2025年九年級中考數學復習訓練：拋物線壓軸題考點存在性問題分類（解析版）

QL1EJ

題型一平行四邊形存在性..............................................................1

題型二菱形存在性...................................................................16

題型三矩形存在性...................................................................22

題型四正方好存在性.................................................................34

題型五直角三角形...................................................................46

題型六等晨直角三角形存在性.........................................................58

題型七等展三角形存在性.............................................................66

題型八等邊三角形存在性.............................................................76

題型九三角形相似存在性.............................................................82

題型十面積，面積比,等面積存在性.....................................................93

題型十一角度存在性................................................................106

題型一平行舊邊形存在性

1.（2023,棗莊）如圖，拋物線夕=—〃+阮+。經過A（_I,0）,C（0,3）兩點，并交宓軸于另一點8,點河是拋

物線的頂點，直線AM與"軸交于點D

⑴求該拋物線的表達式；

⑵若點H是x軸上一動點，分別連接MH,DH,求MH+的最小值；

（3）若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q,使得以O,M,P,Q為頂點的四邊形是平行

四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】（1）?/=一爐+22+3（2）737（3）存在，Q（l,3）或Q（l,l）或Q（l,5）

【解析】

【分析】（1）待定系數法求出函數解析式即可；

（2）作點。關于多軸的對稱點D,連接D'M,D'M與o：軸的交點即為點笈,進而得到AiH+的最小值為

D'M的長，利用兩點間距離公式進行求解即可；

（3）分。河，DP,分別為對角線，三種情況進行討論求解即可.

【小問1詳解】

解：；拋物線y——x2+be+c經過A（—l,0）,C（0,3）兩點，???

J—l—b+c=O(b=2

(c=3，解得:(c=3

/.y=—x2+2/+3;

【小問2詳解】

*.*y——x2+2/+3=—(T—I)2+4,

設直線AM:y—kx+m(kW0),

則[[:";)」：『二;，

[k+m—4[m=2

AM-.y=2/+2,

當c=0時，夕=2,

.-.0(0,2);

作點。關于o;軸的對稱點D',連接D'M,

則：。(0,-2),MH+DH=MH+D'H>D'M,

當MH,。三點共線時，MH+OH有最小值為。叱的長,

2),河(1,4),

/.D'M=J"(4+2)2=居,

即：的最小值為：V37;

【小問3詳解】

解:存在；

?/y=-/+2/+3=一(刀一I)?+4,

.?.對稱軸為直線a；=1,

設P(p,t),Q(l,n),

當以。，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時：

①ZW為對角線時：

[1+n=4+2

當p=0時，力=3,

n=3,

???Q(1,3);

②當。P為對角線時:出廠沖1,

[2+力=4+九

當p=2時，1=—2?+2x2+3=3,

n=1,

③當MP為對角線時：+

(4：+t—2+n

當p=0時，力=3,

.-.Q(l,5);

綜上：當以D,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，Q(l,3)或Q(l,l)或Q(l,5).

【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，是中考常見的壓軸題.正確的求出函數解析式，熟練掌握二次函數的

性質，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵.

2.(2023，淄博)如圖，一條拋物線y=a/+所經過的三個頂點，其中O為坐標原點，點A(3,—3),

點8在第一象限內，對稱軸是直線2=言，且△048的面積為18

4

???

⑴求該拋物線對應的函數表達式；

（2）求點B的坐標；

（3）設C為線段的中點，P為直線OB上的一個動點，連接AP,CP,將△ACP沿CP翻折，點人的對

應點為4.問是否存在點P，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符

合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】⑴吐%2-3?

O

(2)(6.6)

怎樣）或（-1，號）或（吟+6,嶗+6）或（一竽+6,一等+6）

（3）存在，P點的坐標為

【解析】

【分析】（1）根據對稱軸為直線；r=—擊=號■，將點A代入，進而待定系數法求解析式即可求解；

（2）設B（m,-|m2-3m）,過點人作石尸JL沙軸交于E點，過B點作BF±EF交于F點，繼而表示出的

面積，根據△OAB的面積為18,解方程，即可求解.

