專題訓(xùn)練：全等三角形（解析版）

專題訓(xùn)練：全等三角形知識(shí)框架重難點(diǎn)題型題型1利用全等三角形求長(zhǎng)度1．（2021·遼寧鞍山市·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，過C作CF//AB交射線DE于F，若BD＝1，CF＝5，則AB的長(zhǎng)度為_____．【答案】4【分析】根據(jù)CF∥AB就可以得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，證明△ADE≌△CFE就可以求出答案．【詳解】∵CF∥AB，∴∠ADE=∠F，∠FCE=∠A．∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴AE=EC．∵在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．∴AD=CF=5，∵BD=1，∴AB=AD-BD=5-1=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．2．（2021·福建泉州市·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5，BD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊AB上，且BE＝BC，過點(diǎn)E作EF⊥AB交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若EF＝12，則AE＝_____．【答案】7【分析】由題意知：BD⊥AC，EF⊥AB，∠ADB＝∠FEB＝90°，∠A＝∠F，△ABC≌△FEB（AAS），AB＝EF＝12，AE＝7．【詳解】解：∵BD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADB＝∠FEB＝90°，∴∠A+∠ABD＝∠F+∠FBE＝90°，∴∠A＝∠F，在△ABC和△FEB中，，∴△ABC≌△FEB（AAS），∴AB＝EF＝12，∵BE＝BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝7．故填：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角全等的證明，難點(diǎn)在復(fù)雜圖形中如何迅速確定需要證明全等的三角形；3．（2021·北京西城區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在邊，上，點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線對(duì)稱．若，，，則的周長(zhǎng)為（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】連接，交于點(diǎn)，由點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，可證得，繼而可證明，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等解得，同理可證及，最后結(jié)合線段的和差與已知條件解題即可．【詳解】連接，交于點(diǎn)，由點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，在與中，同理，在與中，，，，的周長(zhǎng)為：故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．4．（2021·江蘇八年級(jí)期中）如圖，在中，，，平分，于，若，則為______．【答案】4【分析】延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，證△BEF≌△BEC，△ABD≌△ACF，得出EF＝EC，ECCF，及BD＝CF，則CEBD，可以求出其值．【詳解】解：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，∵∠BAC＝90°，，∴∠BAC=∠BEC=∠FAC，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°，∵∠ADB=∠CDE，∴∠ABD＝∠ACF，在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF，∴BD＝CF=8，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵CE⊥BD，∴∠BEF＝∠BEC＝90°在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC，∴EF＝EC，∴ECCF=4．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定，會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等是解題關(guān)鍵．5．（2021·黑龍江哈爾濱市·八年級(jí)期末）如圖所示，為中線，D為中點(diǎn)，，，連接，．若的面積為3，則的面積為______．【答案】1.5【分析】延長(zhǎng)AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，由D為中點(diǎn)，可得BD=CD，可證△ACD≌△GBD（SAS），可得AC=BG，∠DAC=∠G，可證△AEF≌△BAG（SSS），可得S△AEF=S△BAG=2S△ADC=3，可求S△ADC=1.5．【詳解】解：延長(zhǎng)AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，∵D為中點(diǎn)，∴BD=CD，S△ADC=S△ABD在△ACD和△GBD中∴△ACD≌△GBD（SAS）∴AC=BG，∠DAC=∠G，S△ADC=S△GBD+，在△AEF和△BAG中，，∴△AEF≌△BAG（SSS），∴S△AEF=S△BAG=2S△ADC=3，∴S△ADC=1.5，故答案為：1.5．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等判定與性質(zhì)，線段中點(diǎn)，中線性質(zhì)，掌握三角形全等判定與性質(zhì)，線段中點(diǎn)，利用輔助線中線加倍構(gòu)造全等是解題關(guān)鍵．6．（2021·重慶巴蜀中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E在△ABC的邊AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，F(xiàn)D∥BC交AC于點(diǎn)D．（1）求證：△ABF≌△ADF；（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周長(zhǎng)．【答案】（1）見詳解；（2）10【分析】（1）由“AAS”可證△DAF≌△BAF；（2）由全等三角形的性質(zhì)得AD=AB＝8，BF=DF，結(jié)合BE＝7，AB＝8，AE＝5，即可求解．【詳解】（1）證明：∵FD∥BC，∴∠ADF＝∠C，∵∠ABE＝∠C，∴∠ADF＝∠ABF，∵AF平分∠BAE，∴∠DAF＝∠BAF，又∵AF＝AF，∴△ABF≌△ADF（AAS）；（2）∵△ABF≌△ADF，∴AD=AB＝8，BF=DF，∵AE＝5，∴DE=8-5=3，∴EF+DF=EF+BF=BE=7，∴△EFD的周長(zhǎng)=EF+DF+DE=7+3=10．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握“AAS”證三角形全等，是解題的關(guān)鍵．題型2利用全等三角形求角度1．（2021·湖北武漢市·八年級(jí)期末）如圖，，若，，則的度數(shù)為（）A．80° B．35° C．70° D．30°【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出∠E．【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，∠C=30°，∴∠E=∠C=30°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．2．（2020·浙江八年級(jí)開學(xué)考試）如圖所示，，，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AED=∠ACB，∠D=∠B，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠ACF，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出方程求解即可．【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠ACB=105°，∠D=∠B=30°，∴∠ACF=180°-∠ACB=180°-105°=75°，由三角形的內(nèi)角和定理得，∠1+∠D=∠CAD+∠ACF，∴∠1+30°=15°+75°，解得∠1=60°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．3．（2021·安徽馬鞍山市·八年級(jí)期末）如圖，，若，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠B=80°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=70°，∵∠DAC=25°，∴∠EAC=∠EAD-∠DAC=45°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=70°+45°=115°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．4．（2021·北京順義區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，是等邊三角形，，與交于點(diǎn)F，則的度數(shù)是__________．【答案】60°【分析】先證明△ABD≌△CAE，可得∠BAD=∠ACE，然后由三角形外角的性質(zhì)，∠DFC=∠ACE+∠DAC，等量代換即可求解．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴AB=CA，∠B=∠CAB=60°，

