2022-2023學年山東省濟南市濟南高新技術產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)九年級上學期數(shù)學期中試題及答案

2022-2023學年山東省濟南市濟南高新技術產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)九年級上學期數(shù)學期中試題及答案注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效．3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本題共10小題，共40分）1.下面的幾何體中，主視圖為圓的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】解：A、的主視圖是矩形，故A不符合題意；B、的主視圖是正方形，故B不符合題意；C、的主視圖是圓，故C符合題意；D、的主視圖是三角形，故D不符合題意；故選：C．2.反比例函數(shù)y=﹣中常數(shù)k為（）A.﹣3 B.2 C.﹣ D.﹣【答案】D【解析】【詳解】試題解析：反比例函數(shù)y=-中常數(shù)k為.故選D．3.若，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】∵，∴==，故選：D4.如圖，已知直線，直線，與，，分別交于點，，，，，，若，，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵直線，，，，∴，即，解得．故選：B．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，熟知三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例是解答此題的關鍵．5.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，則下列三角函數(shù)表示正確是（）A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.tanB=【答案】A【解析】【詳解】試題分析：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，∴AC==5，∴sinA=．故選A．考點：1．銳角三角函數(shù)的定義；2．勾股定理．6.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系，即可判斷各選項是否正確．【詳解】解：∵與y軸的交點為（0，1）∴可排除B、D選項；當時，的圖像y隨x的增大而增大，不經(jīng)過第四象限，在第一、三象限；C符合；當時，的圖像y隨x的增大而減小，不經(jīng)過第三象限，的圖像在第二、四象限，無選項符合；故選C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像與系數(shù)的關系，掌握相關知識并熟練使用，分類討論是本題的解題關鍵．7.如圖，∽，：：，其中，的長為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：：：，：：，∽，，，．故選：A．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．8.如圖，在中，，，點D是AC上一點，連接BD．若，，則CD的長為（）A. B.3 C. D.2【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出，再由勾股定理求出過點D作于點E，依據(jù)三角函數(shù)值可得從而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，從而可求出CD．【詳解】解：在中，，，∴∴由勾股定理得,過點D作于點E，如圖，∵，，∴∴∴∴∵∴∴∴,在中,∴∵∴故選：C【點睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長，正確作輔助線求出DE的長是解答本題的關鍵．9.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點在軸正半軸上，是的中線，點、在反比例函數(shù)的圖象上，則的面積等于（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】設點的坐標為，然后根據(jù)中線的性質(zhì)分別用含有的代數(shù)式表示點和點的坐標，然后計算的面積即可．【詳解】解：設點∵是的中線，∴點是的中點，∴∵點、在反比例函數(shù)的圖象上，∴∴∴∴∴故選B．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象的面積問題，能夠運用中線的性質(zhì)表示點的坐標并代入運算是解決本題的關鍵．10.在正方形中，，點E是邊的中點，連接，延長至點F，使得，過點F作，分別交、于N、G兩點，連接、、，下列正確的是：①；②；③；④（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】解：①中由即可得到，再由正切等于對邊比鄰邊即可求解；②中先證明得到EM=EC，DM=FC，再證明即可求解；③中先證明GECM，得到即可求解；④中由得到，再由即可求解．【詳解】解：①∵，∴∠DMF=90°=∠NCF，且對頂角∠MND=∠CNF，∴∠GFB=∠EDC，∵ABCD為正方形，E是BC的中點，∴BC=CD，∴，①正確；②由①知，又，已知，∴()，∴，∴，∵，，，∴()，∴，故②正確；③∵，，∴BE=ME，且∠B=∠GME=90°，GE為和的公共邊，∴（），∴，∵，∴，由三角形外角定理可知：，∴，∴，∴，∵，，∴，故③錯誤；④由上述可知：，，∴，∵，∴，∴，故④正確．故選B．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．二、填空題（本題共6小題，共24分）11.計算：2sin60°=______．【答案】．