專題訓(xùn)練：第12章 整式乘除與乘法公式（解析版）

專題訓(xùn)練：第12章整式乘除與乘法公式知識(shí)框架重難點(diǎn)題型題型1整式乘法基本運(yùn)算解題技巧：p（a+b+c）=pa+pb+pc；（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn1．（2020·四川彭州·期末）計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則求出即可．【解析】解：2a2b3?（?3a）＝?6a3b3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則，能熟記單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．2．（2020·樹德中學(xué)都江堰外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中）化簡(jiǎn)5a?（2a2﹣ab），結(jié)果正確的是（）A．﹣10a3﹣5ab B．10a3﹣5a2b C．﹣10a2+5a2b D．﹣10a3+5a2b【答案】B【分析】按照單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解析】解：5a?（2a2﹣ab）＝10a3﹣5a2b，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．3．（2020·衡陽(yáng)市逸夫中學(xué)月考）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中m=2，n=1.【答案】；0【分析】首先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，然后合并同類項(xiàng)，即可把式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入數(shù)值即可求解．【解析】解：當(dāng)m＝2，n＝?1時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，正確去括號(hào)，合并同類項(xiàng)正確化簡(jiǎn)求值是關(guān)鍵．4．（2020·浙江杭州市·七年級(jí)其他模擬）方程的解為______．【答案】【分析】將方程整理成一般式，再進(jìn)一步求解可得．【詳解】解：，2x2-5x-2x2-12x+14=0，-5x-12x+14=0，-17x+14=0，解得：x=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．5．（2020·蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）某同學(xué)在計(jì)算乘一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)錯(cuò)誤的計(jì)算成了加法，得到的答案是，由此可以推斷正確的計(jì)算結(jié)果是()A．B．C．D．無(wú)法確定【答案】C【分析】根據(jù)整式的減法法則求出多項(xiàng)式，根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、整式的加減混合運(yùn)算，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．6．（2020·江蘇江陰·初一月考）①先化簡(jiǎn)，再求值：（4x＋3）（x－2）－2（x－1）（2x－3），x＝－2；②若（x2＋px＋q）（x2－3x＋2）的結(jié)果中不含x3和x2項(xiàng)，求p和q的值．【答案】①，；②p＝3，q＝7．【分析】①先去括號(hào)再合并同類項(xiàng)，將x=-2代入化簡(jiǎn)后的結(jié)果計(jì)算；②先按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式將括號(hào)打開，再根據(jù)不含項(xiàng)的系數(shù)為0得到方程，解方程即可得到答案.【解析】①（4x＋3）（x－2）－2（x－1）（2x－3），=，=，=∵x＝－2，∴原式=-10-12=-22；②（x2＋px＋q）（x2－3x＋2），=，=，∵結(jié)果中不含x3和x2項(xiàng)，∴，，∴p=3，∴q=7.【點(diǎn)睛】此題考查整式的混合運(yùn)算，整式的不含某項(xiàng)的化簡(jiǎn)求值，將整式正確化簡(jiǎn)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.7．（2020·甘肅會(huì)寧初一期中）先化簡(jiǎn)，再求值：已知代數(shù)式化簡(jiǎn)后，不含有x2項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng).（1）求a、b的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）-6【分析】（1）先算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)，即可得出關(guān)于a、b的方程，求出即可；

（2）先化簡(jiǎn)原式，然后將a與b的值代入求出即可．【解析】解：原式=2ax2+4ax-6x-12-x2-b=，∵代數(shù)式（ax-3）（2x+4）-x2-b化簡(jiǎn)后，不含有x2項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)．，

