數(shù)列與不等式（2021-2022年高考真題）（解析版）-高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點資料歸納

第5講數(shù)列與不等式

一、單選題

1.（2022?全國?高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相

鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中

。。1，。68練例是舉，。外。小賓,網(wǎng)是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

豪二05亢士=心右1=黃=&.已知收成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的

C//>|/>C|CrJjt5/\

斜率為0.725,則收=（）

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)0口=。&=。4=%=1,則可得關(guān)于網(wǎng)的方程，求出其解后可得正確的選項.

【詳解】

設(shè)OD、=DC、=CB、=BA,=1,則CG=匕,8同=&,

他+CG+網(wǎng)+A4,

依題意，有勺—0.2=占,%-01=&，且=0.725.

OD[+OC[+CB]+BA^

所以0.5+3?-0.3=0725,故&=0.9,

4

故選：D

2.（2022?全國?高考真題（理））嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為

我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用

]

14=1+

到數(shù)列也｝:4="；，"一"二?+'T，…，依此類推，其中

a\ula,+—

%

akeN*(^=l,2,??).則()

A.b、〈bsB.b'VbgC.4Vb2D.bA<b?

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)《￡N?伙=1,2,…)，再利用數(shù)列也｝與4的關(guān)系判斷出｝中各項的大小，即可求解.

【詳解】

解:因為％eN,信=12…),

,11

1>

所以四〈。|+—，?)“*_L，得到a>〃2，

%ul十

a2

11

(x[+—>a+.“

同理4°+_L，可得與<4，4

%

1111

->----------j—，%+--------「<。]+-------j—

又因為“a2+.........-a24--a2+-----「，

%+—%%+一

&4

故％<4，/>〃；

以此類推，可得〃>/>/>">…，">"，故A錯誤；

4>">々，故B錯誤；

11

屋,i

2%+「，得4<4,故c錯誤；

%+…一

%

11

%+----------j->%+--------------j-

。2+--------pa?+…--------1，得故D正確.

%+—4+—

4%

故選：D.

3.(2022,全國?高考真題(文))已知等比數(shù)列｛q｝的前3項和為168,，-4=42,則4=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4國工0,易得4/1，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列

的通項即可得解.

【詳解】

解：設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比為夕,#0,

若q=l,則/-。5=0,與題意矛盾,

所以"1,

4(1一XO%=96

則卜+/+%=F-=l68,解得

1

q=a

&-%=。聞-4g$=42

所以%=a4=3.

故選：D.

4.（2021?北京?高考真題）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨

黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長

%生嗎，4M5（單位:cm）成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為么也也也也（單位:cm）,且長與寬之比都相

等，已知4=288,6=96,4=192,則&=

A.64B.96C.128D.160

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為d,求得d=Y8,得到%=192,結(jié)合黨旗長與寬之比都相等和自二192,

列出方程，即可求解.

【詳解】

由題意，五種規(guī)格黨旗的長4,%，%，4，%（單位:cm）成等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

因為q=288,%=96,可得d=&二￡!■=史二"§=-48,

5—13

可得%=288+（3-1）x（-48）=192,

又由長與寬之比都相等，且4=吟可得?=務(wù)所以生=*詈=128.

b、byq2oo

故選：c.

5.（2021?北京?高考真題）已知｛q｝是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且423,若

q+4+■??+4=100,則〃的最大值為（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

【分析】

使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項及求和公式求得〃可能的最大值，然后

構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到〃的最大值.

【詳解】

若要使〃盡可能的大，則%,遞增幅度要盡可能小，

不妨設(shè)數(shù)列｛4｝是首項為3,公差為1的等差數(shù)列，其前〃項和為§,?

334

則=--XI2=I02>100,

2

所以〃411.

對于q=〃+2,SH=x11=K8<1007

取數(shù)列｛4｝各項為2=〃+2（〃=1,2,…10）,旬=25,

貝q+4+…+qi=100,

所以〃的最大值為11.

故選：C.

6.（2021?全國?高考真題（文））記S”為等比數(shù)列｛〃"｝的前"項和.若S：=4,S4=6,則§6=

（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題目條件可得邑，S「S”§6-S,成等比數(shù)列，從而求出S6-S4=l,進(jìn)一步求出答案.

