāng)取出的3個不同的數(shù)中含有3和6時，它們的積一定是3的倍數(shù)，

但它們的和一定不是3的倍數(shù)，不符合題意.

綜上，它們的積與和都是3的倍數(shù)的不同取法有6+6=12（種），

故選：B.

【變式1-1]（2024?浙江溫州?模擬預(yù)測）平面上的兩個點(diǎn)/（小,yi）,B（X2,y2）,其中橫縱坐標(biāo)均為自然

數(shù)，且不大于5,則兩點(diǎn)之間的距離可以有多少種取值（）

A.19B.20C.25D.27

【解題思路】依題先確定小,冷,月,丫2中任意兩個數(shù)的差的絕對值的所有可能值有0,1,234,5共6個，推得

（%1-及）2與（為一段）2的可能的取值都分別有0,1,4,9,16,25共6個，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式，考慮|4B|的不

同取值即得.

【解答過程】依題意，％1,工2）1,丫2CN,且久1,冷,月42均不大于5,

將其中任意兩個數(shù)的差的絕對值記為則心可能的值有0,1,2,3,4,5共6個，

而yi）＜B（X2,、2）之間的距禺為I力B|=yf（%-￡—X2）2+（yi—y2）2;

而（久1—%2）2與（%—、2）2的可能的取值都分別有0,1,4,9,16,25共6個，

故|力用的不同取值可分成五類：

①Ki—打|與|yi—以|中有一個取0，另一個可取01,2,3,4,5六個數(shù)，則恒目的不同取值有：0,123,4,5；

②，1一切與M—及沖有一個取1，另一個可取1,2,3,4,5五個數(shù)，則以的不同取值有：V2,V5,V10,Vi7,

V26;

③出一切1與曲―力沖有一個取2,另一個可取2,3,4,5四個數(shù)，則[48|的不同取值有：2V2,V13,2V5,V29;

@曲—久2|與仇―沖有一個取3,另一個可取3,5兩個數(shù)，則|/目的不同取值有：3V2,V34,

⑤⑶―冷1與曲一丫2沖有一個取4,另一個可取4,5兩個數(shù)，則|/用的不同取值有：4V2,V41；

⑥曲―打1與仇―加均取5時，則因|的不同取值有5小;

由分類加法計數(shù)原理可得，不同的取值共有6+5+4+2+2+1=20個.

故選：B.

【變式1-2](2024?安徽?模擬預(yù)測)甲、乙等6名高三同學(xué)計劃今年暑假在4B,C,D四個景點(diǎn)中選擇一個打

卡游玩，若每個景點(diǎn)至少有一個同學(xué)去打卡游玩，每位同學(xué)都會選擇一個景點(diǎn)打卡游玩，且甲、乙都單獨(dú)1

人去某一個景點(diǎn)打卡游玩，則不同游玩方法有()

A.96種B.132種C.168種D.204種

【解題思路】根據(jù)題意，剩下4人去其他兩個景點(diǎn)游玩，由此按游玩的人數(shù)分2種情況討論，結(jié)合分類加

法計數(shù)原理，即可求解.

【解答過程】由題意，甲、乙都單獨(dú)1人去某一個景點(diǎn)打卡游玩，

則剩下的4人去其他兩個景點(diǎn)游玩，有兩種情況：

①若3位同學(xué)去一個景點(diǎn)，1位同學(xué)去另一個景點(diǎn)，有A式沿專=96種不同游玩方法；

②分別都是2位同學(xué)去一個景點(diǎn)，有A?籌=72種不同游玩方法，

由分類計數(shù)原理得，共有96+72=168種.

故選：C.

【變式1-3](2024?貴州黔東南?二模)在n個數(shù)碼1,2,…,n(nW9,zieN*)的全排列/1；2一九中，若一個較大的

數(shù)碼排在一個較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成一個逆序，這個排列的所有逆序個數(shù)的總和稱為這個排列

的逆序數(shù)，記為…/n)?例如，在3個數(shù)碼的排列312中，3與1,3與2都構(gòu)成逆序，因此7(312)=2.