在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴∠BAD=∠ACE，

∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，∴∠ACE+∠DAC=60°，

∵∠DFC=∠ACE+∠DAC，∴∠DFC=60°．【點(diǎn)睛】考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是找出∠ACE=∠BAD和利用全等三角形的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系．5．（2021·石家莊市第二十八中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，是的角平分線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，若，，則__________．【答案】102°【分析】在BC上截取BF＝AB，連DF，如圖，先根據(jù)SAS證明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，進(jìn)而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根據(jù)SAS證明△CDE≌△CDF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：在BC上截取BF＝AB，連接DF，如圖，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠FBD，∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°，∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°，又∵∠EDC＝∠ADB＝60°，∴∠EDC＝∠FDC，∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠E=∠DFC=102°；故答案為：102°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義以及對(duì)頂角相等的性質(zhì)等知識(shí)，正確添加輔助線、構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶八中七年級(jí)期中）如圖所示，在ΔABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上，且EF⊥BC，且交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，H為DC上的一點(diǎn)，且BH=EF，AH=DF，AB=DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，則__________．【答案】【分析】由“HL”可證Rt△ABH≌Rt△DEF，可得∠EDF=∠BAH，由角的數(shù)量關(guān)系可求解．【詳解】解：在Rt△ABH和Rt△DEF中，，∴Rt△ABH≌Rt△DEF(HL），∴∠EDF=∠BAH，∴∠EDF-∠BAD=∠BAH-∠BAD，∴∠B=∠DAH，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，設(shè)∠B=∠DAH=y，∠BAD=∠DAC=x，∴2y+x=90°，∠CAH=∠DAC-∠DAH=x-y，∴∠ACB=90°-∠CAH=3y，∵∠DAC+n∠ACB=90°，∴x+3ny=90°，∴3n=2，∴n=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．題型3利用全等三角形證明數(shù)量（位置）關(guān)系1.（2020?蕭山區(qū)期中）BD、CE分別是△ABC的邊AC、AB上的高，P在BD的延長(zhǎng)線上，且BP＝AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ＝AB．求證：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．【分析】（1）由于BD⊥AC，CE⊥AB，可得∠ABD＝∠ACE，又有對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，進(jìn)而得出△ABP≌△QCA，即可得出結(jié)論．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，證明∠PAQ＝90°即可．【詳解】證明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），∴∠BEC＝∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠BAC＝90°，∠ACE+∠BAC＝90°（垂直定義），∴∠ABD＝∠ACE（等角的余角相等），在△ABP和△QCA中，BP=AC∠ABD=∠ACECQ=AB，∴△ABP≌△QCA（∴AP＝AQ（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．（2）由（1）可得∠CAQ＝∠P（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），∵BD⊥AC（已知），即∠P+∠CAP＝90°（直角三角形兩銳角互余），∴∠CAQ+∠CAP＝90°（等量代換），即∠QAP＝90°，∴AP⊥AQ（垂直定義）．2.（2020?瑤海區(qū)期末）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，連接AE，CD，AE與CD交于點(diǎn)M，AE與BC交于點(diǎn)N．（1）求證：AE＝CD；（2）求證：AE⊥CD；（3）連接BM，有以下兩個(gè)結(jié)論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有（請(qǐng)寫序號(hào)，少選、錯(cuò)選均不得分）．【分析】（1）欲證明AE＝CD，只要證明△ABE≌△CBD；（2）由△ABE≌△CBD，推出BAE＝∠BCD，由∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ABC，∠ABC＝90°，可得∠NMC＝90°；（3）結(jié)論：②；作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．理由角平分線的判定定理證明即可；【詳解】（1）證明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，AB=CB∠ABE=∠CBDBE=BD，∴△ABE≌△CBD，∴AE＝（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE＝∠BCD，∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ABC，∵∠ABC＝90°，∴∠NMC＝90°，∴AE⊥CD．（3）結(jié)論：②理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，∴12?AE?BK=12?CD?BJ，∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，∴BM不妨設(shè)①成立，則△ABM≌△DBM，則AB＝BD，顯然可不能，故①錯(cuò)誤．故答案為②．3．（2020·黑龍江松北初一期末）如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH與BE相交于點(diǎn)G，則①DH=HC；②DF=FC；③BF=AC；④CEBF中正確有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)進(jìn)行判斷；②過F作FM⊥BC于M，則FM＜FC，由角平分線定理和三角形邊的關(guān)系判斷便可；③根據(jù)∠ABC=45°，CD⊥AB于D，可以證明△BCD是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BD=CD，然后證明△BDF與△CDA全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=AC，從而判斷③正確；④根據(jù)BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，可以證明△ABE與△CBE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CE，從而判斷④正確．【解析】解：①∵CD⊥AB于D，∴∠BDC=90°，∵H是BC邊的中點(diǎn)，∴DH=CD，∴①正確；②過F作FM⊥BC于M，則FM＜FC，

