2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：隨機(jī)事件、頻率與概率（六大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第04講隨機(jī)事件、頻率與概率

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：樣本空間和隨機(jī)事件....................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算..................................................5

知識(shí)點(diǎn)3：概率與頻率............................................................6

題型一：隨機(jī)事件與樣本空間.....................................................7

題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算...................................................8

題型三：頻率與概率.............................................................9

題型四：生活中的概率..........................................................10

題型五：互斥事件與對(duì)立事件....................................................11

題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率........................................12

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................13

05課本典例?高考素材............................................................25

06易錯(cuò)分析答題模板............................................................14

易錯(cuò)點(diǎn)：混淆頻率和概率........................................................14

答題模板：互斥'對(duì)立事件的辨析................................................15

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

本節(jié)內(nèi)容是概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查形

(1)樣本空間和隨機(jī)事件式可以是選擇填空題，也可以在解答題中

2024年上海卷第15題，4分

(2)兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算出現(xiàn).出題多會(huì)集中在隨機(jī)事件的關(guān)系以

2023年上海卷第5題，4分

(3)頻率與概率對(duì)應(yīng)的概率求解.整體而言，本節(jié)內(nèi)容在

高考中的難度處于偏易.

復(fù)習(xí)目標(biāo)；

(1)了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.

(2)理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算.

匐2

〃二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

隨機(jī)事件頻率與概率

老占突硒?力理慳宙

-----

知識(shí)JJ

知識(shí)點(diǎn)1:樣本空間和隨機(jī)事件

1、隨機(jī)試驗(yàn)

我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母后表示.

我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：

（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；

（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.

2、樣本空間

我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，

一般地，用.Q.表示樣本空間，用出表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有〃個(gè)可能結(jié)果例，社，...，

則稱樣本空間。=｛例，/2，…，0｝為有限樣本空間.

3、隨機(jī)事件、確定事件

（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示，為了敘述方

便，我們將樣本空間。的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.當(dāng)

且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生.

（2）。作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以?？倳?huì)發(fā)

生，我們稱。為必然事件.

（3）空集0不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱為0為不可能事件.

（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)隨機(jī)事件的確定事件.

【診斷自測(cè)】下列現(xiàn)象是必然現(xiàn)象的是（）

A.某路口每星期發(fā)生交通事故1次

B.冰水混合物的溫度是：TC

C.三角形的內(nèi)角和為180°

D.一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊都命中7環(huán)

知識(shí)點(diǎn)2：兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算

1、事件的關(guān)系與運(yùn)算

①包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件A和事件6,如果事件A發(fā)生，則事件月一定發(fā)生，這時(shí)稱事件

6包含事件A（或者稱事件A包含于事件6）,記作8二4或者AqB.與兩個(gè)集合的包含關(guān)系類比，可

用下圖表示：

不可能事件記作0，任何事件都包含不可能事件.

②相等關(guān)系：一般地，若3二4且稱事件A與事件6相等.與兩個(gè)集合的并集類比，可用下

圖表不：

③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事

件月的并事件（或和事件），記作AU3（或A+B）.與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：

④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件5發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件

8的交事件（或積事件），記作AC3（或A3）.與兩個(gè)集合的交集類比，可用下圖表示：

Q

2、互斥事件與對(duì)立事件

（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件A和事件5不能同時(shí)發(fā)生，即則稱事件A與事件

B互斥,可用下圖表示：

如果A，出，…，A”中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件A,,彼此互斥.

（2）對(duì)立事件：若事件A和事件B在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，

4口3=0則稱事件A和事件B互為對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記為N.

(3)互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系

①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者

之一必須有一個(gè)發(fā)生.

②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條

件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件.

【診斷自測(cè)】擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或3”為事件4“向上的點(diǎn)數(shù)是1或5”為事件2,

則()

A.A=B

B.AU8表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或5

C.AUB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3

D.AcB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或5

知識(shí)點(diǎn)3:概率與頻率

(1)頻率：在”次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)人稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)人與總次數(shù)”的比

值工，叫做事件A發(fā)生的頻率.

n

_k

(2)概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率*總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近

n

擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作尸(A).

