專題訓(xùn)練：第12章 因式分解（解析版）

專題訓(xùn)練：第12章因式分解知識框架重難點題型題型1因式分解概念及意義【解題技巧】把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，因式分解也可稱為分解因式。1．（2021·深圳市龍崗區(qū)深圳中學(xué)龍崗初級中學(xué)期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（??）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義逐項作出判斷即可．【解析】解：A.,是乘法運算，不是因式分解，不合題意；B.，變形錯誤，不是因式分解，不合題意；C.，是因式分解符合題意；D.，沒有化為整式的積的形式，不是因式分解，不合題意．故選：C．【點睛】本題考查了因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫因式分解．2．（2021·隆昌市知行中學(xué)月考）下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的意義和多項式的乘法法則可以求解．【解析】解：由因式分解的意義可以判斷A、B都是錯誤的；∵,所以C選項錯誤；∵，∴D正確故選D．【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的意義和多項式的乘法法則是解題關(guān)鍵．3．（2020·重慶南開（融僑）中學(xué)校期末）下列從左到右的變形屬于因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)因式分解的方法和結(jié)果為積的形式逐一判斷即可．【解析】解：A：為整式的乘法，故此選項錯誤；B：，故此選項正確；C：為平方差公式，結(jié)果為差的形式，故此選項錯誤；D：，故此選項錯誤；故答案選B【點睛】本題主要考查了因式分解，熟練掌握平方差和完全平方差公式是解題的關(guān)鍵．4．（2021·陜西西安·高新一中期中）下列從左到右的變形屬于因式分解的是（）A．x2-x-1=x（x-1）-1 B．a(chǎn)2-ab=a（a-b）C．x2-1=x（x-） D．（x+2）（x-2）=x2-4【答案】B分析:把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，結(jié)合選項進(jìn)行判斷即可．【解析】A.右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項錯誤；B.符合因式分解的定義，故本選項正確；C.右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項錯誤；D.右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項錯誤；故選B.【點睛】本題的關(guān)鍵是理解因式分解的定義：把一個多項式化為幾個最簡整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，然后進(jìn)行正確的因式分解．5．（2018·安徽初一期中）已知多項式kx2-6xy-8y2可寫成（2mx+2y）(x-4y)的形式，求k，m的值．【答案】k=2，m=1．【分析】直接利用多項式乘以多項式運算法則計算，進(jìn)而得出m，k的值．【解析】解：∵多項式kx2-6xy-8y2可寫成（2mx+2y）（x-4y）的形式，∴kx2-6xy-8y2=（2mx+2y）（x-4y）=2mx2-8mxy+2xy-8y2=2mx2-（8m-2）xy-8y2，∴8m-2=6，解得：m=1，故k=2，m=1．【點睛】此題主要考查了多項式乘以多項式，正確得出m的值是解題關(guān)鍵．6．（2021·山東中區(qū)·濟(jì)南外國語學(xué)校初二期中）已知多項式x2+ax﹣6因式分解的結(jié)果為（x+2）（x+b），則a+b的值為（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)題意列出等式，再利用多項式相等的條件求出a與b的值，然后代入求值即可．【解析】解：根據(jù)題意得：x2+ax﹣6＝（x+2）（x+b）＝x2+（b+2）x+2b，∴a＝b+2，2b＝﹣6，解得：a＝﹣1，b＝﹣3，∴a+b＝﹣1﹣3＝﹣4，故選：A．【點睛】本題主要考查因式分解與整式乘法的關(guān)系，掌握因式分解與整式乘法是互逆的變形過程是解題的關(guān)鍵．7．（2021·重慶八中初二期中）若多項式可分解為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】多項式分解因式結(jié)果利用多項式乘以多項式法則計算，利用多項式相等的條件求出m和a的值即可．【解析】解：根據(jù)題意得：＝＝，可得：，解得：∴故選：A．【點睛】此題考查了因式分解與整式乘法運算的關(guān)系，熟練掌握整式乘法運算法則是解本題的關(guān)鍵．8．（2021·常德市淮陽中學(xué)初一期中）若多項式可以因式分解成，那么a=_____．【答案】1【分析】把展開后合并，根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等即可得出關(guān)于的方程，求出即可．【解析】解：，即，，解得：．故答案為：1．【點睛】本題考查了因式分解，理解題意，掌握待定系數(shù)法分解因式的方法與步驟是解決問題的關(guān)鍵．題型2提公因式法【解題技巧】如果一個多項式的各項含有公因式，那末就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種因式分解的方法叫做提公因式法挖掘隱含公因式：有時，公因式有顯性完全相同類型，也有隱性互為相反數(shù)的類型。提取公因數(shù)時，最好能一次性提取完。1．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）計算：________．【答案】-31.4【分析】運用提公因式法計算即可【解析】解：故答案為：-31.4【點睛】本題考查了提公因式法進(jìn)行簡便運算，熟練掌握法則是解決此題的關(guān)鍵2.（2021·山西平定·期中）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=_____．【答案】（x+2）（x﹣1）【分析】通過提取公因式（x+2）進(jìn)行因式分解即可．【解析】（x+2）x﹣x﹣2=（x+2）x-(x+2)=（x+2）（x﹣1），故答案為（x+2）（x﹣1）．【點睛】考查了因式分解﹣提公因式法：如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．3．（2021·北京北師大實驗中學(xué)初二期中）因式分解；．【答案】【分析】提出公因式(a-b)即可【解析】解:原式=【點睛】本題考查了用提公因式法,把(a-b)看成整體是解題的關(guān)鍵.4．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）【答案】．【分析】利用提公因式法進(jìn)行因式分解即可得．【解析】原式．【點睛】本題考查了利用提公因式法進(jìn)行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法等，熟練掌握各方法是解題關(guān)鍵．5．（2021·江蘇常州·期中）把多項式-16x3+40x2y提出一個公因式-8x2后，另一個因式是______．【答案】2x-5y；【解析】解：﹣16x3+40x2y=﹣8x2?2x+（﹣8x2）?（﹣5y）=﹣8x2（2x﹣5y），所以另一個因式為2x﹣5y．