（3）先得出直線OB的解析式為g=，，設PQ,t）,當為平行四邊形的對角線時，可得AP=AC,當BC為平

行四邊形的對角線時，BP=4C,進而建立方程，得出點P的坐標，即可求解.

【小問1詳解】

解：：對稱軸為直線c=—三=2，

2a4

?*-b-—■①，

將點A（3,—3）代入g=ax2+6/得，

9a+3b=-3（2）,

聯(lián)立①②得，卜二等，

[b=-3

：.解析式為y=-^-x2—3x;

【小問2詳解】

設B（館,M—3?。?，如圖所示，過點A作班_Ly軸交于E點，過B點作BF_LEF交于F點,

???

則OE=3,AE=3,AF=m—3,BF=3m+3,

o

S4AoB=xf-^-?722-3館+3+3)—x3x3—(jn-3)-3?TI+3)—18

NDN乙D

解得：m=6或m=—3(舍去),

【小問3詳解】

存在點P,使得以4,P,。，8為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：

?.?A(3,-3),B(6,6),

設直線OB的解析式為y^kx,

6k—6,解得:k=1,

直線OB的解析式為y^x,

設P("),

如圖所示，當BP為平行四邊形的對角線時，BC7/AF,

圖2

BC=A、P,

???AC=BC,

：.AC=A1P,

由對稱性可知AC=A.C,AP=ArP9

：.AP=ACf

5

V（i-3）2+（t+3）2=J（3—+（―3一~|~）

解得:±=±|~

...P點的坐標為墻或（—9，號）

如圖3,當BC為平行四邊形的對角線時，BP〃AC,BP=4。,

圖3

由對稱性可知，

：.BP=AC,

V（6-i）2+（6-t）2=J（3—+（—3一件）,

解得：方=在/+6或力=—等+6,

.?.P點的坐標為（3系+6,及/+6）或（一』3+6,一當？+6）

綜上所述，P點的坐標為既?。┗颍ǖ忍枺┗颍ê?6,喑+6）或（—竽+6,一竽+6）.

【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，平行四邊形的性質，軸對稱的性質

是解題的關鍵.

3.（2023,聊城）如圖①，拋物線沙=￡^2+尻—9與立軸交于點4（—3,0）,B（6,0）,與“軸交于點C,連接

AC,BC.點P是，軸上任意一點.

圖①圖②???

⑴求拋物線的表達式；

(2)點Q在拋物線上,若以點A,C,P,Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標;

⑶如圖②，當點P(m,0)從點4出發(fā)沿立軸向點8運動時(點P與點4B不重合)，自點P分別作PE

HBC,交AC于點及作PD±8C,垂足為點D.當m為何值時，APED面積最大，并求出最大值.

【答案】⑴y=—燕°一9

⑶館=￡■時，SAPDE有最大值,最大值為10卷.

2o

【解析】

【分析】(1)將A(-3,0),B(6,0)代入y=a/+ba；-9,待定系數法確定函數解析式；

⑵由二次函數g=1~a;2—日力—9,求得點0(0,—9),設點Pg,0),點Q(?i3療—■九—9),分類討論：當

力。為邊，4Q為對角線時，當為邊，4P為對角線時，運用平行四邊形對角線互相平分性質，構建方程求

解；

(3)如圖，過點。作。G_LAB,過點E作即_L垂足為G,F,

可證，NFPE=2DBP,ZPDG=/DBF運用待定系數法求直線AC解析式沙=一3劣—9,

直線BC解析式沙=亂一9;設點E(p,-3p—9),q-9),則PF=小一p,

PG=q-R,EF=3p+9,DG=-等q+9,運用解直角三角形，R±ZWOC中，BC==

tan/OBC=亮,Rt/^PEF中，tan/FPE=*3

2PF2

可得P=!(館一6),PF=々(HI+3),PE=PQ+3);①APOG中，tan/PDG=冬=

3369DG

="I",可得，q=(4m+54),PG——小(m—6),PD=PG?=—(館—6),于是S^pDE=~^-PD

Z_LJJLOt7.LOZ

1Q1

?PE———(m+3)(m—6),從而確定?n=K時，最大值為10—.