(3)概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率￡隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加

n

_k

穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用頻率-來估計(jì)概率P(A).

n

【診斷自測(cè)】在調(diào)查運(yùn)動(dòng)員是否服用過興奮劑的時(shí)候，給出兩個(gè)問題作答，無關(guān)緊要的問題是：“你的身

份證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員擲一枚硬幣，

如果出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問題，否則回答第二個(gè)問題.由于回答哪一個(gè)問題只有被測(cè)試者自己知道，

所以應(yīng)答者一般樂意如實(shí)地回答問題.如我們把這種方法用于300個(gè)被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員，得至IJ80個(gè)“是”的回

答，則這群人中服用過興奮劑的百分率大約為()

A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%

題型洞察

題型一：隨機(jī)事件與樣本空間

【典例1-1】若隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為C={0,1,2},則下列說法不正確的是（）

A.事件?={1,2}是隨機(jī)事件B.事件。={0」,2}是必然事件

C.事件Af={-L-2}是不可能事件D.事件{-L0}是隨機(jī)事件

【典例1-2】在12件同類產(chǎn)品中，有10件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，則下列事件為必然事

件的是（）

A.3件都是正品B.至少有2件是次品

C.3件都是次品D.至少有1件是正品

【方法技巧】

確定樣本空間的方法

（1）必須明確事件發(fā)生的條件.

（2）根據(jù)題意，按一定的次序列出問題的答案.特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，按規(guī)律去寫,

要做到既不重復(fù)也不遺漏.

【變式1-1】下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個(gè)頂點(diǎn)各畫一條高線，這

三條高線交于一點(diǎn)；③實(shí)數(shù)a,b都不為0,但4+廿二。；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降

雨量.其中為隨機(jī)事件的是（）

A.①④B.①②③C.②③④D.②④

【變式1-21下列說法正確的是（）

A.“射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心”是必然事件

B.事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1

C.某種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%,因此買100張?jiān)摲N彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)

D.任意投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)和是2的倍數(shù)的概率是:

【變式1-3]“某點(diǎn)P到點(diǎn)A（-2,0）和點(diǎn)8（2,0）的距離之和為3”這一事件是

A.隨機(jī)事件B.不可能事件C.必然事件D.以上都不對(duì)

【變式1-4】籠子中有4只雞和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.記錄剩下動(dòng)物的腳數(shù).則該試

驗(yàn)的樣本空間Q=.

題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

【典例2-1】同時(shí)擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件A,“向上的面至少有一枚是正面”為事件B,則

有（）

A.A=BB.A^BC.AQBD.A與B之間沒有關(guān)系

【典例2-2】對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)4=｛兩次都擊中飛機(jī)｝,2=｛兩次

都沒擊中飛機(jī)｝,C=｛恰有一彈擊中飛機(jī)｝,D=｛至少有一彈擊中飛機(jī)｝,下列關(guān)系不正確的是（）

A.AcDB.BQD=0

C.A<JC=DD.AU5=BUD

【方法技巧】

事件的關(guān)系運(yùn)算策略

（1）互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生.

（2）進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全

部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)用Venn圖分析事件.

【變式2-1］（2024.重慶.模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于兩個(gè)事件A,3,則事件AUB表示的含義是（）

A.A與8同時(shí)發(fā)生B.A與8有且僅有一個(gè)發(fā)生

C.A與8至少一個(gè)發(fā)生D.A與8不能同時(shí)發(fā)生

【變式2-2】擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上的點(diǎn)數(shù)，若A表示事件“點(diǎn)數(shù)大于3”，8表示事件“點(diǎn)數(shù)為

偶數(shù)”，則事件“點(diǎn)數(shù)為5”可以表示為（）

A.AOBB.AnBC.~A\JBD.A^B

【變式2-3］從10個(gè)事件中任取一個(gè)事件，若這個(gè)事件是必然事件的概率為0.3,是不可能事件的概率為

0.1,則這10個(gè)事件中具有隨機(jī)性的事件的個(gè)數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

【變式2-4】如圖，甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián)構(gòu)成一段電路，設(shè)加="甲元件故障"，N="乙元件故障”，則表

示該段電路沒有故障的事件為（）

甲乙

A.MuNB.MuNC.Mr>ND.~MU

【變式2-5］（2024.上海長(zhǎng)寧.一模）擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)；設(shè)事件A為：至少一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)；

事件8為：點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)；事件A的概率為尸（A）,事件8的概率為P（B）；貝口-尸（AcB）是下列哪個(gè)

事件的概率（）

A.兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)B.至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)