【詳解】

團(tuán)S.為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，

團(tuán)邑，S4-S2,成等比數(shù)列

0S2=4,S4-S2=6-4=2

□S6-S4=1,

0S6=l+S4=1+6=7.

故選：A.

7.（2021?全國?高考真題（理））等比數(shù)列｛《,｝的公比為小前.〃項和為S”，設(shè)甲：<7>0,

乙：⑸｝是遞增數(shù)列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

當(dāng)4>0時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)｛S.｝是遞增數(shù)列時，必有4>0成立

即可說明4>0成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案.

【詳解】

由題，當(dāng)數(shù)列為-2,-4,-8,?時，滿足“0,

但是｛S“｝不是遞增數(shù)列，所以甲天是乙的充分條件.

若｛S.｝是遞增數(shù)列，則必有對>0成立，若夕>0不成立，則會出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛

盾的，則q>0成立，所以甲是乙的必要條件.

故選：B.

【點睛】

在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證

明過程.

8.（2022?上海?高考真題）已知a>b>c>d,下列選項中正確的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+d

C.ad>bcD.ac>bd

【答案】B

【解析】

【分析】

用不等式的基本性質(zhì)得解.

【詳解】

Q3>2>1>0,但3+0=2+1,3x0<2xl,A、C錯

Qa>b>c>d,:.a>c,b>d,所以a+c>b+d.B正確.

Q30>2>-l>-2,但30x（-l）v2x（—2）,D錯.

故選:B.

9.（2021?全國?高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|4-

」|sinx\

4

C.y=2x+22~xD.y=lnx+—

\nx

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等"，即可

得出員。不符合題意，C符合題意.

【詳解】

對于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3>3,當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時取等號，所以其最小值為3,A

不符合題意；

對于B,因為Ov卜而a41,丁二卜山H+品224=4,當(dāng)且僅當(dāng)卜inx|=2時取等號，等號

取不到，所以其最小值不為4,B不符合題意；

對于C,因為函數(shù)定義域為R,而2*>0,y=2'+22T=2'+2224=4,當(dāng)且僅當(dāng)2，=2,

即”=1時取等號，所以其最小值為4,C符合題意；

對于D,y=lnx+--,函數(shù)定義域為(0,1)(l,+oo),而InxtR且IniwO,如當(dāng)lnx=-l,

inx

1t,D不符合題意.

故選：C.

【點睛】

本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確"一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函

數(shù)的性質(zhì)即可解出.

二、多選題

10.(2021?全國?高考真題)設(shè)正整數(shù)〃=%2°+q?2++%?獷+4",其中q.0,1},

記<y(〃)=%+q++%.則()

A.co(2n)=ty(n)B.勿(2〃+3)=G(〃)+1

C.&(8〃+5)=研4〃+3)D.0(2"-1)=拉

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用啰(〃)的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.

【詳解】

+,

對于A選項，=%+a[+,2n=4,2,+4?2?+,,+4T-2*+ak,2*,

所以，。(2〃)=4+4+.?+q=s(〃)，A選項正確；

對于B選項,取〃=2,2n+3=7=l-20+l-2,+l-2\/.tw(7)=3,

而2=0.2。+12,則奴2)=1,即。⑺工&(2)+1,B選項錯誤；

k+324k+3

對于C選項，8〃+5=4"+勺24+..+ak2+5=V2°+l-2+a()-2^ai2+^+ar2f

所以，磯8〃+5)=2+/+4+.+4,

23+223

4n+3=a0-2+a1-2+-+at-2*4-3=1-20+1-2'+a0-2+a,-2+

所以，。（4〃+3）=2+/+4++4，因此，口（8〃+5）=。（4〃+3）,C選項正確:

對于D選項，2〃—l=20+2"..+2f故"2"-1）=%D選項正確.

故選：ACD.

11.（2022?全國?高考真題）若x,y滿足f+/一盯=i,則（）

A.x+y<\B.x+y^-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假.