那么7(87542136)=()

A.19B.20C.21D.22

【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)字8,7,5,4,2都構(gòu)成逆序，結(jié)合分類計數(shù)原理，即可求解.

【解答過程】由題意，對于八位數(shù)87542136,可得8與后面每個數(shù)字都構(gòu)成逆序，

7與后面每個數(shù)字都構(gòu)成逆序，5與4,2,1,3都構(gòu)成逆序，4與2,1,3都構(gòu)成逆序，

2與1構(gòu)成逆序，所以7(87542136)=7+6+4+3+1=21.

故選：C.

【題型2分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用】

【例2】(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從4B,C,。四個旅游景點(diǎn)中任

選一個前去游玩，其中甲到過A景點(diǎn)，所以甲不選4景點(diǎn)，則不同的選法有()

A.64種B.48種C.36種D.24種

【解題思路】由分步乘法計數(shù)原理求解即可.

【解答過程】因甲不選/景點(diǎn)，應(yīng)該分步完成：

第一步，先考慮甲在B,CQ三個景點(diǎn)中任選一個，有3種選法；

第二步，再考慮乙和丙，從45&D中分別任選一個景點(diǎn)，有4x4=16中選法.

由分步乘法計數(shù)原理，可得不同選法有：3x16=48種.

故選：B.

【變式2-1](2024?河南鄭州?模擬預(yù)測)已知XCZ,yGZ,則滿足方程孫+2024Q—y)=8092的解?y)

的個數(shù)為()

A.27B.54C.108D.216

【解題思路】由已知可得。一2024)(y+2024)=-20222,又2022=2x3x337,結(jié)合分步乘法計數(shù)原

理求結(jié)論.

【解答過程】由題設(shè)，得—2024)(y+2024)=-20222,

又2022=2x3x337,其中2,3,337都為質(zhì)數(shù)，

所以0—2024)(y+2024)=-22X32X3372,

因為x,yeZ,所以x-2024可能為(一I)—2a3b3371kE{0,1},a,b,ce[0,1,2),

所以x—2024的取值個數(shù)為2x3x3x3=54,

方程盯+2024(%-y)=8092的整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為54.

故選：B.

【變式2-2](2024?湖南岳陽?三模)把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人,

甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數(shù)是()

A.96種B.60種C.48種D.36種

【解題思路】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合相鄰問題和不相鄰問題的方法即可求得.

【解答過程】依題意，設(shè)這五個人分別為甲乙丙丁戊.

第一步，將乙丙看成一個整體，考慮2人之間的順序，有A名=2種情況，

第二步，將這個整體與丁戊全排列，有A?=6種安排方法，

第三步，排好后產(chǎn)生4個空位，因甲乙不相鄰，則只能從3個空中任選1個安排甲，有A,=3種安排方法.

則由分步乘法計數(shù)原理，不同的方案共有2X6X3=36種.

故選：D.

【變式2-3](2024?海南?模擬預(yù)測)將“1,2,2,3,4,5”這6個數(shù)字填入如圖所示的表格區(qū)域中，每個

區(qū)域填一個數(shù)字，1不在4區(qū)域且三列中只有中間一列區(qū)域的數(shù)字之和為7,若中間一列填2和5,則不同的

填法有()

B.24種C.36種D.48種

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計數(shù)原理列式計算即得.

【解答過程】求不同填法需要4步，填中間一列有2種方法，再填1有3種方法,

與1同列的只能是3或4,有2種方法，最后兩個區(qū)域，填兩個數(shù)字有2種方法，

所以不同填法種數(shù)是2x3x2x2=24.

故選：B.

【題型3涂色問題】

【例3】（2024?四川資陽?模擬預(yù)測）某社區(qū)計劃在該小區(qū)內(nèi)如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區(qū)域

布置的花卉種類不同，且每個區(qū)域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有

B.420種C.480種D.540種

[解題思路】利用要求根據(jù)區(qū)域依次討論計算即可.

【解答過程】如圖，先在區(qū)域“布置花卉，有5種不同的布置方案，再在區(qū)域￡布置花卉，有4種不同的

布置方案,

再在區(qū)域。布置花卉，有3種不同的布置方案.