∴2a-1=0，-12-b=0，∴,；(2)解：∵a=，b=-12，∴（b-a）（-a-b）+（-a-b）2-a（2a+b）=a2-b2+a2+2ab+b2-2a2-ab=ab=×（-12）=-6．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算和求值，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)．8．（2020·上海市浦東新區(qū)進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一月考）（1）已知：則的值是_____（2）如果記那么_____（3）若則x=_____（4）若則_____【答案】（1）2001（2）（3）（4）﹣120【分析】（1）根據(jù)題意，得到；再將原式進(jìn)行變形即可得出答案（2）先設(shè)原式等于m，利用2m－m求出原式的值，最后將a代入即可（3）根據(jù)冪的乘方運(yùn)算公式對(duì)原式進(jìn)行變形，然后進(jìn)而的出答案（4）采用賦值法進(jìn)行計(jì)算【解析】（1）由題意得：；∴======2001（2）設(shè)，則；∴，即∴原式=（3）=?==192∴∴∴（4）當(dāng)x=1時(shí)，1=……①當(dāng)x=﹣1時(shí)，=……②當(dāng)x=0時(shí)，1=①＋②==即=∴=＋1=﹣120【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的變形求值，掌握各類代數(shù)式求值的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵9．（2021·太原市·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)開學(xué)考試）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，－1．【分析】先根據(jù)整式的各運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題型2平方差與完全平方公式的基本運(yùn)用解題技巧：套用公式公式的前提是式子滿足公式形式。當(dāng)題目中的形式比較復(fù)雜，不能直接套用公式時(shí)，我們可以將式子拆分，或者部分套用公式，或者對(duì)式子進(jìn)行一定的變形。完全平方公式：用平方差公式為：，常見變化如下：位置變化：（a+b）（－b+a）=；符號(hào)變化：（－a－b）（a－b）=－（）系數(shù)變化：（3a+2b）（3a－2b）=指數(shù)變化：項(xiàng)數(shù)變化：（a+b－c）（a－b+c）=連用變化：（a+b）（a－b）（）=（）（）=1．（2020·山東初二期中）下列計(jì)算中，正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法，逐一計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)，即可判斷出答案．【解析】解：A．，所以A錯(cuò)誤；B．，所以B錯(cuò)誤；C．，所以C正確；D．，所以D錯(cuò)誤；故答案選C．【點(diǎn)睛】本題考查整式乘法，熟練掌握整式乘法的運(yùn)算法則是本題解題關(guān)鍵;做題時(shí)先觀察整式乘法是否滿足乘法公式，如果滿足乘法公式，則使用乘法公式帶入即可，如果不滿足乘法公式，則利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則，注意不要漏項(xiàng)．2．（2020·長(zhǎng)春市第四十七中學(xué)月考）下列多項(xiàng)式相乘時(shí)，可用平方差公式的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)平方差公式的特征逐項(xiàng)排除即可．【解析】解：A：兩項(xiàng)都互為相反數(shù)，故不能用平方差公式計(jì)算；B：兩項(xiàng)都互為相反數(shù)，故不能用平方差公式計(jì)算；C：有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)不互為相反數(shù)，故不能用平方差公式計(jì)算；D：有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，故能用平方差公式計(jì)算．故答案為D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式的特征：①兩個(gè)兩項(xiàng)式相乘；②有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2020·浙江杭州市·七年級(jí)其他模擬）下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方差公式和完全平方公式對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、（-x-y）（x-y）=-（x+y）（x-y）=-（x2-y2）=-x2+y2；B、（-x+y）（-x-y）=（-x）2-y2=x2-y2；C、（-x+y）（x+y）=-（x-y）（x+y）=-（x2-y2）=-x2+y2．D、（x-y）（-x+y）=-（x-y）（x-y）=-（x-y）2=-x2+2xy-y2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差：（a+b）（a-b）=a2-b2．也考查了完全平方公式．4．（2020·長(zhǎng)春市第四十七中學(xué)月考）（）=4a4-9b4，括號(hào)內(nèi)應(yīng)填（）A．2a2+3b2 B．2a2-3b2 C．-2a2-3b2 D．-2a2+3b2【答案】C【分析】根據(jù)平方差公式求解即可．【解析】∵=4a4-9b4，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式，平方差公式的式子的特點(diǎn)：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)．相乘的結(jié)果是：右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差（相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方）．5．（2020·全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如果，那么a、b的值分別為（）A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；25【答案】D【分析】已知等式左邊利用完全平方公式展開，再利用多項(xiàng)式相等的條件求出a與b的值即可．【解析】已知等式整理得：x2+2ax+a2=x2-10x+b，可得2a=-10，a2=b，解得：a=-5，b=25，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．6．（2020·浙江杭州市·七年級(jí)其他模擬）設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到A=，再利用平方差公式計(jì)算．【詳解】解：由題意可得：A====24ab故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平方差公式．7．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一課時(shí)練習(xí)）________[（_____）+3b2]．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)即可求解．【解析】∵=[()+3b2]；故答案為：；．【點(diǎn)睛】此題主要考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟知公式的特點(diǎn)．8．（2020·四川甘孜·初二期末）已知，則__________．【答案】2【分析】利用完全平方公式化簡(jiǎn)，然后將代入計(jì)算即可得出結(jié)果?！窘馕觥拷猓寒?dāng)時(shí)，原式．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用和化簡(jiǎn)求值，能熟練運(yùn)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．題型3構(gòu)造平方差公式及公式逆用1．（2020·湖南茶陵·初一期末）已知實(shí)數(shù)，滿足，則代數(shù)式的值為_____.【答案】3.【分析】先利用平方差公式因式分解，再將m+n、m-n的值代入、計(jì)算即可得出答案.【解析】∵，，∴.故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，解題關(guān)鍵是根據(jù)平方差公式解答.2．（2020·紹興市文瀾中學(xué)期中）若，且，則_____【答案】2.5【分析】根據(jù)平方差公式的逆運(yùn)算即可求解.【解析】∵，，∴()÷()=2.5【點(diǎn)睛】此題主要考查平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟知平方差公式的逆用.3．（2020·全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：____________.【答案】2019.【分析】原式利用數(shù)的變形化為平方差公式，計(jì)算即可求出值．【解析】解：∵∴=故答案是：2019.【點(diǎn)睛】此題考查了用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，熟悉公式特點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．4．（2020·揭西縣第三華僑中學(xué)初一月考）計(jì)算：_______________.【答案】1【解析】試題分析：根據(jù)平方差公式，直接可得==20022-（20022-1）=1.故答案為：1.點(diǎn)睛：此題主要考查了平方差公式，解題關(guān)鍵是利用數(shù)字的關(guān)系可變化為平方差公式的形式，然后用公式直接計(jì)算即可.此題直接計(jì)算運(yùn)算量大，不好計(jì)算，用公式可簡(jiǎn)便計(jì)算.5．（2020·福建省惠安科山中學(xué)月考）若，則數(shù)的末位數(shù)字是_______．【答案】6【分析】將原式轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合平方差公式解題即可．【解析】的個(gè)位數(shù)是6的個(gè)位數(shù)是6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式、尾數(shù)特征等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．6．（2020·四川省營(yíng)山中學(xué)校初一期中）的計(jì)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（）A．8 B．6 C．2 D．0【答案】D【分析】先將2變形為，再根據(jù)平方差公式求出結(jié)果，根據(jù)規(guī)律得出答案即可．【解析】解：，，，，，，，，的個(gè)位是以指數(shù)1到4為一個(gè)周期，冪的個(gè)位數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)，，故與的個(gè)位數(shù)字相同即為1，∴的個(gè)位數(shù)字為0，∴的個(gè)位數(shù)字是0．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，能根據(jù)規(guī)律得出答案是解此題的關(guān)鍵．7．（2020·全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）若……，則A的值是A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】把變成然后利用平方差公式計(jì)算即可【解析】………………故選D【點(diǎn)睛】能夠靈活運(yùn)用平方差公式解題是本題關(guān)鍵8．（2020·石家莊外國(guó)語(yǔ)教育集團(tuán)初一期中）（探究）如圖①，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成圖②的長(zhǎng)方形．（1）請(qǐng)你分別表示出這兩個(gè)圖形中陰影部分的面積：圖①圖②；（2）比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：(用字母a、b表示)；（應(yīng)用）請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：①已知2m﹣n=3，2m+n=4，則4m2﹣n2的值為；②計(jì)算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．（拓展）計(jì)算的結(jié)果為．【答案】探究：（1），；（2）；應(yīng)用：①12；②；拓展：．【分析】探究：（1）圖①陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積差，圖②陰影部分的面積等于一個(gè)大長(zhǎng)方形的面積；（2）根據(jù)圖①與圖②的面積相等即可得；應(yīng)用：①根據(jù)上述得到的乘法公式（平方差公式）即可得；②利用兩次平方差公式即可得；拓展：將原式改寫成，再多次利用平方差公式即可得．【解析】探究：（1）圖①陰影部分的面積為兩個(gè)正方形的面積差，即，圖②的陰影部分為長(zhǎng)為，寬為的矩形，則其面積為，故答案為：，；（2）由圖①與圖②的面積相等可得到乘法公式：，故答案為：；應(yīng)用：①，故答案為：12；②原式，，；拓展：原式，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與幾何圖形、以及應(yīng)用，熟練掌握平方差公式是解題關(guān)鍵．題型4完全平方式的應(yīng)用（含參問(wèn)題）解題技巧：完全平方式的定義:對(duì)于一個(gè)具有若干個(gè)簡(jiǎn)單變?cè)恼紸，如果存在另一個(gè)實(shí)系數(shù)整式B，使A=B2，則稱A是完全平方式a22ab+b2=(ab)2。注意:(1)對(duì)于a2=x(x0)，a有正負(fù)兩種結(jié)果。(2)區(qū)分缺首尾項(xiàng)和缺中間項(xiàng).1．（2021·嵊州市初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如果是一個(gè)完全平方式，那么的值是（）．A． B．15 C． D．3【答案】C【分析】由題意可知首末兩項(xiàng)是3x和5的平方，那么中間項(xiàng)為加上或減去3x和5的乘積的2倍即可求解．【詳解】解：∵9x2?kx+25是一個(gè)完全平方式，∴-kx=（±2）×3x×5，則k=±30．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握并根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)乘積二倍項(xiàng)求解．2．（2021·重慶一中八年級(jí)開學(xué)考試）若多項(xiàng)式x2+kx+25是完全平方式，則k＝___．【答案】【分析】根據(jù)題意直接利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可得到k的值．【詳解】解：∵，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查完全平方式，熟練掌握完全平方式的特征是解題的關(guān)鍵，形如a2±2ab+b2這樣的式子是完全平方式．3．（2021·四川省成都市七中育才學(xué)校）若x2+8x+m是完全平方式則m的值為_____．【答案】16【分析】先根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)，再根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)即可確定的值．【詳解】解：是完全平方式，，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，能熟記完全平方公式的特點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意：完全平方式有兩個(gè)：和．4．（2020·浙江瑞安.初一期中）已知是一個(gè)有理數(shù)的平方，則不能為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分多項(xiàng)式的三項(xiàng)分別是乘積二倍項(xiàng)時(shí)，利用完全平方公式分別求出n的值，然后選擇答案即可．【解析】2n是乘積二倍項(xiàng)時(shí)，2n+218+1=218+2?29+1=（29+1）2，此時(shí)n=9+1=10，