∵BE平分∠ABC，∴DF=FM，∴DF＜FC，∴②錯(cuò)誤；③∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，

∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠DBF=∠ACD，

在△BDF與△CDA中，，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴BF=AC，∴③正確；

④∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，

∴在△ABE與△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE=CE=AC，

∵AC=BF，∴CE=BF，∴④正確．所以，正確的結(jié)論是①③④，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，仔細(xì)分析圖形并熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.（2020?溧水區(qū)期末）初步思考（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠BAD＝2∠EAF．求證：EF＝BE+FD．小明發(fā)現(xiàn)此題是證明線段的和（差）問題，根據(jù)證明此類題型的常見方法，于是就有了如下的思考過程：請(qǐng)?jiān)谙铝锌驁D中補(bǔ)全他的證明思路．解決問題：（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠BAD＝2∠EAF，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？說明理由．拓展延伸：（3）在（2）的條件下，若將點(diǎn)E、F改在線段BC、CD延長(zhǎng)線上，請(qǐng)直接寫出線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）延長(zhǎng)CB到H，使BH＝DF，連接AH，證明△ABH≌△ADF和△AME≌△AFE從中找出條件即可解答．（2）延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，證明△ABM≌△ADF，再證明△EAH≌△EAF，可得出結(jié)論；（3）在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．證明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF，即可得出EF＝BE﹣FD．【詳解】解：（1）①AH，②∠HAE，③EH，④BH；故答案為：AH，∠HAE，EH，BH．（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，證明：如圖1，延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM與△ADF中，AB=AD∠1=∠DBM=DF，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF＝AM，∠2＝∠∵∠EAF=12∠BAD，∴∠2+∠4=12∠BAD＝∠EAF．∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠在△AME與△AFE中，AM=AF∠MAE=∠EAFAE=AE，∴△AME≌△AFE（∴EF＝ME，即EF＝BE+BM．∴EF＝BE+DF．（3）EF＝BE﹣FD．證明：如圖2，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG與△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADFBG=DF，∴△ABG≌△ADF（∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE＝∠∵AE＝AE，易證△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．故答案為：EF＝BE﹣FD．5．（2020?龍崗區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC＝AE+CD．【分析】在AC上取AF＝AE，連接OF，即可證得△AEO≌△AFO，得∠AOE＝∠AOF；再證得∠COF＝∠COD，則根據(jù)全等三角形的判定方法ASA即可證△FOC≌△DOC，可得DC＝FC，即可得結(jié)論．【詳解】證明：在AC上取AF＝AE，連接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO＝∠FAO，在△AEO與△AFO中，AE=AF∠EAO=∠FAOAO=AO∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE＝∠∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=12∠ACB+12∠BAC=12（∠ACB+∠BAC）=1則∠AOC＝180°﹣∠ECA﹣∠DAC＝120°；∴∠AOC＝∠DOE＝120°，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，則∠COF＝60°，∴∠COD＝∠COF，∴在△FOC與△DOC中，∠COD=∠COFCO=CO∠FCO=∠DCO，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC＝∵AC＝AF+FC，∴AC＝AE+CD．6．（2020?福州期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＞60°，∠BAC＜60°，以AB為邊作等邊△ABD（點(diǎn)C，D在邊AB的同側(cè)），連接CD．（Ⅰ）若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)∠BAC＝2∠BDC時(shí)，請(qǐng)判斷△ABC的形狀并說明理由；（Ⅲ）當(dāng)∠BCD等于多少度時(shí)，∠BAC＝2∠BDC恒成立．【分析】（I）先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明AC為BD的垂直平分線，從而可得到CD＝CB，則∠BDC＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD；（II）設(shè)∠BDC＝x，則∠BAC＝2x，∠CAD＝60°﹣2x，∠ADC＝60°+x，然后可證明∠ACD＝∠ADC，則AC＝AD，于是可得到AB＝AC；（III）當(dāng)∠BCD＝150°時(shí)，∠BAC＝2∠BDC恒成立，如答圖所示：作等邊△BCE，連接DE，則BC＝EC，∠BCE＝60°．先證明△BCD≌△ECD，從而可得到∠BDE＝2∠BDC，然后再證明△BDE≌△BAC，從而可得到∠BAC＝∠BDE．【詳解】解：（I）∵△ABD為等邊三角形，∴∠BAD＝∠ABD＝60°，AB＝AD．又∵∠BAC＝30°，∴AC平分∠BAD，∴AC垂直平分BD，∴CD＝CB．∴∠BDC＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝90°﹣60°＝30°．（II）△ABC是等腰三角形．理由：設(shè)∠BDC＝x，則∠BAC＝2x，∠CAD＝60°﹣2x，∠ADC＝60°+x．∴∠CAD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝60°+x，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD．∵AB＝AD，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．（III）當(dāng)∠BCD＝150°時(shí)，∠BAC＝2∠BDC恒成立．如圖：作等邊△BCE，連接DE，則BC＝EC，∠BCE＝60°．∵∠BCD＝150°，∴∠ECD＝360°﹣∠BCD﹣∠BCE＝150°，∴∠DCE＝∠DCB．又∵CD＝CD，∴△BCD≌△ECD，∴∠BDC＝∠EDC，即∠BDE＝2∠BDC．又∵△ABD為等邊三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABC＝∠DBE＝60°+∠DBC．又∵BC＝BE，∴△BDE≌△BAC，∴∠BAC＝∠BDE，∴∠BAC＝2∠BDC．