若區(qū)域8與區(qū)域￡布置同一種花卉，則區(qū)域C有3種不同的布置方案;

若區(qū)域8與區(qū)域E布置不同的花卉，則區(qū)域8有2種不同的布置方案，區(qū)域C有3種不同的布置方案.

故不同的布置方案有5x4x3x（3+2x3）=540種.

故選：D.

【變式3-1]（2024?遼寧?模擬預(yù)測）為迎接元宵節(jié)，某廣場將一個圓形區(qū)域分成45C,D,E五個部分（如圖

所示），現(xiàn)用4種顏色的鮮花進(jìn)行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則

A.48種B.36種C.24種D.12種.

【解題思路】滿足條件的涂色方案可分為5。區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色和C,E區(qū)域同色兩類，且和其

它區(qū)域不同色，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理，分類加法計數(shù)原理求解即可

【解答過程】滿足條件的擺放方案可分為兩類，

第一類區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，

滿足條件的方案可分四步完成，

第一步，先擺區(qū)域4有4種方法，

第二步，擺放區(qū)域BQ有3種方法，

第三步，擺放區(qū)域C有2種方法，

第四步，考慮到區(qū)域48,C不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域E有1種方法，

由分步乘法計數(shù)原理可得第一類中共有4x3x2x1=24種方案，

第二類，&E區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，

滿足條件的方案可分四步完成，

第一步，先擺區(qū)域4有4種方法，

第二步，擺放區(qū)域B有3種方法，

第三步，擺放區(qū)域&E有2種方法，

第四步，考慮到區(qū)域ASC不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域。有1種方法，

由分步乘法計數(shù)原理可得第一類中共有4x3x2x1=24種方案，

根據(jù)分步加法計數(shù)原理可得該區(qū)域鮮花的擺放方案共有48種，

故選：A.

【變式3-2]（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，A,B,C,。為四個不同的區(qū)域，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、黑4種顏

色，對這四個區(qū)域進(jìn)行涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同的顏色（N與C不相鄰，8與。不相鄰），則使用2種

顏色涂色的概率為（）

【解題思路】由排列組合以及分類加法計數(shù)原理求解個數(shù)，即可由古典概型概率公式求解.

【解答過程】使用4種顏色給四個區(qū)域涂色，有A才=24種涂法；

使用3種顏色給四個區(qū)域涂色，共有2髭4A2=48種涂法；

（使用3種顏色給四個區(qū)域涂色有兩類情況：①區(qū)域”與區(qū)域C涂同一種顏色，區(qū)域2與區(qū)域。涂另外2

種顏色；

②區(qū)域8與區(qū)域。涂同一種顏色，區(qū)域/與區(qū)域C涂另外2種顏色）

使用2種顏色給四個區(qū)域涂色，共有A,=12種不同的涂法.

所以所有的涂色方法共有24+48+12=84（種），故使用2種顏色給四個區(qū)域涂色的概率為葛=1

故選：B.

【變式3-3］（2024?廣西南寧?模擬預(yù)測）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面.

五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、

土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運(yùn)動變化.所以，在中國，“五

行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現(xiàn)有4種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏

色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與

水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（）

韋

A.30B.120C.150D.240

【解題思路】依次填涂“火”、“土”、“金”、“水”、“木”，分別確定每個區(qū)域的涂色方法種數(shù)，結(jié)合分類加法

分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.

【解答過程】由題意可知，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水

與木不能同色），

五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），

不妨設(shè)四種顏色分別為力、B、C、D,

先填涂區(qū)域“火”，有4種選擇，不妨設(shè)區(qū)域“火”填涂的顏色為4

接下來填涂區(qū)域“土”，有3種選擇，分別為8、C、D,

若區(qū)域“土”填涂的顏色為B,則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為人C、D；

若區(qū)域“土”填涂的顏色為C,則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為4B、D；

若區(qū)域“土”填涂的顏色為。，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為人B、C.