【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算．【詳解】解：2sin60°=2×．12.如圖，四邊形四邊形，則的度數(shù)是______．【答案】##100度【解析】【分析】利用相似多邊形對應角相等、對應邊成比例即可求解．【詳解】解：四邊形四邊形，，，故答案為：．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是知道相似多邊形的對應邊的比相等，對應角相等．13.如圖，小樹AB在路燈O的照射下形成投影BC．若樹高AB＝2m，樹影BC＝3m，樹與路燈的水平距離BP＝4m．則路燈的高度OP為_____m．【答案】【解析】【分析】由于OP和AB與地面垂直，則AB∥OP，根據(jù)相似三角形的判定可證△ABC∽△OPC，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出OP的長．【詳解】解：∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，∴OP＝m．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．14.如圖，河壩橫斷面迎水坡的坡比為壩高為，則的長度為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)坡比的定義可得，即可得，再結(jié)合勾股定理可得答案．【詳解】解：∵迎水坡的坡比為，∴，∵，∴，由勾股定理得，．故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形的應用－坡度坡角問題、勾股定理，熟練掌握坡比的定義以及勾股定理是解答本題的關鍵．15.如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，矩形的邊在上，．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，若陰影部分面積為4，則k的值為_________．【答案】8【解析】【分析】可設，則，由，根據(jù)矩形得出，可證，求出，又B在反比例函數(shù)圖象上，即可得知k值．【詳解】解：可設，交于M，則，∴，∵四邊形與四邊形均為矩形，∴，在和中，，∴，∴，∴，則，又B在反比例函數(shù)圖象上，∴．故答案為：8．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)，矩形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，不規(guī)則圖形面積，掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)方法，矩形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，把不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積是解題關鍵．16.如圖，在邊長為7的正方形ABCD中放入四個小正方形后形成一個中心對稱圖形，其中兩頂點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，則放入的四個小正方形的面積之和為___．【答案】22【解析】【分析】作GH⊥BC，證明△GHE∽△EMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到GH=2EM，HE=2MN，根據(jù)正方形的性質(zhì)列方程求出MN，根據(jù)勾股定理、正方形的面積公式計算，得到答案.【詳解】解：如圖，作GH⊥BC，則∠HGE+∠HEG=∠HEG+∠MEN=90°,∴∠HGE=∠MEN，∵∠GHE=∠EMN=90°，∴△GHE∽△EMN，∴，∴，設，則，∴，∴，∴，即：，解得：，∴，∴，∴，∴四個小正方形的面積之和.故答案為：22.【點睛】本題考查是相似三角形的判定和性質(zhì)、中心對稱圖形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)是解題的關鍵.三、解答題（本題共10小題，共86分）17.計算：．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)計算即可．詳解】==．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和二次根式的混合運算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．18.已知和中，有,且和的周長之差為15厘米，求和的周長.【答案】分別是30厘米和45厘米.【解析】【分析】根據(jù)已知的三邊對應成比例,得到△ABC和△DEF相似,再根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比,得到△ABC和△DEF的周長之比,由和的周長之差為15厘米,可出△ABC和△DEF的周長的方程，可求出答案.【詳解】解：設和的周長分別是x厘米和y厘米.①..由題意可得：②由①式得③將③式代入①式得：...將代入②式得：...答：和的周長分別是30厘米和45厘米.【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),要求學生掌握相似三角形的相似比,周長比及面積比之間的關系,即相似三角形的對應邊之比與周長之比都等于相似比,面積比等于相似比的平方.19.如圖，在坐標平面內(nèi)，三個頂點的坐標分別為，，（正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1）．（1）以點為位似中心，在第一象限畫出的位似圖形，使與的位似比為；（2）求的面積．【答案】（1）見解析（2）12【解析】【分析】（1）把點、、的橫縱坐標都乘以得到點、、的坐標，然后描點即可；（2）用一個矩形的面積去減去三個直角三角形的面積去計算的面積．【小問1詳解】解：如圖，即為所求；【小問2詳解】的面積．