13.3.1 等腰三角形的性質(zhì)（難點(diǎn)練）原卷版

13.3.1等腰三角形的性質(zhì)（難點(diǎn)練）一、單選題1．（2020·浙江嘉興·）如圖，已知為的高線，，以為底邊作等腰，且點(diǎn)E在內(nèi)部，連接，，延長(zhǎng)交于F點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2020·青縣第二中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，△DAC和△EBC均為等邊三角形，A、C、B三點(diǎn)在同一直線上，AE、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N，有如下結(jié)論：①△ACE≌△DCB；②AC=DN；③AE=BD；④∠BOE=60°；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2020·長(zhǎng)沙市望城區(qū)郡維學(xué)校）如圖，OE是等邊的中線，，點(diǎn)C是直線OE上一動(dòng)點(diǎn)，以AC為邊在直線AC下方作等邊，連接ED，下列說(shuō)法正確的是（）A．ED的最小值是2 B．ED的最小值是1C．ED有最大值 D．ED沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值4．（2021·湖北咸安·）如圖，AO⊥OM，點(diǎn)B為射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以O(shè)B，AB為直角邊，B為直角頂點(diǎn)，在OM兩側(cè)作等腰直角△OBF?等腰直角△ABE，連接EF交OM于P點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在射線OM上移動(dòng)時(shí)，PB的長(zhǎng)度為（）A． B．3 C． D．不能確定5．（2020·宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，以BP為邊作等邊BPQ，連接CQ，則點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CQ長(zhǎng)度的最小值是（）A．2 B．4 C． D．6．（2020·四川省青神縣南城鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)校八年級(jí)期中）點(diǎn)B、C、E在一條直線上，△ABE與△ECD都是等邊三角形，其中的點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的字母如圖所示．①AC＝BD；②∠AHB＝60°；③EG＝FE；④△GEF是等邊三角形；⑤EH平分∠BHC，則正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)7．（2020·宿遷市鐘吾初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，等邊△ABC中，AB=2，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且DA=DB，E為△ABC外一點(diǎn)，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，連接DE，CE，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，則S△EBC=1，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)）如圖，，平分，．若P到OA的距離為．若點(diǎn)，分別在射線，上，且△是邊長(zhǎng)為整數(shù)的等邊三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)有（參考數(shù)據(jù)：（）A．4個(gè)以上 B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)9．（2020·浙江八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知中，，，，若把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，使它與原的重疊部分為等腰三角形．則為（）A．或 B．或 C．或 D．或10．（2021·宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，在中，是邊上的高，，，．連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，．則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空題11．（2020·四川成都·）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝，點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，以BP為邊作等邊△BPQ，連接CQ，則點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CQ長(zhǎng)度的最小值是_____．12．（2021·廣西玉州·八年級(jí)期末）如圖，中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，作，交線段于．以下四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，；③當(dāng)為等腰三角形時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論是______（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上），13．（2021·全國(guó)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)且不與A、B重合，將△ACD沿CD翻折得到△ECD，直線CE與直線AB相交于點(diǎn)F．若∠A＝40°，當(dāng)△DEF為等腰三角形時(shí)，∠ACD＝__________________．14．（2020·杭州江南實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在一張直角三角形紙片中，，，，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿著折疊至，當(dāng)與的重疊部分為等腰三角形時(shí)，則的度數(shù)為_(kāi)_____．15．（2021·天津南開(kāi)翔宇學(xué)校八年級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），∠AOB=30°，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為_(kāi)____．16．（2020·重慶市渝北中學(xué)校八年級(jí)月考）已知：，，，，則的度數(shù)為_(kāi)_____．17．（2021·全國(guó)八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，與中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．給出下列結(jié)論：①∠AFC=∠C；②DF=CF；③FA是∠DFC的平分線；④∠BFD=∠CAF．其中正確的結(jié)論是：____（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）．18．（2021·安徽太和·）如圖，已知，點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B重合），當(dāng)______時(shí)，以A、O、B中的其中兩點(diǎn)和P點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．19．（2021·全國(guó)八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，設(shè)（）．