C.兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)D.至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)

題型三：頻率與概率

【典例3-11某人拋擲一枚硬幣80次，結(jié)果正面朝上有43次.設(shè)正面朝上為事件4則事件A出現(xiàn)的概率

為一

【典例3-2］（2024?高三?新疆阿克蘇?期末）“鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實(shí)生活中膽小怕事、自私自

利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象.某地新聞欄目對(duì)該地區(qū)群眾對(duì)“鍵盤俠”的認(rèn)可程度進(jìn)行調(diào)查：

在隨機(jī)抽取的50人中，有14人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對(duì)態(tài)度，若該地區(qū)有7600人，則可估計(jì)該地區(qū)對(duì)

“鍵盤俠”持反對(duì)態(tài)度的有人.

【方法技巧】

（1）概率與頻率的關(guān)系

頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，

f通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能

@性的大小

（2）隨機(jī)事件概率的求法

通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率

f會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就

@是事件的概率，

【變式3-1］（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)口袋中放有3個(gè)白球和〃個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同,

某班50名學(xué)生分別從口袋中每次摸一個(gè)球，記錄顏色后放回，每人連續(xù)摸10次，其中摸到白球的次數(shù)共

152次，以頻率估計(jì)概率，若從口袋中隨機(jī)摸1個(gè)球，則摸到紅球概率的估計(jì)值為.（小數(shù)點(diǎn)后保留一

位小數(shù)）

【變式3-21下列說法：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05,則從中任取200件，必有10件次品；②做

100次拋硬幣的試驗(yàn)，有51次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正面的概率是0.51；③隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定

值；④隨機(jī)事件A的概率趨近于0,即尸（㈤趨近于0,則A是不可能事件；⑤拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是

9

1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是二；⑥隨機(jī)事件的頻率就是這個(gè)事件發(fā)生的概率；其中正確的

有一?

【變式3-3］（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）在對(duì)于一些敏感性問題調(diào)查時(shí)，被調(diào)查者往往不愿意給正確答復(fù)，因

此需要特別的調(diào)查方法.調(diào)查人員設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置，在其中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的50個(gè)

黑球和50個(gè)白球，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從該裝置中抽取一個(gè)球，若摸到黑球則需要如實(shí)回答問題一：你公歷

生日是奇數(shù)嗎？若摸到白球則如實(shí)回答問題二：你是否在考試中做過弊.若100人中有52人回答了“是”，

48人回答了“否”.則問題二“考試是否做過弊"回答“是”的百分比為（以100人的頻率估計(jì)概率）—.

【變式3-4］長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約有40%的人近視，而該校大約有20%的

學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時(shí)，這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查

一名學(xué)生，則他近視的概率約為.

題型四：生活中的概率

【典例4-1】（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）為研究吸煙是否與患肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽

樣的方法調(diào)查了10000人，已知非吸煙者占比75%,吸煙者中患肺癌的有63人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，吸煙

者患肺癌的概率是未吸煙者患肺癌的概率的4.2倍，則估計(jì)本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)是—.

【典例4-2］（2024.北京朝陽(yáng).一模）某購(gòu)物網(wǎng)站開展一種商品的預(yù)約購(gòu)買，規(guī)定每個(gè)手機(jī)號(hào)只能預(yù)約一次,

預(yù)約后通過搖號(hào)的方式?jīng)Q定能否成功購(gòu)買到該商品.規(guī)則如下：（i）搖號(hào)的初始中簽率為0.19；（五）當(dāng)中

簽率不超過1時(shí)，可借助“好友助力”活動(dòng)增加中簽率，每邀請(qǐng)到一位好友參與“好友助力”活動(dòng)可使中簽率

增加0.05.為了使中簽率超過0.9，則至少需要邀請(qǐng)一位好友參與到“好友助力”活動(dòng).

【方法技巧】

概率和頻率的關(guān)系：概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的

大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí)頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似

地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率.

【變式4-1］（2024?江蘇南京.三模）19世紀(jì)，美國(guó)天文學(xué)家西蒙?紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1

開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高.約半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量

數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率約為總數(shù)的三成，接近期望值B的3倍，并提出本福特定律，即在大量6

進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以〃開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為七（〃）=log,如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較

符合該定律.后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性.根據(jù)本福

9

特定律，在某項(xiàng)大量經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)（十進(jìn)制）中，以6開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為—；若

n=k

ZeN*,k<9,則左的值為.