【點睛】本題考查了作圖—位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或．20.小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為16米，OA的影長OD為20米，小明的影長FG為2.4米，其中O、C、D、F、G五點在同一直線上，A、B、O三點在同一直線上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF為1.8米，求旗桿的高AB．【答案】旗桿的高AB為3米．【解析】【分析】證明△AOD∽△EFG，利用相似比計算出AO的長，再證明△BOC∽△AOD，然后利用相似比計算OB的長，進一步計算即可求解．【詳解】解：∵AD∥EG，∴∠ADO=∠EGF．又∵∠AOD=∠EFG=90°，∴△AOD∽△EFG．∴．∴．同理，△BOC∽△AOD．∴．∴．∴AB=OA?OB=3（米）．∴旗桿的高AB為3米．【點睛】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的．21.已知：如圖，點，在線段上，是等邊三角形，．（1）求證：；（2）若，，求的長度．【答案】（1）見解析（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，由三角形的內(nèi)角定理可得答案；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得答案．【小問1詳解】證明：為等邊三角形，．，，．，，，．【小問2詳解】解：，，為等邊三角形，設，，解得，．【點睛】此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關鍵．22.為加快城鄉(xiāng)對接，建設全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對A、兩地間的公路進行修建．如圖，A、兩地之間有一座山，汽車原來從A地到地需途經(jīng)地沿折線行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線行駛，已知千米，，，（1）開通隧道前，汽車從A地到地大約要走多少千米？（2）開通隧道后，汽車從A地到地大約可以少走多少千米？（結(jié)果精確到千米）（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）千米（2）米【解析】【分析】（1）過點作，垂足為構(gòu)造、，利用銳角三角函數(shù)關系及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)的長，分別求出、、、的長．計算即可；（2）計算即可．【小問1詳解】解：過點作，垂足為．在中，，，∴（千米），在中，，∴（千米），∴（千米），答：開通隧道前，汽車從地到地大約要走千米．【小問2詳解】解：在中，，，∴（千米），在中，，∴（千米），∴，（千米）（千米），答：開通隧道后，汽車從地到地大約少走千米．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、直角三角形的三邊關系等知識點，過點作，構(gòu)造直角三角形是解決本題的關鍵．23.近兩年，人們與新冠病毒進行著長期的抗爭．每周末，學校都要對教室來進行消殺．已知消殺時，教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（分鐘）成正比例；消殺后，與成反比例（如圖所示）．現(xiàn)測得消殺8分鐘結(jié)束時，教室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克，請你根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題．（1）消殺時關于的函數(shù)關系式為________，自變量的取值范圍是________；消殺后與的函數(shù)關系式為________；（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消殺是否有效？為什么?【答案】（1），；（2）有效，理由見解析【解析】【分析】（1）消殺時，設y=kx(k≠0)，把點(8，6)代入即可，從圖上即可得此時自變量x的取值范圍；消殺后，設，把點(8，6)代入即可；（2）把y=3分別代入正比例函數(shù)與反比例函數(shù)中，可求得對應的自變量x的值，即可得到起始與結(jié)束時間，從而可作出判斷．【小問1詳解】∵消殺時，與時間成正比例∴設y=kx(k≠0)把點(8，6)代入得：8k=6解得：∴由圖知此時自變量x的取值范圍為∵消殺后與成反比例∴設把點(8，6)代入反比例函數(shù)解析式中，得∴m=48∴故答案為：，；【小問2詳解】當y=3時，，則x=4；當y=3時，，則x=16即消殺3分鐘后開始有效，16分鐘后失效所以持續(xù)時間為：16-4=12（分鐘）>10分鐘所以此次消殺有效【點睛】本題是反比例函數(shù)的應用，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，求自變量的值，關鍵是確定函數(shù)關系式．24.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.點P從點A出發(fā)，沿AB邊以2cm/s的速度向點B勻速移動；點Q從點B出發(fā)，沿BC邊以1cm/s的速度向點C勻速移動，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動，設運動的時間為t(s).（1）當PQ∥AC時，求t的值；（2）當t為何值時，△PBQ的面積等于cm2.【答案】（1）t=；（2）當t為2s或3s時，△PBQ的面積等于cm2.【解析】【分析】（1）根據(jù)PQ∥AC得到△PBQ∽△ABC，列出比例式即可求解；（2）解法一：過點Q作QE⊥AB于E，利用△BQE∽△BCA，得到，得到QE=t，根據(jù)S△PBQ=BP·QE=列出方程即可求解；解法二：過點P作PE⊥BC于E，則PE∥AC，得到△BPE∽△BAC，則，求出PE=(10-2t).