專題05 勾股定理的應用 帶解析

2022-2023學年人教版八年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題05勾股定理的應用一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?東營區(qū)校級期末）如圖，一棵大樹被臺風掛斷，若樹在離地面3m處折斷，樹頂端落在離樹底部4m處，則樹折斷之前高（）A．5m B．7m C．8m D．10m解：如圖；．在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，由勾股定理，得：AC＝＝5米，∴AC+AB＝3+5＝8米，即大樹折斷之前有8米高．故選：C．2．（2分）（2022春?海安市期中）《九章算術》中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？題意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？設折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）A．x2?3＝（10?x）2 B．x2?32＝（10?x）2 C．x2+3＝（10?x）2 D．x2+32＝（10?x）2解：設折斷處離地面x尺，根據(jù)題意可得：x2+32＝（10﹣x）2，故選：D．3．（2分）（2022春?沂水縣期中）如圖，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5m的墻上，裝有一個由傳感器控制的門鈴A，如①圖所示，人只要移至該門口4m及4m以內時，門鈴就會自動發(fā)出語音“歡迎光臨”，如②圖所示，一個身高1.5m的學生走到D處，門鈴恰好自動響起，則該生頭頂C到門鈴A的距離為（）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米解：由題意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，CE＝4m，由勾股定理得AC＝＝＝5（m），故離門5米遠的地方，門鈴恰好自動響起．故選：C．4．（2分）（2022春?元陽縣期末）為加強疫情防控，云南某中學在校門口區(qū)域進行入校體溫檢測．如圖，入校學生要求沿著直線AB單向單排通過校門口，測溫儀C與直線AB的距離為3m，已知測溫儀的有效測溫距離為5m，則學生沿直線AB行走時測溫的區(qū)域長度為（）A．4m B．5m C．6m D．8m解：連接AC、BC，過點C作CF⊥AB于F，因為測溫儀的有效測溫距離為5m，所以AC＝BC＝5m，又測溫儀C與直線AB的距離為3m，在Rt△ACF中，據(jù)勾股定理得：AF＝＝＝4（m），同理得BF＝4m，所以AB＝8m，即學生沿直線AB行走時測溫的區(qū)域長度為8m．故選：D．5．（2分）（2022春?綿陽期末）如圖，在長方體ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，長為10cm的細直木棒IJ恰好從小孔G處插入，木棒的一端I與底面ABCD接觸，當木棒的端點Ⅰ在長方形ABCD內及邊界運動時，GJ長度的最小值為（）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm解：當GI最大時，GJ最小，當I運動到點A時，GI最大，此時GI＝，而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI＝＝＝5，∴GJ長度的最小值為（10﹣5）cm．故選：A．6．（2分）（2022春?上虞區(qū)期末）如圖，斜靠在墻上的一根竹竿，AB＝10m，BC＝6m，若A端沿垂直于地面的方向AC下移2m，則B端將沿CB方向移動的距離是（）米．A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.2解：如圖，由題意可知，AC⊥BC，則△ABC是直角三角形，∵AB＝10m，BC＝6m，∴AC＝＝＝8（m），∵A端沿垂直于地面的方向AC下移2m，∴A'C＝AC﹣AA'＝8m﹣2m＝6（m），∴CB'＝＝＝8（m），∴BB'＝CB'﹣CB＝8﹣6＝2（m），即B端將沿CB方向移動的距離是2m，故選：C．7．（2分）（2022春?香坊區(qū)期末）如圖是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸（單位：mm），可以計算出兩圖孔中心B和C的距離為（）mm．A．120 B．135 C．30 D．150解：如圖，在Rt△ABC中，AC＝180﹣60＝120（mm），AB＝150﹣60＝90（mm），∴BC＝＝150（mm），∴兩圓孔中心B和C的距離為150mm．故選：D．8．（2分）（2022春?番禺區(qū)期末）如圖，AB，BC，CD，DE是四根長度均為5cm的小木棒，點A、C、E共線．若AC＝6cm，CD⊥BC，則線段CE的長度是（）A．7cm B．6cm C．8cm D．