【詳解】

因為7（a,b\R）,由f+）/一個=]可變形為，

=,解得_24x+），K2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-l時，x+y=-2,當(dāng)

且僅當(dāng)％=y=l時，x+y=2,所以A錯誤，B正確；

22

由丁+/_孫=1可變形為（42+）,2）-1=即w上半解得/+）,2<2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±l

時取等號，所以C正確；

因為Y+V-盯=1變形可得h-1J+（y2=i,設(shè)x_]=8sa母y=sin6,所以

12

x=cos^4--7=sin0,y=—f=sinO,因此

x2+y2=cos2^+-sin2^+-?=rsin6cos^=l+-Usin2^--cos2^+-

3G633

所以當(dāng)X=字尸當(dāng)時滿足等式’但是—』不成立,

所以D錯誤.

故選：BC.

三、雙空題

12.（2021?全國?高考真題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條

對稱軸把紙對折，規(guī)格為20dmxl2dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dmxl2dm,

20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它優(yōu)的面積之和S=240dn?,對折2次共可以得到5dmx12dm,

10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S?=IBOdm2,以此類推，則對

折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折〃次，那么'工=dm2.

k=\

■公士■--八15（3+〃）

【答案】5720--

2"T

【解析】

【分析】

（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得S“，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.

【詳解】

（1）由對折2次共可以得到5dllix12dm,lOdmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形,所以

對著三次的結(jié)果有：|x12,5x6,10x3；20x^,共4種不同規(guī)格（單位dm）；

故對折4次可得到如下規(guī)格：料52,|5x6,5x3,10x（320x33,共5種不同規(guī)格；

（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格

如何，其面積成公比為；的等比數(shù)列，首項為120（dn?）,第〃次對折后的圖形面枳為

120x（1]“',對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為

〃+1種（證明從略），故得猜想￡=空絆

120x2120x3120x4+L+^11

設(shè)S=,0+0I/)2

120x2120x3120/!1205+1)

嗚s=---；—+——：—+

兩式作差得:

京=240+120&+泉+…+擊卜坐少

=360-耳型回120(n+3)

2〃一2”~—

240(/1+3)八15(n+3)

因此，5=720-———^=720-

2"2“一4

故答案為：5；720」5；二3）

【點睛】

方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：

（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；

（2）對于｛。也｝結(jié)構(gòu)，其中｛4｝是等差數(shù)列，低｝是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；

（3）對于｛4+〃｝結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；

（4）對于，一!一；結(jié)構(gòu)，其中血｝是等差數(shù)列，公差為d（dHO）,則」—=W--L

利用裂項相消法求和.

四、填空題

13.（2022?全國?高考真題（文））記S”為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和.若2s3=3S2+6,則公

差1=.

【答案】2

【解析】

【分析】

轉(zhuǎn)化條件為2（4+2J）=2q+d+6.即可得解.

【詳解】

由2邑=35,+6可得2（4+4+々3）=3（4+0,）+6,化簡得2a3=4+a2+6,

即2（4+"）=%+"6,解得d=2.

故答案為：2.

14.（2022?上海?高考真題）不等式?<0的解集為

【答案】｛x|O<x<1｝

【解析】

【分析】

根據(jù)分式的運算性質(zhì)分類討論求出不等式的解集.

【詳解】

x-l<0[x-l>0

—<0=>或Wx<°,解第一個不等式組，得。。6第二個不等式組的解集

xx>0

為空集.

故答案為：卜|0<“<1｝

【點睛】

本題考查了分式不等式的解集，考查了數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.(2021?天津?高考真題)若則上+於■+0的最小值為___________.

a3

【答案】2&

【解析】

【分析】

兩次利用基本不等式即可求出.

【詳解】

?>0,b>0f

/此2保+力=,此2即=2&，

當(dāng)且僅當(dāng)』=二且?=6,即〃=b=及時等號成立，

aob

所以6的最小值為2尤.

故答案為：2vL

五、解答題

16.(2022?全國?？颊骖})已知｛《,｝為等差數(shù)列，｛2｝是公比為2的等比數(shù)列，且

a2-b2=a3-b3=b4-a4.

⑴證明：4=么；

⑵求集合招4=4+4」《加工500｝中元素個數(shù).

【答案】⑴證明見解析；

(2)9.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)題意列出方程組即可證出；

(2)根據(jù)題意化簡可得帆=2g,即可解出.

(1)

/、q+d—2Z>]=4+2d-4bt/

設(shè)數(shù)列｛叫的公差為〃，所以,(個辦即可解得，方所以

248V34,

原命題得證.