，利用S△PBQ=BQ·PE=列出方程即可求解.【詳解】（1）由題意得，BQ=tcm，AP=2cm，則BP=（10—2t）cm在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴，即，解得t=（2）解法一:如圖3，過點Q作QE⊥AB于E，則∠QEB=∠C=90°.∵∠B=∠B,∴△BQE∽△BCA，∴，即，解得QE=t.∴S△PBQ=BP·QE=，即·(10-2t)·t=.整理，得t2-5t+6=0.解這個方程，得t1=2，t2=3.∵0＜t＜5，∴當t為2s或3s時，△PBQ的面積等于cm2.解法二：過點P作PE⊥BC于E，則PE∥AC（如圖4）.∵PE∥AC.∴△BPE∽△BAC，∴，即，解得PE=(10-2t).∴S△PBQ=BQ·PE=，即·t·(10-2t)=整理，得t2-5t+6=0.解這個方程，得t1=2，t2=3.∵0＜t＜5，∴當t為2s或3s時，△PBQ的面積等于cm2.【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是熟知相似三角形的判定定理、適當構(gòu)造輔助線進行求解.25.如圖，一次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點，與軸交于點，與反比例函數(shù)（）的圖象交于點．連接，且的面積為6．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．（2）結(jié)合圖象直接寫出當時，的解集；（3）設點是反比例函數(shù)（）的圖象上一點，點是直線上一點，若以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求出點的坐標．【答案】（1）y=x+6，；（2）0＜x＜2；（3）（4，10）或（，）或（-4，2）【解析】【分析】（1）由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，得，解出，得一次函數(shù)解析式為；當時，，由的面積為6．得，求出，寫出點坐標，即可求解；（2）結(jié)合圖象可知當時，解集是；（3）①當為邊時，如圖1，且，設點坐標為，則點的坐標為，得，當時，解得或舍去）此時點坐標為；當時，解得或（負值舍去），此時點坐標為，；②當為對角線時，如圖2，則與互相平分，設點坐標為，點的坐標為，由中點坐標公式得，解得，，此時點坐標為，即可求解．【詳解】解：（1）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，得，一次函數(shù)解析式為；當時，，，的面積為6．，，當時，，點坐標，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，反比例函數(shù)的解析式為：；（2）結(jié)合圖象可知當時，的解集是；（3）①當為邊時，如圖1，且，設點坐標為，則點的坐標為，，，當時，解得或舍去）此時點坐標為；當時，解得或（負值舍去），此時點坐標為，；②當為對角線時，如圖2，則與互相平分，設點坐標為，點的坐標為，由中點坐標公式得，解得，，此時點坐標為，綜上．點坐標為或，或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)關系式求法，反比例函數(shù)一次函數(shù)與平行四邊形的綜合運用，關鍵是分類討論，①當CO為邊時；②當CO為對角線時．26.如圖1，在中，于點D，在DA上取點E，使，連接BE、CE．（1）直接寫出CE與AB的位置關系；（2）如圖2，將繞點D旋轉(zhuǎn)，得到（點，分別與點B，E對應），連接，在旋轉(zhuǎn)的過程中與的位置關系與（1）中的CE與AB的位置關系是否一致?請說明理由；（3）如圖3，當繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°時，射線與AD、分別交于點G、F，若，求的長．【答案】（1）CE⊥AB，理由見解析（2）一致，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得結(jié)論；（2）通過證明，可得，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由等腰直角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【小問1詳解】如圖，延長CE交AB于H，∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，∵DE=CD，∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，∴CE⊥AB；【小問2詳解】在旋轉(zhuǎn)的過程中與的位置關系與（1）中的CE與AB的位置關系是一致的，理由如下：如圖2，延長交于H，由旋轉(zhuǎn)可得：CD=，=AD，∵∠ADC=∠ADB=90°，∴，∵，∴,，∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，∴∠DA+∠AGH=90°，∴∠AHC=90°，；【小問3詳解】如圖3，過點D作DH于點H，∵△BED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°，∴，，，∴AD=2DH，AH=DH=，，由（2）可知：，，∵AD⊥BC，CD=，∴DG=1，CG=2DG=2，∴CG=FG=2，，∴AG=2GF=4，∴AD=AG+DG=4+1=5，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形相似是解題的關鍵．2022-2023學年山東省濟南市濟南高新技術產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)九年級上學期數(shù)學期中試題及答案注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效．3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本題共10小題，共40分）1.