8cm解：由題意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，過B作BM⊥AC于M，過D作DN⊥CE于N，則∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，∴∠CBM＝∠DCN，在△BCM和△CDN中，，∴△BCM≌△CDN（AAS），∴BM＝CN，在Rt△BCM中，∵BC＝5，CM＝3，∴BM＝，∴CN＝4，∴CE＝2CN＝2×4＝8，故選：C．9．（2分）（2022春?臨沭縣期末）如圖，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5m的墻上，裝有一個由傳感器控制的門鈴A，如圖①所示，人只要移至距該門鈴5m及5m以內時，門鈴就會自動發(fā)出語音“歡迎光臨”．如圖②所示，一位學生走到D處，門鈴恰好自動響起，已知該學生的身高CD＝1.5m，則BD的長為（）A．3米 B．4米 C．5米 D．7米解：由題意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，AC＝5m，由勾股定理得BD＝CE＝＝4（m），故離門4米遠的地方，門鈴恰好自動響起．故選：B．10．（2分）（2022春?漳州期中）小華和小僑合作，用一塊含30°的直角三角板，旗桿頂端垂到地面的繩子，測量長度的工具，測量學校旗桿的高度．如圖，測得AD＝0.5米，繩子部分長CD＝6米，則學校旗桿AB的高度為（）A．6.5米 B．（6+0.5）米 C．12.5米 D．（6+0.5）米解：由題意知∠ABC＝30°，CD⊥AB，∴BC＝2CD＝12米，BD＝6米，∵AD＝0.5米，∴AB＝（6+0.5）米，故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?平昌縣期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達點D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了9米．解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸邊移動了9米，故答案為：9．12．（2分）（2022春?瑞安市期中）如圖1是重型卡車的立體圖，圖2是一個裝有貨物的長方體形狀的木箱沿著坡面從重型卡車車上卸載的平面示意圖．已知重型卡車車身高度AC＝4m，卡車卸貨時后面支架AB彎折落在地面A'，經(jīng)過測量A′C＝2m．現(xiàn)有木箱長ED＝5m，高EF＝2.5m，寬小于卡車車身的寬度，當木箱底部頂點G與坡面底部點A′重合時，則木箱上部頂點E到地面A'C的距離為5m．解：如圖2，作EJ⊥A′C于點J，F(xiàn)H⊥A′C于點H，F(xiàn)I⊥FJ于點I，∵AC⊥A′C，GB⊥AC，∴FH∥EJ∥AB，F(xiàn)I∥BG∥A′C，∴IJ＝FH，GH＝BC，∠EIF＝∠BGF＝∠CHG＝∠A′CB＝∠90°，∠FBG＝∠BA′C，設A′B＝AB＝x，∵A′C2+BC2＝A′B2，且AC＝4m，A′C＝2m，∴22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝2.5，∴A′B＝2.5m，GH＝BC＝4﹣2.5＝1.5（m），∵四邊形A′DEF是長方形，ED＝5m，EF＝2.5m，∴A′F＝ED＝5m，∴EF＝BF＝A′B＝2.5m，在△BGF和△A′CB中，，∴△BGF≌△A′CB（ASA），∴FG＝BC＝1.5m，BG＝A′C＝2m，∴IJ＝FH＝FG+GH＝1.5+1.5＝3（m），∵∠BFE＝90°，∠IFH＝180°﹣∠CHG＝90°，∴∠EFI＝∠BFG＝90°﹣∠BFI，在△EIF和△BGF中，，∴△EIF≌△BGF（AAS），∴EI＝BG＝2m，∴EJ＝EI+IJ＝2+3＝5（m），∴木箱上部頂點E到地面A'C的距離為5m，故答案為：5．13．（2分）（2022春?公安縣期末）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿5m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面1m，則旗桿的高度為13m．（滑輪上方的部分忽略不計）解：設旗桿高度為x米，則AC＝x米，AD＝（x﹣1）m，BC＝5米，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，即旗桿的高度為13米．故答案為：13．14．（2分）（2022春?成華區(qū)期末）如圖AB，BC，CD，DE是四根長度均為5cm的火柴棒，其中，BC⊥CD，點A，C，E共線．若AC＝6cm，則線段CE的長度是8cm．