綜上所述，區(qū)域“金”填涂爾B、C、。的方案種數(shù)分別為3、2、2、2種,

接下來考慮區(qū)域“水”的填涂方案:

若區(qū)域“金”填涂的顏色為4則區(qū)域“水”填涂的顏色可為B、C、D；

若區(qū)域“金”填涂的顏色為B,則區(qū)域“水”填涂的顏色可為4C、D；

若區(qū)域“金”填涂的顏色為C,則區(qū)域“水”填涂的顏色可為4、B、D；

若區(qū)域“金”填涂的顏色為則區(qū)域“水”填涂的顏色可為4、B、C.

則區(qū)域“水”填涂4的方案種數(shù)為2x3=6種，填涂8的方案種數(shù)為3+2x2=7種,

填涂C的方案種數(shù)為3+2X2=7種，填涂。的方案種數(shù)為3+2X2=7種.

從區(qū)域“火”、“土”、“金”填涂至區(qū)域“水”，填涂區(qū)域“水”的方案還和填涂區(qū)域“木”有關(guān),

當(dāng)區(qū)域“水”填涂的顏色為4時,區(qū)域“木”填涂的顏色可為8、C、D；

若區(qū)域“水”填涂的顏色為B時,區(qū)域“木”填涂的顏色可為C、D；

若區(qū)域“水”填涂的顏色為C時,區(qū)域“木”填涂的顏色可為B、D；

若區(qū)域“水”填涂的顏色為。時,區(qū)域“木”填涂的顏色可為B、C.

所以，當(dāng)區(qū)域“火”填涂顏色4時，填涂方案種數(shù)為6x3+7X2X3=60種.

因此，不同的涂色方法種數(shù)有4x60=240種.

故選：D.

【題型4兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用】

【例4】（23-24高二上?江西九江?期末）從1,2,3,4,5,6,7,9中，任取兩個不同的數(shù)作對數(shù)的底數(shù)

和真數(shù)，則所有不同的對數(shù)的值有（）

A.30個B.42個C.41個D.39個

【解題思路】分是否取1兩類，當(dāng)不取1時，排除重復(fù)的即可得解.

【解答過程】當(dāng)取1時，貝也只能為真數(shù)，此時這個對數(shù)值為0,

當(dāng)不取1時，底數(shù)有7種，真數(shù)有6種，

其中l(wèi)og24=log39=2,log42=log93=^,log23=log49,log32=Iog94,

故此時有7X6—4=38個，

所以共有38+1=39個.

故選：D.

【變式4-1］（2024?河北?模擬預(yù)測）用0,1,2,3,4能組成沒有重復(fù)數(shù)字且比32000小的數(shù)字（）個.

A.212B.213C.224D.225

【解題思路】先對數(shù)字位數(shù)分類討論，在對五位數(shù)的首位數(shù)字進(jìn)行分類討論：①首位為1,2；②首位為3.

然后分析千位數(shù)的選取，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.

【解答過程】分?jǐn)?shù)字位數(shù)討論：

一位數(shù)5個；

兩位數(shù)有4x4=16個；

三位數(shù)有4x4X3=48個；

四位數(shù)有4x4x3x2=96個；

五位數(shù)分以下兩種情況討論：

①首位數(shù)字為1或2,此時共有2M=2X24=48個；

②首位數(shù)字為3,則千位數(shù)從0或1中選擇一個，其余三個數(shù)位任意排列，

此時共有2月=12個.

綜上所述，共有5+16+48+96+48+12=225個比32000小的數(shù).

故選：D.

【變式4-2］（24-25高三上?江蘇南京?開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)參加某知識競賽，已決出了第

1名到第4名（沒有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰“，對

丙說：“很遺憾，你沒有得到第1名”，從這個回答分析，4人的名次排列情況種數(shù)為（）

A.4B.6C.8D.12

【解題思路】由題意可得丙不是第1名，甲乙相鄰，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案.

【解答過程】解：由題意可得丙不是第1名，甲，乙相鄰；

所以丙是第2名時，甲，乙只能是第3,4名，丁為第1名，此時共2種情況；

丙是第3名時，甲，乙只能是第1,2名，丁為第4名，此時共2種情況；

丙是第4名時，甲，乙有可能是第1,2名，或第2,3名，

當(dāng)甲，乙是第1,2名時，丁為第3名，此時共2種情況；

當(dāng)甲，乙是第2,3名時，丁為第1名，此時共2種情況；

所以一共有2+2+2+2=8種情況.

