2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：基本不等式（解析版）

第03講基本不等式

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識.................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點一遍過...........................................6

高頻考點一：基本不等式的內(nèi)容及辨析..............................6

高頻考點二：利用基本不等式比較大小..............................8

高頻考點三：利用基本不等式求最值...............................11

角度1：利用基本不等式求積最大值..............................11

角度2：利用基本不等式求和最小值.............................12

角度3：二次與二次（一次）的商式的最值.......................13

角度4：“1”的妙用求最值......................................15

角度5：條件等式求最值........................................16

高頻考點四：基本不等式的恒成立問題.............................20

高頻考點五：利用基本不等式解決實際問題.........................24

第四部分：典型易錯題型............................................28

備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等”.............28

第五部分：新定義題（解答題）......................................30

第一部分：基礎(chǔ)知識

1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）

①如果a>0,b>0,4ab,當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時，等號成立.

②其中J法叫做正數(shù)。，人的幾何平均數(shù)；一叫做正數(shù)匕的算數(shù)平均數(shù).

2、兩個重要的不等式

①a?+b222ab（a,beR）當(dāng)且僅當(dāng)。=b時，等號成立.

②4（審了（。力eR）當(dāng)且僅當(dāng)。=。時，等號成立.

3、利用基本不等式求最值

①已知X,y是正數(shù)，如果積犯等于定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2，萬；

V2

②已知x,y是正數(shù)，如果和x+y等于定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)時，積孫有最大值?一；

4

4、常用技巧

利用基本不等式求最值的變形技巧一一湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)）

）、代（1的代入）、解（整體解）.

G)湊：湊項，例：xH-------=x—a--------Fa?2+a=3(x>a)；

x-ax-a

湊系數(shù)，例:x(l-2x)=g.2x(1-2x)<g-

--4+444I—

②拆：例：--=%+2+——=x-2+——+4>2V4+4=8(x>2)

x-2x-2x-2x-31)

2x

—<1(%>0)

③除：例：。+1

XH---

X

④1的代入：例：已知a>0,6>0,a+b=l,求工+工的最小值.

ab

…廣111I-丁、ba

斛析：—?■一=Z（一■F—）（a+b）=2H---F—>4A.

ababab

⑤整體解：例：已知〃，人是正數(shù)，且aZ?=a+Z?+3,求a+Z?的最小值.

i9

解析：??-ab<II，二1—2J>a+b+3即~(a+b)—(〃+/?)—320,解得

a-^-b>6(a+b<-2舍去).

第二部分：高考真題回顧

1.(2022?全國?(甲卷文))已知9"=10,。=10"'-111=8?'-9,則()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知加=log910>l，再利用基本不等式，換底公式

可得10g89>771,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.

【詳解】［方法一］:(指對數(shù)函數(shù)性質(zhì))

由9，=10可得加=皿0=揩>1，而lg91gli〈產(chǎn)詈號［〈Loy,所以揩>黑，

即加所以a=i(r-ii>i(ygu-11=0.

又lg81glO<「g8；gl°J=(等］<(炮9)2,所以B|Jlog89>m,

所以6=8f<8幅9-9=0.綜上，a>0>b.

［方法二］:【最優(yōu)解】(構(gòu)造函數(shù))

由9m=10,可得m=log91°e(l，L5).

根據(jù)。涉的形式構(gòu)造函數(shù)，(x)=x"-x-l(x>l),則八=

令/''(x)=0,解得/=小占,由機(jī)=log910e(l,L5)知不€(0,1).

/U)在d,+?)上單調(diào)遞增，所以了(1。)>/(8),即a>b,

又因為/(9)=9幅-10=0,所以。>0〉b.

故選：A.

【點評】法—：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；

法二：利用。力的形式構(gòu)造函數(shù)/(x)=W-x-l(x>l),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該

題的最優(yōu)解.