下面的幾何體中，主視圖為圓的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】解：A、的主視圖是矩形，故A不符合題意；B、的主視圖是正方形，故B不符合題意；C、的主視圖是圓，故C符合題意；D、的主視圖是三角形，故D不符合題意；故選：C．2.反比例函數(shù)y=﹣中常數(shù)k為（）A.﹣3 B.2 C.﹣ D.﹣【答案】D【解析】【詳解】試題解析：反比例函數(shù)y=-中常數(shù)k為.故選D．3.若，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】∵，∴==，故選：D4.如圖，已知直線，直線，與，，分別交于點，，，，，，若，，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵直線，，，，∴，即，解得．故選：B．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，熟知三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例是解答此題的關鍵．5.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，則下列三角函數(shù)表示正確是（）A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.tanB=【答案】A【解析】【詳解】試題分析：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，∴AC==5，∴sinA=．故選A．考點：1．銳角三角函數(shù)的定義；2．勾股定理．6.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系，即可判斷各選項是否正確．【詳解】解：∵與y軸的交點為（0，1）∴可排除B、D選項；當時，的圖像y隨x的增大而增大，不經(jīng)過第四象限，在第一、三象限；C符合；當時，的圖像y隨x的增大而減小，不經(jīng)過第三象限，的圖像在第二、四象限，無選項符合；故選C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像與系數(shù)的關系，掌握相關知識并熟練使用，分類討論是本題的解題關鍵．7.如圖，∽，：：，其中，的長為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：：：，：：，∽，，，．故選：A．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．8.如圖，在中，，，點D是AC上一點，連接BD．若，，則CD的長為（）A. B.3 C. D.2【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出，再由勾股定理求出過點D作于點E，依據(jù)三角函數(shù)值可得從而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，從而可求出CD．【詳解】解：在中，，，∴∴由勾股定理得,過點D作于點E，如圖，∵，，∴∴∴∴∵∴∴∴,在中,∴∵∴故選：C【點睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長，正確作輔助線求出DE的長是解答本題的關鍵．9.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點在軸正半軸上，是的中線，點、在反比例函數(shù)的圖象上，則的面積等于（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】設點的坐標為，然后根據(jù)中線的性質(zhì)分別用含有的代數(shù)式表示點和點的坐標，然后計算的面積即可．【詳解】解：設點∵是的中線，∴點是的中點，∴∵點、在反比例函數(shù)的圖象上，∴∴∴∴∴故選B．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象的面積問題，能夠運用中線的性質(zhì)表示點的坐標并代入運算是解決本題的關鍵．10.在正方形中，，點E是邊的中點，連接，延長至點F，使得，過點F作，分別交、于N、G兩點，連接、、，下列正確的是：①；②；③；④（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】解：①中由即可得到，再由正切等于對邊比鄰邊即可求解；②中先證明得到EM=EC，DM=FC，再證明即可求解；③中先證明GECM，得到即可求解；④中由得到，再由即可求解．【詳解】解：①∵，∴∠DMF=90°=∠NCF，且對頂角∠MND=∠CNF，∴∠GFB=∠EDC，∵ABCD為正方形，E是BC的中點，∴BC=CD，∴，①正確；②由①知，又，已知，∴()，∴，∴，∵，，，∴()，∴，故②正確；③∵，，∴BE=ME，且∠B=∠GME=90°，GE為和的公共邊，∴（），∴，∵，∴，由三角形外角定理可知：，∴，∴，∴，∵，，∴，故③錯誤；④由上述可知：，，∴，∵，∴，∴，故④正確．故選B．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．二、填空題（本題共6小題，共24分）11.計算：2sin60°=______．【答案】．【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算．【詳解】解：2sin60°=2×．12.如圖，四邊形四邊形，則的度數(shù)是______．【答案】##100度【解析】【分析】利用相似多邊形對應角相等、對應邊成比例即可求解．【詳解】解：四邊形四邊形，，，故答案為：．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是知道相似多邊形的對應邊的比相等，對應角相等．13.如圖，小樹AB在路燈O的照射下形成投影BC．若樹高AB＝2m，樹影BC＝3m，樹與路燈的水平距離BP＝4m．則路燈的高度OP為_____m．