(2)

[tl（1）知，b\=%=g,所以“=q”+4u>4x2"T=4-l）d+4,即2i=2m,亦即

2

/W=2*-e[1,500],解得24410,所以滿足等式的解2=2,3,4,-IO,故集合

｛k\bk=tim+a1,l<m<500｝中的元素個數(shù)為10-2+1=9.

17.（2022?全國?高考真題）記S.為數(shù)列｛可｝的前〃項和，已知4=1,｛斗是公差為;的等差

數(shù)列.

⑴求｛%｝的通項公式；

111c

（2）證明：一+—++一<2.

64%

【答案】（1）4=\

⑵見解析

【解析】

【分析】

（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得&=1+;（〃-1）=彳，得到邑=空區(qū)，利用和與

項的關(guān)系得到當(dāng)〃之2時，%=S._S,i=（〃+；）"--"，進(jìn)而得:子=合，利用

累乘法求得4=嗎6,檢驗對于〃=1也成立，得到｛《,｝的通項公式q=當(dāng)4;

（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到,+'+…+,=2（1--進(jìn)而證得.

qa2an\n+\J

⑴

s

L

團(tuán)4=1,aS]=a]=1,0—=l/

a\

s

乂團(tuán)1是公差為11的等差數(shù)列，

MJ3

S1/xn+2（〃+2）a

團(tuán)廣=+,（〃_）=~F，ms.=工,

anJ,l3J

回當(dāng)〃之2時，S”_1J"；”".,

啊=邑-%=四曲巨，

””?-i33

整理得：（〃—1）%=5+1）%」

a?〃+1

EP—=--

an-\"1

a.&a?_.a

回4“=4X—=X...X——n—

4a24-2an-\

,34nn+1〃(〃+

=lx—X—X...X----X----=---

23n-2n-\2

顯然對于〃=1也成立，

團(tuán)｛4｝的通項公式4=心⑴；

J+L±^_0/1_1\flO

q%+4=2LI2；(23j(〃n+l)]In+lj<2

9C

18.(2022?全國?高考真題(理))記S”為數(shù)列｛4｝的前〃項和.已知寸+〃=2勺+1.

⑴證明：｛4｝是等差數(shù)列；

⑵若見,生,為成等比數(shù)列，求3的最小值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵-78.

【解析】

【分析】

(1)依題意可得2S.+〃2=2M“+〃，根據(jù)%=竹〃:、c，作差即可得到可-4T=1，

從而得證；

(2)由(工)及等比中項的性質(zhì)求出外，即可得到｛4｝的通項公式與前〃項和，再根據(jù)二次

函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

(1)

2s

解：因為——+n=2an+1,即2Sn+n~=1nan+n(T),

n

2

當(dāng)〃22時，2SW_,+(/7-l)=2(n-l)^_,+(?-1)?,

①一②得，2s————

gp26tw4-2n-l=2/wM-2(n-l)a,,_14-1,

即2(〃一1)?！耙?(〃一l)a,i=2(〃-1),所以?！耙环惨?=1,〃之2且〃eN*,

所以｛勺｝是以1為公差的等差數(shù)列.

（2）

解：由（1）可得q=4+3,%=4+6,%=4+8,

又4,%,生成等比數(shù)列，所以。72=6?%，

即（4+6）2=（4+3>（4+8）,解得％=72,

用5_IQmi、1c…125\（25?625

所以%—〃—13,所以S“二-12〃4-------——n"2----n=—n----I-----?

“222212yl8

所以，當(dāng)〃=12或〃=13時（S）.=一78.

19.（2021?全國?高考真題）記S“是公差不為0的等差數(shù)列｛an｝的前〃項和，若/=S$M2a4=54.

（1）求數(shù)列｛《,｝的通項公式4;

（2）求使S“>a”成立的〃的最小值.

【答案】（1）?！倍?〃-6；（2）7.

【解析】

【分析】

⑴由題意首先求得的的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項公式；

⑵首先求得前n項和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

【詳解】

⑴由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：&=5%,則：%=5。3，，%=0，

設(shè)等差數(shù)列的公差為"，從而有：用外式6一內(nèi)儂+4卜一丁,

S4=q+%+/+4=3-24）+（4-d）+4+3—d）=—2d,

從而：-d2=-2d?由于公差不為零，故：d=2,

數(shù)列的通項公式為：4=%十（〃-3）4=2〃-6.