【變式4-2】為了了解學(xué)生遵守《中華人民共和國(guó)交通安全法》的情況，調(diào)查部門在某學(xué)校進(jìn)行了如下的

隨機(jī)調(diào)查:向被調(diào)查者提出兩個(gè)問題：（1）你的學(xué)號(hào)是奇數(shù)嗎？（2）在過路口的時(shí)候你是否闖過紅燈?要求

被調(diào)查者背對(duì)調(diào)查人拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第（1）個(gè)問題;否則就回答第（2）個(gè)問題.被

調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個(gè)問題，只需要回答“是”或“不是”，因?yàn)橹挥斜徽{(diào)查本人知道

回答了哪個(gè)問題，所以都如實(shí)做了回答.如果被調(diào)查的600人（學(xué)號(hào)從1到600）中有180人回答了“是”，由此

可以估計(jì)在這600人中闖過紅燈的人數(shù)是.

【變式4-3］（2024?廣西?二模）今年由于豬肉漲價(jià)太多，更多市民選擇購(gòu)買雞肉、鴨肉、魚肉等其它肉類.

某天在市場(chǎng)中隨機(jī)抽出100名市民調(diào)查，其中不買豬肉的人有30位，買了肉的人有90位，買豬肉且買其

它肉的人共30位，則這一天該市只買豬肉的人數(shù)與全市人數(shù)的比值的估計(jì)值為

題型五：互斥事件與對(duì)立事件

【典例5-1］（2024?高三?上海?開學(xué)考試）裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球，有如下

的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個(gè)白球；③兩球至少有一個(gè)白球，其中與事件“兩球都為

白球”互斥而非對(duì)立的事件是（）

A.①B.①②C.②③D.①②③

【典例5-2】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件：七=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，尸="點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，點(diǎn)數(shù)大

于2"，”="點(diǎn)數(shù)小于2"，尺="點(diǎn)數(shù)為3”.則下列結(jié)論不正確的是（）

A.為對(duì)立事件B.G,"為互斥不對(duì)立事件

C.瓦G不是互斥事件D.G,R是互斥事件

【方法技巧】

1、準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)

生；②對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，既有且僅有一個(gè)發(fā)生.

2、判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，

若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.

【變式5-1］現(xiàn)有一批產(chǎn)品共9件，已知其中5件正品和4件次品，現(xiàn)從中選4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，則下列事

件中互為對(duì)立事件的是（）

A.恰好兩件正品與恰好四件正品

B.至少三件正品與全部正品

C.至少一件正品與全部次品

D.至少一件正品與至少一件次品

【變式5-2】事件A與B獨(dú)立，八月分別是A、8的對(duì)立事件，則下列命題中成立的是（）

A.P（A+B）=P（A）P（B）B.P（A+B）=P（A）+P（B）

c.P（AB）=P（A）P（B）D,P（A+B）=P（A）+I-P（B）

【變式5-3】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件A="出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)"，事件6="出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)”，貝|

事件A與B的關(guān)系為（）

A.相互獨(dú)立事件B.相互互斥事件

C.即相互獨(dú)立又相互互斥事件D.既不互斥又不相互獨(dú)立事件

題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率

【典例6-1】某人忘記了一位同學(xué)電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，但確定這個(gè)數(shù)字一定是奇數(shù)，隨意撥號(hào)，則

撥號(hào)不超過兩次就撥對(duì)號(hào)碼的概率為（）

,1八2r9

A.—B.—C.—D.—

55520

【典例6-2】某同學(xué)參加社團(tuán)面試，己知其第一次通過面試的概率為0.7,第二次面試通過的概率為。“，若

第一次未通過，仍可進(jìn)行第二次面試，若兩次均未通過，則面試失敗，否則視為面試通過，則該同學(xué)通過

面試的概率為（）

A.0.24B.0.42C.0.82D.0.88

【方法技巧】

求復(fù)雜的互斥事件的概率的兩種方法

（1）直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的概率求和

公式計(jì)算.

（2）間接法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式尸（4）=1-尸（力，即運(yùn)用逆向思維（正難則

反）.特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解就顯得較簡(jiǎn)便.