7．（2020·全國初三專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn)，且，證明：．【答案】見解析【分析】在線段上取點(diǎn)，使得，連接，通過證明可得，即，可推出，再根據(jù)，即可得證．【解析】證明：如圖，在線段上取點(diǎn)，使得，連接，，，，，在中，，，，，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型4全等三角形的判定方法：5種判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（特殊形式的SSA）解題技巧：1）根據(jù)圖形和已知條件，猜測(cè)可能的全等三角形；2）尋找邊角相等的3組條件。3）往往有2個(gè)條件比較好找，第3個(gè)條件需要推理尋找第3個(gè)條件思路：原則:1）需要證明的邊或角需首先排除，不可作為第3個(gè)條件尋找2）尋找第3個(gè)條件，往往需要根據(jù)題干給出的信息為指導(dǎo)，確定是找角還是邊全等三角形證明思路：1°：SSS證全等1．（2020·全國初二課時(shí)練習(xí)）如圖：在△ABC中,AC=BC,D是AB上的一點(diǎn),AE⊥CD于點(diǎn)E,BF⊥CD于點(diǎn)F,若CE=BF,AE=EF+BF.試判斷AC與BC的位置關(guān)系,并說明理由.【答案】AC⊥BC，理由見解析.【解析】【分析】AC⊥BC；理由：∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AEC=∠BFC=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，∵CF=CE+EF，CE=BF，∴CF=EF+BF，∵AE=EF+BF，∴AE=CF，在Rt△ACE和Rt△CBF中，∴Rt△ACE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠CAE，∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°，∴AC⊥BC.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.在應(yīng)用全等三角形的判定是，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.2．（2020·上海浦東新初一期末）閱讀并填空：如圖：根據(jù)六年級(jí)第二學(xué)期學(xué)過的用直尺、圓規(guī)作線段中點(diǎn)的方法，畫出了線段AB的中點(diǎn)C，請(qǐng)說明這種方法正確的理由．解：連接AE、BE、AF、BF．在△AEF和△BEF中，EF＝EF（），＝（畫弧時(shí)所取的半徑相等），＝（畫弧時(shí)所取的半徑相等）．所以△AEF≌△BEF（）．所以∠AEF＝∠BEF（）．又AE＝BE，所以AC＝BC（）．即點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．【答案】公共邊，AE、BE，AF、BF，SSS，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，等腰三角形三線合一．【分析】根據(jù)SSS證△AEF≌△BEF，推導(dǎo)出∠AEF＝∠BEF，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出即可．【解析】如圖，連接AE、BE、AF、BF，在△AEF和△BEF中，EF＝EF（公共邊），AE＝BE（畫弧時(shí)所取的半徑相等），AF＝BF（畫弧時(shí)所取的半徑相等）．所以△AEF≌△BEF（SSS）．所以∠AEF＝∠BEF（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．又AE＝BE，所以AC＝BC（等腰三角形三線合一）．即點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．故答案為：公共邊，AE、BE，AF、BF，S．S．S，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，等腰三角形三線合一．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定方法，準(zhǔn)確理解證明過程中每一步的依據(jù)是解題的關(guān)鍵.3．（2020·江蘇棲霞初二期中）數(shù)學(xué)家魯弗斯設(shè)計(jì)了一個(gè)儀器，它可以三等分一個(gè)角．如圖所示，A、B、C、D分別固定在以O(shè)為公共端點(diǎn)的四根木條上，且OA=OB=OC=OD，E、F可以在中間的兩根木條上滑動(dòng)，AE=CE=BF=DF．求證：∠AOE=∠EOF=∠FOD．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)條件先證明△AOE≌△COE，從而得∠AOE=∠COE，COE=∠FOD，故∠AOE=∠EOF=∠FOD．【解析】解：在△AOE和△COE中，∴△AOE≌△COE．∴∠AOE=∠COE．同理∠COE=∠FOD．∴∠AOE=∠EOF=∠FOD．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)．2°：SAS證全等1．（2021·江蘇南京市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點(diǎn)B，D，E在同一條直線上，若∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．50°B．65°C．70°D．75°【答案】B【分析】根據(jù)手拉手模型證明，可得，再利用三角形外角的性質(zhì)得，再結(jié)合已知條件即可解答．【詳解】在和中（SAS）故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握手拉手模型證三角形全等是解題關(guān)鍵．2．（2020·全國初二課時(shí)練習(xí)）如圖是工人師傅用同一種材料制成的金屬框架，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周長(zhǎng)為24cm，CF＝3cm，則制成整個(gè)金屬框架所需這種材料的總長(zhǎng)度為____cm.【答案】45【分析】利用SAS證明△ABC≌△DEF，即可得△DEF的周長(zhǎng)=△ABC的周長(zhǎng)=24cm．再由制成整個(gè)金屬框架所需這種材料的總長(zhǎng)度為△DEF的周長(zhǎng)+△ABC的周長(zhǎng)-CF即可求解.【解析】∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴△DEF的周長(zhǎng)=△ABC的周長(zhǎng)=24cm．∵CF=3cm，∴制成整個(gè)金屬框架所需這種材料的總長(zhǎng)度為：△DEF的周長(zhǎng)+△ABC的周長(zhǎng)-CF=24+24-3=45cm.故答案為45.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABC≌△DEF得到△DEF的周長(zhǎng)=△ABC的周長(zhǎng)=24cm是解決問題的關(guān)鍵．3．（2020·南山第二外國語學(xué)校集團(tuán)海德學(xué)校初一期中）如圖，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求證：BD=CE．【答案】見解析【分析】先由∠1=∠2得到∠BAD=∠CAE，然后根據(jù)“SAS”可判斷△BAD≌△CAE，再根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．4．（2021·河南宜陽初二期末）(1)問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)AG，先證明ΔΔADG，再證明ΔΔAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．(2)探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否依然成立？并說明理由．【答案】（1）EF=BE+DF；（2）成立，見解析【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；