故答案為2x﹣5y點睛：本題考查提公因式法分解因式，把多項式的各項寫成公因式與另一個因式相乘的形式是解題的關(guān)鍵．6．（2021·內(nèi)蒙古昆都侖·初二期末）把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正確的結(jié)果是（）A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c） B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c） D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）【答案】B【分析】此題可將x﹣y的形式化成﹣（y﹣x），然后提取公因式（y﹣x），據(jù)此可解此題．【解析】﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）＝a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（y﹣x）＝（y﹣x）（a﹣b﹣c）．故選：B．【點評】此題考查的是因式分解，先觀察題意找出公因式y(tǒng)﹣x，然后提取公因式．7．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）【答案】．【分析】利用提公因式法進(jìn)行因式分解即可得．【解析】原式．【點睛】本題考查了利用提公因式法進(jìn)行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法等，熟練掌握各方法是解題關(guān)鍵．8．（2021·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）分解因式：【答案】【分析】把看成整體，把化為，再利用提公因式法分解因式．【解析】解：【點睛】本題考查的是提公因式法分解因式，同時考查因式分解的徹底性，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．9．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）因式分解：【答案】【分析】觀察各項找出公因式，利用提公因式法進(jìn)行分解即可．【解析】==．【點睛】本題考查了提公因式法分解因式，正確確定出公因式是解本題的關(guān)鍵．10．（2020·山東單縣·初一期末）已知，則代數(shù)式的值為____________．【答案】-8【分析】直接提取公因式將原式變形進(jìn)而整體代入已知得出答案．【解析】∵，∵，∴，又，∴原式=2×(-4)=-8．故答案為：-8．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值以及提取公因式法分解因式，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．題型3運用公式法【解題技巧】若多項式各項沒有公因式,則根據(jù)多項式特點,選用平方差公式或完全平方公式.平方差公式a2_b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2利用完全平方公式分解因式時，要求被分解的多項式的形式滿足完全平方公式的形式。首、末項必須是單項式平方的形式，準(zhǔn)確地找到中間項時正確分解的關(guān)鍵，中間項的符號決定了分解結(jié)果的運算符號。1．（2020·湖南益陽·期末）下列各式中，哪項可以使用平方差公式分解因式（）A． B． C． D．【答案】B【分析】能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反，據(jù)此判斷即可．【解析】解：A．與符號相同，不能使用平方差公式分解因式；B．可以使用平方差公式分解因式；C．，與符號相同，不能使用平方差公式分解因式；D．是立方的形式，故不能使用平方差公式分解因式；故選：B．【點睛】此題主要考查了運用公式法分解因式，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反．2．（2020·濰坊美加實驗學(xué)校其他）分解因式：___________．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式即可因式分解．【解析】，故答案為：．【點睛】此題主要考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟知平方差公式的運用．3．（2020·靜寧縣田堡初級中學(xué)期中）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：a2－2＝______.【答案】(a+)(a-)【分析】2寫成（）2，然后利用平方差公式分解即可．【解析】原式=a2-（）2=（a+）（a-）．故答案為（a+）（a-）．【點睛】本題考查了實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：利用完全平方公式或平方差公式在實數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解．4．（2020·遼寧燈塔·期末）分解因式【答案】(a+b)2(a-b)2【分析】先利用平方差公式進(jìn)行因式分解，然后再利用完全平方公式進(jìn)行分解即可得.【解析】(a2+b2)2-4a2b2=[(a2+b2)+2ab][(a2+b2)-2ab]=(a+b)2(a-b)2.【點睛】本題考查了綜合利用平方差公式與完全平方公式因式分解，熟練掌握平方差公式以及完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵.5．（2021·山東東平縣江河國際實驗學(xué)校月考）對于任何整數(shù)m，多項式都能被（）整除．A．8 B．m C． D．【答案】A【分析】直接套用平方差公式，整理即可判斷．【解析】因為=(4m+2)(4m+8)=2(2m+1)×4(m+2)=8(2m+1)(m+2)所以原式能被8整除．【點睛】此題考查因式分解-運用公式法，掌握運算法則是解題關(guān)鍵6．（2020·河北永年·期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點：必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)的積的2倍，對各選項分析判斷后利用排除法求解.【解析】A.只有兩項，不符合完全平方公式；B.其中、-1不能寫成平方和的形式，不符合完全平方公式；C.，其中與不能寫成平方和的形式，不符合完全平方公式；D.符合完全平方公式定義，故選：D.【點睛】此題考查完全平方公式，正確掌握完全平方式的特點是解題的關(guān)鍵.7．（2021·郁南縣蔡朝焜紀(jì)念中學(xué)初二月考）分解因式（x﹣1）（x﹣3）+1=________．【答案】（x﹣2）2【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式法則算乘法，合并同類項，最后根據(jù)完全平方公式分解即可．【解析】解：（x-1）（x-3）+1=x2-3x-x+3+1=x2-4x+4=（x-2）2，故答案為（x-2）2．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式法則，合并同類項，完全平方公式的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǚ纸庖蚴綍r解此題的關(guān)鍵，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，因式分解法等．8．（2020·廣東二模）因式分解：a2﹣2ab+b2=_________．