共美聯(lián)盟2024年高三4月質(zhì)量調(diào)研（二模）數(shù)學(xué)試題

共美聯(lián)盟2023年高三4月質(zhì)量調(diào)研（二模）數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．112．設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，則"a=b"是"logA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)滿足，且時(shí)，，則（）A．2 B． C．1 D．5．若，則“”是“的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為90”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，分別為拋物線與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．7．在四邊形中，，，，，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)在邊所在直線上，則的最大值為（）A． B． C． D．8．函數(shù)的圖象大致是()A． B．C． D．9．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，下列敘述正確的是（）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減11．已知集合，則為（）A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]12．各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的值為()A． B．C． D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積是_____；最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是_____．14．在等比數(shù)列中，，則________．15．如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為和，為大圓的一條直徑，過點(diǎn)作小圓的切線交大圓于另一點(diǎn)，切點(diǎn)為，點(diǎn)為劣弧上的任一點(diǎn)（不包括兩點(diǎn)），則的最大值是__________．16．從2、3、5、7、11、13這六個(gè)質(zhì)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是________（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)．（1）若，求直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)與軸垂直的直線為，的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求證：直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上．18．（12分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和為；（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，求證：.19．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，，直線過點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．（1）求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的最大值．20．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，判斷是否是函數(shù)的極值點(diǎn)，并說明理由；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范圍.22．（10分）[選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，求取最大值時(shí)的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)題意計(jì)算，，，解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴.∵是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴.∴.∵，∴，解得.則當(dāng)時(shí)，的最大值是9.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，f分組求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.2．A【解析】

根據(jù)題意得到充分性，驗(yàn)證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞，當(dāng)"a=b當(dāng)logab=log故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.3．B【解析】

由共軛復(fù)數(shù)的定義得到，通過三角函數(shù)值的正負(fù)，以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得解【詳解】由題意得，因?yàn)?，，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.4．D【解析】

說明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值．【詳解】由知函數(shù)的周期為4，又是奇函數(shù)，，又，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ)．5．B【解析】

求得的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為,令時(shí),可得項(xiàng)的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為,令,即,則項(xiàng)的系數(shù)為,充分性成立;當(dāng)?shù)恼归_式中項(xiàng)的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識(shí),考查考生的分析問題的能力和計(jì)算能力,難度較易.6．D【解析】

利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點(diǎn)間距離公式求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，由取得最小值為，求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點(diǎn)在軸上，準(zhǔn)線方程，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則，所以拋物線方程：，設(shè)，圓，圓心為，半徑為1，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.7．A【解析】

依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求出的坐標(biāo)，求出邊所在直線的方程，設(shè)，利用坐標(biāo)表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由，，，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，設(shè)，解得，所在直線的方程為因?yàn)辄c(diǎn)在邊所在直線上，故設(shè)當(dāng)時(shí)故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，屬于中檔題.8．B【解析】

根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計(jì)算函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性,對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè)，，則的定義域?yàn)?，當(dāng)，，單增，當(dāng)，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡(jiǎn)化了運(yùn)算,同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進(jìn)行判斷.9．B【解析】

分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，所以，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】

先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個(gè)單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.11．B【解析】

先求出，得到，再結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，所以，則，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的混合運(yùn)算，其中解答中熟記集合的交集、補(bǔ)集的定義及運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12．C【解析】分析：解決該題的關(guān)鍵是求得等比數(shù)列的公比，利用題中所給的條件，建立項(xiàng)之間的關(guān)系，從而得到公比所滿足的等量關(guān)系式，解方程即可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，即，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，所以，而，故選C.點(diǎn)睛：該題應(yīng)用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比，而待求量就是，代入即可得結(jié)果.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由三視圖還原原幾何體，該幾何體為四棱錐，底面為直角梯形，，，側(cè)棱底面，由棱錐體積公式求棱錐體積，由勾股定理求最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度．【詳解】由三視圖還原原幾何體如下圖所示：該幾何體為四棱錐，底面為直角梯形，，，側(cè)棱底面，則該幾何體的體積為，，，因此，該棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求體積、棱長(zhǎng)，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．14．1【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進(jìn)而利用等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系得即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，從而可得、，，，然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再根據(jù)輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則、，由，且，所以，所以，即又平分，所以，則,設(shè)，則，，所以，所以，，所以的最大值是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、利用向量解決幾何問題，同時(shí)考查了輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.16．【解析】