228

【小問1詳解】

將y1(—3,0),8(6,0)代入g=Q力?+b力—9,得

_1

f9a—35—9=0鏟尸a~~2

(36(1+66-9=0'解于

.?.拋物線解析式為：y二方"—_5-a；—9

【小問2詳解】

1Q

二次函數沙=5/一~^-x—9,當rr=0時，y=-9

.?.點C(O,-9)

設點P(m,Q)，點Q(n,^-n2--^-n—9),

當AC為邊，AQ為對角線時，

四邊形ACQP為平行四邊形，

：.AQ,CP互相平分

-^-n2—■^-n—9=-9解得，n=0(舍去)或n=3

???

點Q坐標（3,-9）;

1Q

—n2—-|-n—9=9

???點Q坐標傳+王興,9）或居一王務,9）

綜上，點Q坐標⑶一9）,或居+券巳,9）或居一考巳,9卜

【小問3詳解】

如圖，過點。作。G_LAB,過點E作EF±AB,垂足為G,F,

?：PE//BC,PD±BC

：.ZDPE=APDB=90°

：.4FPE+ZDFB=90°

?/NDPB+ZDBP=90°

/.AFPE=ADBP,同理可得4PDG=ADBP

設直線AC的解析式為：y=fcr+/z

則仁叱仁。，解得"u

[九二-9[h=-9

/.直線AC:y=-3力—9

同理由點B（6,0）,。（0,—9）,可求得直線BC:y=^x-9

設點E(p,—3P—9),9),

則PF—m—p,PG=q—m,EF=3p+9,DG=——Q+9

RtdBOC中，OB=6,OC=9

BC=VOC2+OB2=A/62+92=V1T7

tanZOBC=-7-=

o2

RtAPEF中，tan/FPE=等=tanZOBC=4

PF2

3?>+9=得，解得「=!(777,—6),

m—p23

9

/.PF=m—p=—(m+3)

o

../TpoTpPF/cqcOB6

.COSAFPE=—=cosZOBC=—=W

：.PE=PF-^^~+

69

Rt^PDG中，tan/PDG==tan/08。=日

DG2

???47n=~|■，解得，q==(4m+54)

—1Q+9213

/.PG—q—m——(m—6)

JLo

???sinZPDG=若PG=sinZOBC=~^Q=

PDVH7

.-.Fn=PG-^L=-^^(m-6)

913

；?S^pDE=~^PD-PE=y()(m-6)?()(m+3)=-y(m+3)(m-6)

即S.DE=-^-(m+3)(m—6)=-+10=.

V-y<0

=4時,-3<zn<6，S"DE有最大值，最大值為10v.

2o

【點睛】本題考查待定系數法確定函數解析式，平行四邊形的性質，一元二次方程求解，解直角三角形，結合動

點運動情況，分類討論是解題的關鍵.

4.（2023,廣州）已知點Pg,%）在函數y=—菅Q<0）的圖象上.

⑴若nz=—2,求九的值；

（2）拋物線y=（2-巾）（2-?2）與c軸交于兩點河，N（M在N的左邊）,與“軸交于點G,記拋物線的頂點

為E.

①m為何值時，點E到達最高處；

②設△GAW的外接圓圓心為C,0c與4軸的另一個交點為尸，當山+"#0時，是否存在四邊形

FGEC為平行四邊形？若存在，求此時頂點E的坐標;若不存在，請說明理由.???

【答案】⑴"的值為1;

⑵①7/2=—，^:②假設存在，頂點E的坐標為,―，或~

【解析】

【分析】(1)把?n=—2代入g=——(x<0)得n=—=1,即可求解；

x—2

(2)①力二二；71，得n=3—m)(T—n)=―}(m—n)2=—2--^(m+n)2<—2，即可求解；

②求出直線TS的表達式為：0=一十小(力得嗎)一1,得到點0的坐標為(衛(wèi)守土一方)；由垂徑定理知，點

。在FG的中垂線上，則FG=2(7/c-yG)=2x(一十+2)=3;由四邊形FGEC為平行四邊形，則CE=FG

17

=3=〃一麴=—3—外，求出牡=一萬，進而求解.