AC

2.(2022?全國?(甲卷文理))已知AABC中，點。在邊BC上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)一上

AB

取得最小值時，BD=.

【答案】V3-1/-1+V3

2

【分析】設(shè)8=2皿=2%>°'利用余弦定理表示出條AT后’結(jié)合基本不等式即可得解.

【詳解】［方法一］:余弦定理

^CD=2BD=2m>0,

則在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosZADB=m2+4+2m，

在AACD中，AC?=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4nr+4-4m，

222

AC_4m+4-4/n4(m+4+2m)-12(l+m)12

A4

7=----------------

所以商-+4+2.m2+4+2m

(m+l)+------

、7m+1

12

>4--------=4-273

3

2(〃2+l>

m+1

3

當(dāng)且僅當(dāng)根+1=—;即m=6-1時，等號成立,

m+1

AT

所以當(dāng)病取最小值時，-L

故答案為：A/3-1.

［方法二］：建系法

令BD=t,以D為原點，0C為X軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

則C(2t,0),A(1,73),B(-t,0)

.AC2_⑵+3_4?-41+4=4--------12>4-273

A=(f+l)2+3t2+2t+4

■'F(r+1)+——

I)t+1

當(dāng)且僅當(dāng)"1=百，即=若-1時等號成立。

［方法三］:余弦定理

設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得

C2=X2+4+2x...

f

I2A2/.2c+b=12+6x，

b=4+4x-4x

=爐+4+2尤

69=4A+4%o2-4%?「.2。+b=12+6x,

令廿,則2-V

、

12+6x212+6x22

t~+2==6>6-2A/3,

x2+2x+4x+l)+^—

7x+i)

r>4-273,

3

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=17r即"+1時等號成立.

3.⑵22?全國?（新高考［卷））記的內(nèi)角45,C的對邊分別為“，b,c,已知霽萬

⑴若C年24求&

⑵求《42的最小值?

c

【答案】①g,jr

6

(2)40-5.

【分析】根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將"二一^缶化成cos（A+B）=sm8,再

TT

結(jié)合0<8<U，即可求出；

2

(2)由(1)知，C=￡+B,A=g-23,再利用正弦定理以及二倍角公式將小久化成4cos28+C至-5,

22ccosB

然后利用基本不等式即可解出.

/、E、rcosAsin2B2sinBcosBsin3

【詳解】(1)因為;——=------=——=--)即nn

1+smA1+cos2B2cosBcos5

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC=—,

JTqr

而。<8<5,所以B=q；

7171

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0,所以一<。<兀,0<3<一,

22

■ffi]sinB=-cosC=sinlC-^-1,

所以C=g+B,即有A=g-2B,所以Be[o,7?1J,Ce713%

4

a2+b2sin2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

所以

,2sin2Ccos2B

(2COS23-1)2+1—cos2B

=4COS2B+^—-522曲-5=4忘-5?

cos2Bcos-8

當(dāng)且僅當(dāng)cos2B=^~時取等號，所以的最小值為472-5.

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：基本不等式的內(nèi)容及辨析

典型例題

例題1.（2024上?陜西安康?高一?？计谀┫铝胁坏仁揭欢ǔ闪⒌氖牵ǎ?/p>

A.x2+1>2x（x>0）B.sinx+^—>2（x^k7i,kGZ）

sinx

C.>l（xeR）D.Z+->2（^>0）

【答案】D

【分析】根據(jù)各項所給條件，結(jié)合均值不等式分析、判斷作答.