【答案】（a﹣b）2分析：根據(jù)完全平方公式即可求出答案．【解析】原式故答案為點睛：本題考查因式分解法，解題的關(guān)鍵是熟練運用因式分解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．9．（2020·江蘇沭陽·期中）把下列各式因式分解：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)平方差公式直接分解即可；（2）先提公因式ab，再利用完全平方公式分解．【解析】解：（1）=；（2）==【點睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握提公因式法和公式法，屬于基礎(chǔ)知識．題型4分組分解法【解題技巧】當(dāng)一個多項式既不能提公因式，又不能運用公式分解，且這個多項式的項數(shù)在4項或4項以上時，可以考慮將這個多項式分組，進(jìn)行合理的分組之后，則可以找到每一組各自的公因式，再分解。分組分解法的分解原則是：分組之后的每組之間能夠再提公因式或能套用公式。1．（2020·太原師范學(xué)院附屬中學(xué)初二月考）整式乘法與多項式因式分解是有聯(lián)系的兩種變形．把多項式乘多項式法則反過來，將得到：，這樣該多項式就被分解為若干個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做分組分解法．例：（第一步）（第二步）（第三步）（1）例題求解過程中，第二步變形是利用____________（填乘法公式的名稱）（2）利用上述方法，分解因式：．【答案】（1）完全平方公式；（2）【分析】（1）根據(jù)完全平方公式得特點即可得答案；（2）先把x2-2xy+y2與xz-yz分組分解因式，再提取兩組多項式的公因式（x-y）即可得答案．【解析】（1）例題求解過程中，第二步變形是利用完全平方公式．故答案是：完全平方公式；（2）．【點睛】本題考查利用分組分解法分解因式，正確分組并熟練掌握乘法公式是解題關(guān)鍵．2．（2021·陜西三原·初二期末）閱讀材料，回答問題：材料：將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：分解因式：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，進(jìn)而提取公因式得出即可；（2）將后三項運用完全平方公式分解因式進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可.【解析】解：（1）．（2）．【點睛】本題考查的是分組分解法因式分解，掌握分組分解法、公式法的一般步驟是解題的關(guān)鍵．3．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）【答案】【分析】首先把一二項分為一組、三四五項分為一組，然后再利用公式法和提公因式法分解．【解析】解：原式【點睛】本題考查因式分解，綜合利用分組分解、公式法和提公因式法分解是解題關(guān)鍵．4．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）因式分解：【答案】【分析】將分組為，然后利用完全平方公式及平方差公式進(jìn)行分解即可．【解析】==．【點睛】本題考查了利用分組分解法分解因式，涉及了完全平方公式、平方差公式，正確進(jìn)行分組是解題的關(guān)鍵．5．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）先分解因式，再求值：，其中，．【答案】，．【分析】先利用分組分解法、公式法、提公因式法進(jìn)行因式分解，再將a、b的值代入求值即可得．【解析】原式，，，當(dāng)，時，原式．【點睛】本題考查了利用分組分解法、公式法、提公因式法進(jìn)行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法等，熟練掌握各方法是解題關(guān)鍵．6．（2020·全國初二課時練習(xí)）將下列各式因式分解：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先將原式變形為，再利用完全平方公式和平方差公式分解；（2）先將原式變形為，再利用完全平方公式和平方差公式分解．【解析】【解】（1）原式；（2）原式．【點睛】本題考查了多項式的因式分解，正確變形、熟練掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2021·諸暨市浣江初級中學(xué)初一期中）請先閱讀下列文字與例題，再回答后面的問題：當(dāng)因式分解中，無法直接運用提取公因式和乘法公式時，我們往往可以嘗試一個多項式分組后，再運用提取公因式或乘法公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：（1）===（2）===（1）根據(jù)上面的知識，我們可以將下列多項式進(jìn)行因式分解：(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=(_____________)(_____________)；=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=(_____________)(______________)．（2）分解下列因式：①；②．【答案】（1）；；；；；；；；；；；；（2）①；②【分析】（1）利用分組分解法結(jié)合提公因式法和平方差公式因式分解即可；（2）①利用分組分解法結(jié)合提公因式法因式分解即可；②利用分組分解法結(jié)合公式法因式分解即可；【解析】解：（1）()-()=-=()()；=()+()=+()=故答案為：；；；；；；；；；；；；（2）①==②===【點睛】此題考查的是因式分解，掌握利用分組分解法結(jié)合提公因式法和公式法因式分解是解決此題的關(guān)鍵．8．（2021·福建省泉州實驗中學(xué)期末）因式分解：(1)(2)【答案】（1）；（2）【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式；（2）先分組，將多項式的后三項分為一組，再利用完全平方公式以及平方差公式分解因式．【解析】解：（1）；（2）．【點睛】本題考查的知識點是因式分解，掌握因式分解常用方法是解此題的關(guān)鍵，主要有提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等等．9．（2021·安徽全椒·初一期中）因式分解：（1）；（2）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先提取公因式a，再用完全平方公式二次分解即可；（2）先把前3項根據(jù)完全平方公式分解，再用平方差公式二次分解即可．【解析】（1）原式；（2）原式．【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．題型5十字相乘法1．（2020·湖南廣益實驗中學(xué)初二月考）閱讀下面材料，解答后面的問題：“十字相乘法”能將二次三項式分解因式，對于形如的關(guān)于，的二次三項式來說，方法的關(guān)鍵是將項系數(shù)分解成兩個因數(shù)，的積，即，將項系數(shù)分解成兩個因式，的積，即，并使正好等于項的系數(shù)，那么可以直接寫成結(jié)果：例：分解因式：解：如圖1，其中，，而所以而對于形如的關(guān)于，的二元二次式也可以用十字相乘法來分解．如圖2．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式例：分解因式解：如圖3，其中，，而，，所以請同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）分解因式：①．