2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章概率課時作業(yè)102.5離散型隨機(jī)變量的均值與方差含解析北師大版選修2-3

課時作業(yè)10離散型隨機(jī)變量的均值與方差時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．一名射手每次射擊中靶的概率均為0.8，則他獨(dú)立射擊3次中靶次數(shù)X的均值為(D)A．0.8 B．0.83C．3 D．2.4解析：射手獨(dú)立射擊3次中靶次數(shù)X聽從二項(xiàng)分布，即X～B(3,0.8)，∴EX＝3×0.8＝2.4.2．已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下：X012P0.33k4k隨機(jī)變量Y＝2X＋1，則Y的數(shù)學(xué)期望為(B)A．1.1 B．3.2C．11k D．33k＋1解析：由題意知，0.3＋3k＋4k＝1，∴k＝0.1.EX＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1，∴EY＝E(2X＋1)＝2EX＋1＝2.2＋1＝3.2.3．已知隨機(jī)變量X的分布列為：P(X＝k)＝eq\f(1,3)(k＝1,2,3)，則D(3X＋5)＝(A)A．6 B．9C．3 D．4解析：EX＝(1＋2＋3)×eq\f(1,3)＝2，∵Y＝3X＋5可能取值為8,11,14，其概率均為eq\f(1,3)，∴EY＝8×eq\f(1,3)＋11×eq\f(1,3)＋14×eq\f(1,3)＝11.∴DY＝D(3X＋5)＝(8－11)2×eq\f(1,3)＋(11－11)2×eq\f(1,3)＋(11－14)2×eq\f(1,3)＝6.4．若隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝0)＝a，P(X＝1)＝b.若EX＝eq\f(1,3)，則DX等于(D)A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,9) D.eq\f(2,9)解析：由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,b＝\f(1,3)，))∴a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(1,3).DX＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9).5．若隨機(jī)變量X聽從二項(xiàng)分布B～(4，eq\f(1,3))，則EX的值為(A)A.eq\f(4,3) B.eq\f(8,3)C.eq\f(13,3) D.eq\f(8,9)解析：EX＝4×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，故選A.6．甲、乙兩名運(yùn)動員射擊命中環(huán)數(shù)ξ、η的分布列如下：環(huán)數(shù)k8910P(ξ＝k)0.30.20.5P(η＝k)0.20.40.4其中射擊比較穩(wěn)定的運(yùn)動員是(B)A．甲 B．乙C．一樣 D．無法比較解析：Eξ＝9.2，Eη＝9.2＝Eξ，Dξ＝0.76，Dη＝0.56<Dξ，乙穩(wěn)定．7．簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的6支簽，從中隨意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個．則X的均值為(B)A．5 B．5.25C．5.8 D．4.6解析：由題意可知，X可以取3、4、5、6，P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)；P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)；P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)；P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)，∴EX＝3×eq\f(1,20)＋4×eq\f(3,20)＋5×eq\f(3,10)＋6×eq\f(1,2)＝5.25.8．一個籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為d(a，b∈(0,1))，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1(不計(jì)其他得分狀況)，則ab的最大值為(B)A.eq\f(1,48) B.eq\f(1,24)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,6)解析：由已知得3a＋2b＋0×d＝1，即3a＋2b＝1，所以ab＝eq\f(1,6)·3a·2b≤eq\f(1,6)·(eq\f(3a＋2b,2))2＝eq\f(1,6)×(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,24)，當(dāng)且僅當(dāng)3a＝2b＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,4)時取“等號”，故選B.二、填空題9．已知ξ～B(n，p)，且Eξ＝eq\f(5,3)，Dξ＝eq\f(10,9)，則P(ξ＝4)＝eq\f(10,243).解析：依據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差的公式可得，np＝eq\f(5,3)，np(1－p)＝eq\f(10,9)，解得p＝eq\f(1,3)，n＝5，故P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,5)×(eq\f(1,3))4×eq\f(2,3)＝eq\f(10,243).10．拋擲三枚勻稱的骰子，當(dāng)至少有一個5點(diǎn)或一個6點(diǎn)朝上時，就說這次試驗(yàn)勝利，則在54次試驗(yàn)中勝利次數(shù)X的均值為38，方差為eq\f(304,27).解析：一次試驗(yàn)勝利的概率為1－(eq\f(2,3))3＝1－eq\f(8,27)＝eq\f(19,27).因?yàn)閄～B(54，eq\f(19,27))，所以EX＝54×eq\f(19,27)＝38，DX＝54×eq\f(19,27)×eq\f(8,27)＝eq\f(304,27).11．若X是離散型隨機(jī)變量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，EX＝eq\f(4,9)，DX＝2，則x1＋x2＝eq\f(17,9).