【詳解】對于A,當(dāng)尤=1時，f+i=2x,A不正確；

對于B,當(dāng)％。左肛左wZ時，一IWsinxWl,且sinxwO,若一lWsinx<0,則sinx+—-—<0,B不正確；

sinx

對于C,VXGR,X2+1>1,貝ijO<f—<1,即C不正確；

x+1

對于D,當(dāng)r>o時，由均值不等式得/+!22成立，當(dāng)且僅當(dāng)/=1時取等號，則D正確.

t

故選：D

例題2.（多選）（2024?全國?高三專題練習(xí)）任取多組正數(shù)。，4c,通過大量計算得出結(jié)論：絲產(chǎn)3痂,

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.若0〈根<3,根據(jù)上述結(jié)論判斷療（3-7句的值可能是（）

A.Vl7B.V15C.5D.3

【答案】BD

【分析】利用已知結(jié)論求出/（3-m）的最大值進(jìn)行判斷，為此需湊出三個正數(shù)的和為定值.

(ii、3

—m+—m+3-m

【詳】根據(jù)題意可得（3-/W）=W422________=4,

3

7

當(dāng)且僅當(dāng):根=3-m，即m=2時，等號成立.故m2（3-“）的最大值為4.

從而AC不可能，BD可以取.

故選：BD.

練透核心考點

1.（2024?全國?高一假期作業(yè)）下列不等式中等號可以取到的是（）

A+5H—.~N2B.X2+2H----N2

X2+2

1D.|x|+3+—J—>2

C.x9H——22

|x|+3

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式使用條件逐一檢驗取等條件即可得答案.

【詳解】解：對于A,因為G?>0,所以4r石+冰722不二二2,當(dāng)且僅當(dāng)

，尤2+5

即I-,故等號不成立,故人不符合;

對于B,因為f+2>0,所以f+2+，一>2=2,當(dāng)且僅當(dāng)尤2+2=下二，即無2=一1,

2

X2+2%+2

故等號不成立，故B不符合;

對于C,因為尤2>0,所以f+422、/，1=2,當(dāng)且僅當(dāng)V=4，即彳=±1時取等號，故C符合;

XYXX

對于D,因為國+3>0,所以國+3+同匕22帚=2,當(dāng)且僅當(dāng)小3=曲，即國=_2,故

等號不成立，故D不符合.

故選：C.

2.（多選）（2024上?河南漠河?高一溪河高中?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（）

了2+5

A.的最小值是2

，尤+4

B.當(dāng)x>l時，x+一1的最小值是3

x-1

C.當(dāng)0<x<10時，Jx（10-x）的最大值是5

21

D.若正數(shù)x，y滿足一+—=3,則2x+y的最小值為3

xy

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

__3T%2+5%2+4rz-771

【洋觸】A選項’77G=忑=+1=小+彳工

+3=。無解，所以①等號不成立，所以A選項錯誤.

B選項，當(dāng)％>1時，x-l>0,

XH———=X-1H——-——F1>2.(x-l)-—+1=3,

X-lX-1V7x-1

當(dāng)且僅當(dāng)1=占'1時等號成立，所以B選項正確.

C選項，當(dāng)0v元V10時，10—x>0,

所以,(10_司"+:7=5,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l。-x,x=5時等號成立，所以C選項正確.

2尤+y=g(2x+y)21

D選項，MV是正數(shù),—+—

%y

/卡沙口力+2"]

=3,

xy

當(dāng)且僅當(dāng)‘，尤=y=l時等號成立,所以D選項正確.

—I—=3

故選：BCD

高頻考點二：利用基本不等式比較大小

典型例題

例題1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）對于任意〃，bGR,下列不等式一定成立的是（）

a+bI-I、-ba、八,b,,a,

A.---->4abB.〃+—22C.-+->2D.|-|+|-|>2

2aabab

【答案】D

h

【分析】當(dāng)4<0力<。時，可判斷A；當(dāng)〃<0時，可判斷B；當(dāng)一<0時，可判斷C；利用均值不等式，可判

a

斷D.