依據(jù)古典概型的計(jì)算公式，分別求“任取兩個(gè)數(shù)”和“任取兩個(gè)數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù)，計(jì)算即可。【詳解】“任取兩個(gè)數(shù)”的事件數(shù)為，“任取兩個(gè)數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3個(gè)，所以任取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是?！军c(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）見解析【解析】

（1）直接求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線方程，得其與軸交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)，則，求出直線和的方程，從而求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，證明此交點(diǎn)在橢圓上，即此點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程．代入驗(yàn)證即可．注意分和說明．【詳解】解：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合，（1）由題知，，則．因?yàn)?，所以，則直線的方程為，聯(lián)立，可得故．則，直線的方程為．令，得，故直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）證明：因?yàn)?，，所以．設(shè)點(diǎn)，則．設(shè)當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)直線與軸垂直，其直線方程為，直線的方程為，即．在方程中，令，得，得交點(diǎn)為，顯然在橢圓上．同理當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)也在橢圓上．當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線的方程為，即．直線的方程為，聯(lián)立方程，消去得，化簡(jiǎn)并解得．將代入中，化簡(jiǎn)得．所以兩直線的交點(diǎn)為．因?yàn)?，又因?yàn)椋?，則，所以點(diǎn)在橢圓上．綜上所述，直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上．【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓相交問題，解題方法是解析幾何的基本方程，求出直線方程，解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程驗(yàn)證點(diǎn)在曲線．本題考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力．18．（Ⅰ），（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.（Ⅱ），根據(jù)裂項(xiàng)求和法計(jì)算得到得到證明.【詳解】（Ⅰ）等差數(shù)列的公差為，由，得，，即，，解得，.∴，.（Ⅱ），∴，∴，即.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的基本量的計(jì)算，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.19．（1），；（2）1．【解析】

（1）根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，可得p值，即可求拋物線C的方程從而可得解；（2）設(shè)直線l的方程為：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，（），（x2﹣2，），由此能求出的最大值．【詳解】（1）∵點(diǎn)F是拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，P（2，y0）是拋物線上一點(diǎn)，|PF|＝3，∴23，解得：p＝2，∴拋物線C的方程為y2＝4x，∵點(diǎn)P（2，n）（n＞0）在拋物線C上，∴n2＝4×2＝8，由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．（2）∵F（1，0），∴設(shè)直線l的方程為：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1，y2是y2+4my﹣4＝0的兩個(gè)不同實(shí)根，∴y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝（1﹣my1）+（1﹣my2）＝2﹣m（y1+y2）＝2+4m2，x1x2＝（1﹣my1）（1﹣my2）＝1﹣m（y1+y2）+m2y1y2＝1+4m2﹣4m2＝1，（），（x2﹣2，），（x1﹣2）（x2﹣2）+（）（）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8＝﹣8m2+8m+5＝﹣8（m）2+1．∴當(dāng)m時(shí)，取最大值1．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求法，考查向量的數(shù)量積的最大值的求法，考查拋物線、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．20．（1）是函數(shù)的極大值點(diǎn)，理由詳見解析；（2）1.【解析】

（1）將直接代入，對(duì)求導(dǎo)得，由于函數(shù)單調(diào)性不好判斷，故而構(gòu)造函數(shù)，繼續(xù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)在左右兩邊的正負(fù)情況，最后得出，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；（2）利用題目已有條件得，再證明時(shí)，不等式恒成立，即證，從而可知整數(shù)的最小值為1.【詳解】解:（1）當(dāng)時(shí)，.令，則當(dāng)時(shí)，.即在內(nèi)為減函數(shù)，且∴當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.∴在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).綜上，是函數(shù)的極大值點(diǎn).（2）由題意，得，即.現(xiàn)證明當(dāng)時(shí)，不等式成立，即.即證令則∴當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.∴在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，的最大值為.∴當(dāng)時(shí)，.即當(dāng)時(shí)，不等式成立.綜上，整數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值，最值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此來(lái)求