故選：C.

【變式4-3］（2024高二?全國?專題練習(xí)）從正十五邊形的頂點(diǎn)中選出3個構(gòu)成鈍角三角形，則不同的選法

有（）.

A.105種B.225種C.315種D.420種

【解題思路】首先選取一個點(diǎn)作為鈍角頂點(diǎn)，并該點(diǎn)與圓心連線將其余14個頂點(diǎn)分成左右各7個：在左側(cè)

選取一個點(diǎn)作為第二頂點(diǎn)，依次選取右側(cè)7個點(diǎn)作為第三頂點(diǎn)判斷三角形形狀，依此步驟即可得當(dāng)前鈍角

頂點(diǎn)下的鈍角三角形個數(shù)，最后乘以15即可得結(jié)果.

【解答過程】如圖所示，以/為鈍角頂點(diǎn)，在直徑44的左邊取點(diǎn)以,右邊依次取的,。2,…,C6,得到6個鈍

角三角形，當(dāng)取G時，△BiZg為銳角三角形；

同理，直徑44'的左邊取點(diǎn)%,右邊依次取的,。2,…,。5,得到5個鈍角三角形，當(dāng)取。6，C7時，△B2AC6、

△&4C7為銳角三角形；

在直徑44的左邊取點(diǎn)名時，得到一個鈍角△B64Q,

在直徑44的左邊取點(diǎn)夕7時，沒有鈍角三角形.

故以/為鈍角頂點(diǎn)的三角形共有6+5+4+3+2+1=21（個）.

以其余14個點(diǎn)為鈍角頂點(diǎn)的三角形也各有21個，

所以總共有15x21=315（個）鈍角三角形.

A

B、G

B2G

故選：C.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?陜西商洛?三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生實習(xí)時，有/,B,C三家企業(yè)可供選擇，若去

C企業(yè)最多一人，則不同分配種數(shù)是（）

A.112B.80C.64D.32

【解題思路】根據(jù)已知條件及分類分步計數(shù)原理即可求解.

【解答過程】分兩類情況，第一類情況，去C企業(yè)僅有一人，有黑x24=80種情況；

第二類情況，沒有一個去C企業(yè)，有25=32種情況，

所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有80+32=112種.

故選：A.

2.（2024?陜西西安?三模）方程孫=2160的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為（）

A.40B.28C.22D.12

【解題思路】將2160分解質(zhì)因數(shù)，即可求出2160的因數(shù)的個數(shù)，從而得解.

【解答過程】因為2160=24x33x5,所以2160的因數(shù)有5x4x2=40個，

故方程xy=2160的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為40.

故選：A.

3.（2024?山東淄博?一模）小明設(shè)置六位數(shù)字的手機(jī)密碼時，計劃將自然常數(shù)e=2.71828…的前6位數(shù)字

2,7,1,8,2,8進(jìn)行某種排列得到密碼.若排列時要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間有一個數(shù)字，則

小明可以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為（）

A.24B.16C.12D.10

【解題思路】分兩個2之間是8和不是8兩大類討論即可.

【解答過程】若兩個2之間是8,則有282817；282871；728281；128287；172828；712828；

828217；828271；782821；182827；178282；718282,共12種

若兩個2之間是1或7,則有272818；818272；212878；878212,共4種;

則總共有16種,

故選：B.

4.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測）某市人民醫(yī)院急診科有3名男醫(yī)生和4名女醫(yī)生，內(nèi)科有4名男醫(yī)生和4名女

醫(yī)生，現(xiàn)從該醫(yī)院急診科和內(nèi)科各選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生組成4人組，參加省人民醫(yī)院組織的交流會,

則所有不同的選派方案有（）

A.192種B.180種C.29種D.15種

【解題思路】由分步乘法計數(shù)原理可求結(jié)論.

【解答過程】從急診科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生有3X4=12種方案，

從內(nèi)科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生有4x4=16種方案，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有12x16=192種不同的選派方案.

故選:A.