【答案】【解析】【分析】由于OP和AB與地面垂直，則AB∥OP，根據(jù)相似三角形的判定可證△ABC∽△OPC，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出OP的長．【詳解】解：∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，∴OP＝m．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．14.如圖，河壩橫斷面迎水坡的坡比為壩高為，則的長度為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)坡比的定義可得，即可得，再結(jié)合勾股定理可得答案．【詳解】解：∵迎水坡的坡比為，∴，∵，∴，由勾股定理得，．故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形的應用－坡度坡角問題、勾股定理，熟練掌握坡比的定義以及勾股定理是解答本題的關鍵．15.如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，矩形的邊在上，．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，若陰影部分面積為4，則k的值為_________．【答案】8【解析】【分析】可設，則，由，根據(jù)矩形得出，可證，求出，又B在反比例函數(shù)圖象上，即可得知k值．【詳解】解：可設，交于M，則，∴，∵四邊形與四邊形均為矩形，∴，在和中，，∴，∴，∴，則，又B在反比例函數(shù)圖象上，∴．故答案為：8．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)，矩形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，不規(guī)則圖形面積，掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)方法，矩形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，把不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積是解題關鍵．16.如圖，在邊長為7的正方形ABCD中放入四個小正方形后形成一個中心對稱圖形，其中兩頂點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，則放入的四個小正方形的面積之和為___．【答案】22【解析】【分析】作GH⊥BC，證明△GHE∽△EMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到GH=2EM，HE=2MN，根據(jù)正方形的性質(zhì)列方程求出MN，根據(jù)勾股定理、正方形的面積公式計算，得到答案.【詳解】解：如圖，作GH⊥BC，則∠HGE+∠HEG=∠HEG+∠MEN=90°,∴∠HGE=∠MEN，∵∠GHE=∠EMN=90°，∴△GHE∽△EMN，∴，∴，設，則，∴，∴，∴，即：，解得：，∴，∴，∴，∴四個小正方形的面積之和.故答案為：22.【點睛】本題考查是相似三角形的判定和性質(zhì)、中心對稱圖形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)是解題的關鍵.三、解答題（本題共10小題，共86分）17.計算：．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)計算即可．詳解】==．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和二次根式的混合運算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．18.已知和中，有,且和的周長之差為15厘米，求和的周長.【答案】分別是30厘米和45厘米.【解析】【分析】根據(jù)已知的三邊對應成比例,得到△ABC和△DEF相似,再根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比,得到△ABC和△DEF的周長之比,由和的周長之差為15厘米,可出△ABC和△DEF的周長的方程，可求出答案.【詳解】解：設和的周長分別是x厘米和y厘米.①..由題意可得：②由①式得③將③式代入①式得：...將代入②式得：...答：和的周長分別是30厘米和45厘米.【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),要求學生掌握相似三角形的相似比,周長比及面積比之間的關系,即相似三角形的對應邊之比與周長之比都等于相似比,面積比等于相似比的平方.19.如圖，在坐標平面內(nèi)，三個頂點的坐標分別為，，（正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1）．（1）以點為位似中心，在第一象限畫出的位似圖形，使與的位似比為；（2）求的面積．【答案】（1）見解析（2）12【解析】【分析】（1）把點、、的橫縱坐標都乘以得到點、、的坐標，然后描點即可；（2）用一個矩形的面積去減去三個直角三角形的面積去計算的面積．【小問1詳解】解：如圖，即為所求；【小問2詳解】的面積．【點睛】本題考查了作圖—位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或．20.小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為16米，OA的影長OD為20米，小明的影長FG為2.4米，其中O、C、D、F、G五點在同一直線上，A、B、O三點在同一直線上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF為1.8米，求旗桿的高AB．【答案】旗桿的高AB為3米．【解析】【分析】證明△AOD∽△EFG，利用相似比計算出AO的長，再證明△BOC∽△AOD，然后利用相似比計算OB的長，進一步計算即可求解．