【詳解】選項A：當(dāng)。<0力<0時，?<0,奴>0,色也<而，不成立，故A錯誤；

22

選項B：當(dāng)a<0時，a+—<0,aH—<2,不成立，故B錯誤；

aa

選項C：當(dāng)2<0時，-+^<0,-+y<2,不成立，故C錯誤；

aabab

選項D：由ll#|有意義，故”0力w0,因此

abab

由均值不等式，|2|+|/住2、/畔|=2,當(dāng)且僅當(dāng)|々=|九即〃242時等號成立

ab\abab

故D正確

故選：D

例題2.（2024下?福建?高一校聯(lián)考開學(xué)考試）杭州，作為2023年亞洲運(yùn)動會的舉辦城市，以其先進(jìn)的科

技和創(chuàng)新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用"機(jī)器狗"在田徑賽場上運(yùn)送鐵餅等，迅速成為了全場的

焦點.已知購買x臺"機(jī)器狗”的總成本為/⑺+工+20（萬元）.

ol）

⑴若使每臺"機(jī)器狗"的平均成本最低，問應(yīng)買多少臺？

⑵現(xiàn)安排標(biāo)明"汪1"、"汪2"、"汪3"的3臺"機(jī)器狗”在同一場次運(yùn)送鐵餅，且運(yùn)送的距離都是120米.3臺"機(jī)

器狗"所用時間（單位:秒）分別為（，T2,心."汪1"有一半的時間以速度（單位:米/秒）匕奔跑，另一半

的時間以速度匕奔跑；"汪2"全程以速度后直奔跑；"汪3"有一半的路程以速度匕奔跑，另一半的路程以

速度匕奔跑，其中乂>。，K>0,且匕力匕則哪臺機(jī)器狗用的時間最少？請說明理由.

【答案】⑴40

⑵"汪1"用的時間最少，理由見解析

【分析】（1）平均成本為>=/且，利用比較不等式，即可求解函數(shù)的最值；

X

（2）利用速度，時間和路程的關(guān)系，分別求解（，T2,T3,再根據(jù)不等式，比較時間大小，即可求解.

【詳解】（1）由題意，購買x臺"機(jī)器狗”的總成本為了（可=上/+尤+20,

80

貝IJ每臺機(jī)器狗的平均成本為>=勺=*苫+干+122^^+1=1+1=2,

當(dāng)且僅當(dāng)白1x='20時，即x=40時，等號成立，

80x

所以，若使每臺"機(jī)器狗"的平均成本最低，應(yīng)買40臺.

11r__lZ2_

（2）由題意，"汪1"滿足江匕+芋匕=120,可得「匕+匕,

222

.120

"汪2"滿足豈廊T=120,可得與=衍

T=竺+竺120

"汪3"滿足3一兀名

K+K

乂+匕2麻”2，.2,

HE

所以

因為匕＞0,匕＞0,且乂*匕，

所以可得匕手＞麗

則"麻,強(qiáng)"

所以工＜＜＜不，所以"汪1"用的時間最少.

練透核心考點

1.（多選）（2024上?湖南常德?高三統(tǒng)考期末）已知a＞6＞0,則下列不等式一定成立的是（）

ab2aba2+b2

A--------->----------B.----<

〃+1b+1a+b

11

C.〃+Z?+ln(次?)>2D.------<------

1+In〃1+lnZ?

【答案】AB

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和基本不等式判斷AB,利用特值法判斷CD.

?、4月nf,c.1.1口r八Q+1Z?+1CLb

【詳解】：a>b>0,1H—<1+—即。<----<---，------->------，A正確;

ababa+\b+\

由基本不等式知：忌＜器=痣（一,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時等號成立

5La2+b2>2ab,2(dt2+Z?2)>(tz+&)2

"2+曠3國+外即色也《產(chǎn)+”,當(dāng)且僅當(dāng)°=6時等號成立;

242-V2

已知a>6>0,故也忙逵，B正確；

a+bV2

a=l,b=—,a+b+\n(ab)=14----1-In—=—<2,C錯誤；

eeee

令b=Ll+lnZ?=l+ln-=0,分母為零無意義，D錯誤.

ee

故選：AB.