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線，上．從點(diǎn)開(kāi)始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中為第一根小棒，且，若只能擺放4根小棒，則的范圍為_(kāi)_______．20．（2020·武漢市二橋中學(xué)八年級(jí)月考）在中，，，，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在直線AD的右惻作等邊，連接CE，當(dāng)線段CE的長(zhǎng)度最小時(shí)，則線段CD的長(zhǎng)度為_(kāi)_________．三、解答題21．（2021·吉林德惠·八年級(jí)期末）如圖，是等邊三角形，．動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)以的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)以的速度沿射線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)出發(fā)后，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)，以為邊作等邊三角形，連結(jié)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)．求的周長(zhǎng)(用含的代數(shù)式表示)．求的長(zhǎng)(用含的代數(shù)式表示)．當(dāng)?shù)倪吪c垂直時(shí)，直接寫(xiě)出的值．22．（2021·山東夏津·）已知和都是等腰直角三角形，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接．（1）在圖中，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求證：；（2）在圖中，當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論是否還成立？若不成立，請(qǐng)猜想，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在圖中，當(dāng)點(diǎn)在邊的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，不需寫(xiě)證明過(guò)程，直接寫(xiě)出，，之間存在的數(shù)量關(guān)系及直線與直線的位置關(guān)系．23．（2021·云南峨山·）如圖①，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)（如圖①），則ADBE（填“＞”“＜”或“=”），∠CAM=度；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖②），直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O，求∠AOB的度數(shù)；（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在線段AM的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O，試判斷∠AOB的度數(shù)是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)求出∠AOB的度數(shù)，若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由．24．（2021·全國(guó)）如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片和重合放置，其中，．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定，使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)．填空：①線段與的位置關(guān)系是________；②設(shè)的面積為，的面積為，則與的數(shù)量關(guān)系是________．（2）猜想論證：當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了和中、邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想．25．（2020·浙江）已知，點(diǎn)P為其內(nèi)部一點(diǎn)，連結(jié)，在中，如果存在一個(gè)三角形，其內(nèi)角與的三個(gè)內(nèi)角分別相等，那么就稱點(diǎn)P為的等角點(diǎn)．（1）判斷以下兩個(gè)命題是否為真命題，若為真命題，則在相應(yīng)橫線內(nèi)寫(xiě)“真命題”反之，則寫(xiě)“假命題”．①內(nèi)角分別為的三角形存在等角點(diǎn)；_________命題；②任意的三角形都存在等角點(diǎn)；___________命題；（2）如圖①，點(diǎn)P是的等角點(diǎn)，若，探究圖①中之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖②，在中，，若的三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)P是該三角形的等角點(diǎn)，直接寫(xiě)出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．26．（2019·浙江八年級(jí)期中）如圖①，點(diǎn)分別是等邊邊上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連續(xù)交于點(diǎn)M．（1）求證：；（2）點(diǎn)分別在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)．（3）如圖②，若點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線上運(yùn)動(dòng)，直線交點(diǎn)為M，求的度數(shù)．27．（2021·山東濱州·八年級(jí)月考）如圖，在等邊中，厘米，厘米，如果點(diǎn)以厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)．（1）如果點(diǎn)線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．它們同時(shí)出發(fā)，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等．經(jīng)過(guò)秒后，和是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在（1）的條件下，當(dāng)兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，是一個(gè)直角三角形？（3）若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不相等，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都順時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)秒點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是多少厘米/秒．28．（2021·杏花嶺·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）情景觀察：如圖1，中，，，，，垂足分別為，，與交于點(diǎn)．（1）寫(xiě)出圖1中所有的全等三角形________________________________；（2）線段與線段的數(shù)量關(guān)系是，并寫(xiě)出證明過(guò)程：?jiǎn)栴}探究：如圖2，在中，，，平分，，垂足為，與交于點(diǎn)．求證：．29．（2020·南通市新橋中學(xué)）如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，以CD為一邊