2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明專題強(qiáng)化訓(xùn)練含解析新人教A版選修1-2

PAGE專題強(qiáng)化訓(xùn)練(二)推理與證明(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)是增函數(shù)(結(jié)論)”，以上推理的錯(cuò)誤的緣由是()A．大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)B．小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C．推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)D．大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)A[推理形式?jīng)]有錯(cuò)誤，而大前提“y＝ax是增函數(shù)”是不正確的，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y＝ax是減函數(shù)；當(dāng)a＞1時(shí)，y＝ax是增函數(shù)．故選A.]2．用反證法證明命題“eq\r(2)＋eq\r(3)是無理數(shù)”時(shí)，假設(shè)正確的是()A．假設(shè)eq\r(2)是有理數(shù)B．假設(shè)eq\r(3)是有理數(shù)C．假設(shè)eq\r(2)或eq\r(3)是有理數(shù)D．假設(shè)eq\r(2)＋eq\r(3)是有理數(shù)D[應(yīng)對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，則eq\r(2)＋eq\r(3)不是無理數(shù)，即eq\r(2)＋eq\r(3)是有理數(shù)．]3．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x，y軸上的截距分別為a，b的直線，拓展到空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，在x，y，z軸上的截距分別為a，b，c(abc≠0)的平面方程為()A.eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1 B.eq\f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ca)＝1C.eq\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1 D．a(chǎn)x＋by＋cz＝1A[類比到空間應(yīng)選A.另外也可將點(diǎn)(a,0,0)代入驗(yàn)證．]4．下面四個(gè)推理不是合情推理的是()A．由圓的性質(zhì)類比推出球的有關(guān)性質(zhì)B．由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和都是180°，歸納出全部三角形的內(nèi)角和都是180°C．某次考試張軍的成果是100分，由此推出全班同學(xué)的成果都是100分D．蛇、海龜、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龜、蜥蜴是爬行動(dòng)物，所以全部的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的C[逐項(xiàng)分析可知，A項(xiàng)屬于類比推理，B項(xiàng)和D項(xiàng)屬于歸納推理，而C項(xiàng)中各個(gè)學(xué)生的成果不能類比，不是合情推理．]5．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，則f(a)＋f(b)＋f(c)的值肯定()A．大于零 B．等于零C．小于零 D．正負(fù)都可能A[f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，由a＋b>0，得a>－b，故f(a)>f(－b)．可得f(a)＋f(b)>0.同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0.所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.故選A.]二、填空題6.從1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，概括出第n個(gè)式子為________．1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1·(1＋2＋…＋n)[式子左邊是項(xiàng)數(shù)的平方和且正、負(fù)相間，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以用(－1)n－1調(diào)整，式子右邊是前n個(gè)正整數(shù)的和，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，用(－1)n＋1調(diào)整．]7．在平面上，我們用始終線去截正方形的一個(gè)角，那么截下一個(gè)直角三角形，按如圖所標(biāo)邊長，由勾股定理有c2＝a2＋b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，假如用S1、S2、S3表示三個(gè)側(cè)面面積，S表示截面面積，那么類比得到的結(jié)論是________．S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)[類比如下：正方形正方體；截下直角三角形截下三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐；直角三角形斜邊平方三棱錐底面面積的平方；直角三角形兩直角邊平方和三棱錐三個(gè)側(cè)面面積的平方和，結(jié)論S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3).(這個(gè)結(jié)論是正確的，證明略)]8．設(shè)a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值為________．9[因?yàn)閍＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(a,c)＋eq\f(c,a)≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,b)·\f(b,c))＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a,c))＝3＋6＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立．]三、解答題9．已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法證明：|x＋y|≤|1＋xy|.