2.（多選）（2024?全國?高三專題練習(xí)）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家哈利奧特用表示不等號，并逐

漸被數(shù)學(xué)界所接受，不等號的引入對不等式發(fā)展影響深遠(yuǎn).若某同學(xué)從一樓到五樓原路往返的速度分別為。

和6（0<a<6）,記兩速度的算術(shù)平均值為匕，全程的平均速度為%,則下列選項正確的是（）

B9

A.4=^7^-a<v2<4abC.4ab<Vj<D.vl>v2

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式以及不等式的性質(zhì)求解.

【詳解】設(shè)一樓到五樓的距離為S,

a+b2s2ab

由題知匕=亍'匕=口=1，A錯誤；

ab

%2QZ?2b

因為——--=a(——--1),

a+baa+b

且Ovav人，所以〃+b<力，所2b以2b—1〉0,所以2c產(chǎn)lb>。，

a+ba+ba+b

2ab2ab

又因為Q+b>2V^F,(因為a】b,所以取不到等號)，所以-<—~j=-,B正確;

a+bly/ab

對C,因為標(biāo)b,所以而v",

a2+b2Q+Z7\Q?+Z?2—2ab(Q-b￥

又因為

2)2444

對D,+-4ab=(a-b)2>0,

所以(4+6)2>4",即等〉簽，D正確;

故選:BCD.

高頻考點三：利用基本不等式求最值

角度1：利用基本不等式求積最大值

典型例題

例題1.（2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末）若正數(shù)蒼y滿足4+24=26,則個的最大值為（）

93

A.6B.9C.—D.一

42

【答案】C

【分析】由基本不等式求解即可.

【詳解】解：因為五+26=2A22^26^,

所以87H<12,7^4。,孫,

3

當(dāng)且僅當(dāng)無=3,y時取等號.

故選：C.

例題2.（2024下?重慶?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知x>O,y>。，向量商=（x,y）石=（2,1）,灑5=1,

則孫的最大值為.

【答案】1/0.125

O

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得2x+y=l,結(jié)合題意利用基本不等式，即可求得答案.

【詳解】由題意知五萬?5=1,故2x+y=l,

又%>0,y>0,所以l=2x+yN2J2孫,

故肛當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,結(jié)合2x+y=l,即2x=>=：時取等號，

o2

故孫的最大值為弓，

O

故答案為：—

O

角度2：利用基本不等式求和最小值

典型例題

例題1.（2024上?安徽蕪湖?高一統(tǒng)考期末）若實數(shù)為丫滿足肛=1,則f+29的最小值為（）

A.1B.41C.2D.2A/2

【答案】D

【分析】通過沖=i求出y,代入所求式消元，運(yùn)用基本不等式求解即得.

【詳解】由型=1可知XW0,則y=L代入爐+2丁得：尤2+2/=爐+之22忘，

XX

當(dāng)時等號成立，即當(dāng)x=±啦時，V+2y2取得最小值20.

故選：D.

例題2.（2024上?廣西?高一校聯(lián)考期末）已知〃+/=。6+4,則a+b的最大值為（）

A.2B.4C.8D.272

【答案】B

【分析】利用基本不等式可得關(guān)于。+6的一元二次不等式，解不等式即可.

【詳解】a2+b2=ab+4,則有（a+bf=3ab+443（。+"」+4,

可得（〃+Z?）2?16,即a+b?4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時，等號成立.

所以a+人的最大值為4.

故選：B

例題3.（2024上?湖北?高一校聯(lián)考期末）己知尤>L則無+^—的最小值為

22x-l

【答案】—+V2

【分析】利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】由于所以x—]>0,2x—1>。，

當(dāng)且僅當(dāng)x-1=—^/=交口時等號成立,

，人

2212

所以》+二工的最小值為!+四.

故答案為：―+^

角度3:二次與二次（一次）的商式的最值

典型例題

2x2+x+3

例題1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃x）=a；（尤<0）的最大值為.