218是乘積二倍項(xiàng)時(shí)，2n+218+1=2n+2?217+1=（217+1）2，此時(shí)n=2×17=34，

1是乘積二倍項(xiàng)時(shí)，2n+218+1=（29）2+2?29?2-10+（2-10）2=（29+2-10）2，此時(shí)n=-20，

綜上所述，n可以取到的數(shù)是10、34、-20，不能取到的數(shù)是36．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，難點(diǎn)在于要分情況討論，熟記完全平方公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．5．（2020·山東威海初二期中）將多項(xiàng)式加上一個(gè)整式，使它成為完全平方式，則下列不滿足條件的整式是()A． B．±4x C． D．【答案】D【分析】分x2是平方項(xiàng)與乘積二倍項(xiàng)，以及單項(xiàng)式的平方三種情況，根據(jù)完全平方公式討論求解.【解析】解：①當(dāng)x2是平方項(xiàng)時(shí)，4士4x+x2=（2士x）2，則可添加的項(xiàng)是4x或一4x；②當(dāng)x2是乘積二倍項(xiàng)時(shí)，4+x2+=（2+）2，則可添加的項(xiàng)是；③若為單項(xiàng)式，則可加上-4.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，比較復(fù)雜，需要我們?nèi)婵紤]問(wèn)題，首先考慮三個(gè)項(xiàng)分別充當(dāng)中間項(xiàng)的情況，就有三種情況，還有就是第四種情況加上一個(gè)數(shù)，得到一個(gè)單獨(dú)的單項(xiàng)式，也是可以成為一個(gè)完全平方式，這種情況比較容易忽略，要注意.6．（2020·浙江桐鄉(xiāng)初二月考）若代數(shù)式x2＋ax＋64是一個(gè)完全平方式，則a的值是（）A．－16B．16C．8D．±16【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)完全平方式的意義，首平方，尾平方，中間加減積的2倍，可知a=±2×8=16.故選：D點(diǎn)睛：此題主要考查了完全平方式的意義，解題關(guān)鍵是明確公式的特點(diǎn)，即：完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個(gè)整式的和括號(hào)外的平方。另一種是完全平方差公式，就是兩個(gè)整式的差括號(hào)外的平方。算時(shí)有一個(gè)口訣“首末兩項(xiàng)算平方，首末項(xiàng)乘積的2倍中間放，符號(hào)隨中央。7．（2020·長(zhǎng)春市第五十二中學(xué)月考）若是完全平方式，則的值是（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】有完全平方式的特征，列式進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．【解析】解：∵是完全平方式，∴，∴，解得：或；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方式的特征進(jìn)行解題．題型5完全平方式的應(yīng)用（知二求二）解題技巧：用可推導(dǎo)除一些變式=1\*GB3①=2\*GB3②注：變式無(wú)需記憶。在完全平方公式中，主要有、、、等模塊，都可以通過(guò)與相結(jié)合推導(dǎo)出來(lái)。1．（2020·全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）若，，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用完全平方公式把展開，再把展開，然后兩式相減，就可以得到的值．【解析】，即．又．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于對(duì)完全平方公式的熟練運(yùn)用．2．（2020·重慶南開中學(xué)期末）若，，則__________．【答案】12【分析】用完全平方公式進(jìn)行恒等變形，求出的值再代入求解即可．【解析】解：由完全平方公式：，代入數(shù)據(jù)：得到：，∴，∴，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式及其恒等變形，熟練掌握完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．3．（2020·山東歷下·初一期中）已知，則_____________.【答案】14【分析】設(shè)，則，，于是原式可變形為關(guān)于a2的等式，求出a2即為所求的式子的值．【解析】解：設(shè)，則，，因?yàn)椋?，整理，得：，所以，?4．故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查了整式乘法的完全平方公式及其變形，設(shè)、靈活利用整體代入的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．4．（2020·湖北宜城.初二期末）若，，則______．【答案】12【分析】根據(jù)完全平方公式的兩個(gè)關(guān)系式間的關(guān)鍵解答即可.【解析】∵，，∴，∴19=5+4xy，∴xy=，∴，故答案為：12.【點(diǎn)睛】此題考查完全平方公式，熟記公式并掌握兩個(gè)公式的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.5．（2020·湖南邵陽(yáng)·期末）已知，，則的值為______．【答案】53【分析】根據(jù)題意直接利用完全平方公式將原式變形，進(jìn)而計(jì)算即可得出答案．【解析】解：∵（x-y）2=25，∴x2-2xy+y2=25，∵xy=14，∴x2+y2=25+2xy=25+28=53．故答案為：53．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握并正確記憶完全平方公式是解題的關(guān)鍵．6．（2020·江蘇省邗江實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中）若x，y滿足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．【答案】（1）12；（2）56；（3）±2【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再代入求出即可；（2）先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再代入求出即可；（3）先求出（x﹣y）2的值，再根據(jù)完全平方公式求出即可．【解析】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝8+2×2＝12；（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝82﹣2×22＝64﹣8＝56；（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，∴x﹣y＝±2．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．7．（2020·隆昌市知行中學(xué)月考）求值．若，，求①，②的值．【答案】①25，②【分析】①將兩邊平方，利用完全平方公式展開，把的值代入即可求出的值；

