132秦九韶算法導(dǎo)學(xué)案

§1.3.2算法案例————秦九韶算法班級(jí)：姓名：學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解秦九韶算法的計(jì)算過程，并理解利用秦九韶算法可以減少計(jì)算次數(shù)提高計(jì)算效率的實(shí)質(zhì)。2.理解數(shù)學(xué)算法與計(jì)算機(jī)算法的區(qū)別，理解計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)的輔助作用。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：理解秦九韶算法的思想。難點(diǎn)：用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法的步驟。學(xué)法指導(dǎo)評(píng)價(jià)一個(gè)算法好壞的一個(gè)重要標(biāo)志是運(yùn)算的次數(shù)，如果一個(gè)算法從理論上需要超出計(jì)算機(jī)允許范圍內(nèi)的運(yùn)算次數(shù)，那么這樣的算法就只能是一個(gè)理論算法.在多項(xiàng)式求值的各種算法中，秦九韶算法是一個(gè)優(yōu)秀算法.問題探究知識(shí)探究(一):秦九韶算法的基本思想思考1:對(duì)于多項(xiàng)式，求的值.若先計(jì)算各項(xiàng)的值，然后再相加，那么一共要做多少次乘法運(yùn)算和多少次加法運(yùn)算？思考2:在上述問題中，若先計(jì)算的值，然后依次計(jì)算，，的值，這樣每次都可以利用上一次計(jì)算的結(jié)果，那么一共做了多少次乘法運(yùn)算和多少次加法運(yùn)算？小結(jié)：第二種做法和第一種做法相比，乘法的運(yùn)算次數(shù)減少了，因而能提高運(yùn)算效率。而且對(duì)于計(jì)算機(jī)來說，做一次乘法運(yùn)算所需的時(shí)間比做一次加法運(yùn)算需要的時(shí)間要長得多，因此第二種算法能更快的得到結(jié)果。思考3:利用后一種算法求多項(xiàng)式的值，這個(gè)多項(xiàng)式應(yīng)寫成哪種形式？思考4:對(duì)于由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，其算法步驟如何？第一步，計(jì)算.第二步，第三步，…第步，計(jì)算思考5:上述求多項(xiàng)式的值的方法稱為秦九韶算法，利用該算法求的值，一共需要多少次乘法運(yùn)算，多少次加法運(yùn)算？思考6:在秦九韶算法中，記那么第步的算式是什么？知識(shí)探究(二):秦九韶算法的程序設(shè)計(jì)思考1:用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值，可以用什么邏輯結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法？其算法步驟如何設(shè)計(jì)？第一步，第二步，第三步，第四步，第五步，思考2:該算法的程序框圖如何表示？思考3:該程序框圖對(duì)應(yīng)的程序如何表述？理論遷移例1已知一個(gè)5次多項(xiàng)式為用秦九韶算法求的值.例2閱讀下列程序，說明它解決的實(shí)際問題是什么？INPUT“x=”；an=0y=0WHLEn<5y=y+(n+1)*a∧nn=n+1WENDPRINTyEND目標(biāo)檢測(cè)1、利用秦九韶算法求多項(xiàng)式在的值時(shí)，在運(yùn)算中下列哪個(gè)值用不到（）A.164B.3767C.86652D.851692、利用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式當(dāng)=4的值的時(shí)候，需要做乘法和加法的次數(shù)分別為（）A.6，6B.5，6C.5，5D.6，53、利用秦九韶算法求多項(xiàng)式在的值，寫出詳細(xì)步驟。4、下圖的框圖是一古代數(shù)學(xué)家的一個(gè)算法的程序框圖，它輸出的結(jié)果s表示（）A.的值B.的值C.的值D.以上都不對(duì)開始開始輸入輸入輸出S結(jié)束5、已知n次多項(xiàng)式如果在一種算法中，計(jì)算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，（1）計(jì)算的值需要9次運(yùn)算（6次乘法，3次加法），那么計(jì)算的值需要多少次運(yùn)算？（2）若采取秦九韶算法：（k＝0，1，2，…，n－1），計(jì)算的值只需6次運(yùn)算，那么計(jì)算的值共需要多少次運(yùn)算？（3）若采取秦九韶算法，設(shè)ai=i+1，i=0，1，…，n，求P5（2）（寫出采取秦九韶算法的計(jì)算過程）糾錯(cuò)矯正總結(jié)反思資料：秦九韶的生平秦九韶(1202～1261年)，字道古，南宋普州安岳(今四川省安岳縣)人。

秦九韶的突出數(shù)學(xué)成就表現(xiàn)為四個(gè)方面：（1）“大衍求一術(shù)”。

即為一次同余式組解法。西方解決同類問題的理論是高斯于1801年建立的，比秦九韶晚了554年。他還把這種理論用于解決商功、利息、粟米、建筑等問題。

(2)線性方程組解法。

他在《數(shù)書九章》中解決了許多相當(dāng)于線性方程組的問題，其中數(shù)字相當(dāng)大，計(jì)算也很復(fù)雜。他在“均貨推本”題草中，井然有序地寫出廠解題過程，這種解法與高斯消元法本質(zhì)相當(dāng)，但比高斯早約600年。(3)高次方程數(shù)值解法。他集秦漢以來“開方術(shù)”之大成，運(yùn)用賈憲的“增乘開方法”，解決于數(shù)字高次方程有理數(shù)根和無理數(shù)根的近似值計(jì)算問題。他所設(shè)計(jì)的演算程序被稱為“秦九韶方法”。西方同類問題的探究始于19世紀(jì)，他比意大利的魯菲尼、英國的霍納要早五、六百年。(4)“三斜求積”。他在《數(shù)書九章》中，依據(jù)分別為12、14、15的三邊求出了相應(yīng)的三角形面積，其方法具有一般性。這與西方的海倫公式是等價(jià)