2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考八省專用）（解析版）

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考八省專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.已知集合/Txlf-x-ZVOkBNylynA+l},則NU8=（）

A.[1,2]B.[-1,+?）C.[-1,1]D.[l,+℃）

【答案】B

【分析】解一元二次不等式得集合A,根據(jù)集合的描述法轉(zhuǎn)化得集合3,根據(jù)集合的并集的概念求解即可

得結(jié)論.

【詳解】不等式x2-x-2V0解得一1VXV2,貝！]4={尤一1VXW2},

函數(shù)了=4+1中xWO,所以故8={川）21},

所以/U8=[-l,+s）.

故選：B.

2.若i.z=l+i,則口=（）

A.-V5B.-V2C.VsD.V2

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)可得出復(fù)數(shù)z,利用共期復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閕-z=l+i,貝!iz=Hi=匕匚=1一i,所以，z=l+i，

ii

所以，|Z|=#7F=V2.

故選：D.

3.已知命題P：DX￡R,ln（2"+l）＞0,命題q:王〉l,sin（2x+3）=3,貝|（）

A.2和0都是真命題B.「0和0都是真命題

C.。和「夕都是真命題D.都是真命題

【答案】C

1

【分析】解不等式ln（2'+l）＞0,結(jié)合了=sin（。尤+夕）的值域?yàn)椴?川，及命題的真假判斷即可.

【詳解】ln（2，+l）＞0,即ln（2，+l）＞lnl,

因?yàn)楹瘮?shù)了=lnx在（0,+s）上單調(diào)遞增，

所以2*+1＞1，即爐＞0,解得xeR,所以命題0是真命題；

y=sin（ox+e）的值域?yàn)椋?1,1］,所以命題4是假命題，則F是真命題.

故選：C.

4.紫砂壺是中國(guó)特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺、石瓢壺、潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似

看成一個(gè)圓臺(tái)，如圖給了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm）,那么該壺的容積約為（）

10------?

A.100cm3B.205cm3C.300cm3D.400cm3

【答案】B

【分析】法一：利用圓臺(tái)體積公式進(jìn)行求解，再結(jié)合選項(xiàng)得到答案；法二：補(bǔ)全圖像利用三角形相似可求

出小圓錐體的高，大圓錐體積減小圓錐體積即可求解.

【詳解】解法一：根據(jù)題意可知力=4“=3,7?=5,根據(jù)圓臺(tái)體積公式可得

K=17r/z（r2+A2+r7?）=17tx4x（32+52+3x5）=^^?205（cm3）.

解法二：如圖，設(shè)小圓錐的高為xcm,根據(jù)三角形相識(shí)可得亮=：,解得x=6,

x+45

匚匚［、I、+—A^1--ct-t、r7TX5x10x3x61967r_?_/3\

所以該壺的1容積為------------------=----X205cm3.

333v7

故選:B.

2

*，則1-tana

5.若cos()

sin。

A.上5

BD.——

5-I12

【答案】C

1-tana

【分析】由題給條件求得COSa-sina,cosczsince的值，進(jìn)而求得的值.

sina

【詳解】由cos"3=*可得Jcos**ma=『

貝（Jeosa—sina=—，貝！J（cosa-sina『二一，貝!）cososina=—,

3171^3）18

2

1-tanacoser-sinaa12

故———=--------=告=不

sinasmacosa之5

后

故選：C

6.已知尤>0,z>0,_S.y>z-x,則上+—的最小值為（）

Xz

A.3B.5C.7D.8

【答案】B

【分析】結(jié)合已知條件y?z-x對(duì)上+巨進(jìn)行變形，得到上+豈學(xué)三+公-1,再利用基本不等式求最小值.

XZXZXZ

E、r、cV9xz-x9xZ9xY

【詳解】因?yàn)?vNz-x,x>0,所以-+—>---+—=-+----1,

XZXZXZ

因?yàn)閤>0,z>0,所以三+.-1。21「.0-1=5,所以？+史上5,

XZVxZxZ

[y=2x

當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)取等號(hào).

所以上+目的最小值為5.

XZ

故選：B.

7.若函數(shù)/（》）=一在x=2時(shí)取得極小值，則“X）的極大值為（）

X+Zzx+1

1e3

A.-B.1C.—D.e

e8

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合極小值的定義建立方程求得參數(shù)，還原函數(shù)解析式明確定義域，求導(dǎo)列表,

3

可得答案.