【變式6-1】某商場(chǎng)在618大促銷活動(dòng)中，活動(dòng)規(guī)則是：滿168元可以參加促銷摸獎(jiǎng)活動(dòng)，甲和乙兩個(gè)箱

子各裝有10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)紅球、5個(gè)白球，乙箱中有8個(gè)紅球、2個(gè)白球.顧客首先擲一枚質(zhì)

地均勻的骰子，如果出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1或2,顧客從甲箱子隨機(jī)摸出一個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為3,4,5,6,從乙箱

子隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸出紅球的顧客可以領(lǐng)取獎(jiǎng)品，問顧客中獎(jiǎng)率為—.

【變式6-2】體育課上甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽（甲、乙各投籃一次），甲投中的概率為0.7,乙投中

的概率為0.8,則甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為一.

【變式6-3】某電視臺(tái)舉辦知識(shí)競(jìng)答闖關(guān)比賽，每位選手闖關(guān)時(shí)需要回答三個(gè)問題.第一個(gè)問題回答正確得

10分，回答錯(cuò)誤得0分；第二個(gè)問題回答正確得20分，回答錯(cuò)誤得0分；第三個(gè)問題回答正確得30分，

回答錯(cuò)誤得-20分.規(guī)定：每位選手回答這三個(gè)問題的總得分不低于30分就算闖關(guān)成功.若某位選手回答前

31

兩個(gè)問題正確的概率都是［回答第三個(gè)問題正確的概率是丁且各問題回答正確與否相互之間沒有影響，

則該選手僅回答正確兩個(gè)問題的概率是—；該選手闖關(guān)成功的概率是—.

【變式6-4】甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的

一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為!，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判，

則前4局中乙恰好當(dāng)一次裁判的概率是.

【變式6-5］設(shè)A8是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且尸（A）=g,P（3）=|,P（A+邛=；,則?（Afi）=（）

11

B.-cD.—

5-?10

【變式6-6］（2024?高三.上海.開學(xué)考試）已知事件A與事件B是互斥事件，則（）

A.尸（Xn月）=iB.尸（Ac8）=尸（A）P（5）

C.P（A）=1-P（B）D.P（AUB）=1

1.（2024年上海市1月春考數(shù)學(xué)試題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國(guó)結(jié)、記事本、筆袋，第四

個(gè)禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子，設(shè)事件A：所選盒中有中國(guó)結(jié)，事件2：所選盒中有記事

本，事件C：所選盒中有筆袋，則（）

A.事件A與事件E互斥B.事件A與事件E相互獨(dú)立

C.事件A與事件BuC互斥D.事件A與事件BcC相互獨(dú)立

2.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互

獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為口,〃2,A,且〃3>2>4>。.記該棋手連勝兩盤

的概率為p,則（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

3.（2004年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（江蘇卷））將一顆質(zhì)地均勻的骰子（各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,

2,3,4,5,6）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)1次6點(diǎn)向上的概率是（）.

525-3191

A.-----B.-----C.D.

216216216216

4.（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（重慶卷））從5張100元，3張200元，2張300元的

奧運(yùn)預(yù)賽門票中任取3張，則所取3張中至少有2張價(jià)格相同的概率為（）.

3整除，求下列事件的概率；

（1）這個(gè)數(shù)既能被2整除也能被3整除；

（2）這個(gè)數(shù)能被2整除或能被3整除；

（3）這個(gè)數(shù)既不能被2整除也不能被3整除.

6.如圖是某班級(jí)50名學(xué)生訂閱數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)學(xué)習(xí)資料的情況，其中A表示訂閱數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料的學(xué)生,

B表示訂閱語(yǔ)文學(xué)習(xí)資料的學(xué)生，C表示訂閱英語(yǔ)學(xué)習(xí)資料的學(xué)生

（1）從這個(gè)班任意選擇一名學(xué)生，用自然語(yǔ)言描述1,4,5,8各區(qū)域所代表的事件;

（2）用A,B,C表示下列事件：

①恰好訂閱一種學(xué)習(xí)資料；

②沒有訂閱任何學(xué)習(xí)資料.

7.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲3次，求下列事件的概率：

（1）沒有出現(xiàn)6點(diǎn)；

（2）至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)；

（3）三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為9.

㈤6

〃\\

易錯(cuò)點(diǎn)：混淆頻率和概率

易錯(cuò)分析：（1）頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到事件的頻率可能

不同。（2）概率是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān).

