2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第11章立體幾何初步11.2平面的基本事實與推論教案新人教B版必修第四冊

PAGE1-11.2平面的基本領(lǐng)實與推論學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.駕馭平面的畫法及表示方法．(一般)2．駕馭平面的基本領(lǐng)實及推論．(重點)3．能用圖形、文字、符號三種語言描述平面的基本領(lǐng)實，并能解決空間線面的位置關(guān)系問題．(難點)1.通過平面畫法的學(xué)習(xí)，培育直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．2．借助平面基本領(lǐng)實及推論，培育邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).通過前面的學(xué)習(xí)，我們直觀相識了點、線、面之間的位置關(guān)系，空間中的點、線、面都是我們抽象出來的一些數(shù)學(xué)概念，如從安靜的水面中可抽象出平面的概念．現(xiàn)在我們將在直觀相識的基礎(chǔ)上來論證空間點、線、面之間的關(guān)系，以進(jìn)一步培育同學(xué)們的空間想象實力和邏輯推理實力．思索：空間中的3個點需具備怎樣的條件才能確定一個平面？1．平面的基本領(lǐng)實公理內(nèi)容圖形符號作用基本領(lǐng)實1經(jīng)過不在一條直線上的3個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α①確定平面的依據(jù)；②判定點、線共面基本領(lǐng)實2假如一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈α，B∈α?直線AB?α①判定直線是否在平面內(nèi)；②推斷一個面是否是平面基本領(lǐng)實3假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩個平面相交的依據(jù)；②判定點在直線上；③證明三點共線或三線共點2.平面基本領(lǐng)實的推論推論1經(jīng)過一條直線與直線外一點，有且只有一個平面(圖①)．推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面(圖②)．推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面(圖③)．1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)三點可以確定一個平面． ()(2)一條直線和一個點可以確定一個平面． ()(3)四邊形是平面圖形． ()(4)兩條相交直線可以確定一個平面． ()[提示](1)錯誤．不共線的三點可以確定一個平面．(2)錯誤．一條直線和直線外一個點可以確定一個平面．(3)錯誤．四邊形不肯定是平面圖形．(4)正確．兩條相交直線可以確定一個平面．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為()A．平面MN B．平面NQC．平面α D．平面MNPQA[MN是平行四邊形MNPQ的一條邊，不是對角線，所以不能記作平面MN.]3．能確定一個平面的條件是()A．空間三個點 B．一個點和一條直線C．多數(shù)個點 D．兩條相交直線D[不在同一條直線上的三個點可確定一個平面，A，B，C條件不能保證有不在同一條直線上的三個點，故不正確．]4．如圖，填入相應(yīng)的符號：A________平面ABC，A________平面BCD，BD______平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.[答案]∈??AC線共點問題【例1】如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點(相交于一點)．[證明]因為在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰．所以AB，CD必定相交于一點．設(shè)AB∩CD＝M.因為AB?α，CD?β，所以M∈α，M∈β.所以M∈α∩β.又因為α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共點(相交于一點)．證明線共點問題的方法(1)方法1：可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上．(2)方法2：先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求證：(1)E，F(xiàn)，H，G四點共面．(2)EG與HF的交點在直線AC上．[證明](1)因為BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，所以GH∥BD．因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD，所以EF∥GH.所以E，F(xiàn)，H，G四點共面．(2)因為G，H不是BC，CD的中點，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以EG與FH必相交，設(shè)交點為M，因為EG?平面ABC，HF?平面ACD，所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD，因為平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，所以EG與HF的交點在直線AC上．點、線共面問題【例2】已知四條直線兩兩相交，且不共點，求證：這四條直線在同一平面內(nèi)．[思路探究]四條直線兩兩相交且不共點，可能有兩種狀況：一是有三條直線共點；二是隨意三條直線都不共點，故要分兩種狀況．[解]已知：a，b，c，d四條直線兩兩相交，且不共點，求證：a，b，c，d四線共面．證明：(1)若a，b，c三線共點于O，如圖所示，∵O?d，∴經(jīng)過d與點O有且只有一個平面α.∵A，B，C分別是d與a，b，c的交點，∴A，B，C三點在平面α內(nèi)．由基本領(lǐng)實1知a，b，c都在平面α內(nèi)，故a，b，c，d共面．(2)若a，b，c，d無三線共點，如圖所示，∵a∩b＝A，∴經(jīng)過a，b有且僅有一個平面α，∴B，C∈α.由基本領(lǐng)實1知c?α.同理，d?α，從而有a，b，c，d共面．綜上所述，四條直線兩兩相交，且不共點，這四條直線在同一平面內(nèi)．證明點、線共面問題的常用方法(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內(nèi)，即用納入法．(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用同一法．