（2）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；【解析】解：（1）EF=BE+DF，證明如下：在△ABE和△ADG中，在△AEF和△AGF中，故答案為EF=BE+DF．（2）結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，如圖②，

在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及“半角模型”，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)及“半角模型”構(gòu)造全等的方法是解題的關(guān)鍵．3°：ASA證全等1．（2020·河南焦作初一期末）如圖：小剛站在河邊的點(diǎn)處，在河的對(duì)面（小剛的正北方向）的處有一電線塔，他想知道電線塔離他有多遠(yuǎn)，于是他向正西方向走了20步到達(dá)一棵樹處，接著再向前走了20步到達(dá)處，然后他左轉(zhuǎn)90°直行，當(dāng)小剛看到電線塔樹與自己現(xiàn)處的位置在一條直線時(shí)，他共走了100步．（1）根據(jù)題意，畫出示意圖；（2）如果小剛一步大約50厘米估計(jì)小剛在點(diǎn)處時(shí)他與電線塔的距離，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）小剛在點(diǎn)處時(shí)他與電線塔的距離為30米【分析】（1）根據(jù)題意所述畫出示意圖即可；（2）根據(jù)ASA可得出△ABC≌△DEC，即求出DE的長(zhǎng)度也就得出了AB之間的距離．【解析】解：（1）所畫示意圖如下：（2）在和中，，∴，∴，又∵小剛共走了100步，其中走了40步，∴走完用了60步，∵一步大約50厘米，∴（厘米）米．答：小剛在點(diǎn)處時(shí)他與電線塔的距離為30米．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用，像此類應(yīng)用類得題目，一定要仔細(xì)審題，根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，難度一般不大，細(xì)心求解即可．2．（2021·重慶萬州區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，在中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ=NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，則MH的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先證明，再由全等三角形的性質(zhì)可得PQ=QH=5，根據(jù)MQ=NQ=9，即可得到答案．【詳解】解：∵M(jìn)Q⊥PN，NR⊥PM，∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90，∵∠RHM＝∠QHN，∴∠PMH＝∠HNQ，在和中，，∴（ASA），∴PQ＝QH＝5，∵NQ＝MQ＝9，∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是推理證明三角形的全等三角形，找到邊與邊的關(guān)系解決問題．3．（2020·江蘇崇川南通田家炳中學(xué)初三其他）如圖，在△ABC中，D是線段BC的中點(diǎn)，F(xiàn)，E分別是AD及其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且CF∥BE．求證：DE＝DF【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠FCD=∠EBD，由BD=DC，∠CDF=∠BDE，根據(jù)ASA推出△CDF≌△BDE即可．【解析】∵CF∥BE∴∠FCD＝∠EBD∵D是線段BC的中點(diǎn)∴CD＝BD又∵∠CDF＝∠BDE∴△CDF≌△BDE∴CF＝BE【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．4°：AAS證全等1．（2020·上海浦東新初一期末）如圖，已知點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，∠DCE＝∠A＝∠B，CD＝CE．（1）說明△ACD與△BEC全等的理由；（2）說明AB＝AD+BE的理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和得∠D＝∠BCE，再由AAS證明三角形全等；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AC＝BE，AD＝BC，進(jìn)而由線段的和差得結(jié)論．【解析】（1）∵∠DCE＝∠A，∴∠D+∠ACD＝∠ACD+∠BCE，∴∠D＝∠BCE，在△ACD和△BEC中，，∴△ACD≌△BEC（AAS）；（2）∵△ACD≌△BEC，∴AD＝BC，AC＝BE，∴AC+BC＝AD+BE，即AB＝AD+BE．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).2．（2020·江西大余初二期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求證：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）112.5°．【分析】根據(jù)同角的余角相等可得到結(jié)合條件，再加上可證得結(jié)論；