②計(jì)算，利用完全平方公式展開，把與的值代入計(jì)算，開方即可求出值．【解析】①將兩邊平方得：，

把代入得：，即；②∵，則．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．8．（2020·射陽(yáng)縣第二初級(jí)中學(xué)初一期中）若則________________．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式：可求得結(jié)果【解析】故答案為：46【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，在完全平方公式中，我們要注意有3個(gè)模塊：(a±b)、ab、，已知其中的任意2個(gè)模塊，通過(guò)公式變形，都可求得第三個(gè)模塊.題型6完全平方公式應(yīng)用（）1．（2020·全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）若x﹣=3，則=（）A．11 B．7 C． D．【答案】C【分析】先由x﹣=3兩邊同時(shí)平方變形為，進(jìn)而變形為，從而得解．【解析】解：∵x﹣=3，∴，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題要運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形.根據(jù)a2+b2=(a+b)2-2ab把原式變?yōu)?，再通分，最后再取倒?shù).易錯(cuò)點(diǎn)是忘記加上兩數(shù)積的2倍．2．（2020·四川錦江·初二學(xué)業(yè)考試）已知，則____________．【答案】47【分析】直接利用完全平方公式計(jì)算得出答案．【解析】∵，∴（x＋）2＝49，即＋2＝49，則47，故答案為：47．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值以及完全平方公式，正確運(yùn)用公式是解題關(guān)鍵．3．（2020·長(zhǎng)春市第四十七中學(xué)月考）回答下列問(wèn)題：（1）填空：（2）若，求的值．【答案】（1）2，2；（2）23【分析】（1）利用完全平方公式變形即可得到結(jié)果；

（2）原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，將已知等式代入計(jì)算即可求出值；【解析】解：（1）故答案為：2；2；（2）∵∴原式=（）2-2=25-2=23．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，解題關(guān)鍵在于熟練掌握完全平方公式．’4．（2021·江門市第二中學(xué)初二月考）若，則________________.【答案】8【分析】先把可化為，再將化為，然后代入即可解答?！窘馕觥拷猓骸呖苫癁椋癁椤嘣?=32-1=8【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵在于對(duì)等式的變形和完全平方公式的靈活運(yùn)用。5．（2020·四川南充·一模）若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由計(jì)算出x2+=7，再由，按完全平方公式展開，代入數(shù)值即可．【解析】解：由∴x2++2=9，∴x2+=7，則=x2+-2=7-2=5．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，解題關(guān)鍵是熟記公式的幾個(gè)變形公式．6．（2020·上海市久隆模范中學(xué)初一期中）已知求_________________?！敬鸢浮?7【分析】根據(jù)已知等式兩邊同時(shí)除以x，得到的值，然后利用完全平方公式求出的值，最后再利用完全平方公式求的值即可.【解析】∵，，∴兩邊同時(shí)除以x得：，即，∴，即，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查已知式子的值求代數(shù)式的值，熟練應(yīng)用等式的基本性質(zhì)及完全平方公式是解題的關(guān)鍵.7．（2020·四川省金堂縣隆盛鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)初一月考）已知，那么+的值是______________.【答案】3【分析】把化為，再由+=即可求解.【解析】∵，∴，∴，∴+=故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的變形應(yīng)用，根據(jù)題目的特點(diǎn)，正確利用完全平方公式的變形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.8．（2020·四川雁江·初二期末）已知，求，的值．【答案】2，2【分析】將已知的等式左右兩邊分別平方，再展開求得．【解析】解：∵，∴，∴，∴．∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，關(guān)鍵是把所求代數(shù)式整理為與所給等式相關(guān)的形式或與得到結(jié)果相關(guān)的形式．9．（2020·重慶北碚·初三其他）已知，則等于（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】把已知條件兩邊平方，然后利用完全平方公式展開整理即可得解．【解析】∵，∴，即，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于乘積二倍項(xiàng)不含字母．題型7配方法的應(yīng)用解題技巧：運(yùn)用一個(gè)式子求解多個(gè)未知數(shù)，考慮平方的非負(fù)性，初中階段目前所學(xué)具有非負(fù)性的有（n為正整數(shù)).1．（2020·廣西興業(yè)·月考）代數(shù)式的最小值為（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用配方法對(duì)代數(shù)式做適當(dāng)變形，通過(guò)計(jì)算即可得到答案．【解析】代數(shù)式∵∴即代數(shù)式故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式和不等式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和不等式的性質(zhì)，從而完成求解．2．（2020·江蘇寶應(yīng).初一期中）已知，，，則代數(shù)式的值為______．【答案】3【分析】把已知的式子化成的形式，然后代入求解．【解析】解：，，，，，，則原式，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的求值，正確利用完全平方公式把所求的式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵．3．（2020·吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初二期中）把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)性這一性質(zhì)增加問(wèn)題的條件，這種解題方法通常被稱為配方法．配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問(wèn)題等都有著廣泛的應(yīng)用．例如：若代數(shù)式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴當(dāng)a＝b＝1時(shí)，代數(shù)式M有最小值1．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：（1）在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2+4a+；（2）若代數(shù)式M＝+2a+1，求M的最小值；（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代數(shù)式a+b+c的值．【答案】（1）4；（2）M的最小值為﹣3；（3）a+b+c=.【分析】（1）根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)的一半進(jìn)行配方即可；（2）先提取，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再配成完全平方，即可得答案；（3）將等式左邊進(jìn)行配方，利用偶次方的非負(fù)性可得a，b，c的值，從而問(wèn)題得解．【解析】（1）∵a2+4a+4＝（a+2）2故答案為：4；（2）M＝+2a+1＝（a2+8a+16）﹣3＝（a+4）2﹣3∴M的最小值為﹣3（3）∵a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+（2c﹣1）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，2c﹣1＝0∴a＝b＝1，，∴a+b+c=.．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過(guò)程中不要改變式子的值．4．（2020·吉林長(zhǎng)春.初二期中）閱讀下列解題過(guò)程，再解答后面的題目.例題：已知，求的值.解：由已知得即∵，∴有，解得∴.題目：已知，求的值.【答案】-【分析】先將左邊的式子寫成兩個(gè)完全平方的和的形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值，再代入求出xy的值．【解析】將，化簡(jiǎn)得，即．