叫/+e-2"+1-可

【詳解】由函數(shù)上）="不，求導(dǎo)可得/'（無）=

由題意可得/'(2)=0,貝!)4+29-2)+1-6=0,解得6=一1,

貝！I-—x+l=[x-；]+\>0,

所以/（力=

—X+1

x2X

、e(x-3x+2)Q(X-1)(X-2)/、

令八)皿解得I或2,

可得下表:

X(-雙1)1（L2）2（2,+8）

f'(x)+0-0+

/(x)/極大值/極小值/

i

則函數(shù)的極大值為/（1）=比e工=e.

故選：D.

8.設(shè)橢圓立《+，=19＞。＞0）的左右焦點(diǎn)為月，月，右頂點(diǎn)為人，己知點(diǎn)?在橢圓￡上，若/片尸尸:i=90。,

/尸/乙=45°,則橢圓的離心率為（）

A.73-1B.如C.V2-1D.1

37

【答案】A

【分析】利用已知條件求出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入|尸胤?|叫|=2/-2°2中形成齊次方程，解出離心率即可.

【詳解】

4

如圖：由題意不妨設(shè)P（xi，yj在第一象限，知|尸國(guó)+|尸閶=2。①,

因?yàn)?片尸乙=90。，所以|尸邪R尸￡『=4廿②，

所以（|%+|尸閭）y附「+K|2）=2閥H尸閭=4.2一4c2,

則附H*=2/_2C2,S.\OP\=C,即x；+y；=c2,

又由NP4月=45。，所以|也|=|尸〃|=必，又|。叫=可，即玉+%=°,

結(jié)合S碼%=〃解得再=竺二左，%=匕,

CC

代入］+\=1（"6>0）中，整理得一2ac+2/-c2=0,

即,+26-2=0,解得e=6+l（舍）或6=百-1.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某校為了更好地支持學(xué)生個(gè)性發(fā)展，開設(shè)了學(xué)科拓展類、科技創(chuàng)新類、體藝特長(zhǎng)類三種類型的校本課程，

每位同學(xué)從中選擇一門課程學(xué)習(xí).現(xiàn)對(duì)該校5000名學(xué)生的選課情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖1,并用分層隨機(jī)抽樣

的方法從中抽取2%的學(xué)生對(duì)所選課程進(jìn)行了滿意率調(diào)查，如圖2.則下列說法正確的是（）

圖1圖2

A.滿意度調(diào)查中抽取的樣本容量為5000

B.該校學(xué)生中選擇學(xué)科拓展類課程的人數(shù)為1250

C.該校學(xué)生中對(duì)體藝特長(zhǎng)類課程滿意的人數(shù)約為875

D.若抽取的學(xué)生中對(duì)科技創(chuàng)新類課程滿意的人數(shù)為30,貝g=70

【答案】BC

5

【分析】根據(jù)滿意率調(diào)查圖表即可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)題意計(jì)算即可

判斷C選項(xiàng)，列出方程即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】滿意率調(diào)查中抽取的樣本容量為5000x2%=100,A錯(cuò)誤；

由扇形統(tǒng)計(jì)圖知1-35%-40%=25%,

則5000x25%=1250人，B正確；

該校學(xué)生中對(duì)體藝特長(zhǎng)類課程滿意的人數(shù)約為5000x35%x50%=875人，C正確；

抽取的學(xué)生中對(duì)科技創(chuàng)新類課程滿意的人數(shù)為30,

貝！|100x40%xa%=30,貝!)0=75,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.定義在R上的偶函數(shù)/(x),滿足/(x+2)-〃x)=/(l),則()

A./(1)=0B./(l-x)+/(l+x)=0

20

c./(l+2x)=/(l-2x)D.口⑶=10

i=l

【答案】AC

[分析]利用特殊值及偶函數(shù)性質(zhì)判斷A；根據(jù)已知條件得f{x+2)-/(-x)=0、"x+1)-/(I-x)=0判斷B、

C；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，舉反例/'(x)=0判斷D.