【詳解】解：∵AD∥EG，∴∠ADO=∠EGF．又∵∠AOD=∠EFG=90°，∴△AOD∽△EFG．∴．∴．同理，△BOC∽△AOD．∴．∴．∴AB=OA?OB=3（米）．∴旗桿的高AB為3米．【點睛】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的．21.已知：如圖，點，在線段上，是等邊三角形，．（1）求證：；（2）若，，求的長度．【答案】（1）見解析（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，由三角形的內(nèi)角定理可得答案；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得答案．【小問1詳解】證明：為等邊三角形，．，，．，，，．【小問2詳解】解：，，為等邊三角形，設，，解得，．【點睛】此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關鍵．22.為加快城鄉(xiāng)對接，建設全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對A、兩地間的公路進行修建．如圖，A、兩地之間有一座山，汽車原來從A地到地需途經(jīng)地沿折線行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線行駛，已知千米，，，（1）開通隧道前，汽車從A地到地大約要走多少千米？（2）開通隧道后，汽車從A地到地大約可以少走多少千米？（結(jié)果精確到千米）（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）千米（2）米【解析】【分析】（1）過點作，垂足為構(gòu)造、，利用銳角三角函數(shù)關系及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)的長，分別求出、、、的長．計算即可；（2）計算即可．【小問1詳解】解：過點作，垂足為．在中，，，∴（千米），在中，，∴（千米），∴（千米），答：開通隧道前，汽車從地到地大約要走千米．【小問2詳解】解：在中，，，∴（千米），在中，，∴（千米），∴，（千米）（千米），答：開通隧道后，汽車從地到地大約少走千米．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、直角三角形的三邊關系等知識點，過點作，構(gòu)造直角三角形是解決本題的關鍵．23.近兩年，人們與新冠病毒進行著長期的抗爭．每周末，學校都要對教室來進行消殺．已知消殺時，教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（分鐘）成正比例；消殺后，與成反比例（如圖所示）．現(xiàn)測得消殺8分鐘結(jié)束時，教室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克，請你根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題．（1）消殺時關于的函數(shù)關系式為________，自變量的取值范圍是________；消殺后與的函數(shù)關系式為________；（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消殺是否有效？為什么?【答案】（1），；（2）有效，理由見解析【解析】【分析】（1）消殺時，設y=kx(k≠0)，把點(8，6)代入即可，從圖上即可得此時自變量x的取值范圍；消殺后，設，把點(8，6)代入即可；（2）把y=3分別代入正比例函數(shù)與反比例函數(shù)中，可求得對應的自變量x的值，即可得到起始與結(jié)束時間，從而可作出判斷．【小問1詳解】∵消殺時，與時間成正比例∴設y=kx(k≠0)把點(8，6)代入得：8k=6解得：∴由圖知此時自變量x的取值范圍為∵消殺后與成反比例∴設把點(8，6)代入反比例函數(shù)解析式中，得∴m=48∴故答案為：，；【小問2詳解】當y=3時，，則x=4；當y=3時，，則x=16即消殺3分鐘后開始有效，16分鐘后失效所以持續(xù)時間為：16-4=12（分鐘）>10分鐘所以此次消殺有效【點睛】本題是反比例函數(shù)的應用，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，求自變量的值，關鍵是確定函數(shù)關系式．24.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.點P從點A出發(fā)，沿AB邊以2cm/s的速度向點B勻速移動；點Q從點B出發(fā)，沿BC邊以1cm/s的速度向點C勻速移動，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動，設運動的時間為t(s).（1）當PQ∥AC時，求t的值；（2）當t為何值時，△PBQ的面積等于cm2.【答案】（1）t=；（2）當t為2s或3s時，△PBQ的面積等于cm2.【解析】【分析】（1）根據(jù)PQ∥AC得到△PBQ∽△ABC，列出比例式即可求解；（2）解法一：過點Q作QE⊥AB于E，利用△BQE∽△BCA，得到，得到QE=t，根據(jù)S△PBQ=BP·QE=列出方程即可求解；解法二：過點P作PE⊥BC于E，則PE∥AC，得到△BPE∽△BAC，則，求出PE=(10-2t).，利用S△PBQ=BQ·PE=列出方程即可求解.【詳解】（1）由題意得，BQ=tcm，AP=2cm，則BP=（10—2t）cm在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴，即，解得t=（2）解法一:如圖3，過點Q作QE⊥AB于E，則∠QEB=∠C=90°.∵∠B=∠B,∴△BQE∽△BCA，∴，即，解得QE=t.∴S△PBQ=BP·QE=，即·(10-2t)·t=.整理，得t2-5t+6=0.解這個方程，得t1=2，t2=3.∵0＜t＜5，∴當t為2s或3s時，△PBQ的面積等于cm2.解法二：過點P作PE⊥BC于E，則PE∥AC（如圖4）.∵PE∥