∵，，且它們的和為0，∴，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將左邊的式子寫成兩個(gè)完全平方的和的形式．5．（2020·福建同安?初二月考）教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值等．例如：求代數(shù)式的最小值．當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)為何值時(shí)，代數(shù)式有最小值，求出這個(gè)最小值．（2）當(dāng)，為什么關(guān)系時(shí)，代數(shù)式有最小值，并求出這個(gè)最小值．（3）當(dāng)，為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最大值，并求出這個(gè)最大值．【答案】（1）代數(shù)式有最小值為1；（2）代數(shù)式有最小值為3．（3）當(dāng)，時(shí)，多項(xiàng)式有最大值為17．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式將寫成，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答；（2）利用配方法將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答；（3）利用配方法將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答.【解析】（1）原式當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值為1；（2）原式代數(shù)式有最小值為3．（3）原式當(dāng)，時(shí)，多項(xiàng)式有最大值為17．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法和完全平方公式的應(yīng)用，以及偶次方非負(fù)性的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵.6．（2020·福建寧化?初一期中）“化歸與轉(zhuǎn)化的思想”是指在研究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決.（1）根據(jù)平方數(shù)是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)，我們知道，可以得到.如果，求、的值.（2）已知，試問(wèn)：多項(xiàng)式的值是否與變量的取值有關(guān)?若有關(guān)請(qǐng)說(shuō)明理由；若無(wú)關(guān)請(qǐng)求出多項(xiàng)式的值.【答案】（1）a=﹣1，b=2；（2）值與x無(wú)關(guān)，值為3．【分析】（1）根據(jù)題意，可以將題目中的式子化為材料中的形式，從而可以得到a、b的值；（2）先計(jì)算a﹣b，a﹣c，c﹣b的值，然后根據(jù)a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，代入求值即可．【解析】（1）由a2+b2+2a﹣4b+5=0，得到：（a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）=0，（a+1）2+（b﹣2）2=0，所以有a+1=0，b﹣2=0，解得：a=﹣1，b=2；（2）多項(xiàng)式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值與變量x的取值無(wú)關(guān)．理由如下：∵ax+2017，bx+2015，cx+2016，∴a﹣b=2，a﹣c=1，c﹣b=1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=（ab）+（ac）+（cb）=3，∴多項(xiàng)式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值與變量x的取值無(wú)關(guān)，且a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是3．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)﹣偶次方，解題的關(guān)鍵是明確題目中的材料，可以將問(wèn)題中方程轉(zhuǎn)化為材料中的形式．7．（2020·福建泉州初三一模）已知：，且則．【答案】14【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以a-b=0，a-c=0，b-c=0，所以a=b=c，又，所以6a=12，所以a=2，所以b=c=2，所以2+4+8=14．考點(diǎn)：1．配方法2．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．8．（2020·湖南江永初一期中）已知a—4a+9b+6b+5=0,則a+b=_________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊?a+9+6b+5=0,9．（2020·深圳市高級(jí)中學(xué)初二期中）若，則ab的值是（）A．8 B． C．9 D．【答案】C【分析】將利用完全平方公式變形，求出a、b，問(wèn)題得解．【解析】解：變形得，，即，∴，∴a=-3，b=2，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了利用完全平方公式變形求解，熟知完全平方公式是解題關(guān)鍵．題型8乘法公式的幾何背景解題技巧：兩個(gè)三項(xiàng)式相乘，若直接觀察題目的結(jié)構(gòu)無(wú)法找到合適的公式套用，這時(shí)需要作合理的裂項(xiàng)，添加括號(hào)，再利用整體思想套用公式，這時(shí)應(yīng)用乘法公式解題的基本技巧。1．（2020·長(zhǎng)春市第四十七中學(xué)月考）從下圖的變形中驗(yàn)證了我們學(xué)習(xí)的公式（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)正方形中有顏色部分的面積=長(zhǎng)方形的面積可得．【解析】解：左邊正方形中有顏色部分的面積為a2-b2，右邊長(zhǎng)方形的面積為（a+b）（a-b），