②．（2）若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求的值．【答案】（1）；；（2）61或-82．【分析】（1）結(jié)合題意畫出圖形，即可得出結(jié)論；（2）用十字相乘法把能分解的幾種情況全部列出求出m的值即可．【解析】解：（1）①如下圖，其中，所以，；②如下圖，其中，而，所以，；（2）如下圖，其中，而或，∴若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，的值為61或-82．【點睛】本題考查的知識點是因式分解-十字相乘法，讀懂題意，掌握十字相乘法分解因式的步驟是解此題的關(guān)鍵．2．（2020·全國初二課時練習(xí)）若多項式可因式分解成，其中、、均為整數(shù)，則之值為何？（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用十字交乘法將因式分解，繼而求得，的值．【解析】解：利用十字交乘法將因式分解，可得：．，，．故選：A．【點睛】本題考查十字相乘法分解因式的知識．注意型的式子的因式分解：這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)分解成兩個因數(shù)，的積，把常數(shù)項分解成兩個因數(shù)，的積，并使正好是一次項，那么可以直接寫成結(jié)果：．3．（2020·陜西鳳翔·初一期中）計算結(jié)果為的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】運用十字相乘的方法來分解即可．【解析】解：=（x-6）（x+1）故選D【點睛】本題考查了運用十字相乘的方法來分解因式，熟練掌握該方法是解決本題的關(guān)鍵．4．（2020·長春市第四十七中學(xué)月考）分解因式________________．【答案】【分析】把-4寫成-4×1，又-4+1=-3，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解析】∵-4=-4×1，又-4+1=-3∴．故答案為：【點睛】本題考查了因式分解-十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關(guān)鍵．5．（2020·湖南茶陵·初一期末）分解因式x2+3x+2的過程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)（如右圖）．這樣，我們可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．請利用這種方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝_____．【答案】（2x+1）（x﹣2）【分析】根據(jù)題中的方法將原式分解即可．【解析】解：原式＝（2x+1）（x﹣2），故答案為（2x+1）（x﹣2）【點睛】此題考查了因式分解﹣十字相乘法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．6．（2020·四川內(nèi)江·中考真題）分解因式：_____________【答案】【分析】先根據(jù)十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．【解析】故答案為：．【點睛】此題主要考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟知因式分解的方法．7．（2019·全國初一單元測試）因式分解：______.【答案】【分析】把看作一個整體，再用分解即可.【解析】【點睛】本題考查了因式分解－十字相乘法，注意常數(shù)項的分解結(jié)果與一次項系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用整體思想可以化難為易.7．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）因式分解：【答案】【分析】將（x-y）當(dāng)做一個整體，發(fā)現(xiàn)-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法進(jìn)行分解即可．【解析】=．【點睛】本題考查了利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，對二次三項式進(jìn)行因式分解時，若無法使用公式法和提取公因式法因式分解，則考慮使用十字相乘法分解．本題中注意整體思想的運用．9．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）【答案】【分析】先提公因式3mn，再利用十字相乘法分解因式即可．【解析】解：原式．【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握提公因式法和十字相乘法分解因式是解答的關(guān)鍵．10．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）【答案】．【分析】利用十字相乘法進(jìn)行因式分解即可得．【解析】原式．【點睛】本題考查了利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，因式分解的主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法等，熟練掌握各方法是解題關(guān)鍵．11．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）已知，則，的值是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】根據(jù)十字相乘法的分解方法和特點解答．【解析】解：由x2-4x-m=（x-5）（x-n），得：-5-n=-4，（-5）（-n）=-m

所以n=-1，m=5．故選：C．【點睛】本題主要考查十字相乘法分解因式，對常數(shù)項的不同分解是解本題的關(guān)鍵．12．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）已知，且，都是正整數(shù)，試求，的值．【答案】x=3，y=2．【分析】運用十字相乘法對等式的左邊進(jìn)行因式分解，再根據(jù)，的值均是正整數(shù)進(jìn)行討論即可得出答案．【解析】∵，且，都是正整數(shù)∴是正整數(shù)，是整數(shù)，又∵，7是正整數(shù)，∴，均是正整數(shù)，又∵7=7×1，∴或，解得，解得（不符合題意，舍去）所以x=3，y=2．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握十字相乘法分解因式并確定出關(guān)于x、y的方程組是解題的關(guān)鍵．題型6利用因式分解判斷三角形1．（2019·山東沂源·初二期中）設(shè)a，b，c是的三條邊，且，則這個三角形是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】把所給的等式能進(jìn)行因式分解的要因式分解，整理為整理成多項式的乘積等于0的形式，求出三角形三邊的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀.【解析】解：∵a3-b3=a2b-ab2+ac2-bc2，∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0，（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，（a-b）（a2+b2-c2）=0，所以a-b=0或a2+b2-c2=0．