【詳解】由/(x+2)-/(x)=/(l),令x=-l,貝!⑴=

又/(x)為偶函數(shù)，貝！⑴=/■(-1)=0,A對(duì)；

由上，得了(x+2)-/(x)=0n/(x+2)-/(T)=0①，

在①式，將x-1代換X,得/(x+l)-/(l-x)=0②，B錯(cuò)；

在②式,將②代換工,得/(2x+l)-/(l-2x)=0n/(2x+l)=/(l-2x),C對(duì)；

由/(x+2)=/(x)且/(x+l)=/(l-x),即〃x)周期為2且關(guān)于x=l對(duì)稱，

20

顯然〃x)=0是滿足題設(shè)的一個(gè)函數(shù)，此時(shí)0,D錯(cuò).

Z=1

故選：AC

11.已知函數(shù)/(x)=sin④x+VJcosGx(@>0),xe[0,7i],對(duì)Vxe[0,可都有加且〃x)的零點(diǎn)

有且只有3個(gè).下列選項(xiàng)中正確的有()

A.M+m=0

B.0的取值范圍為何,1]

6

C.使/(x0)=M的％有且只有2個(gè)

D.方程/(%)=百的所有根之和為64

【答案】AC

【分析】/(x)=sinox+VJcosox=2sinOx+：),始終把。工+?看做一個(gè)整體，借助正弦函數(shù)的圖象、最

值、方程的根來對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.

【詳解】/(x)=sin<yx+V3COS6>X=2sin(6?x+y),令t=3x+%,貝!|y=2sin，，

令f(x)=0,即sin1=。,

兀7171

?/xe[0,7i],:.t=cox+—e—,0)71+—

333

則/(x)在［0,兀］上有3個(gè)零點(diǎn),

JT

貝(|3兀<%max<4兀,即3兀(①兀+]<4兀,

O11

解得故B錯(cuò)誤；

33

「八]兀兀兀

,/xG0,71,a)x+—e—，。兀+一,

L」3[33」

貝!]M=2,m=-2,所以/+加=0,故A正確;

若/(%)=/=2,即sin(0x()+$=1，

或0Xo+g=芳，故C正確；

/(O)=V3,且/(x)的零點(diǎn)有且只有3個(gè),

所以方程〃x)=百有四個(gè)根，從小到大分別為0,西,9,馬.

/(x)=百，即sin/=-^-,

兀2兀兀7兀718兀

則t[=CDX+—=+=

X—^2=嘰~不/3=%+—=T

14兀

貝!］69(0+演+々+/)=一~一,

故0+不+乙+退=娛，即方程/(力=后的所有根之和為曹，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

7

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決。的取值范圍與最值問題主要方法是換元法和卡住。的大致范圍，如本題B選項(xiàng)，

具體方法為：

(1)根據(jù)x的范圍，求出。x+夕的范圍；

(2)把妙+0看成一個(gè)整體，即利用換元法，把尸"sin(ox+夕)變成y=Zsinf來降低解決問題的難度，再

借助正弦函數(shù)的圖象，要使，(x)有3個(gè)零點(diǎn)，則+9的最大值就必須在［3兀,4%)之間，列出不等式即可求

出。的取值范圍.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知平面向量5滿足“=忖=［一4=2,則￡.彼=.

【答案】2

【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可得數(shù)量積.

【詳解】因?yàn)殁?忖=『詞=2,

所以，一回匕4,則不一2晨5+廬=4-2落8+4=4，解得ZZ=2.

故答案為：2.

13.已知直線＞=依與曲線〃x)=J相切，則實(shí)數(shù)。的值為.

2

【答案】-e

4

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)數(shù)表示斜率，結(jié)合切線過原點(diǎn)可計(jì)算切點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而算出。的值.

e"°

o—，

8.%

由=￡得，/，(無)=史?2,故切線斜率a=e"?_l)

由直線歹="可知切線過(0,0),故〃=

8

,??與=e'"（x；T）,解得々=2,

%0XQ

e2

故答案為：

4

14.已知拋物線j?=2px（p>0）上的點(diǎn)以2,%,）到焦點(diǎn)F的距離為4,過點(diǎn)/作直線/交拋物線于48兩點(diǎn)，

延長(zhǎng)網(wǎng)交準(zhǔn)線于點(diǎn)C,48兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為WN,若忸C|=2怛N|,則的面積

為.