【答案】1-2A/6/-2A/6+1

【分析】首先化簡可得〃X）=2X2+X+3=2X+3+1=_（_2X+<-）+1,由T>0則可以利用基本不等式求最

值即可.

【詳解】因為x<0,貝U-x>0,

+x+

所以f(x}=^=2%+—+1=—(—2x+—)+1

xx-x

當(dāng)且僅當(dāng)-2x=3，即了=-逅時等號成立,

-x2

所以“力的最大值為1-2#.

故答案為：1-2#.

例題2.(2024?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)〃=『+"+3">2)的最小值為.

【答案】11

【分析】將函數(shù)化為y=x-2+三9+5,利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.

x-2

■、系總刀、I+I(%—2)2+5(%—2)+9-9--r-7c八

［詳解］由)=-----------------=JC-2-I------F5fX%—2>0J

x—2x—2

所以yN2、(x-2)?—―+5=11,當(dāng)且僅當(dāng)兀一2=—三,即％=5時等號成立，

所以原函數(shù)的最小值為11.

故答案為：11

3無一3

例題3.(2。24?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)死尸左中在(12上的最大值為

【答案】|3

【分析】令X-1=力，則r>0,則-2，利用基本不等式計算可得.

t

3九一3

【詳解】解：因為/(%)二———；，%￡(1,+8),令1—1=人則”0,

2x-x+1

“、3t3t333

fit)=---------------=---------=--------<——==—二—

則八/2(f+l)2-Q+l)+l2產(chǎn)+3f+22/+3+2.2小+371

2

當(dāng)且僅當(dāng)2:-,=1即％=2時，等號成立.

t

故了(%)的最大值為13.

3

故答案為：—

角度4：“1”的妙用求最值

典型例題

Q］

例題1.（2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末）已知正數(shù)x,y滿足一+—=1,則x+2y的最小值是（）

xy

A.6B.16C.20D.18

【答案】D

【分析】將所求的式子乘以“1〃，然后利用基本不等式求解即可.

81

【詳解】因為正數(shù)％,,滿足—+—=i,

%y

則犬+2丫=（犬+2丫）3+工］=10+叵+410+2『?^=18,

當(dāng)且僅當(dāng)321=土，即x=12,y=3時等號成立.

xy

故選：D

例題2.（多選）（2024上?福建漳州?高一統(tǒng)考期末）已知a>0,b>0,且。+26=2,貝U（）

A.歷的最大值為:1B.上1+：2的最小值為:9

4ab2

C.片+傷2的最小值為2D.（。+2）（6+2）的最大值為8

【答案】BC

【分析】A選項，利用基本不等式直接進(jìn)行求解；B選項，利用基本不等式"1"的妙用求出最值；C選項,

a+26=2兩邊平方后，利用基本不等式求出答案；D選項，變形得到（。+2）優(yōu)+2）=8-如<8,D錯誤.

【詳解】A選項，因為“>0力>。，由基本不等式得°+2622萬石，

即abv1,故A錯誤；

B選項，因為。>0,6>0,

由212（12Va八1ca6、5o/7T9

川I以1—=|i-Vb=—F2H12F2./——=—,

ab6人2）2ba2\ba2

當(dāng)且僅當(dāng)f=即a=b=］時，等號成立，

ba3

故▲1+：7的最小值為95,B正確；

ab2

C選項，。+26=2兩邊平方得（/+4a6+462=4,

4a6=4-儼+止），其中4M《4+好,

當(dāng)且僅當(dāng)。=?,即。=1,6=1時，等號成立，

2

故4一（/+462）</+4巴解得/+防222,

4+4方2的最小值為2,C正確;

D選項，因為a+2b=2,a>0,b>0,

所以（。+2）0+2）=（2-26+2乂6+2）=8—2/<8,

故D錯誤.