所以a=b或a2+b2=c2．故選：D.【點睛】本題考查了分組分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多項式的乘積等于0的形式是解題的關(guān)鍵.2.（2020?閩清縣期中）已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，且滿足a2+b2+＝ac+bc，試判定a，b，c能否構(gòu)成三角形，如果能，請判定形狀，并說明理由．【分析】將已知等式移項后變形為，即，據(jù)此可得且，繼而知a+b＝c，即可作出判斷．【答案】解：無法構(gòu)成△ABC，理由：∵，∴，∴，∴，∴且，即且，∴a+b＝c，∴無法構(gòu)成△ABC．【點睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及構(gòu)成三角形的條件．3．（2020·湖南天元·建寧實驗中學(xué)初一開學(xué)考試）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項式只用上述方法就無法分解，如，我們細(xì)心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了。過程為：；這種分解因式的方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問題：（1）分解因式：；（2）三邊a，b，c滿足，判斷的形狀.【答案】（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等邊三角形【分析】（1）首先將前三項組合，利用完全平方公式分解因式，進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出即可；

（2）首先將前兩項以及后兩項組合，進(jìn)而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的關(guān)系，判斷三角形形狀即可．【解析】解：（1）9x2-6xy+y2-16=（3x-y）2-42=（3x-y+4）（3x-y-4）；

（2）∵a2-ab-ac+bc=0∴a（a-b）-c（a-b）=0，∴（a-b）（a-c）=0，∴a=b或a=c或a=b=c，

∴△ABC的形狀是等腰三角形或等邊三角形．【點睛】此題主要考查了分組分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正確分組分解得出是解題關(guān)鍵．4.（2020?徐聞縣期中）已知：a，b，c為△ABC的三邊長，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．【分析】先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，求出a＝b＝c，即可得出答案．【答案】△ABC是等邊三角形．證明如下：∵2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，∴a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，∴（a﹣b）2＝0，（a﹣c）2＝0，（b﹣c）2＝0，得a＝b且a＝c且b＝c，即a＝b＝c，所以△ABC是等邊三角形．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和完全平方公式、因式分解，能根據(jù)完全平方公式得出（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0是解此題的關(guān)鍵．5．（2020·河北河間·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多項式只用上述方法就無法分解,如,我們細(xì)心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn),前兩項符合平方差公式,后兩項可提取公因式,前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式,然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了,過程為：，這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題．(1)分解因式：；(2)△ABC三邊a、b、c滿足，判斷△ABC的形狀．【答案】（1）；（2）△ABC的形狀是等腰三角形；【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行分解，再根據(jù)平方差公式分解即可；（2）先從中提取公因式，從中提取公因式，再提取它們的公因式，最后根據(jù)，判斷出△ABC是等腰三角形.【解析】（1）；（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴的形狀是等腰三角形.【點睛】本題主要考查因式分解及應(yīng)用，熟練運用分組分解法是關(guān)鍵.6．（2020·山東章丘·初二期末）閱讀下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式只用上述方法無法分解．如x2－4y2－2x＋4y，細(xì)心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公園式，前、后兩部分分別分解因式后又出現(xiàn)新的公因式，提取公因式就可以完成整個式子的分解因式．具體過程如下：x2－4y2－2x＋4y＝(x2－4y2)－(2x－4y)＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．像這種將一個多項式適當(dāng)分組后，進(jìn)行分解因式的方法叫做分組分解法．利用分組分解法解決下面的問題：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三邊長a、b、c滿足a2－ab－ac＋bc＝0，判斷△ABC的形狀并說明理由．【答案】(1)；(2)等腰三角形，理由見解析．【分析】(1)前三項符合完全平方公式，再和最后一項應(yīng)用平方差公式分解因式即可．(2)前兩項、后兩項均可提取公因式，前、后兩部分分別因式分解后又出現(xiàn)新的公因式，據(jù)此把a2-ab-ac+bc分解因式，進(jìn)而判斷出△ABC的形狀即可．【解析】解：(1)原式，故答案為．(2)∵∴，∴，∴或，∴或，∴△ABC為等腰三角形．故答案為等腰三角形．【點睛】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，要熟練掌握，用因式分解的方法將式子變形時，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個代數(shù)式，也可以是其中的一部分．7．（2020·廣東龍崗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多項式只單純用上述方法就無法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我們細(xì)心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)，前三項符合完全平方公式，進(jìn)行變形后可以與第四項結(jié)合，再應(yīng)用平方差公式進(jìn)行分解．