解：作BG⊥AC，DH⊥CE，垂足分別為G、H，∴∠BGC＝∠DHC＝90°，∴∠BCG+∠CBG＝90°，∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠BCG+∠DCH＝90°，∴∠CBG＝∠DCH，在△BCG和△CDH中，，∴△BCG≌△CDH（AAS），∴BG＝CH，∵AB＝BC，BG⊥AC，AC＝6，∴CG＝AC＝3，∴BM＝CN，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG＝，∴CH＝4，∵CD＝DE，DH⊥CE，∴CH＝EH，∴CE＝CH+EH＝8，故答案為：8．15．（2分）（2022春?鄭州期末）樂樂在學習中遇到了這樣的問題：如圖所示的三角形紙片ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，將△ABC沿某一條直線剪開，使其變成兩個三角形，且要求其中的一個三角形是等腰三角形，你有幾種方法呢？經(jīng)過思考，樂樂發(fā)現(xiàn)要想沿一條直線把三角形分割成兩個三角形，這條直線需要經(jīng)過三角形的某個定點，請你幫助樂樂寫出當這條直線經(jīng)過點A時，剪出的等腰三角形的面積是4.5或．解：①如圖1：PC＝AC＝3時，△ACP是等腰直角三角形，則S△ACP＝×3×3＝4.5；②如圖2：AP＝BP時，△ABP是等腰三角形，在△ACP中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則AC2+CP2＝AP2，即32+CP2＝（4﹣CP）2，解得CP＝，則S△ABP＝S△ABC﹣S△ACP＝×4×3﹣×3×＝．綜上所述，剪出的等腰三角形的面積是4.5或．故答案為：4.5或．16．（2分）（2022春?海淀區(qū)校級期中）《九章算術》中有“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：有一根竹子原來高1丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？如圖，設折斷處距離地面x尺，根據(jù)題意，可列方程為x2+32＝（10﹣x）2．解：∵竹子原高一丈（1丈＝10尺），折斷處離地面的高度為x尺，∴竹梢到折斷處的長度為（10﹣x）尺．依題意得：x2+32＝（10﹣x）2．故答案為：x2+32＝（10﹣x）2．17．（2分）（2022春?鄒城市校級月考）如圖，一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面的部分BC為1尺，如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，蘆葦?shù)捻敹伺c岸齊，則蘆葦高度是13尺．解：設蘆葦長AB＝AB′＝x尺，則水深AC＝（x﹣1）尺，因為邊長為10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即蘆葦長13尺．故答案是：13．18．（2分）（2022春?南崗區(qū)校級期中）如圖，樓AB和樹CD都垂直于水平地面BD，若樓高AB＝25米，樓與樹之間的距離BD為米，∠BAC＝60°，則樹高CD為15米．解：過C作CE⊥AB于E，∵BD＝EC＝10米，∠BAC＝60°，∴AE＝10米，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝25﹣10＝15（米），故答案為：15．19．（2分）（2021秋?濱?？h期末）如圖所示，是一塊由花園小道圍成的邊長為12米的正方形綠地，在離C處5米的綠地旁邊B處有健身器材，為提醒居住在A處的居民愛護綠地，不直接穿過綠地從A到B，而是沿小道從A→C→B．小麗想在A處樹立一個標牌“沿路多走■米，共建美麗家園”請問：小麗在標牌■填上的數(shù)字是4．解：在Rt△ABC中，AB為斜邊，∴＝＝13米，少走的距離為AC+BC﹣AB＝（12+5）﹣13（米）＝4米答：小明在標牌■填上的數(shù)字是4．故答案為：4．20．（2分）（2022春?閩侯縣期中）如圖，將一根長為20cm的吸管，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設吸管露在杯子外面的長度是為hcm，則h的取值范圍是7≤h≤8．解：如圖，當吸管、底面直徑、杯子的高恰好構成直角三角形時，h最短，此時AB＝＝13，故h最短＝20﹣13＝7（cm）；當吸管豎直插入水杯時，h最大，此時h最大＝20﹣12＝8（cm）．故答案為：7≤h≤8．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022春?長順縣月考）貴陽的筑城廣場視野開闊，是一處設計別致，造型美麗的廣場園林，成為不少市民放風箏的最佳場所．某校八年級（1）班的小明和小亮同學學習了“勾股定理”之后，為了測得圖中風箏的高度CE，他們進行了如下操作：①測得BD的長為15米（注：BD⊥CE）；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為25米；③牽線放風箏的小明身高1.7米．求風箏的高度CE．解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得：CD＝＝＝20（米），所以CE＝CD+DE＝20+1.7＝21.7（米），答：風箏的高度CE為21.7米．