[證明]要證|x＋y|≤|1＋xy|，即證(x＋y)2≤(1＋xy)2，即證x2＋y2≤1＋x2y2，即證(x2－1)(1－y2)≤0，因?yàn)閨x|≤1，|y|≤1，所以x2－1≤0,1－y2≥0，所以(x2－1)(1－y2)≤0，不等式得證．10.已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.求證a，b中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)．[證明]假設(shè)a，b中沒有一個(gè)是非負(fù)數(shù)，即a＜0，b＜0，所以a＋b＜0.又a＋b＝x2－1＋2x＋2＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，這與假設(shè)所得結(jié)論沖突，故假設(shè)不成立，所以，a，b中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)．1．來自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，剛好碰在一起．他們除懂本國語言外，每人還會(huì)說其他三國語言中的一種．有一種語言是三個(gè)人都會(huì)說的，但沒有一種語言四人都懂，現(xiàn)知道：①甲是日本人，丁不會(huì)說日語，但他倆能自由交談；②四人中沒有一個(gè)人既能用日語交談，又能用法語交談；③乙、丙、丁交談時(shí)，不能只用一種語言；④乙不會(huì)說英語，當(dāng)甲與丙交談時(shí)，他能做翻譯．針對(duì)他們懂的語言，正確的推理是()A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英A[分析題目和選項(xiàng)，由①知，丁不會(huì)說日語，解除B選項(xiàng)；由②知，沒有人既會(huì)日語又會(huì)法語，解除D選項(xiàng)；由③知乙、丙、丁不會(huì)同一種語言，解除C選項(xiàng)，故選A.]2．對(duì)大于或等于2的自然數(shù)的正整數(shù)冪運(yùn)算有如下分解方式：22＝1＋3；32＝1＋3＋5；42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19.依據(jù)上述分解規(guī)律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3的分解中最小的正整數(shù)是21，則m＋n＝()A．10 B．11C．12 D．13B[∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝eq\f(1＋11,2)×6＝36，∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29，∵n3的分解中最小的正整數(shù)是21，∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11.]3．如圖，圓環(huán)可以看作線段AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形，又圓環(huán)的面積S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×eq\f(R＋r,2).所以圓環(huán)的面積等于以線段AB＝R－r為寬，以AB中心繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2π×eq\f(R＋r,2)為長的矩形面積．請(qǐng)你將上述想法拓展到空間，并解決下列問題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若將平面區(qū)域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0＜r＜d)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是________．2π2r2d[平面區(qū)域M的面積為πr2，由類比學(xué)問可知：平面區(qū)域M繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于以半徑為r的圓為底面，以圓心為O、半徑為d的圓的周長2πd為高的圓柱的體積，所以旋轉(zhuǎn)體的體積V＝πr2×2πd＝2π2r2d.]4．圖1是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，依據(jù)這樣的規(guī)律放下去，至第七個(gè)疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)是________個(gè)．91[分別視察正方體的個(gè)數(shù)為：1,1＋5,1＋5＋9，…歸納可知，第n個(gè)疊放圖形中共有n層，構(gòu)成了以1為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，所以Sn＝n＋[n(n－1)×4]÷2＝2n2－n，所以S7＝2×72－7＝91.]5．設(shè)直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，l1與l2在同一平面中，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿意k1k2＋2＝0.(1)證明：l1與l2相交；(2)證明：l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2＋y2＝1上．[證明](1)反證法．假設(shè)l1與l2不相交，則l1與l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得keq\o\al(2,1)＋2＝0，此與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相沖突．從而k1≠k2，即l1與l2相交．(2)法一：由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k1x＋1，,y＝k2x－1，))解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,k2－k1)，,y＝\f(k2＋k1,k2－k1)，))而2x2＋y2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k2－k1)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2＋k1,k2－k1)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8＋k\o\al(2,2)＋k\o\al(2,1)＋2k1k2,k\o\al(2,2)＋k\o\al(2,1)－2k1k2)＝eq\f(k\o\al(2,1)＋k\o\al(2,2)＋4,k\o\al(2,1)＋k\o\al(2,2)＋4)＝1.此即表明交點(diǎn)P(x，y)在橢圓2x