【小問1詳解】

解：把7n=—2代入y=——(TV0)得九=---1=1;

故打的值為1;

【小問2詳解】

解：①在y=(x-rrt)(x—n)中，令g=0,則(/一rn)(a?—n)=0,

解得x—m^x=n,

M(m,0),N(n,0),

，:點、P(m,n)在函數g=——(x<0)的圖象上，

mn=-2,

令#=7n..，得y=(6—m)(x—n)=--(m—n)2=—2—(m+n)2&-2,

即當7n+?i=0,且mn=-2,

則m2=2,解得：m=—〃^(正值已舍去),

即m=—A/2時，點E到達最高處；

②假設存在，理由:

對于g=(劣一m)(力一n),當力=0時，g=mn=-2，即點G(0,—2),

由①得M(m,0),Ng0),G(O,—2)，鞏咒私，一《(小一九燈，對稱軸為直線t=生產,

由點7W(?n,0)、G(0,—2)的坐標知，tanZOMG=—=------,

OM-m

作MG的中垂線交MG于點T,交g軸于點S,交力軸于點K,則點T怎M,一1),

10

則tanZAiKT=gm,

則直線TS的表達式為：y="—1.

當x=m^n,y=-m（^x-^-rn）-1=~,

則點。的坐標為（"?，一/）?

由垂徑定理知，點。在FG的中垂線上，則FG=2（yc-yG）=2X（-y+2）=3.

1.?四邊形FGEC為平行四邊形，

則CE=FG=3=yc-yB=-^--yE,

解得：yE=--^,

--手（m—n）2=—,且mn=—2,

則m+n=±V6,

.??頂點E的坐標為（一粵，一日），或（萼，一日）.

【點睛】本題為反比例函數和二次函數綜合運用題，涉及到一次函數基本知識、解直角三角形、平行四邊形的

性質、圓的基本知識，其中（3）,數據處理是解題的難點.

5.（2022,畢節(jié)）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=—〃+kc+c與c軸交于4口兩點，與"軸交于點

C,頂點為。⑵1），拋物線的對稱軸交直線8C于點E.

（1）求拋物線y=~x2+bx+c的表達式；

（2）把上述拋物線沿它的對稱軸向下平移，平移的距離為h（h>0），在平移過程中，該拋物線與直線BC

始終有交點，求拉的最大值；

（3）雙是⑴中拋物線上一點，N是直線上一點.是否存在以點O,E,Af,N為頂點的四邊形是平行

四邊形？若存在，求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案］⑴g——X1+4a?—3

⑵*

⑶存在；（1,—2）或（%叵,二）或（二產，——）或（3,。）

【解析】???

【分析】（1）根據拋物線頂點坐標即可求解；

⑵由題意得，求BC的表達式為：沙=力一3;拋物線平移后的表達式為：g=—/+4/一3—八,根據題意得,

2

ry=-x+4x-3-/i即可求解；

[y^x-3

（3）設”（山，一加2+4M—3）,?/（小，山一3）,根據平行四邊形的性質進行求解即可.

【小問1詳解】

解：由以2,1）可知，

2x(-1)

?4x（T）c-2_，解得：（二―T

4x（-1）T

：.y=-x2-\-4：x—3,

【小問2詳解】

分別令g=—/+40—3中，/=0,。=0得，B（3,0）,C（0,—3）;

設_8。的表達式為：y=k*+n（kWO）,

將_B（3,0）,C（0,—3）代入g=fcr+九得，

，武藍解得:歸1

：.BC的表達式為：沙=2-3;

拋物線平移后的表達式為：y=—x2+4rc—3—/i,

根據題意得,二丁-，即i+…

該拋物線與直線始終有交點,

（—3）2—4xlx/i>0,

九的最大值為2.