過程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法解決下列問題：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分別是△ABC三邊的長且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．【答案】（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形狀是等邊三角形．【分析】（1）認(rèn)真閱讀題例的思想方法，觀察所給多項式的結(jié)構(gòu)特點，合理分組運用完全平方公式后再整體運用平方差公式進(jìn)行分解．（2）等式左邊的多項式拆開分組，構(gòu)造成兩個完全平方式的和等于0的形式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的關(guān)系即可．【解析】（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn=（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）=（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2=（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）（2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0根據(jù)兩個非負(fù)數(shù)互為相反數(shù)，只能都同時等于0才成立，于是：a﹣b=0，a﹣c=0，所以可以得到a=b=c．即：△ABC的形狀是等邊三角形．【點睛】本題考查了用分組分解法對超過3項的多項式進(jìn)行因式分解，合理分組是解題的關(guān)鍵，綜合運用因式分解的幾種方法是重難點．8.（2020?東營期中）已知a，b，c為△ABC的三條邊，若a2+b2+c2＝ab+ac+bc，則該△ABC是什么三角形？【分析】把a2+b2+c2＝ab+ac+bc的兩邊乘2，然后分類利用完全平方公式各自因式分解，進(jìn)一步利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a、b、c三邊之間的關(guān)系解決問題．【答案】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0∴a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形．【點睛】此題考查利用完全平方公式因式分解和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問題，要根據(jù)所給的條件靈活運用．9.（2019?仁壽縣期中）已知△ABC的三條邊分別是a、b、c．（1）判斷（a﹣c）2﹣b2的值的正負(fù)．（2）若a、b、c滿足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，判斷△ABC的形狀．【分析】（1）運用因式分解法將（a﹣c）2﹣b2轉(zhuǎn)化為（a﹣c+b）（a﹣c﹣b），借助三角形的三邊關(guān)系問題即可解決．（2）運用配方法，將所給等式的左邊變形、配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)問題即可解決．【答案】解：（1）（a﹣c）2﹣b2＝（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）；∵△ABC的三條邊分別是a、b、c．∴a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，∴（a﹣c）2﹣b2的值的為負(fù)．（2）∵a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，∴a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0；又∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，△ABC為等邊三角形．【點睛】該命題主要考查了因式分解法、配方法在代數(shù)式的化簡求值、幾何圖形形狀的判定等方面的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用，正確變形，準(zhǔn)確判斷．題型7利用因式分解求值1．（2020·樹德中學(xué)都江堰外國語實驗學(xué)校期中）如果，，那么______.【答案】-900【分析】先對原式運用平方差公式進(jìn)行因式分解，然后再整體代入求值即可.【解析】原式=∵，∴原式=【點睛】本題主要考查了應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解和整體代入法，能夠正確的進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵.2．（2021·浙江瑞安·開學(xué)考試）若是方程組的解，則代數(shù)式的值是_______．【答案】35【分析】根據(jù)題意可得，再利用因式分解代入計算即可．【解析】解：∵是方程組的解，∴，∴，故填：35．【點睛】此題主要考查了二元一次方程組解的定義．以及因式分解，利用整體法求代數(shù)式的值．3．（2020·沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)初一期末）已知a、b、c是正整數(shù)，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，則a-c等于（）A． B．或 C．1 D．1或11【答案】D【分析】此題先把a2－ab－ac＋bc因式分解，再結(jié)合a、b、c是正整數(shù)和a＞b探究它們的可能值，從而求解．【解析】解：根據(jù)已知a2－ab－ac＋bc＝11，即a（a－b）－c（a－b）＝11，（a－b）（a－c）＝11，

∵a＞b，∴a－b＞0，∴a－c＞0，∵a、b、c是正整數(shù)，∴a－c＝1或a－c＝11，故選D．【點睛】此題考查了因式分解；能夠借助因式分解分析字母的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．4．（2021·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，則多項式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值為_____．【答案】3【分析】根據(jù)a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式將題目中的式子變形，即可求得所求式子的值．【解析】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，

∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=