⑵由數(shù)列的通項公式可得：4=2-6=-4,則：5“=”（-4）+也>乂2=〃2-5〃，

則不等式，>勺即:n2-5n>2/2-6,整理可得：（〃-1）5-6）>0,

解得：〃<1或〃>6,又〃為正整數(shù)，故〃的最小值為7.

【點睛】

等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等

差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用.

20.（2021?全國?高考真題（文））記S”為數(shù)列｛6｝的前〃項和，己知④>0,生=3%,且數(shù)列

｛#：｝是等差數(shù)列，證明：血｝是等差數(shù)列.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】

先根據(jù)■求出數(shù)列｛底｝的公差進(jìn)一步寫出｛底｝的通項，從而求出｛4｝的通項

公式，最終得證.

【詳解】

回數(shù)歹|J｛底｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d=￡-網(wǎng)=-屈=屈

團(tuán)鄧^=苑+（〃-1）冊"=〃"，（neN*）

團(tuán)S“=4〃2,（"eN，）

2H2

團(tuán)當(dāng)時，an=Sn-Sn_1=a]n-a1（-1）=2axn-a｝

當(dāng)〃=1時，24x1-4=4,滿足可=2q〃一"，

團(tuán)｛4｝的通項公式為4=2q〃—q,5wN,）

團(tuán)4-%=（2W-q）-[2q-1）-q]=24

團(tuán)｛〃“｝是等差數(shù)列.

【點睛】

在利用4=S”-S〃T求通項公式時一定要討論〃=1的特殊情況.

21.（2021?全國?高考真題（理））記5“為數(shù)列㈤｝的前〃項和，〃為數(shù)列⑸｝的前〃項積,

21

已知T+T=2.

S”bn

（1）證明：數(shù)列也｝是等差數(shù)列；

（2）求｛%｝的通項公式.

3?

5"=1

【答案】（1）證明見解析；（2）%=｛]

----7------\，〃22

【解析】

【分析】

（1）由已知H=2得$二??；且也產(chǎn)（），取〃=1,得自=1,由題意得

52次-12

2b2b2人2人b

不古?拓父…五;=d,消積得到項的遞推關(guān)系五:，進(jìn)而證明數(shù)列圾｝是等差

數(shù)歹U；

(2)由(1)可得勿的表達(dá)式由此得到5“的表達(dá)或然后利用和與項的關(guān)系求得

；，〃二1

而可

【詳解】

(1)［方法一］:

由已知卷+(=2得S“=瞪工也工°，b尸；,

取〃=1,由得偽=方

由于々為數(shù)列⑸｝的前〃項積,

所以工a.2bn,

所以---------="

24-124-125-1''

2b.2A..2%_b

加以Cl1OZ1

2b1-12b2-12%7…

斫U22+1-勿+1

2%-1a

由于“川工。

聽力2-'即4+i=；，其中〃wN'

//1以>?19

2%T%

所以數(shù)列也｝是以4=T為首項，以d=g為公差等差數(shù)歹IJ；

［方法二］【最優(yōu)解】：

由已知條件知ass……晨?s”①

于是%-￡邑邑?…S"〃之2).②

由①②得白=S..③

Un-\

21c八

f④

由③④得…T=g.

令〃=1,由￡=4，得自=T.

所以數(shù)列｛4｝是以I為首項，;為公差的等差數(shù)列.

［方法三］:

21S

由不+丁=2,得以=寸5,且S.HO,dwo,S-1.

又因為2=S”￡T……S=S”也…所以%咚二與匕，所以

b-b.=—-----!—=S°T=-(?>2)

“z2Sn-22Sn-22(S?-1)2(一九

21c3

在《-+77=2中，當(dāng)〃=1時，=5,=-.

%0n2

故數(shù)列｛〃｝是以m為首項，3為公差的等差數(shù)列.

[方法四]:數(shù)學(xué)歸納法

由已知春+!=2,得S.=尋[4=]3=2,a=。，猜想數(shù)列也｝是以與為首項,

3為公差的等差數(shù)列，且“=g〃+l.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

當(dāng)〃=1時顯然成立.

假設(shè)當(dāng)〃=上時成立，即仇=彳攵+1,￡=J.

那么當(dāng)月=4+1時，心=".%=|'9+1]411=卓;(A+D+1.