5.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年

春節(jié)電影市場.某電影院同時段播放這三部電影，小李和小明每人只能選擇看其中的一場電影，則兩位同

學(xué)選擇的電影不相同的概率為（）

1112

A-623D，3

【解題思路】分別求2個人不同的選擇方案以及選擇的電影相同的選擇方案，根據(jù)對立事件結(jié)合古典概型

分析求解.

【解答過程】因為每個人選擇方案有3種，可知2個人不同的選擇方案有32=9種；

且三位同學(xué)選擇的電影相同的選擇方案有3種；

所以三位同學(xué)選擇的電影不相同的概率為P=1-1=|.

故選：D.

6.（2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）用Q代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1

個紅球和1個藍(lán)球中取出若干個球的所有取法可由（1+a）-（1+b）的展開式1+a+b+ab表示出來,

如："1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球，而“ab”表示把紅球和藍(lán)球都取出來，以此

類推，下列各式中，其展開式可用來表示從3個無區(qū)別的紅球、3個無區(qū)別的藍(lán)球、2個有區(qū)別的黑

球中取出若干個球，且所有藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()

A.(1+a+a2+a3)(l+b3)(l+c)2

B.(1+a3)(l+b+b2+fo3)(l+c)2

C.(1+a)3(l+b+b2+fo3)(l+c2)

D.(l+a3)(l+b)3(l+c+c2)

【解題思路】分三步處理問題，分別表示出取紅球、籃球、黑球的表達(dá)式，相乘即可求得.

【解答過程】第一步，從3個無區(qū)別的紅球中取出若干球，

則有1+a+a2+a3；

第二步，從3個無區(qū)別的藍(lán)球中都取出或都不取出，要滿足題意，

只有1+a；

第三步，從2個有區(qū)別的黑球中取出若干個，

則有(1+C)(l+C)=(1+C)2.

根據(jù)分步計數(shù)原理，則要滿足題意的取法有：

(1+a+a2+a3)(l+Z?3)(l+c)2.

故選：A.

7.(23-24高二上?山東德州?階段練習(xí))中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的

創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1,2,3,…，8.現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘

面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域(如區(qū)域1

與區(qū)域5)所涂顏色相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有()

A.550種B.630種

C.720種D.840種

【解題思路】確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，分區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色是否相同兩種情況討論，進(jìn)而可得出

答案.

【解答過程】由題意可得，只需確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，即可確定整個傘面的涂色.

先涂區(qū)域1,有6種選擇，再涂區(qū)域2,有5種選擇，

當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時，區(qū)域3有4種選擇，剩下的區(qū)域4有4種選擇；

當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域4有5種選擇，

故不同的涂色方案有6x5x（4x4+5）=630種.

故選：B.

8.（2024?四川南充?模擬預(yù)測）距高考30天之際，高三某班級五位同學(xué)打算利用周末親近大自然，陶冶情

操，釋放壓力.這五位同學(xué)準(zhǔn)備星期天在凌云山景區(qū)，印象嘉陵江濕地公園，西山風(fēng)景區(qū)三個景點(diǎn)中選擇一

個去游玩，已知每個景點(diǎn)至少有一位同學(xué)會選，五位同學(xué)都會進(jìn)行選擇并且只能選擇其中一個景點(diǎn)，若學(xué)

生甲和學(xué)生乙準(zhǔn)備選同一個景點(diǎn)，則不同的選法種數(shù)為（）

A.18B.36C.48D.32

【解題思路】先根據(jù)甲乙選的景點(diǎn)其他人是否選分成兩類情況，①無人再選，按照122分組計算方法數(shù)；②

還有人選，按照1：1：3部分平均分組計算方法數(shù).最后用分類加法原理計算總的方法數(shù)即可.

【解答過程】若甲乙選的景點(diǎn)沒有其他人選，則分組方式為：122的選法總數(shù)為：CiAl=18,

若甲乙選的景點(diǎn)還有其他人選擇，則分組方式為：1,1,3的選法總數(shù)為：鬻A§=18,

所以不同的選法總數(shù)為：18+18=36.

故選：B.