解析：由題意可得：EX＝eq\f(2,3)x1＋eq\f(1,3)x2，DX＝(x1－eq\f(4,9))2×eq\f(2,3)＋(x2－eq\f(4,9))2×eq\f(1,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x1＋\f(1,3)x2＝\f(4,9)，,\f(2,3)x1－\f(4,9)2＋\f(1,3)x2－\f(4,9)2＝2，))解得x1＋x2＝eq\f(17,9).三、解答題12．甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X，Y，X和Y的分布列如下：試對這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較．解：工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)X的期望和方差分別為：EX＝0×eq\f(6,10)＋1×eq\f(1,10)＋2×eq\f(3,10)＝0.7，DX＝(0－0.7)2×eq\f(6,10)＋(1－0.7)2×eq\f(1,10)＋(2－0.7)2×eq\f(3,10)＝0.81；工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的期望和方差分別為：EY＝0×eq\f(5,10)＋1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(2,10)＝0.7，DY＝(0－0.7)2×eq\f(5,10)＋(1－0.7)2×eq\f(3,10)＋(2－0.7)2×eq\f(2,10)＝0.61.由EX＝EY知，兩人生產(chǎn)出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但DX>DY，可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定．13．某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，支配一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若某顧客到達(dá)收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率．(注：將頻率視為概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市全部顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡潔隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得P(X＝1)＝eq\f(15,100)＝eq\f(3,20)，P(X＝1.5)＝eq\f(30,100)＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4)，P(X＝2.5)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).X的分布列為X11.522.53Peq\f(3,20)eq\f(3,10)eq\f(1,4)eq\f(1,5)eq\f(1,10)X的數(shù)學(xué)期望為EX＝1×eq\f(3,20)＋1.5×eq\f(3,10)＋2×eq\f(1,4)＋2.5×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,10)＝1.9.(2)記A為事務(wù)“該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘”，Xi(i＝1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時間，則P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且X1，X2的分布列都與X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝eq\f(3,20)×eq\f(3,20)＋eq\f(3,20)×eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)×eq\f(3,20)＝eq\f(9,80).故該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為eq\f(9,80).——實(shí)力提升類——14．假如一個數(shù)含有正偶數(shù)個數(shù)字8，就稱它為“優(yōu)選數(shù)”(如188,38888等)，否則，稱它為“非優(yōu)選數(shù)”(如184,123等)．從由數(shù)字0,1,2，…，9組成的四位數(shù)(首位不為0)中隨意抽取10個，隨機(jī)變量X表示抽到的“優(yōu)選數(shù)”個數(shù)，則EX＝eq\f(23,45).解析：由數(shù)字0,1,2，…，9組成的四位數(shù)(首位不為0)有9×103＝9000(個)，其中含有4個8的“優(yōu)選數(shù)”共1個，含有2個8的“優(yōu)選數(shù)”共有Ceq\o\al(1,3)×92＋Ceq\o\al(2,3)×8×9＝459(個)，所以四位數(shù)中“優(yōu)選數(shù)”共有460個．隨機(jī)變量X聽從參數(shù)N＝9000，M＝460，n＝10的超幾何分布，所以EX＝10×eq\f(460,9000)＝eq\f(23,45).15．現(xiàn)有甲、乙兩個項(xiàng)目，對甲項(xiàng)目每投資10萬元，一年后收益是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為eq\f(1,6)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3).已知乙項(xiàng)目的利潤與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中價(jià)格下降的概率都是p(0<p<1)，設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整，記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為X，對乙項(xiàng)目每投資10萬元，X取0,1,2時，一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元．隨機(jī)變量X1，X2分別表示對甲、乙兩個項(xiàng)目各投資10萬元一年后的利潤．(1)求隨機(jī)變量X1，X2的分布列和數(shù)學(xué)期望EX1，EX2；(2)當(dāng)EX1<EX2時，求p的取值范圍．解：(1)由題意知X1的分布列為X11.21.181.17Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(1,3)EX1＝1.2×eq\f(1,6)＋1.18×eq\f(1,2)