根據(jù)得到根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到由平角的定義得到【解析】證明：在△ABC和△DEC中，，（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠1＝∠D＝45°，∵AE＝AC，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．3．（2021·全國七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，，，，結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)已知的條件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，進(jìn)而可根據(jù)全等三角形得出的結(jié)論來判斷各選項(xiàng)是否正確．【詳解】解：∵，∴△AEB≌△AFC；（AAS）∴∠FAM=∠EAN，∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正確）又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，∴△EAM≌△FAN；（ASA）∴EM=FN；（故①正確）由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；又∵∠CAB=∠BAC，∴△ACN≌△ABM；（故④正確）由于條件不足，無法證得②CD=DN；故正確的結(jié)論有：①③④；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)與判別，考查了學(xué)生根據(jù)圖形分析問題，解決問題的能力．其中全等三角形的判別方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及HL．學(xué)生應(yīng)根據(jù)圖形及已知的條件選擇合適的證明全等的方法．4．（2020·山西朔州初二期末）綜合與實(shí)踐閱讀以下材料：定義：兩邊分別相等且夾角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫做“互補(bǔ)三角形”．用符號(hào)語言表示為：如圖①，在△ABC與△DEF中，如果AC=DE，∠C+∠E=180°，BC=EF，那么△ABC與△DEF是互補(bǔ)三角形．反之，“如果△ABC與△DEF是互補(bǔ)三角形，那么有AC=DE，∠C+∠E=180°，BC=EF”也是成立的．自主探究利用上面所學(xué)知識(shí)以及全等三角形的相關(guān)知識(shí)解決問題：（1）性質(zhì)：互補(bǔ)三角形的面積相等如圖②，已知△ABC與△DEF是互補(bǔ)三角形．求證：△ABC與△DEF的面積相等．證明：分別作△ABC與△DEF的邊BC，EF上的高線，則∠AGC=∠DHE=90°．……(將剩余證明過程補(bǔ)充完整)（2）互補(bǔ)三角形一定不全等，請(qǐng)你判斷該說法是否正確，并說明理由，如果不正確，請(qǐng)舉出一個(gè)反例，畫出示意圖．【答案】（1）見解析；（2）不正確，理由見解析【分析】（1）已知△ABC與△DEF是互補(bǔ)三角形，可得∠ACB+∠E=180°，AC=DE，BC=EF，證得∠ACG=∠E，證明△AGC≌△DHE，得到AG=DH，所以，即△ABC與△DEF的面積相等．（2）不正確．先畫出反例圖，證明△ABC≌△DEF，△ABC與△DEF是互補(bǔ)三角形．互補(bǔ)三角形一定不全等的說法錯(cuò)誤．【解析】（1）∵△ABC與△DEF是互補(bǔ)三角形，∴∠ACB+∠E=180°，AC=DE，BC=EF．又∵∠ACB+∠ACG=180°，∴∠ACG=∠E，在△AGC與△DHE中，∴△AGC≌△DHE（AAS）∴AG=DH．∴，即△ABC與△DEF的面積相等．（2）不正確．反例如解圖，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴△ABC與△DEF是互補(bǔ)三角形．∴互補(bǔ)三角形一定不全等的說法錯(cuò)誤．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)定理，利用AAS和SAS證明三角形全等，已知兩個(gè)三角形全等，可得到對(duì)應(yīng)邊相等．5°：HL證全等1．（2019·丹陽市第三中學(xué)初二月考）用三角尺可以按照下面的方法畫∠AOB的角平分線：在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使OM=ON；再分別過點(diǎn)M、N畫OA、OB的垂線，這兩條垂線相交于點(diǎn)P，畫射線OP（如圖），則射線OP平分∠AOB，以上畫角平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法是()A．SSS B．SAS C．HL D．ASA【答案】C【分析】利用判定方法“HL”證明Rt△OMP和Rt△ONP全等，進(jìn)而得出答案.【解析】在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP＝∠NOP，∴OP是∠AOB的平分線，故答案選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形全等的判定條件，解本題的要點(diǎn)在于熟知全等三角形的判定條件.2．