二、多選題

9.（23-24高三下?全國?強(qiáng)基計劃）某城市內(nèi)有若干街道，所有街道都是正東西或南北向，某人站在某段正

中央開始走，每個點(diǎn)至多經(jīng)過一次，最終回到出發(fā)點(diǎn).已知向左轉(zhuǎn)了100次，則可能向右轉(zhuǎn)了（）次.

A.96B.98C.104D.102

【解題思路】分情況討論不同情況即可.

【解答過程】總體的路線形成一個多邊形，

如果出發(fā)點(diǎn)在多邊形的邊上，左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)的次數(shù)差一定是4的倍數(shù)，

如果出發(fā)點(diǎn)在多邊形的頂點(diǎn)上，左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)的次數(shù)差一定奇數(shù)，因此只有AC有可能.

下面兩圖的路線分別對應(yīng)右轉(zhuǎn)96次和104次的情形：

故選：AC.

10.（23-24高二下?湖北武漢?階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著無窮無盡的美，尤以對稱美最為直觀和顯著.回文數(shù)

是對稱美的一種體現(xiàn)，它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22,121,3443,94249等，顯然兩

位回文數(shù)有9個：11,22,33,99；三位回文數(shù)有90個：101,111,121,191,202,999.下

列說法正確的是（）

A.四位回文數(shù)有45個B.四位回文數(shù)有90個

C.2n（neN*）位回文數(shù)有10"個D.2n+1（neN*）位回文數(shù)有9x1CP個

【解題思路】根據(jù)題意，用列舉法分析四位回文數(shù)數(shù)目，可得A錯誤，B正確；再用分步計數(shù)原理分析2〃+1

位回文數(shù)的數(shù)目，可得C錯誤，D正確，綜合可得答案.

【解答過程】據(jù)題意，對于四位回文數(shù)，有1001、111k1221.............1991、2002、2112、2222、....、

2992、...9009、9119、9229、....、9999,共90個，則A錯誤，B正確;

對于2"位回文數(shù)，首位和個位數(shù)字有9種選法，第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法，……，第〃和第

〃+1位也有10種,則共有9xl0xl0x......><10=9x10〃-/種選法，故C錯；

對于2〃+1位回文數(shù)，首位和個位數(shù)字有9種選法，第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法，……，第”+1

個數(shù)字，即最中間的數(shù)字有10種選法，

則共有9x10x10*.......xl0=9xl0〃種選法,即2〃+1（“6N*）位回文數(shù)有9x10〃個，所以D正確.

故選：BD.

11.（2024?重慶?模擬預(yù)測）如圖，16枚釘子釘成4x4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說法正

確的有（不同的圖形指兩個圖形中至少有一個頂點(diǎn)不同）（）

A.可以圍成20個不同的正方形

B.可以圍成24個不同的長方形（鄰邊不相等）

C.可以圍成516個不同的三角形

D.可以圍成16個不同的等邊三角形

【解題思路】利用分類計算原理及組合，結(jié)合圖形，對各個選項逐一分析判斷即可得出結(jié)果.

【解答過程】不妨設(shè)兩個釘子間的距離為b

對于選項A,由圖知，邊長為1的正方形有3x3=9個，邊長為2的正方形有2x2=4個，

邊長為3的正方形有1個，邊長為金的正方形有2x2=4個，邊長為遙的有2個，共有20個，所以選項A

正確，

對于選項B,由圖知，寬為1的長方形有3x3=9個，寬為2的長方形有4x2=8個，

寬為3的長方形有5個，寬為6的有2個，共有24個，所以選項B正確，

對于選項C,由圖知，可以圍成端6—1。量-40=516個不同的三角形，所以選項C正確，

對于選項D,由圖可知，不存在等邊三角形，所以選項D錯誤，

故選：ABC.

三、填空題

12.（2024?湖南岳陽?模擬預(yù)測）甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生實習(xí)時，有，，B,C三家企業(yè)可供選擇,

若去C企業(yè)最多一人，則不同分配種數(shù)是112.

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用兩個計數(shù)原理列式計算即得.

【解答過程】求不同分配種數(shù)的問題，有兩類辦法：

沒有人去C企業(yè)，有25種分配方法，

有1人去C企業(yè)，有5X24種分配方法，

所以不同分配種數(shù)是25+5X24=112.