【小問3詳解】

存在，理由如下：

招■力=2代入g=6—3中得E(2,—1),

①當DE為平行四邊形的一條邊時，

???四邊形是平行四邊形，

：.DE//MNfDE=MN,

?:DEIIy軸,

:?MN〃y軸,

設M(m,—m2+4m—3),—,

當一館2+4m—3—(m—3)=2時，解得：？ni=1,館2=2(舍去),

?e?N(l,-2),

2

當Tn—3—(―m+4m—3)=2時，解得:=3+^^,m2=——,

.禽3+方V17-3\或U3-V17_yi7+3\

②當DE為平行四邊形的對角線時，設河（p,—p2+4p—3）,N（q,q—3）,

???。、石的中點坐標為：（2,0）,

的中點坐標為：（2,0）,

￡±￡-9

2—2

——+4p—3+q—3=<，

2—u

解得：2，，卜尸；（舍去），

助=3切=2

此時點N的坐標為（3,0）;

綜上分析可知，點N的坐標為：（1,—2）或（咒近，嗎二三）或（土產，—母土&）或（3,0）.

【點睛】本題主要考查二次函數與一次函數的綜合應用、平行四邊形的性質，掌握相關知識并靈活應用是解題

的關鍵.

6.（2022,懷化）如圖一所示，在平面直角坐標中，拋物線"=<^+22；+。經過點A（—1,0）、口（3,0）,與"軸

交于點C，頂點為點。.在線段上方的拋物線上有一動點P,過點P

作PE±于點及作PFH48交8。于點F.

圖一備用圖

（1）求拋物線和直線的函數表達式，

（2）當APEF的周長為最大值時，求點P的坐標和4PEF的周長.

（3）若點G是拋物線上的一個動點，點及是拋物線對稱軸上的一個動點,是否存在以C、B、G、M為頂

點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點G的坐標，若不存在,請說明理由.

【答案】（1）拋物線函數表達式為沙=一，2+23；+3,直線3。的函數表達式為9=一2+3

（2）點P的坐標為（方,號），APEF的周長為：■（6+1）

⑶存在，（2,3）或（-2,-5）或（4,-5）

【解析】

【分析】（1）由點4B的坐標，利用待定系數即可求解析式；

（2）利用直線和拋物線的位置關系相切時對應的等腰直角三角形PEF周長最大，二次函數與一次函數聯(lián)立方

程，根的判別式△=(),從而找出對應點P坐標，進而求出周長；

(3)根據平行四邊形對角線性質和中點公式，把BC是否為對角線分情況進行分析,設出點G的橫坐標,利用

中點公式列方程計算即可求解.

【小問1詳解】

解:將點A(—1,0),B(3,0)代入y=ax2+2c+c,得:

十二:二-，解得，

[0=9a+6+c[c=3

所以拋物線解析式為g=—"+2/+3,C(0,3)

設直線的函數表達式g=fcr+b,將6(3,0),C(0,3)代入得:

f0=3fc+6，解得仁「

[3=b

所以直線BC的函數表達式為^=-2+3

【小問2詳解】

解:如圖，設將直線BC平移到與拋物線相切時的解析式為y=-x+p，與拋物線聯(lián)立得：

(y=-x+p整理得"_3；r+p_3=0

[g=一方+2/+3

A=32-4(p-3)=0，解得p=*'

將。=?代入/-3力+p—3=0,解得力二卷，卜,D

=y代入沙=-x2+26+3得g=苧，

即△FEF的周長為最大值時，點P的坐標為砥,%/"\\\\

將工=|■代入--工+3得"制，"'''、(

則此時「尸="一=?,

424

因為△PEF為等腰直角三角形，=x容

428

則的周長最大為-^-(72+1)

【小問3詳解】

答:存在.

已知B(3,0),C(0,3),設點G(m,—m2+2m+3),N(l,n),

當BC為平行四邊形對角線時，根據中點公式得：nz+1=3，小=2,則G點坐標為(2,3);

當為平行四邊形對角線時，同樣利用中點坐標公式得：m+3=1或m—3=l,解得?n=—2或?n=4

則G點坐標為(-2,-5)或(4,-5)

故點G坐標為(2,3)或(一2,—5)或(4,-5)

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖像上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解

析式、直線與拋物線的位置關系、根的判別式，等腰直角三角形性質，平行四邊形的性質，解題的關鍵⑴根據

點的坐標利用待定系數求解析式；(2利用直線和拋物線的位置關系，巧妙利用判別式；(3)熟悉平行四邊形對

角線性質，結合中點公式分情況展開討論.