綜上，猜想對任意的〃eN都成立.

即數(shù)列｛〃｝是以T為首項，g為公差的等差數(shù)列.

(2)

由(1)可得，數(shù)列｛"｝是以為首項，以d=g為公差的等差數(shù)列，

.也=在(〃-1年=1+不

S=2VJ+〃

"2bn-\1+〃’

3

當(dāng)〃=1時，q=S[=5，

c_2+〃1+〃I

當(dāng)n>2時=S“—S”T一一1=一/顯然對于=l不成立，

1+nn+n

ln=1

團(tuán)見=，1

----7-----7T，〃22

〃+1)

【整體點評】

2?2b

（i）方法一從不+7=2得s“=五二，然后利用"的定義，得到數(shù)列他｝的遞推關(guān)系，

進(jìn)而替換相除消項得到相鄰兩項的關(guān)系，從而證得結(jié)論：

方法二先從"的定義，替換相除得到力邑，再結(jié)合>卷=2得到4-%=g,從而證

得結(jié)論，為最優(yōu)解；

21Sb1

方法三由丁+7=2,得以二五±，由〃的定義得。_廣才=歹工.進(jìn)而作差證得結(jié)

論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列"=g〃+l,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論.

（2）由（1）的結(jié)論得到2=g〃+l,求得S”的表達(dá)北然后利用和與項的關(guān)系求得｛q｝的

通項公式；

22.（2021?全國?高考真題（理））已知數(shù)列｛嗎的各項均為正數(shù)，記S”為｛嗎的前〃項和，

從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛叵｝是等差數(shù)列；③%=3%.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

【答案】證明過程見解析

【解析】

【分析】

選①②作條件證明③時，可設(shè)山區(qū)，結(jié)合為同的關(guān)系求出為,利用｛4｝是等差數(shù)列可

證電=3q：也可分別設(shè)出公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù)，得到

等量關(guān)系，進(jìn)行證明.

選①③作條件證明②時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出瘋，結(jié)合等差數(shù)列定義可證;

選②③作條件證明①時，設(shè)出局=加+〃，結(jié)合凡，邑的關(guān)系求出可，根據(jù)％=3q可求力，

然后可證｛q｝是等差數(shù)列；也可利用前兩項的差求出公差，然后求出通項公式，進(jìn)而證明出

結(jié)論.

【詳解】

選①②作條件證明③：

［方法一］:待定系數(shù)法+4與S“關(guān)系式

設(shè)^^=曲+伏〃>0）,則5“=（3!+6）2,

當(dāng)〃=1時，a1=￡=（a+b）2：

當(dāng)〃之時，a=S-(an+2(an-a+h^=a(2an-a+2b)；

2nnS/r_j=Z?)-

因為｛，/也是等差數(shù)列，所以("+6)2—a(2a-a+3),解得6—0；

2

所以a”=/(2〃-1),at=a,故%=3。2=34].

[方法二]:待定系數(shù)法

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等差數(shù)列｛點｝的公差為4,

則S=施+(〃T)4，將s'=嗎+歿』d代入皿=弧+5-1)4，

化簡得夕2+(4-3?=42〃2+僅.4—242)〃+(8一4)2對于皿力+恒成立.

d=2d：,

則有"2q-d=4苑&-44；,解得&=8，d=2a1.所以々2=3〃].

施-4=0,

選①③作條件證明②：

因為%=3q,｛《｝是等差數(shù)列，

所以公差4=&-4=24,

2

所以S〃=na]+"(；04=na｝,即=M門,

因為67-底=區(qū)(〃+1)-口?=用，

所以｛點｝是等差數(shù)列.

選②③作條件證明①：

[方法一]:定義法

設(shè)=伏々>貝=(卬!+力『，

0),11sl

當(dāng)〃=1時，q=S[=(a+Z?)2；

2

當(dāng)〃之2時，an=Sn-Sn_｝=(an+Z?)-(an-a+b^=a(2an-a+2b)；

因為%=3q,所以a(3a+?)=3(a+6)2,解得匕=0或方=-當(dāng)；

當(dāng)力=0時，4=。2嗎=/(2〃-1),當(dāng)〃N2時，6?%=2/滿足等差數(shù)列的定義，此時｛4｝

為等差數(shù)列；

當(dāng)力=-當(dāng)時，y[S^=an+b=an-^at后=-1<0不合題意，舍去.