22．（6分）（2022春?藁城區(qū)校級期中）某海上有一小島，為了測量小島兩端A，B的距離，測量人員設計了一種測量方法，如圖，已知B是CD的中點，E是BA延長線上的一點，且∠CED＝90°，測得AE＝16.6海里，DE＝60海里．CE＝80海里．（1）求小島兩端A、B的距離；（2）過點C作CF⊥AB交AB的延長線于點F，求的值．解：（1）在Rt△CED中，由勾股定理得：CD＝＝＝100（海里），∵∠CED＝90°，B點是CD的中點，∴BE＝CD＝×100＝50（海里），∴AB＝BE﹣AE＝50﹣16.6＝33.4（海里），答：小島兩端A、B的距離為33.4海里；（2）設BF＝x海里，∵B點是CD的中點，∴BC＝CD＝×100＝50（海里），在Rt△CFB中，由勾股定理得：CF2＝BC2﹣BF2＝502﹣x2＝2500﹣x2，在Rt△CFE中，由勾股定理得：CF2+EF2＝CE2，即2500﹣x2+（50+x）2＝802，解得：x＝14，∴＝＝．23．（8分）（2022春?同安區(qū)期中）如圖，數(shù)學興趣小組要測量旗桿的高度，同學們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），聰明的小迪發(fā)現(xiàn)：先測出繩子多出的部分長度為m米，再將繩子拉直（如圖2），測出繩子末端C到旗桿底部B的距離n米，利用所學知識就能求出旗桿的長，若m＝6，n＝12，（1）求旗桿AB的長．（2）小迪在C處，用手拉住繩子的末端，伸直手臂（拉繩處E與腳底F的連線與地面垂直），后退至將繩子剛好拉直為止（如圖3），測得小迪手臂伸直后的高度EF為2米，問小迪需要后退幾米？解：（1）設旗桿AB的長為x米，則AC的長為x+m＝（x+6）（米），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，∴（x+6）2＝x2+122，解得：x＝9，答：旗桿AB的長為9米；（2）如圖3，過E作ED⊥AB于D，則四邊形BDEF是矩形，∴BF＝DE，DB＝EF＝2米，∵AB＝9米，∴AD＝AB﹣DB＝9﹣2＝7（米），在Rt△ADE中，AE＝AC＝15米，∴DE＝＝＝4（米），∴BF＝DE＝4米，∴CF＝BF﹣BC＝（4﹣12）（米），答：小迪需要后退（4﹣12）米．24．（6分）（2022春?濮陽期末）如圖，明明在距離水面高度為5m的岸邊C處，用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m．若明明收繩6m后，船到達D處，則船向岸A移動了多少米？解：∵開始時繩子BC的長為13m．明明收繩6m后，船到達D處，∴CD＝13﹣6＝7（m），由題意得：CA⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴AD＝＝＝2（m），AB＝＝＝12（m），∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣2）（m），∴船向岸A移動了（12﹣2）米，答：船向岸A移動了（12﹣2）米．25．（6分）（2022春?劍閣縣期末）如圖，四邊形ABCD是我縣某校在校園一角開辟的一塊四邊形的“試驗田”，經(jīng)過測量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，求四邊形ABCD的面積．解：連接AC，如圖，在Rt△ABC中，AB＝24m，BC＝7m，∴AC＝＝＝25（m），在△ADC中，CD＝15m，AD＝20m．AC＝25m，∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，∴△ADC為直角三角形，∠D＝90°．∴S△ADC＝?AD?DC＝×20×15＝150（m2），∵S△ABC＝?AB?BC＝×24×7＝84（m2），∴S四邊形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234（m2），答：四邊形ABCD的面積為234m2．26．（10分）（2022春?綦江區(qū)期末）今年第6號臺風“煙花”登陸我國沿海地區(qū)，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上的兩點A、B的距離分別為AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，經(jīng)測量，距離臺風中心260km及以內的地區(qū)會受到影響．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）海港C受臺風影響嗎？為什么？（3）若臺風中心的移動速度為28千米/時，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）海港C受臺風影響，理由：過點C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以臺風中心為圓心周圍260km以內為受影響區(qū)域，∴海港C受臺風影響；（3）