【答案】1673

【分析】借助焦半徑公式可得0，借助拋物線定義與相似三角形的性質(zhì)計(jì)算可得|“河|=|/刊=8,結(jié)合三角

形面積公式即可得解.

【詳解】由拋物線J=2px（p>0）過點(diǎn)P（2,%）,且|尸尸|=4,

得2+5=4,;.p=4,尸（2,0）,準(zhǔn)線方程為尤=-2,

如圖.因?yàn)殁頒|=2怛N|,所以4CN=30。,所以NCW=60°,

連接尸又|/閭=|/刊，所以△/尸N為等邊三角形，

因?yàn)殁頝卜忸尸I，所以忸C|=2忸尸I，得一=制=1，

4CrJ

o

得即=|5F|=|,所以C|+忸典=3忸尸|=8,

由=8=l_~?=—r~r,解得函=|/尸|=8,

\AM\CA|CF|+|^F|8+|/叫'1111

所以&.=:/刊加作出60。=1*82X。=1/.

故答案為：16行.

9

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助相似三角形的性質(zhì)，得到系列等式，以解出|/M|、\AF\.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.（13分）設(shè)數(shù)列｛4,｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，已知％,g+g，4%成等差數(shù)列，數(shù)列｛"｝滿足”=學(xué).

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）記S,和7；分別為數(shù)列｛4｝和也｝的前〃項(xiàng)和，證明：Tn<Sn.

【答案】⑴。廣（；產(chǎn),b,=3

（2）證明見解析

【分析】（D設(shè)｛6｝的公比為q（q/O）,利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算代入計(jì)算求出4即得；

（2）利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算S”，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算運(yùn)用作差法比較兩者即得證.

【詳解】（1）因?yàn)椋?｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列且％,?2+1,4%成等差數(shù)列，設(shè)｛%｝的公比為q（q/O）,

由2（%+；）=%+4%，可得2（q+g）=l+4/，解得：夕=；或g=°（舍去）.

(2)由(1)可得S“=

2

數(shù)列儂｝的前〃項(xiàng)和小，j堂2+…+n會(huì)—1=+n已①

ri1.12n-\n

貝！=瓦+聲+…++聲?②

由①-②得H+J+J+T：n

~TX

10

（2"）2"+12向，

即（=2一號(hào)?

由=2一-2"-一2（1-吩）=初一-7=一^"<0，

可得看<、，得證.

16.（15分）已知V/5C為等邊三角形，△48。為等腰直角三角形，ABLBD,平面NBC_L平面48。，平

面四邊形C3DB中，CE=-BD,CE//平面，點(diǎn)尸為ND中點(diǎn)，連接E7L

2

（1）求證：平面/￡￡>_1平面48。；

⑵求二面角C-/E-D的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）巫

4

【分析】（1）取NB的中點(diǎn)O,連接OR。。，可證CO,平面進(jìn)而證明四邊形。也C是平行四邊形,

從而可證結(jié)論成立.

（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。4。。,。尸所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)正V/5C的邊長(zhǎng)

為2,求出相關(guān)點(diǎn)的的坐標(biāo)，求出平面ZEC的法向量，平面NED的法向量，取法向量的方向一進(jìn)一出，利

用空間向量的公式求解即可.

【詳解】（D取的中點(diǎn)。，連接0KoC,

11

又因V/BC為等邊三角形，所以CO「3,

又因?yàn)槊?8C_L平面48。，ABCAABD=AB,

COu面4BC,所以CO_L平面48。，

又因?yàn)镃E//平面N8D,CEu平面CBDE,平面Pl平面=8。，

所以CE//BD,

又點(diǎn)尸為4D中點(diǎn)，所以O(shè)F//BD且OF=!BD,又CE=”D,

所以。F//EC,OF=EC,所以四邊形OFEC是平行四邊形，

所以CO//EF,所以所_L平面跖＜=平面/￡。，

所以平面AED1平面ABD；

(2)由(1)可知CO_L平面480,OFu平面4RD,所以COJ_。尸，

又因?yàn)?8_L2。，OF//BD,所以。尸_L5D,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。4OC,OF所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則0(0,0,0),A(l,0,0),C(0,G,0),E(0,V3,l),D(-l,0,2),