7.(2022,婁底)如圖，拋物線沙=9d—2c—6與c軸相交于點4點B,與夕軸相交于點C?.??

(1)請直接寫出點A,B，。的坐標；

(2)點P(m,n)(0＜?。?)在拋物線上，當小取何值時，APBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大

值.

(3)點R是拋物線上的動點，作FE//力。交力軸于點E,是否存在點尸，使得以人、C、E、R為頂點的四

邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點尸的坐標;若不存在，請說明理由.

【答案】⑴4—2,0),5(6,0),(7(0,-6);

⑵m=3,APBC面積的最大值夸;

⑶存在，(2+2/7,6)或(2-277,6)或(4,-6).

【解析】

【分析】⑴令y=0得到十"―2,—6=0,求出rr即可求得點＞1和點_B的坐標，令0=0,則y=-6即可求點

。的坐標；

⑵過P作PQ〃沙軸交BC于Q,先求出直線BC的解析式，根據三角形的面積，當平行于直線直線與拋

物線只有一個交點時，點P到BC的距離最大，此時，△PBC的面積最大，利用三角形面積公式求解；

⑶根據點F是拋物線上的動點，作FE〃人。交rc軸于點E得到AE〃CF,設F(a,]■a?一2&一6),當點F在c

軸下方時，當點F在c軸的上方時，結合點OC=6,利用平行四邊形的性質來列出方程求解.

【小問1詳解】

解:令y=0,

則—X2—2?-6=0,

解得x1——2,X2—6,

.-.A(-2,0),B(6,0),

令2=0,則y=-6,

AC(0,-6);

【小問2詳解】

解:過P作PQ〃:y軸交于。，如下圖.

設直線BC為y=far+b(k聲0),將B(6,0)、0(0,—6)代入得???

0=6%+b

6=—6

k=l

解得

b=-6f

：.直線BC為y=x-6,

根據三角形的面積，當平行于直線直線與拋物線只有一個交點時，點P到石。的距離最大，此時，△PBC

的面積最大,

P(m,n)(0<m<6),

P[rri,2m—6Q(m,m—6),

PQ=(m—6)—2m—6)=--(m—3)2+,

??T<o,

r.nt=3時，PQ最大為￡■，

而S5BC="Q'\xc-xB\=：x,x6=等，

^PBC的面積最大為苧；

【小問3詳解】

解:存在.

?.?點F是拋物線上的動點，作FE〃人。交/軸于點E,如下圖.

AE〃CF,設P(a,：a2-2a-6).

當點F在c軸下方時，

V0(0,-6),

即OC=6,

--a?-2a-6=-6,

解得&=0(舍去),Q=4,

當點F在a7軸的上方時，令y=6,

則---a2—2a—6=6,

解得a3=2+2，7,◎=2—2〃7,

/.F(2+2V7,6)或(2-2V7.6).

綜上所述，滿足條件的點F的坐標為(2+2/7,6)或(4,-6)或(2—2/7,6).

【點睛】本題是二次函數與平行四邊形、二次函數與面積等問題的綜合題，主要考查求點的坐標，平行四邊形的

性質，面積的表示，涉及方程思想，分類思想等.

題型二菱形存在性

8.(2024,瀘州)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=axi+bx+3經過點4(3,0),與沙軸交于

點且關于直線rr=1對稱.???

⑴求該拋物線的解析式;

⑵當一IWrrWt時，9的取值范圍是—1,求力的值；

(3)點。是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點。作c軸的垂線交直線于點。，在夕軸上是否存

在點E,使得以口，。，。，后為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長;若不存在，說明理由.

【答案］⑴y——x2+2rr+3

⑵T

(3)存在點以B,為頂點的四邊形是菱形，邊長為32一2或2

【解析】

【分析】本題考查二次函數的綜合應用，菱形的性質，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想

進行求解，是解題的關鍵.

⑴待定系數法求出函數解析式即可；

(2)分和1>1,兩種情況，結合二次函數的增減性進行求解即可.