根據(jù)正方形中有顏色部分的面積=長(zhǎng)方形的面積可得a2-b2=（a+b）（a-b），故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出正方形中有顏色部分的面積=長(zhǎng)方形的面積，并表示出兩部分的面積．2．（2020·廣東揭陽(yáng)·期中）從邊長(zhǎng)為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是；（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C、a2+ab=a（a+b）（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知x2﹣4y2=12，x+2y=4，求x﹣2y的值．②計(jì)算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【答案】（1）B；（2）①3；②．【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，即可列出等式；（2）①把x2﹣4y2利用（1）的結(jié)論寫成兩個(gè)式子相乘的形式，然后把x+2y=4代入即可求解；②利用（1）的結(jié)論化成式子相乘的形式即可求解．【解析】解：（1）第一個(gè)圖形中陰影部分的面積是a2﹣b2，第二個(gè)圖形的面積是（a+b）（a﹣b），則a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案是B；（2）①∵x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），∴12=4（x﹣2y）得：x﹣2y=3；②原式=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）=×=．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平方差公式的幾何表示，表示出圖形陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．3．（2020·四川射洪中學(xué)月考）通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可表示一些代數(shù)恒等式，如圖可表示的代數(shù)恒等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．2a（a+b）＝2a2+2abD．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【答案】C【分析】根據(jù)圖形及等面積法可直接求解．【解析】解：由圖可知：幾何圖形的面積為：，也可以表示為：；所以可得；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式，關(guān)鍵是根據(jù)題目所給的圖形得到幾何面積的表示，然后利用等積法即可求解．4．（2020·佛山市順德區(qū)杏壇梁銶琚初級(jí)中學(xué)月考）我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，對(duì)幾何圖形做出代數(shù)解釋和用幾何圖形的面積表示代數(shù)恒等式是互逆的．課本上由拼圖用幾何圖形的面積來(lái)驗(yàn)證了乘法公式，一些代數(shù)恒等式也能用這種形式表示，例如(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用圖①或圖②等圖形的面積表示．(1)填一填：請(qǐng)寫出圖③所表示的代數(shù)恒等式：______________________________；(2)畫一畫：試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示：(a＋b)(a＋3b)＝a2＋4ab＋3b2.【答案】（1）2a2＋5ab＋2b2；（2）詳見解析.【分析】（1）由題意，等號(hào)的左邊表示的是長(zhǎng)方形的面積，等號(hào)的右邊表示的是長(zhǎng)方形里面的小圖形的面積和；故問(wèn)題可求．（2）由（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2可知，圖形的兩個(gè)邊長(zhǎng)為a+b和a+3b；里邊的小圖形有八個(gè)，一個(gè)面積為a2，4個(gè)面積為ab，3個(gè)面積為b2．【解析】(1)由題意,可得：整理,得：故答案為(2)由.可知,圖形的兩個(gè)邊長(zhǎng)為a+b和a+3b;里邊的小圖形有八個(gè),一個(gè)面積為a2,4個(gè)面積為ab,3個(gè)面積為b2.畫圖如下(答案不唯一)．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，本題的解答須注意觀察圖形和等式的關(guān)系,規(guī)律:大長(zhǎng)方形的面積=小圖形的面積和.5．（2020·四川成都實(shí)外）對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）圖2所表示的數(shù)學(xué)等式為_____________________；（2）利用（1）得到的結(jié)論，解決問(wèn)題:若，求的值；（3）如圖3，將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，三點(diǎn)在同一直線上，連接,若兩正方形的邊長(zhǎng)滿足求陰影部分面積．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一種可以是3個(gè)正方形的面積和6個(gè)矩形的面積，另一種是大正方形的面積，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的乘法公式，進(jìn)行變形得出答案即可；（3）利用S陰影=正方形ABCD的面積+正方形ECGF的面積-三角形EGF的面積-三角形AED的面積求解．【解析】（1）由圖可得，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；故答案為：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

（2）由（1）可得：ab+bc+ac＝[(a+b+c)2?(a2+b2+c2)]=[122?60]=42；

（3）S陰影＝a2+b2?(a?b)a?b2=a2+b2?a2+ab?b2=(a2+b2+ab)=[(a+b)2?ab]=[152?35]=95．【點(diǎn)睛】此題考查完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是注意圖形的分割與拼合，會(huì)用不同的方法表示同一圖形的面積．6．（2020·北京市順義區(qū)第三中學(xué)初一期中）我們經(jīng)常利用圖形描述問(wèn)題和分析問(wèn)題．借助直觀的幾何圖形，把問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路．（1）在整式乘法公式的學(xué)習(xí)中，小明為了解釋某一公式，構(gòu)造了幾何圖形，如圖1所示，先畫了邊長(zhǎng)為a，b的大小兩個(gè)正方形，再延長(zhǎng)小正方形的兩邊，把大正方形分割為四部分，并分別標(biāo)記為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，然后補(bǔ)出圖形Ⅴ．顯然圖形Ⅴ與圖形Ⅳ的面積相等，所以圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面積和與圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面積和相等，從而驗(yàn)證了公式．則小明驗(yàn)證的公式是；（2）計(jì)算：（x+a）（x+b）=；請(qǐng)畫圖說(shuō)明這個(gè)等式．【答案】（1）；（2）；畫圖說(shuō)明見解析．【分析】（1）根據(jù)各部分的面積以及兩種方式的面積相等的關(guān)系即可解答；（2）將（x+a）（x+b）展開即可；畫一個(gè)長(zhǎng)為x+b，寬x+a的長(zhǎng)方形即可．【解析】解：（1），故答案為；（2），故答案為：，畫圖如下：【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平方差公式的幾何表示，掌握用代數(shù)計(jì)算和圖形面積表示平方差公式是解答本題的關(guān)鍵．7．（2020·國(guó)開教育集團(tuán)初一期中）把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．例如，由圖1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）如圖2，將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形，試用不同的形式表示這個(gè)大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)用等式表示出來(lái)．（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．（3）如圖3，將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點(diǎn)在同一直線上，連接BD和BF．若這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)滿足a+b=10，ab=20，請(qǐng)求出陰影部分的面積．【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20．【分析】（1）此題根據(jù)面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一種可以是3個(gè)正方形的面積和6個(gè)矩形的面積，種是大正方形的面積，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；