AC=(-1,V3,0),AE(-1,V3,l),AD(-2,0,2),

設(shè)平面AEC的法向量為n=(x,y,z),

ri'AC=—x+V3y=0,A「

貝!I—L,不妨令y=G，貝！JX=3,2=0,

nAE=-x+N3y+z=0

所以平面AEC的法向量為3=(3,6,0),

設(shè)平面AED的法向量￡=(a,6,c),

12

mAD=—2a+2c=0

則初次=p+A+c=O不妨令c=L則a=l/=O,

所以平面AEC的法向量為m=(1,0,1),

mn3V6

所以COS“麗=運(yùn)石天

所求二面角C-AE-D的正弦值為J_(一生=乎.

17.(15分)重慶市高考數(shù)學(xué)自2024年起第9至11題為多選題，每道題共4個(gè)選項(xiàng)，正確選項(xiàng)為兩個(gè)或三個(gè),

其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是:每道題滿分6分，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分(若某道題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)

正確選項(xiàng)得3分;若某道題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分)，錯(cuò)選或

不選得0分.現(xiàn)甲、乙兩名同學(xué)參加了有這種多選題的某次模擬考試.

(1)假設(shè)第9題正確選項(xiàng)為三個(gè)，若甲同學(xué)完全不會(huì)，就隨機(jī)地選了兩項(xiàng)或三項(xiàng)作答，所有選法等可能，求

甲同學(xué)第9題得0分的概率；

(2)已知第10題乙同學(xué)能正確的判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是不符合題意的，他在剩下的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地猜選

了兩個(gè)選項(xiàng);第11題乙同學(xué)完全不會(huì)，他在四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地猜選了一個(gè)選項(xiàng).若第10題和11題正確選項(xiàng)是

兩個(gè)和三個(gè)的概率都為:.求乙同學(xué)第10題和11題得分總和X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2

【答案】(1《3

(2)分布列見解析，期望為；9

【分析】(1)設(shè)四個(gè)選項(xiàng)分別為4瓦。,。，其中錯(cuò)誤選項(xiàng)為D,列舉法進(jìn)行求解；

(2)設(shè)出事件，得到第10題乙同學(xué)得0,4,6分的概率，第11題乙同學(xué)得0,2,3分的概率，第10,11題得分總

和X的可能取值為0,2,3,4,6,7,8,9,用獨(dú)立事件概率乘法公式得到相應(yīng)的概率，從而求出分布列和數(shù)學(xué)期

望.

【詳解】(D假設(shè)四個(gè)選項(xiàng)分別為4伉C,。，其中錯(cuò)誤選項(xiàng)為。，

總的選法共有10種，分別為4B,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,

其中得。分的選法為工。，8。，C。,4324CD,，共6種，

故甲同學(xué)得0分的概率為《=|;

(2)第10題乙同學(xué)三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)猜選兩項(xiàng)，用4,4,4分別表示第1。題乙同學(xué)得。，4,6分，

13

第11題乙同學(xué)四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)猜選一項(xiàng)，用為，鳥,鳥分別表示第11題乙同學(xué)得0,2,3分,

貝11尸（4）=：1普。代+京101=9尸（4）=1；x0+；1xi=；1，m）=17C>2y1xo=1^

2C3252222C32o

1r1J_C]__3_m）=|xo4-|=|ir1iL

/（力差+產(chǎn)㈤=5百+”

2'c[-84

從而第10,11題得分總和X的可能取值為0,2,3,4,6,7,8,9,

131131

P^X=0）=P（AQB（））=-X-=-9P（X=2）=P（AQB2）=-X-=-9

iii133

（）（）

P（X=3）=P（A0Bi）=-x-=—,PX=4=PAAB0=-X-=—,

13131

P^X=6]=P（A4B2+A6B0）=-X-+-X-=-）

P（X=7）=P（483）=gx；=：,P（X=8）=P（452）=1X|=^,

尸（X=9）=P（483）=：X；=[,

18.（17分）已知函數(shù)/（x）=ax2-l+21nx.