（2020·江蘇常州初二期末）已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA，（1）求證：△BEC≌△DEA；（2）求證：BC⊥FD．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知利用HL即可判定△BEC≌△DEA；（2）根據(jù)第（1）問的結(jié)論，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得到∠B=∠D，從而不難求得DF⊥BC．【解析】證明：（1）∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEA＝90°，在Rt△BEC與Rt△DEA中，∵，∴△BEC≌△DEA（HL）；（2）∵由（1）知，△BEC≌△DEA，∴∠B＝∠D．∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，∴∠BAF+∠B＝90°，即DF⊥BC．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)定理，（1）熟練掌握三角形的判定定理，能根據(jù)題意篩選出合適的定理去證明是解決此問的關(guān)鍵；（2）本題主要應(yīng)用“兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形”.3．（2020·南通市啟秀中學(xué)初一期末）如圖，點(diǎn)在直線的同側(cè)，過作，垂足為，延長(zhǎng)至，使得，連接交直線于點(diǎn)．（1）求證：（2）在直線上任意一點(diǎn)（除點(diǎn)外），求證：【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）由HL可證，可得，由對(duì)頂角的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由線段的垂直平分線的性質(zhì)可得，，由三角形的三邊關(guān)系可得結(jié)論．【解析】（1），在和中（2）在上取一點(diǎn)，連接，，在中，【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．題型5.尺規(guī)作圖與三角形全等1．（2021·河北唐山市·八年級(jí)期末）如圖，在，上分別截取，，使，再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，作射線，就是的角平分線．這是因?yàn)檫B結(jié)，，可得到，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，可得．在這個(gè)過程中，得到的條件是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【答案】D【分析】由作圖可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，由SSS證明三角形全等即可．【詳解】解：由作圖可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，∴△COD≌△COE（SSS），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，全等三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．2．（2020·江蘇蘇州市·七年級(jí)期末）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)為1，為格點(diǎn)三角形．(1)如圖①，的面積為；(2)在圖②中畫出所有與全等，且只有一條公共邊的格點(diǎn)三角形．【答案】(1)6;(2)見解析【分析】（1）利用△ABC所在的正方形的面積減去四周三個(gè)直角三角形的面積，列式計(jì)算即可得解；（2）分三種情況討論：分別以AC,AB,BC為公共邊，作與余下兩邊相等的三角形，看是否符合題意即可．【詳解】解：（1）4--=6.（2）如圖【點(diǎn)睛】本題主要考查的是作圖-應(yīng)用設(shè)計(jì)、全等三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2020·吉林長(zhǎng)春市·九年級(jí)其他模擬）我們?cè)鴮W(xué)過定理“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，其逆命題也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角邊等于斜邊的一半，那么該直角邊所對(duì)的角為”.如圖，在中，，如果，那么.請(qǐng)你根據(jù)上述命題，解決下面的問題：（1）如圖1，，為格點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交直線于點(diǎn)，則______；（2）如圖2，、為格點(diǎn)，按要求在網(wǎng)格中作圖（保留作圖痕跡）。作，使點(diǎn)在直線上，并且，.（3）如圖3，在中，，，為內(nèi)一點(diǎn)，，于，且.①求的度數(shù)；②求證：.【答案】（1）30；（2）見解析；（3）①30°；②見解析.【分析】（1）如圖1中，作CF⊥AB于F．由作圖可知：AC=AB=2CF，即可推出∠CAB=30°．