（3）利用S陰影=正方形ABCD的面積+正方形ECGF的面積-三角形BGF的面積-三角形ABD的面積求解．【解析】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；（3）∵a+b=10，ab=20，∴S陰影=a2+b2﹣（a+b）?b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×20=50﹣30=20．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式幾何意義，解題的關(guān)鍵是注意圖形的分割與拼合，會(huì)用不同的方法表示同一圖形的面積.8．（2020·甘肅·初一期末）（閱讀理解）“若滿足，求的值”．解：設(shè)，，則，，．（解決問(wèn)題）（1）若滿足，則的值為________；（2）若滿足，則的值為___________；（3）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，，，長(zhǎng)方形的面積是200，四邊形和都是正方形，四邊形是長(zhǎng)方形，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體的數(shù)值）．【答案】（1）140；（2）；（3）1056；見詳解．【分析】（1）根據(jù)題目所給的方法進(jìn)行計(jì)算即可；（2）運(yùn)用題目所給的方法進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)題意易得DG、ED的長(zhǎng)，然后結(jié)合圖形及運(yùn)用題目所給的方法求解即可．【解析】（1）解：設(shè)，，則，，，故答案為：140；（2）解：設(shè)，，則，，．（3）解：矩形的面積，設(shè)，，則；∴陰影部分的面積．答：陰影部分的面積為1056．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握公式及整體思想是解題的關(guān)鍵．題型9整式乘法的歸納猜想問(wèn)題1．（2021·福建三明市·三明一中八年級(jí)開學(xué)考試）觀察：已知．…（1）猜想：；（2）應(yīng)用：根據(jù)你的猜想請(qǐng)你計(jì)算下列式子的值：①；②；（3）拓廣：①；②判斷的值的個(gè)位數(shù)是幾？并說(shuō)明你的理由．【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；②個(gè)位上數(shù)字是7，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)一系列等式總結(jié)出規(guī)律即可；（2）①令，代入上面規(guī)律計(jì)算即可；（2）②將式子變形為：，計(jì)算即可；（3）①提取，將原式變形為：，按照規(guī)律計(jì)算即可；（3）②由，…結(jié)果是以2、4、8、6，，的個(gè)位數(shù)字為8，進(jìn)一步得到結(jié)果．【詳解】解：（1）（2）①==②==（3）①===②==∵…結(jié)果是以2、4、8、6循環(huán)∴∴的個(gè)位數(shù)字為8，∴的個(gè)位數(shù)字為7【點(diǎn)睛】本題考查整式混合運(yùn)算的應(yīng)用，找出本題的規(guī)律是解題關(guān)鍵．2．（2021·湖南長(zhǎng)沙市·雨花外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)開學(xué)考試）觀察下列運(yùn)算（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n為正整數(shù)）：利用這個(gè)公式計(jì)算：32021+32020+…+33+32+3＝（）A．32022﹣1 B． C． D．【答案】D【分析】觀察一系列等式得到一般性規(guī)律，利用即可確定出所求式子的結(jié)果．【詳解】解：∵（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n為正整數(shù)），∴（3﹣1）（32021+32020+…+33+32+3+1）＝32022﹣1，∴32021+32020+…+33+32+3+1＝，∴32021+32020+…+33+32+3＝．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確讀懂題意．3．（2020·青神縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校初一期中）閱讀下文，回答問(wèn)題：已知：（1-x）（1+x）=1-x2．（1-x）（1+x+x2）=_______;（1-x）（1+x+x2+x3）=_______;（1）計(jì)算上式并填空；（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=

；（3）你能計(jì)算399+398+397…+32+3+1的結(jié)果嗎？請(qǐng)寫出計(jì)算過(guò)程（結(jié)果用含有3冪的式子表示）.【答案】（1）;;（2）；（3）.【分析】(1)根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算即可；(2)觀察式子特點(diǎn)可得規(guī)律（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；(3)根據(jù)（2）中的規(guī)律先計(jì)算(1-3)(399+398+397…+32+3+1)的值，即可求得結(jié)果.【解析】解：（1）（1-x）（1+x+x2）=1+x+x2-x-x2-x3=;（1-x）（1+x+x2+x3）=;（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；（3）∵(1-3)(399+398+397…+32+3+1)=∴399+398+397…+32+3+1=【點(diǎn)睛】本題考查了有特定規(guī)律的整式乘法，按法則進(jìn)行計(jì)算并觀察得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.4．（2020·湖北陽(yáng)新初二期末）好學(xué)小東同學(xué)，在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)發(fā)現(xiàn)：(

x+4)(2x+5)(3x-6)的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，并且最高次項(xiàng)為：

x?2x?3x＝3x3，常數(shù)項(xiàng)為：4×5×(-6)=-120，那么一次項(xiàng)是多少呢？要解決這個(gè)問(wèn)題，就是要確定該一次項(xiàng)的系數(shù)．根據(jù)嘗試和總結(jié)他發(fā)現(xiàn)：一次項(xiàng)系數(shù)就是：×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次項(xiàng)為-3x．請(qǐng)你認(rèn)真領(lǐng)會(huì)小東同學(xué)解決問(wèn)題的思路，方法，仔細(xì)分析上面等式的結(jié)構(gòu)特征．結(jié)合自己對(duì)多項(xiàng)式乘法法則的理解，解決以下問(wèn)題．(1)計(jì)算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為_____．(2)(

x+6)(2x+3)(5x-4)所得多項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)為_______．(3)若計(jì)算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多項(xiàng)式不含一次項(xiàng)，求a的值；(4)若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，則a2020=_____．【答案】（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．【分析】（1）求一次項(xiàng)系數(shù)，用每個(gè)括號(hào)中一次項(xiàng)的系數(shù)分別與另外兩個(gè)括號(hào)中的常數(shù)項(xiàng)相乘，最后積相加即可得出結(jié)論．（2）求二次項(xiàng)系數(shù)，還有未知數(shù)的項(xiàng)有x、2x、5x，選出其中兩個(gè)與另一個(gè)括號(hào)內(nèi)的常數(shù)項(xiàng)相乘，最后積相加即可得出結(jié)論．（3）先根據(jù)（1）（2）所求方法求出一次項(xiàng)系數(shù)，然后列出等式求出a的值．（4）根據(jù)前三問(wèn)的規(guī)律即可計(jì)算出第四問(wèn)的值．【解析】（1）由題意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次項(xiàng)系數(shù)是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由題意可得(