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，若存不、%在，滿足/(占)=一/(%),證明：X1+X2>2;

7

(3)對(duì)任意的x>0,/'卜)4猶2，+成-1恒成立，其中/'(尤)是函數(shù)“X)的導(dǎo)數(shù)，求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

(3)(3]

【分析】(D求導(dǎo)[(x)=2ax+2=2("2+l),分。20,。<0討論求解；

XX

14

（2）由（1）知〃x）在（0,+e）上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為證明網(wǎng)+%>2,然后利用極值點(diǎn)偏移證明;

（3）將問題轉(zhuǎn)化為aW-2'-（欣+1）求解;

2%

【詳解】（D解：〃尤）的定義域?yàn)椋?,+e）,/（x）=2ax+2=2（O

當(dāng)〃20時(shí)，r（x）>0,/（X）在（0,+功上單調(diào)遞增;

當(dāng)4<0時(shí),令/''(x)=0,

當(dāng)xe時(shí)，/,（x）>0；當(dāng)xer(x)<o,

所以/（x）在上單調(diào)遞減.

綜上,當(dāng)時(shí),〃上在（0,+e）上單調(diào)遞增;

當(dāng)q〈0時(shí),/（X）在上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)°=1時(shí)，/(X)=X2-1+21IU,/(1)=0,

由（1）知”1時(shí),"X）在（0,+司上單調(diào)遞增,

當(dāng)再。入2時(shí)，可證再+工2>2.

不妨設(shè)要證%+%2>2,即證即證/（%2）>〃2-再），

因?yàn)?（5）=一/（%），所以即證/■（占）+/（2-玉）<0.

令g（x）=/（尤）+/（2-尤），其中0<x<l,

224(1)3

g'(x)=/'(x)+/'(2_x)=2x+——2(2-%)---

x2—xx(x-2)

因?yàn)?<x<l,所以。⑺>0,所以g（x）在（0J）上單調(diào)遞增，

所以g（x）wg⑴=0,所以〃再）+/（2—再）<。,所以西+%>2.

當(dāng)王=/時(shí)，因?yàn)?（%）=一/（%2）,所以/（%）=/（馬）=0,

所以%=%=1,所以占+%=2.

15

綜上，x,+x2>2.

2?

(3)/'(x)=2〃xd—,由/'(x)Wxe2'd---Inx—1,得2axKxe?"-Inx-1,

即心泥八一(山+1),所以對(duì)任意的x>0,/'(》)4疣2工+2_11?-1恒成立,

2xx

xe2x-(inx+1)

等價(jià)于

2x

人/、xe2x-(lnx+1)

令g(x)=——[_!(x>0),

令/7(%)=2//+向，則〃(x)=4xe2x(l+x)+』>0,所以,(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增,

又〃(j=￡_21n2<0,A(l)=2e2>0,所以“(￡|"1)<0,

所以存在％eg,1],使得"％)=0,

2xo

所以2春2”。+lnx0=0,即-lnx0=2xle,所以In(-lnx0)=ln2+21nx0+2x0,

所以In(-皿)+(-liu0)=ln2x0+2x0,

令/(x)=lnx+x(x>0),Zr(x)=—+l>0,所以/(x)在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增,

因?yàn)?(—lm：o)=/(2xo),所以—In%。=2%

又xw(O,Xo)時(shí)，g'(x)<°；工￡(%0，+°°)時(shí)，g'(x)>0,

所以g（%）在（0,/）上單調(diào)遞減，g（x）在（％,+8）上單調(diào)遞增,

所以gG）.=g伉）=娟；皿-1=x°e：+2%-1=],

2x02x0

所以aVI,所以。的取值范圍是（，》川.

19.（17分）在平面內(nèi)，若直線/將多邊形分為兩部分，多邊形在/兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線/的距離之和相等，則

22

稱/為多邊形的一條“等線”.雙曲線E:會(huì)-==1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片、F2,其離心率為2,

且點(diǎn)尸為雙曲線E右支上一動(dòng)點(diǎn)，直線加與曲線E相切于點(diǎn)尸，且與E的漸近線交于A、3兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在

16

f2

點(diǎn)3上方.當(dāng)軸時(shí)，直線＞=1為△尸片片的等線.已知雙曲線￡:V會(huì)=1(。＞0力＞0)在其上一點(diǎn)

P(%,%)處的切線方程為平-罟=1.

ab

(1)求雙曲線E的方程；

⑵若y=缶是四邊形AFXBF2的等線，求四邊形AFXBF2的面積；

―.1—.

(3)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)