(3)分BD為菱形的邊和菱形的對角線兩種情況進行討論求解即可.

【小問1詳解】

解：：拋物線y—ax1+bx+3經過點A(3,0),與沙軸交于點B,且關于直線,=1對稱，

f—4=1a=-l

???2a，解得:

[9a+3&+3=0b=2

y=—/+2/+3;

【小問2詳解】

,/拋物線的開口向下，對稱軸為直線rr=1,

拋物線上點到對稱軸上的距離越遠，函數值越小，

—1Wa;4力時,0WyW2t—1,

①當力W1時，則：當;r=力時，函數有最大值，即：2t-1=一伊+2t+3,

解得：t=—2或t=2,均不符合題意，舍去；

②當力>1時，則：當￡C=1時，函數有最大值，即：2%一1=—12+2+3=4,

解得:力=微；

故t=方；

【小問3詳解】

存在；

當y=—〃+2T+3=0時，解得：力i=3,力2=-1,當力=0時，g=3,

???4(3,0),石(0,3),

設直線AB的解析式為g=kr+3,把4(3,0)代入，得：k=—1,???

y——x+3,

設C(m,—m2+2m+3)(0<m<3),5!']:D(m,—m+3),

CD——ni2+2m+3+m—3——m?+3m,BD—(—m+3—3)2=V2m,BC2—m2+(—m2+2m)2,

當B,C,O,E為頂點的四邊形是菱形時，分兩種情況：

①當BD為邊時，則：BD=CD，即—m2+3m=V2m,

解得:m—0(舍去)或m=3—V2,

此時菱形的邊長為方巾=32一2;

②當為對角線時，則：BC=CD,即：/+(—*+2叫2=(_館2+3咽2,

解得:m=2氮m=0(舍去)

此時菱形的邊長為：-22+3x2=2;3V2-2

綜上：存在以B,。，。，石為頂點的四邊形是菱形，邊長為32一2或2.

9.(2024,內江)28.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數9=—24+6的圖象與力軸交于點人,與“軸交于

點8,拋物線y=-x2+bx+c經過4、B兩點，在第一象限的拋物線上取一點。，過點。作。。，非軸于

點。，交AB于點瓦

⑴求這條拋物線所對應的函數表達式；

(2)是否存在點D,使得4BDE和4ACE相似？若存在,請求出點。的坐標，若不存在，

請說明理由；

(3)尸是第一象限內拋物線上的動點(不與點。重合)，過點尸作刀軸的垂線交于點G,連接OF,當四

邊形EGFD為菱形時,求點。的橫坐標.

【答案】⑴夕=—“2+3；+6

⑵點。的坐標為(1,6)或(十,苧)

⑶3+2斯-儂

【解析】

【分析】(1)先求出4B的坐標，然后代入g=—/+匕/+°,求出b、c的值即可；

(2)由對頂角的性質性質知ZAEC=NDEB,若存在4BDE和LACE相似，則有AACE?4BDE和AACE

?△CB石兩種情況，然后分情況討論，利用相似三角形的性質求解即可；

(3)設點D(m,—m2+m+6),E(m,—2m4-6),F(n,—n2+n+6),G(n,—2n+6),則DE——rn?+3m,FG—

—n2+3n,根據菱形的性質得出一小?+3m=—療+3"，可求出口二3—nz,過點G作GKJ_D?E于K?,可得?

NEGK=/皿。,利用等角的余弦值相等得出卷苧=，求出EG=逐（3—2山），根據菱形的性質得出

m2—（3+2V5）m+3V5=0,解方程求出m的值即可.

【小問1詳解】

解：令g=0,則一2力+6=0,則力=3;令力=0,則g=6

/.A(3,0),B(0,6)

把A(3,0),B(0,6)代入g=—/+b/+c,得：

「9+3b+c=0。解得：pu

[c=6lc=6

這條拋物線所對應的函數表達式為：y=—x2+x+6;

【小問2詳解】

解：存在點。，使得△BDE和LACE相似.