故選：BC

角度5：條件等式求最值

典型例題

例題1.（2024下?重慶?高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于正數(shù)。,6,有（2而+l）（a+6）=6",則

的取值范圍是（）

A.(0,1]C.[1，2]D.[2,+oo]

【答案】C

a+b=6ab―_______?_____

【分析】根據(jù)題意可得利用基本不等式可得2ab+\~（a+力，再結(jié)合二次函數(shù)不等式求解

方法即可求解.

■、斗左刀▼HW—FA-76ab。3

【詳解】由題可知：a+b==3-,

2ab+12ab+1

因為。泊都是正數(shù)，所以而<］一］=也?（當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等），

33

a+b=3-----------<3--------------石—

所以2H+1（a+bY（當(dāng)且僅當(dāng)〃=6時取等），

化簡可得（1+32-3（々+3+2<0,m#l<a+Z?<2,故C正確.

故選：C.

1721

例題2.（多選）（2024上?安徽合肥?高一合肥一中?？计谀┮阎龜?shù)。力滿足。2—+:刃2—+7，則（）

abab

A.ab>3B.(a+by>12

D.-+-<2

ab

【答案】ABD

【分析】利用不等式的性質(zhì)可判定A項，結(jié)合基本不等式可判定B項，利用特殊值可判定C項，根據(jù)條件

放縮得出。即可得出判定D項.

ab

【詳解1對于A,\-a>—+—,b>—+—9a>0,b>0,:.a+b>—+—=+,

ababababab

所以歷N3,A選項正確；

對于B,由題（“+?&]+沙+》）=3（2+/"3x]2+2匹卜12,

當(dāng)且僅當(dāng)0=6=若等號成立，故B選項正確；

對于C,可取特殊值。=6=2滿足題意，則工+工=1<空，故C選項錯誤；

ab3

122111

又寸D,,:aN—I—,bN—I—,。>0,〃>（）,...a>—,b>—=^>Q?>[,>1,

ababab

即則—1--<2,故D正確.

ab

故選：ABD

練透核心考點

1.（2024上?福建龍巖?高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知且無+y-孫=g,則2x+y

的最小值是（）

A.2拒B.4C.4A/2D.5

【答案】D

【分析】由已知可得=再根據(jù)基本不等式求解即可.

【詳解】由x+y-孫=g,得=

因為所以％-1>0,丁一1>0,

貝lj2x+y=2（%-1）+（y-1）+322^2（x—l）（y—1）+3=5,

當(dāng)且僅當(dāng)2（x-l）=（y-l）,即x='y=2時，等號成立，

所以2元+y的最小值是5.

故選：D.

2.（多選）（2024下?吉林通化?高三梅河口市第五中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知a>0,6>0,若a+?=l,則

（）

A.。+Z?>一B.a+b<\

2

121

C.的最大值為丁D.—的最小值為8

4ab

【答案】ABD

【分析】對于AB：根據(jù)題意消去。，結(jié)合b的取值范圍分析求解；對于C：根據(jù)基本不等式運(yùn)算求解；對于

D：根據(jù)〃1〃的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式分析求解.

【詳解】因為Q+2Z?=1,則Q=1—2Z?>。，可得〃金（。,'],

對于選項AB：因為a+b=l—2Z?+b=l—b,

所以〃+—，a+Z?vl,故AB正確；

2

對于選項C：因為"=L（26）v\S+26）-=L

2v7248

當(dāng)且僅當(dāng)。=2b=：時，等號成立，

所以仍的最大值為：，故C錯誤；

8

對于選項D：因為2+工=（°+26）（2+，]=4+竺+旦24+2、也?旦=8,

abyab）ab\ab

4baI

當(dāng)且僅當(dāng)絲即a=26=；時，等號成立,

ab2

21

所以—的最小值為8,故D正確；

ab

故選：ABD.

3.（多選）（2023上?安徽合肥?高一合肥市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知〃>08>0,且3a+〃=3,則（）

3