故答案為：112.

13.（2024?河南濮陽?模擬預(yù)測）對一個四棱錐各個頂點(diǎn)著色，現(xiàn)有5種不同顏色供選擇，要求同一條棱連

接的兩個頂點(diǎn)不能著相同的顏色，則不同的著色方法有420種（用數(shù)字作答）.

【解題思路】依題意按照分類分步計數(shù)原理直接計算可得結(jié)果.

【解答過程】根據(jù)題意可知，需分五步進(jìn)行著色，

在四棱錐P—4BCD中，如下圖所示：

p

BC

按照P—a—B—C—D的順序進(jìn)行著色，則P點(diǎn)有5種顏色可選，4點(diǎn)有4種顏色可選；

8點(diǎn)有3種顏色可選，

若C點(diǎn)顏色與2點(diǎn)相同，則D點(diǎn)有3種顏色可選；

若C點(diǎn)顏色與2點(diǎn)不同，貝"C點(diǎn)有2種顏色可選，此時。點(diǎn)有2種顏色可選；

所以共有5x4x3x（lx3+2x2）=420種.

故答案為：420.

14.（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測）某排球賽共有三個組：第一、二組各有6個隊，第三組有7個隊，首先

各組進(jìn)行單循環(huán)賽，然后各小組的第一名共3個隊分主客場進(jìn)行決賽，最終決出冠、亞軍，則該排球比賽

一共需要比賽57場.

【解題思路】利用分類加法計數(shù)原理結(jié)合排列組合知識求解即可.

【解答過程】首先在3個小組進(jìn)行單循環(huán)賽，第一組有6個隊，需進(jìn)行髭=15場比賽，第二組有6個隊，

需進(jìn)行鬣=15場比賽，第三組有7個隊，需進(jìn)行?=21場比賽，第一階段需要進(jìn)行15+15+21=51場比

賽.

然后各小組的第一名共3個隊分主客場進(jìn)行決賽，有A名=6場比賽，

所以共需要比賽51+6=57場.

故答案為：57.

四、解答題

15.（2024高三?全國?專題練習(xí)）分別編有1,2,3,4,5號碼的人與椅，其中i號人不坐i號椅（i=1,2,

3,4,5）的不同坐法有多少種？

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計數(shù)原理、分類加法計數(shù)原理列式計算即得.

【解答過程】1號椅有4種坐法（2,3,4,5均可坐），

假設(shè)1號椅由3號坐，則按排3號椅，那3號椅也有4種坐法（1,2,4,5可坐），

假設(shè)3號椅由1號坐了，剩下2,4,5坐2,4,5這3個椅，只有2種坐法，

如果3號椅由4號坐了，剩下1,2,5坐2,4,5這3個椅，有3種坐法，

同樣，3號椅由2號，5號坐的時候，也是各有3種坐法，

所以總坐法數(shù)是4x（2+3+3+3）=44種.

16.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）將三個分別標(biāo)有B,C的球隨機(jī)放入編號為1,2,3,4的四個盒

子中.求：

（1）1號盒中無球的不同放法種數(shù)；

（2）1號盒中有球的不同放法種數(shù).

【解題思路】（1）由分步乘法計數(shù)原理可直接求出答案；

（2）分1號盒中有一個球、1號盒中有兩個球、1號盒中有三個球3種情況進(jìn)行討論，再根據(jù)分類計數(shù)原

理得到結(jié)果.

【解答過程】（1）1號盒中無球即B,C三個球只能放入2,3,4號盒子中，有3x3x3=27（種）

放法.

（2）1號盒中有球可分三類：一類是1號盒中有一個球，共有3x3x3=27（種）放法，一類是1號盒中

有兩個球，共有3X3=9（種）放法，一類是1號盒中有三個球，有1種放法.

共有27+9+1=37（種）放法.

17.（23-24高二下?青海西寧?期中）由0,1,2,3,4這五個數(shù)字.

（1）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？

（2）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？

（3）組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有多少個？

【解題思路】（1）先排數(shù)字0,再排其它4個數(shù)字即可計算得解；

（2）選偶數(shù)先排個