x+6)(2x+3)(5x-4)二次項(xiàng)系數(shù)是：．（3）由題意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次項(xiàng)系數(shù)是：1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a=a+3=0∴a=-3．（4）通過(guò)題干以及前三問(wèn)可知：一次項(xiàng)系數(shù)是每個(gè)多項(xiàng)式的一次項(xiàng)分別乘以其他多項(xiàng)式常數(shù)項(xiàng)然后結(jié)果相加可得．所以(x+1)2021一次項(xiàng)系數(shù)是：a2020=2021×1=2021．故答案為：（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，觀察題干，得出規(guī)律是關(guān)鍵．5．（2021·安徽?qǐng)瑯虺醵谀┤绻粋€(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，例如，3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧數(shù)”在正整數(shù)中，從1開始，第2018個(gè)智慧數(shù)是_____．【答案】2693【分析】如果一個(gè)數(shù)是智慧數(shù)，就能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別m、n，設(shè)m＞n，即智慧數(shù)=m2-n2=（m+n）（m-n），因?yàn)閙，n是正整數(shù)，因而m+n和m-n就是兩個(gè)自然數(shù)．要判斷一個(gè)數(shù)是否是智慧數(shù)，可以把這個(gè)數(shù)分解因數(shù)，分解成兩個(gè)整數(shù)的積，看這兩個(gè)數(shù)能否寫成兩個(gè)正整數(shù)的和與差．【解析】解：1不能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，所以1不是“智慧數(shù)”．對(duì)于大于1的奇正整數(shù)2k+1，有2k+1=（k+1）2-k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整數(shù)都是“智慧數(shù)”．

對(duì)于被4整除的偶數(shù)4k，有4k=（k+1）2-（k-1）2（k=2，3，…）．

即大于4的被4整除的數(shù)都是“智慧數(shù)”，而4不能表示為兩個(gè)正整數(shù)平方差，所以4不是“智慧數(shù)”．

對(duì)于被4除余2的數(shù)4k+2（k=0，1，2，3，…），設(shè)4k+2=x2-y2=（x+y）（x-y），其中x，y為正整數(shù)，

當(dāng)x，y奇偶性相同時(shí)，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除；

當(dāng)x，y奇偶性相異時(shí)，（x+y）（x-y）為奇數(shù)，而4k+2為偶數(shù)，總得矛盾．

所以不存在自然數(shù)x，y使得x2-y2=4k+2．即形如4k+2的數(shù)均不為“智慧數(shù)”．

因此，在正整數(shù)列中前四個(gè)正整數(shù)只有3為“智慧數(shù)”，此后，每連續(xù)四個(gè)數(shù)中有三個(gè)“智慧數(shù)”．

因?yàn)?017=（1+3×672），4×（672+1）=2692，所以2693是第2018個(gè)“智慧數(shù)”，故答案為：2693．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，有一定的難度，主要是對(duì)題中新定義的理解與把握．6．（2020·石家莊市第二十八中學(xué)初一期中）（1），________；________．（2）猜想：________（其中為正整數(shù)，且）．（3）利用（2）猜想的結(jié)論計(jì)：________．【答案】【分析】（1）直接利用多項(xiàng)乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，即可求出答案；（2）利用（1）中的關(guān)系，找出規(guī)律，即可得到答案.（3）利用（2）的結(jié)論，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得到答案.【解析】解：（1）==；==；故答案為：，；（2）∵，，，∴；故答案為：；（3）由（2）可知，∵，∴，∴∴∴；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了整式的數(shù)字變化規(guī)律，乘方的運(yùn)算法則，以及平方差公式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而正確的得到式子的規(guī)律.7．（2020·北京平谷.初一期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例．這個(gè)三角形給出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展開式的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)（a+b）2=a2+2ab+b2展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中各項(xiàng)的系數(shù)，等等．有如下四個(gè)結(jié)論：①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；②當(dāng)a=-2，b=1時(shí)，代數(shù)式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；③當(dāng)代數(shù)式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0時(shí)，一定是a=-1，b=1；④（a+b）n的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為2n．上述結(jié)論中，正確的有______（寫出序號(hào)即可）．【答案】①②【分析】根據(jù)題中舉例說(shuō)明，明確楊輝三角的與的展開式的系數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，據(jù)此逐項(xiàng)分析．【解析】∵在楊輝三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著展開式中各項(xiàng)的系數(shù)，∴在楊輝三角形中第行的個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)，①∵展開式中各項(xiàng)的系數(shù)，為楊輝三角形中第6行的6個(gè)數(shù)，∴；②∵各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角中的第4行的4個(gè)數(shù)，∴，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式=；③∵各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角中的第5行的5個(gè)數(shù)，∴，當(dāng)代數(shù)式時(shí)，，不一定是；④∵當(dāng)時(shí)，展開式各項(xiàng)之和便是系數(shù)之和，∴的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為，故答案為：①②．【點(diǎn)睛】本題考查了合情推理，由具體舉例推廣到一般情況下楊輝三角與展開式的系數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．8．（2020·四川成都.初一期末）已知、、均為正整數(shù)，若存在整數(shù)使得，則稱、關(guān)于同余，記作。若、、、、均為正整數(shù)，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是_____.①；②若，，則；③若，，則；④若，，則；【答案】④【分析】根據(jù)新定義進(jìn)行推理論證便可判斷正誤．【解析】解：①，，故①正確；②，，，、為整數(shù)），由兩式相加可得：，為整數(shù)），，故②正確；③，，，、為整數(shù)），，，由兩式相乘可得：，，為整數(shù)，，故③正確；④，，，，，，兩式相除得，，，不一定是整數(shù)，不一定正確，故④錯(cuò)誤．答案為