【易錯(cuò)題1】眾所周知，長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約

有30%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過2h,這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過2h的學(xué)生中任意調(diào)

查一名學(xué)生，則該名學(xué)生近視的概率為（）

【易錯(cuò)題2】拋一枚硬幣的試驗(yàn)中，下列對(duì)“伯努利大數(shù)定律”的理解正確的是（）

A.大量的試驗(yàn)中，出現(xiàn)正面的頻率為0.5.

B.不管試驗(yàn)多少次，出現(xiàn)正面的概率始終為0.5

C.試驗(yàn)次數(shù)增大，出現(xiàn)正面的經(jīng)驗(yàn)概率為0.5

D.試驗(yàn)次數(shù)每增加一次，下一次出現(xiàn)正面的頻率一定比它前一次更接近于0.5

答題模板：互斥、對(duì)立事件的辨析

1、模板解決思路

判斷互斥事件、對(duì)立事件時(shí)，首先要明確兩個(gè)事件包含的樣本點(diǎn)，再判斷兩個(gè)事件的交事件是否是空

集，是空集則兩個(gè)事件是互斥事件；若這兩個(gè)互斥事件的并事件是樣本空間，則兩個(gè)事件是對(duì)立事件.注

意事件對(duì)立的前提是互斥.

2、模板解決步驟

第一步：明確兩個(gè)事件包含的樣本點(diǎn)，判斷交事件是否為空集，并事件是否為樣本空間。

第二步：得出結(jié)論.

【經(jīng)典例題1】一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的紅色、黃色和綠色小球各2個(gè)，不放回地逐個(gè)取出2個(gè)

小球，則與事件“2個(gè)小球都為紅色”互斥而不對(duì)立的事件有（）

A,2個(gè)小球恰有一個(gè)紅球B.2個(gè)小球至多有1個(gè)紅球

C.2個(gè)小球中沒有綠球D.2個(gè)小球至少有1個(gè)紅球

【經(jīng)典例題2】某小組有2名男生和1名女生，從中任選2名學(xué)生參加比賽，事件“至少有1名男生”與事件

“至少有1名女生”（）

A.是對(duì)立事件B.都是不可能事件

C.是互斥事件但不是對(duì)立事件D.不是互斥事件

第04講隨機(jī)事件、頻率與概率

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：樣本空間和隨機(jī)事件....................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算..................................................5

知識(shí)點(diǎn)3:概率與頻率............................................................6

題型一：隨機(jī)事件與樣本空間.....................................................7

題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算...................................................8

題型三：頻率與概率.............................................................9

題型四：生活中的概率..........................................................10

題型五：互斥事件與對(duì)立事件....................................................11

題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率........................................12

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................13

05課本典例?高考素材............................................................25

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................14

易錯(cuò)點(diǎn)：混淆頻率和概率........................................................14

答題模板：互斥'對(duì)立事件的辨析................................................15

春情目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

本節(jié)內(nèi)容是概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查形

(1)樣本空間和隨機(jī)事件式可以是選擇填空題，也可以在解答題中

2024年上海卷第15題，4分

(2)兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算出現(xiàn).出題多會(huì)集中在隨機(jī)事件的關(guān)系以

2023年上海卷第5題，4分

(3)頻率與概率對(duì)應(yīng)的概率求解.整體而言，本節(jié)內(nèi)容在

高考中的難度處于偏易.

復(fù)習(xí)目標(biāo)；

(1)了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.

(2)理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算.

匐2

〃二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

隨機(jī)事件頻率與概率

考點(diǎn)突破■題型探究

--------------[HHHJT,

知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)1:樣本空間和隨機(jī)事件

1、隨機(jī)試驗(yàn)

我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E表示.

我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：

（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；

（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.

2、樣本空間

我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，一

般地，用.Q.表示樣本空間，用o表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有〃個(gè)可能結(jié)果電，a>2,0“，

則稱樣本空間。=｛外,在,…｝為有限樣本空間.

3、隨機(jī)事件、確定事件

（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示，為了敘述方

便，我們將樣本空間。的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.當(dāng)

且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生.

（2）。作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以。總會(huì)發(fā)

生，我們稱。為必然事件.

（3）空集0不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱為。為不可能事件.

（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)隨機(jī)事件的確定事件.