綜上可知｛《,｝為等差數(shù)列.

【方法二】【最優(yōu)解】：求解通項公式

因為，=3q,所以6=口，6=師乙=卬或，因為｛點｝也為等差數(shù)列，所以公差

4=\[^]-塔=m，所以=?"+（〃-1）4=力施\故工=1%當(dāng)時，

=S“-S”_[=〃％-（“-I）%]=（2〃-1）4,當(dāng)〃=1時，滿足上式，故｛?！保耐椆綖?/p>

%=（2〃-1）《，所以4_1=（2〃-3）4,%-%=2%,符合題意.

【整體點評】

這類題型在解答題中較為罕見,求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件,結(jié)合相關(guān)公式,逐步推演，

選①②時，法一：利用等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于〃的一次函數(shù)，直接設(shè)出

1rs〃=]

底=〃〃+/〃>0）,平方后得至UI的關(guān)系式,利用q=J,、0得至處q｝的通項公式,

進(jìn)而得到生=36，是選擇①②證明③的通式通法；法二：分別設(shè)出｛4｝與｛，｝的公差，

寫出各自的通項公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù)，得到等量關(guān)系4=JZ，d=2《,進(jìn)而

得到的=34；選①③時，按照正常的思維求出公差，表示出S”及￡,進(jìn)而由等差數(shù)列

定義進(jìn)行證明：選②③時，法一：利用等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于兒的一次函數(shù)，直接設(shè)

出底=m+員a>0）,結(jié)合仆,S.的關(guān)系求出凡，根據(jù)々=34可求力，然后可證｛4｝是等差

數(shù)列；法二:利用瘋是等差數(shù)列即前兩項的差4=病-后=向求出公差,然后求出￡

的通項公式，利用勺=，s_s>2,求出｛《J的通項公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.

、nn-\，“一

23.（2021?全國?高考真題（文））設(shè)應(yīng)｝是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列也｝滿足"二號.已

知q,3%，9%成等差數(shù)列.

（1）求應(yīng)｝和也｝的通項公式；

C

（2）記S“和7；分別為｛4｝和也｝的前〃項和.證明：

【答案】（1）勺=《尸，么=（：（2）證明見解析.

【解析】

【分析】

（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及q得到9/—64+1=0,解方程即可；

（2）利用公式法、錯位相減法分別求出S“,7；,再作差比較即可.

【詳解】

（1）因為｛為｝是首項為1的等比數(shù)列且囚，3%，9%成等差數(shù)列，

所以6%=%+M，所以6aq=q+9a4,

即9/—6q+l=0,解得夕二;，所以凡=（；）”“，

所以"=詈=/

（2）［方法一］:作差后利用錯位相減法求和

SIf11111

2n=5〔變+要+鏟+,+F1

Sn23〃)1cli110--1-12--

萬七與十k+不一5卬+至+?++F卜三+M+^++

,1

0-11-i2--71-1——

設(shè)「=0?+」+=++—r^，⑧

”3031323”T

n_X1__L9---1--

貝％廿2?⑨

3”

_3

所以「=——!__上=_」^?

"4x3"-22X3”T2X3”T

因此7；_&=4—=一一—<0.

"23"2x3n',2x3,

故。吟.

［方法二］【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法

證明：由（1）可得s.=—^=4（1--）,

1--23

3

12n-\n不

1T=3+靈++尹+守①

12w-1n小

/三+十十丁+訶，②

①一②得=?/++卜晝

3向23”3.，

所以方=；3（＞"1）-

2-r

所以『茅加等-合中f=n

<0,

2-3"

所以4吟q

［方法三］:構(gòu)造裂項法

由（回）知〃=〃5，令c“=(a〃+/)且以=q-c”+】，即

（…）出-[a(〃+1)”]出

通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得a=》=（,所以%=&+：）（拼

章43捫下同方法二

則7；=4+%++々=—

［方法四］:導(dǎo)函數(shù)法

H,X(1-X)

設(shè)f(x)=3+/+/+…+工”=-3----L，

\-x

1(「'”)][M1-叩(1)-卜(1一爐)卜(1―力'1+★'川(〃+1)/

由于

(if(1-x)2