===3，故答案為：3．【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用因式分解的方法解答．5．（2020·貴陽市白云區(qū)南湖實驗中學(xué)初二期末）已知，，則代數(shù)式的值是________．【答案】-3【分析】先根據(jù)，，求出a-c=-1，再將多項式分解因式代入求值即可.【解析】∵，，∴a-c=-1，∴====-3，故答案為：-3.【點睛】此題考查多項式的化簡求值，掌握多項式的因式分解的方法：分組分解法和提公因式法是解題的關(guān)鍵.6.（2021?淮北期中）若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．【分析】由題意得出x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，把2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz變形為（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2，再代入計算即可．【答案】解：∵x＝2018，y＝2019，z＝2020，∴x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz＝（x2﹣2xy+y2）+（x2﹣2xz+z2）+（y2﹣2yz+z2）＝（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝6．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用、完全平方公式的運用；熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．7．（2020·張家界市民族中學(xué)初一期末）甲、乙兩個同學(xué)分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，分解結(jié)果為(x+2)(x+4)；乙看錯了a，分解結(jié)果為(x+1)(x+9)，則a-b的值是__________．【答案】-3【分析】由題意分析a，b是相互獨立的，互不影響的，在因式分解中，b決定因式的常數(shù)項，a決定因式含x的一次項系數(shù)；利用多項式相乘的法則展開，再根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等即可求出a,b的值．【解析】分解因式x2＋ax＋b，甲看錯了b，但a是正確的，他分解結(jié)果為(x＋2)(x＋4)＝x2＋6x＋8，∴a＝6，同理：乙看錯了a，

分解結(jié)果為(x＋1)(x＋9)＝x

2

＋10x＋9，∴b＝9，故答案為：－3.【點睛】本題主要考查了因式分解與整式的乘法互為逆運算．是中考中的常見題型．此題主要考查了因式分解的意義，根據(jù)已知分別得出a，b的值是解決問題的關(guān)鍵．8．（2020·山西陽泉·初二期末）請閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù)．任務(wù):（1）利用上述方法推導(dǎo)立方和公式(從左往右推導(dǎo))；（2）已知,求的值．【答案】（1）推導(dǎo)見解析；（2），．【分析】（1）應(yīng)用添項辦法進(jìn)行因式分解可得:;（2）根據(jù)配方法和立方差公式可得.【解析】解:解：【點睛】考核知識點：因式分解應(yīng)用.靈活運用因式分解方法轉(zhuǎn)化問題是關(guān)鍵.9.（2021?鯉城區(qū)校級期末）已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．（1）求5b﹣5c+7的值：（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．【分析】（1）將已知的兩個式子相減可得b﹣c＝2，則所求式子可化為5b﹣5c+7＝5（b﹣c）+7＝17；（2）將所求式子利用完全平方公式化為a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，再將（1）的式子代入即可．【答案】解：（1）∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，∴b﹣c＝3﹣1＝2，∴5b﹣5c+7＝5（b﹣c）+7＝17；（2）a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝×（a2+b2+c2+a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，b﹣c＝2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝×（1+9+4）＝7．【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用；理解題意，將已知式子進(jìn)行合理的變形，再運用因式分解進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．10．（2021·全國初一課時練習(xí)）已知實數(shù)a，b滿足：，，則|=．【答案】1．【解析】∵，，∴，，∴，∵，，兩式相減可得，，，∴，即，∴==1．故答案為1．考點：1．因式分解的應(yīng)用；2．零指數(shù)冪．題型8因式分解的應(yīng)用解題技巧：因式分解知識方法應(yīng)用與人們?nèi)粘Ｉ罹o密聯(lián)系，解決應(yīng)用型問題，常用提公因式法、運用公式法等，并且我們要注意需符合實際要求。1．（2020·江蘇南京·初一期中）如圖，正方形紙片甲、丙的邊長分別是a、b，長方形紙片乙的長和寬分別為a和b（a＞b）．現(xiàn)有這三種紙片各6張，取其中的若干張（三種圖形都要取到）拼成一個新的正方形，拼成的不同正方形的個數(shù)為_____．【答案】3【分析】根據(jù)正方形的面積結(jié)合因式分解進(jìn)行拼圖即可解決問題．【解析】解：如圖所示：共有3種不同的正方形．故答案為3．【點睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出甲、乙、丙的面積，然后結(jié)合正方形的面積進(jìn)行拼圖即可．2.（2021?乳山市期中）【閱讀材料】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再將“A”還原，原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．【問題解決】（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；（3）證明：若n為正整數(shù)，則代數(shù)式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個整數(shù)的平方．【分析】（1）將x﹣y看做整體，利用十字相乘法因式分解即可得；（2）將a+b看做整體，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得；（3）先計算（n+1）（n+2）得n2+3n+2，再將n2+3n看做整體因式分解得原式＝（n2+3n+1）2，繼而由n2+3n+1為正整數(shù)可得答案．【答案】解：（1）原式＝（x﹣y+1）[4（x﹣y）+1]＝（1+x﹣y）（1+4x﹣4y）．（2）原式＝（a+b）2﹣4（a+b）+4＝[（a+b）﹣2]2＝（a+b﹣2）2．（3）原式＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2．∵n為正整數(shù)，∴n2+3n+1為正整數(shù)．∴代數(shù)（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個整數(shù)的平方．【點睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運用整體思想和十字相乘法與完全平方公式因式分解的能力．3．（2020·山東平陰·）王老師安排喜歡探究問題的小明同學(xué)解決某個問題前，先讓小明看了一個有解答過程的例題．例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．即：（m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．為什么要對2n2進(jìn)行了拆項呢？聰明的小明理解了例題解決問題的方法，很快解決了下面兩個問題．相信你也能很好的解決下面的這兩個問題，請寫出你的解題過程．（1）若x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，求xy的值；（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三邊長，且滿足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周長．【答案】（1）-；（2）△ABC的周長為16或17.【分析】（1）先利用分組法分解因式，再求出x，y的值即可；（2）先利用分組法分解因式，求得ab的值，再根據(jù)等腰三角形確定邊長，最后求出周長即可．【解析】（1）∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，∴x2－4xy＋4y2