【診斷自測(cè)】下列現(xiàn)象是必然現(xiàn)象的是（）

A.某路口每星期發(fā)生交通事故1次

B.冰水混合物的溫度是UC

C.三角形的內(nèi)角和為180。

D.一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊都命中7環(huán)

【答案】C

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：某路口每星期發(fā)生交通事故1次，這個(gè)事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，為隨機(jī)現(xiàn)象，

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：理想狀態(tài)下冰水混合物的溫度應(yīng)是（TC,這個(gè)事件為不可能現(xiàn)象，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：三角形的內(nèi)角和為180。，這個(gè)事件為必然現(xiàn)象，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊都命中7環(huán)，這個(gè)事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，為隨機(jī)現(xiàn)象，故D

錯(cuò)誤；

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)2：兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算

1、事件的關(guān)系與運(yùn)算

①包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件A和事件3,如果事件A發(fā)生，則事件3一定發(fā)生，這時(shí)稱事件3包

含事件A（或者稱事件A包含于事件3）,記作3?A或者Au8.與兩個(gè)集合的包含關(guān)系類比，可用下圖

表示：

不可能事件記作0，任何事件都包含不可能事件.

②相等關(guān)系：一般地，若BqA且AqB,稱事件A與事件5相等.與兩個(gè)集合的并集類比，可用下

圖表示：

③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件3發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件

3的并事件（或和事件），記作AU3（或A+3）.與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：

④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件3發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件

B的交事件（或積事件），記作（或AB）.與兩個(gè)集合的交集類比，可用下圖表示：

2,互斥事件與對(duì)立事件

（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件A和事件3不能同時(shí)發(fā)生，即4口8=0，則稱事件A與事件3

互斥，可用下圖表示:

Q

如果4，4，....A“中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件A，.A.,4彼此互斥.

（2）對(duì)立事件：若事件A和事件3在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即AUB=。不發(fā)生,

AQB=0則稱事件A和事件B互為對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記為A.

（3）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系

①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者

之一必須有一個(gè)發(fā)生.

②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條

件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件.

【診斷自測(cè)】擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或3”為事件A,“向上的點(diǎn)數(shù)是1或5”為事件8,

貝I（）

A.A=B

B.AUB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或5

C.AUB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3

D.AcB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或5

【答案】B

【解析】由題可知，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或3”為事件A,“向上的點(diǎn)數(shù)是1或5”為事件2,

所以事件B不等于事件A,故A錯(cuò)誤；

事件AUB表示“向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或5”，故B正確，C錯(cuò)誤；

事件AcB表示“向上的點(diǎn)數(shù)是1"，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

知識(shí)點(diǎn)3：概率與頻率

（1）頻率：在W次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)上稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)上與總次數(shù)”的比

值幺，叫做事件A發(fā)生的頻率.

n

（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率4總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近

擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P（A）.

（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率&隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)

n

定于概率p（A）,因此可以用頻率&來估計(jì)概率尸（A）.

n

【診斷自測(cè)】在調(diào)查運(yùn)動(dòng)員是否服用過興奮劑的時(shí)候，給出兩個(gè)問題作答，無關(guān)緊要的問題是：“你的身

份證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員擲一枚硬幣，

如果出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問題，否則回答第二個(gè)問題.由于回答哪一個(gè)問題只有被測(cè)試者自己知道，

所以應(yīng)答者一般樂意如實(shí)地回答問題.如我們把這種方法用于300個(gè)被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員，得到80個(gè)“是”的回

答，則這群人中服用過興奮劑的百分率大約為（）

A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%

【答案】B

【解析】因?yàn)閽佊矌懦霈F(xiàn)正面朝上的概率為1，大約有150人回答第一個(gè)問題，

又身份證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)是等可能的，

在回答第一個(gè)問題的150人中大約有一半人，即75人回答了“是”，

共有80個(gè)“是”的回答，故回答服用過興奮劑的人有5人，

因此我們估計(jì)這群人中，服用過興奮劑的百分率大約為高。3.33%.

故選：B

題型洞察

題型一：隨機(jī)事件與樣本空間

【典例1-1】若隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為。={0,1,2},則下列說法不正確的是（）

A.事件P={L2}是隨機(jī)事件B.事件。={0』,2}是必然事件

C.事件〃={-1,-2}是不可能事件D.事件{-1,0}是隨機(jī)事件

【答案】D

【解析】隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為。={0』,2},

則事件尸={1,2}是隨機(jī)事件，故A正確；

事件Q={0」,2}是必然事件，故