設點D(t,—=2+±+6),則E(t,—2%+6),C(t,0),H(t,6)

EC=—2t+6,AC=3—t,BH=t,DH=—t2+t,DE=—t2+3t

■：ABDE和LACE相似，ABED=NAEC

：.AACE?ABDE或4ACE?△DBE

①如圖1,當△ACE?ABDE時，NBDE=NACE=9Q°

：.BD//AC

??.O點縱坐標為6

t2+1+6=6,解得：t=0或t=1

.-.0(1,6)

②如圖2,當/XACE?ADBE時，2BDE=2CAE

過石作。。于H

???ZBHD=90°

=tan/RDE=tan/CAE=

DHOA

=2

—2t2+2t=t,解得：t—0(舍去)或1=]■

綜上所述，點O的坐標為（1,6）或.

【小問3詳解】

如圖3,；四邊形EGFD為菱形

：.DE//FG,DE=FG,ED=EG

22

設點D(m,—m+m+6),E(mf—2m+6),F(n,—n+n+6),G(n,—2n+6)

DE=—m2+3m,FG=—n?+3n

C.—rn?+3m=—n2+3n,艮!3(m—n)(m+n—3)=0

m-n#0

.?.zn+Ti—3=0,即m+n=3或九=3一Tn???

vA(3,0),B(0,6)

:.AO=3,BO=6

???AB:VAO2+BO2=3V5

過點G作GKLDE于K

：.KG//AC

???4EGK=ABAC

??第=cos/EGK=cos/BAC=端,即/

-C/(_72(_T3A/5

=A/5(n—m)=V5(3—2m)

?：DE=EG

m2+3m=A/5(3—2m)

m2—(3+2V5)m+3A/5=0

3+2V5+V293+2V5-V29

解得:m=（不合題意，舍去）或?72=

22

3+2V5-V29

故m二

2

答：點。的橫坐標為3+2V5-V29

2

【點睛】本題是常見的中考數學壓軸題型，綜合性比較強，涉及到知識點較多；主要考查了待定系數法求二次函

數的解析式，相似三角形的性質，菱形的性質；解題時要能夠靈活運用所學的數學知識，要會分類討論.

10.（2022,煙臺）如圖，已知直線4=今力+4與立軸交于點4與y軸交于點。，拋物線y=ax2+bx+c^

O

過4。兩點，且與刀軸的另一個交點為8,對稱軸為直線c=—1.

⑴求拋物線的表達式；

（2）。是第二象限內拋物線上的動點，設點D的橫坐標為小，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時。

點的坐標；

（3）若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P,Q,使以點A,C,P,Q為頂點的四邊形是以AC為對角線

的菱形？若存在，請求出P,Q兩點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】—普,+4

OO???

⑵s最大=爭,。（~1,5）

⑶存在,Q（-2,號）

【解析】

【分析】（1）先求得A,。，B三點的坐標,將拋物線設為交點式，進一步求得結果；

（2）作DF_L43于F,交47于E,根據點。和點E坐標可表示出座的長，進而表示出三角形ADC的面積,

進而表示出S的函數關系式，進一步求得結果；

（3）根據菱形性質可得R4=PC,進而求得點P的坐標，根據菱形性質，進一步求得點Q坐標.

【小問1詳解】

解：當力=0時，g=4,

AC（0,4）,

,,4

當g=0時，-—X+4=0,

O

.,?/=-3,

???4（-3,0）,

對稱軸為直線x=—l,

設拋物線的表達式：y—a（x—1）?（力+3）,

4=—3a,

a=一告,

o

拋物線的表達式為：y=―?。σ?）?（/+3）=―^-x2—■|~力+4;

OOO

【小問2詳解】

如圖1,

作AB于交于E,

D(m,-^館2__1_7n+4),—^M+4),

OOO

DE=-—1-m+4—+=--^m2—4m,

oo'J

_3-?(--1-m2—4m^=—2m2—6m,

?e?二2

=[AB-OC=

?*S^ABC~~2x4x3=6,

S=-2m(2—6m+6=—2—*

33

/.當772二:一5時,s最大二

-4，

34

當m——了時，9=一可X(號T)XT+3)=5,

?1?0（-,，5）；

【小問3