(3)假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出沖突，用反證法．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．一條直線與三條平行直線都相交，求證：這四條直線共面．[解]已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．求證：直線a，b，c，l共面．證明：法一：∵a∥b，∴a，b確定一個平面α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l?α.又∵a∥c，∴a，c確定一個平面β.同理可證l?β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.∵過兩條相交直線a，l有且只有一個平面，故α與β重合，即直線a，b，c，l共面．法二：由法一得a，b，l共面α，也就是說b在a，l確定的平面α內(nèi)．同理可證c在a，l確定的平面α內(nèi)．∵過a和l只能確定一個平面，∴a，b，c，l共面．點共線問題[探究問題]1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)A1C∩平面ABC1D1＝E.能否推斷點E在平面A1BCD[提示]如圖，連接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1∵A1C?平面A1BCD1∴E∈平面A1BCD1.2．上述問題中，你能證明B，E，D1三點共線嗎？[提示]由于平面A1BCD1與平面ABC1D1交于直線BD1，又E∈BD1，依據(jù)基本領(lǐng)實3可知B，E，D1三點共線．【例3】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M，N，E，F(xiàn)分別是棱CD，AB，DD1，AA1上的點，若MN與EF交于點Q，求證：D，A，Q[證明]因為MN∩EF＝Q，所以Q∈直線MN，Q∈直線EF，又因為M∈直線CD，N∈直線AB，CD?平面ABCD，AB?平面ABCD．所以M，N∈平面ABCD，所以MN?平面ABCD．所以Q∈平面ABCD．同理，可得EF?平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A又因為平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD所以Q∈直線AD，即D，A，Q三點共線．點共線的證明方法(1)方法1：證明多點共線通常利用基本領(lǐng)實3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內(nèi)，證明點在相交平面的交線上．(2)方法2：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在此直線上．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．如圖所示，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延長線)分別與平面α相交于E，F(xiàn)，G，H，求證：E，F(xiàn)，G，H必在同始終線上．[證明]因為AB∥CD，所以AB，CD確定平面AC，因為AB∩α＝E，所以E∈平面AC，E∈α，由基本領(lǐng)實3可知，E必在平面AC與平面α的交線上．同理F，G，H都在平面AC與平面α的交線上，因此E，F(xiàn)，G，H必在同始終線上．確定兩平面的交線(截面)問題【例4】如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若RP，DC的延長線交于點M，試畫出平面PQR與平面BCD的交線．[解]∵M(jìn)∈CD，M∈RP，直線PR?平面PQR，直線CD?平面BCD，∴M是平面PQR與平面BCD的一個公共點，即點M在平面PQR與平面BCD的交線l上．同理，設(shè)RQ，DB的延長線交于點N，則點N也在l上．連接MN，則直線MN即為平面PQR與平面BCD的交線l.如圖所示．確定兩平面交線的方法畫兩個平面的交線只需兩個公共點即可確定，作圖時應(yīng)充分利用幾何體本身供應(yīng)的線面、面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置．另外，畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，轉(zhuǎn)化為畫兩個平面的交線問題．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])4．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為1，點M在線段BC上(點M異于B，C兩點)，點N為線段CC1的中點．若平面AMN截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面為四邊形，則線段A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B[當(dāng)點M為線段BC的中點時，由題意可得截面為四邊形AMND1.當(dāng)0＜BM≤eq\f(1,2)時，截面為四邊形，當(dāng)BM＞eq\f(1,2)時，截面為五邊形．所以要想平面AMN截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面為四邊形，則線段BM長度的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).故選B．]學(xué)問：三個基本領(lǐng)實的作用基本領(lǐng)實1及平面基本領(lǐng)實的推論——確定平面及判定點共面、線共面的依據(jù)．基本領(lǐng)實2——判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)．基本領(lǐng)實3——判定點共線、線共點的依據(jù)．方法：了解三線共點、三點共線、點線共面的證明方法，詳見例題后的規(guī)律方法，此處不再贅述．1．在下列各種面中，不能被認(rèn)為是平面的一部分的是()A．黑板面 B．乒乓球桌面C．籃球的表面 D．安靜的水面C[籃球的表面是曲面，不能認(rèn)為是平面的一部分．]2．空間中四點可確定的平面?zhèn)€數(shù)有()A．1個 B．3個C．4個 D．1個或4個或多數(shù)個D[當(dāng)四個點共線時，確定多數(shù)個平面；當(dāng)四個點不共線時，若四點共面，可確定1個平面，若四點不共面，可確定4個平面，∴空間中四點可確定的平面有1個或4個或多數(shù)個．]3．設(shè)平面α與平面β交于直線l，A∈α，B∈α，且直線AB∩l＝C，則直線AB