＋y2＋2y＋1＝0．即：（x-2y）2＋（y+1）2＝0，∴x-2y＝0，y+1＝0，∴x＝－2，y＝-1，∴xy=(-2)-1=-；（2）∵a2－10a＋b2－12b＋61＝0，∴a2－10a＋25＋b2－12b＋36＝0，即：（a-5）2＋（b-6）2＝0，∴a-5＝0，b-6＝0，∴a＝5，b＝6，∵a、b、c是等腰△ABC的三邊長，∴當(dāng)a=c=5時，△ABC的周長為5+5+6=16，當(dāng)b=c=6時，△ABC的周長為5+6+6=17，故△ABC的周長為16或17．【點睛】本題考查了分組法分解因式以及等腰三角形的周長，注意拆項是分組法分解因式的關(guān)鍵．4．（2020·河南鄭州外國語中學(xué)初二期中）閱讀理解：對于一些次數(shù)較高或者是比較復(fù)雜的式子進(jìn)行因式分解時，換元法是一種常用的方法，下面是某同學(xué)用換元法對多項式進(jìn)行因式分解的過程.解：設(shè)原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）回答下列問題：（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的__________（填代號）．A．提取公因式B．平方差公式C．兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式（2）按照“因式分解，必須進(jìn)行到每一個多項式因式都不能再分解為止”的要求，該多項式分解因式的最后結(jié)果為______________．（3）請你模仿以上方法對多項式進(jìn)行因式分解．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）從解題步驟可以看出該同學(xué)第二步到第三步運用了兩數(shù)和的完全平方公式；（2）對第四步的結(jié)果括號里的部分用完全平方公式分解，再用冪的乘方計算即可．（3）模仿例題設(shè)，對其進(jìn)行換元后去括號，整理成多項式，再進(jìn)行分解，分解后將A換回，再分解徹底即可．【解析】（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的兩數(shù)和的完全平方公式，故選：C（2）原式==故答案為：（3）設(shè)．【點睛】本題考查的是因式分解，解題關(guān)鍵是要能理解例題的分解方法并能進(jìn)行模仿，要注意分解要徹底．5．（2020·重慶月考）仔細(xì)閱讀下列解題過程：若，求的值．解：根據(jù)以上解題過程，試探究下列問題：（1）已知，求的值；（2）已知，求的值；（3）若，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）首先把第3項裂項，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得代入求得數(shù)值；（2）首先把第2項裂項，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得代入求得數(shù)值；（3）先把代入，得到關(guān)于和的式子，再仿照（1）（2）題．【詳解】解：（1）（2）（3）【點睛】本題考查的分組分解法、配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，對于項數(shù)較多的多項式因式分解，分組分解法是一個常用的方法.首先要觀察各項特征，尋找熟悉的式子，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是基礎(chǔ).6．（2020·沙坪壩·重慶八中課時練習(xí)）若正整數(shù)是4的倍數(shù)，那么規(guī)定正整數(shù)為“四季數(shù)”，例如：64是4的倍數(shù)，所以64是“四季數(shù)”．（1）已知正整數(shù)是任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，求證：是“四季數(shù)”；（2）已知一個兩位正整數(shù)（，其中，為自然數(shù)），將其個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字交換，得到新數(shù)，若與的差是“四季數(shù)”，請求出所有符合條件的兩位正整數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）所有符合條件的兩位正整數(shù)k有：15，26，37，48，59，19【分析】（1）設(shè)任意兩個連續(xù)偶數(shù)為2n和2n+2（n≥0，且為整數(shù)），根據(jù)P是任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差得出p的值，利用因式分解變形即可得出答案；（2）由題意得：m=10y+x，則m-k=10y+x-(10x+y)=4n（n≥0，且n為整數(shù)），用含n的式子表示出y-x，再根據(jù)x，y的范圍及“四季數(shù)”的定義可得答案．【解析】解：（1）證明：設(shè)任意兩個連續(xù)偶數(shù)為2n和2n+2（n≥0，且為整數(shù)）則p=(2n+2)2-(2n)2=[(2n+2)+2n][(2n+2)-2n]=(4n+2)×2=4(2n+1)，∵n≥0，且為整數(shù)，∴2n+1必為正整數(shù)，∴4(2n+1)一定是4的倍數(shù)，∴P是“四季數(shù)”；（2）由題意得：m=10y+x，則m-k=10y+x-(10x+y)=4n(n≥0，且n為整數(shù))，∴9(y-x)=4n，y-x=，∵1≤x＜y≤9，其中x，y為自然數(shù)，∴1≤y-x≤8，當(dāng)n=9時，y-x=4，∴，，，，；當(dāng)n=18時，y-x=8，∴．∴所有符合條件的兩位正整數(shù)k有：15，26，37，48，59，19．【點睛】本題考查了因式分解在新定義習(xí)題中的證明及其計算，讀懂定義，是解題的關(guān)鍵．7．（2021·南陽市第三中學(xué)月考）閱讀材料：若，求m、n的值．解：∵，∴∴，而，，∴且，∴n=4，m=4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則a=______；b=_________．(2)已知△ABC的三邊a，b，c滿足=0，關(guān)于此三角形的形狀的以下命題：①它是等邊三角形；②它屬于等腰三角形：③它屬于銳角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正確命題的序號為________________．(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且，求△ABC的周長．【答案】（