（2）以D為圓心，DF長(zhǎng)為半徑畫弧交直線a于點(diǎn)G，連接FG交直線l于E，連接DE，△DEF即為所求．

（3）①根據(jù)AC=2CE，推出∠CAE=30°．

②作DH⊥BC，想辦法證明BH=CH即可解決問題．【詳解】（1）如圖1中，作CF⊥AB于F．

由作圖可知：AC=AB=2CF，∴∠CAB=30°，故答案為30．

（2）如圖△DEF即為所求．

（3）①∵CE⊥AD于E，且CE=AC∴∠CAD=30°

②作DH⊥BC于H．

∵∠AEC=90°，∠CAE=30°∴∠ACE=60°，∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=75°，∴∠DCF=∠DCH=15°，

∵∠CED=∠CHD=90°，CD=CD，∴△CDE≌△CDH（AAS），∴CE=CH=AC=BC，

∴BH=CH，∵DH⊥BC，∴DB=DC．【點(diǎn)睛】此題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形30度角的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．4．（2020·河北衡水市·）閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：已知：△ABC，尺規(guī)作圖：求作∠APC=∠ABC．小明同學(xué)的主要作法如下：?jiǎn)栴}：小明的做法正確嗎？請(qǐng)你說明小明作法的正確性．【答案】正確，證明見解析【分析】根據(jù)SAS證明△ABC≌△APC即可得出．【詳解】解：正確；證明：∵在△ABC和△APC中，，∴△ABC≌△APC（SAS）∴∠APC=∠ABC．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖——基本作圖，全等三角形的判定，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．5．（2020·北京懷柔區(qū)·八年級(jí)期末）數(shù)學(xué)課上，王老師布置如下任務(wù)：如圖1，直線MN外一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作直線MN的平行線．(1)小路的作法如下：①在MN上任取一點(diǎn)B，作射線BA；②以B為圓心任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BA和MN于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)D位于BA的左側(cè)），再以A為圓心，相同的長(zhǎng)度為半徑畫弧EH，交BA于點(diǎn)E（點(diǎn)E位于點(diǎn)A上方）；③以E為圓心CD的長(zhǎng)為半徑畫弧，交弧EH于點(diǎn)F（F點(diǎn)位于BA左側(cè)）④作直線AF⑤直線AF即為所求作平行線．請(qǐng)你根據(jù)小路同學(xué)的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）；并完成以下推理，注明其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)依據(jù)：(2)請(qǐng)你參考小路的作法，利用圖2再設(shè)計(jì)一種“過點(diǎn)A作MN的平行線”的尺規(guī)作圖過程（保留作圖痕跡），并說明其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)依據(jù)．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）根據(jù)作圖過程，利用SSS易證得，從而得到同位角相等，兩直線平行；（2）依照小路的作法，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，作出平行線，同樣可以用SSS易證得，從而得到內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行的結(jié)論.【詳解】（1）證明：如圖，根據(jù)作圖過程，知：，連接EF和AD，在和中，，∴(SSS)，∴(同位角相等，兩直線平行)故答案為：；同位角相等，兩直線平行（2）作圖方法：①在MN上任取一點(diǎn)B，作射線BA(為銳角)；②以B為圓心任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BA和BN于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)D位于BA的右側(cè)），再以A為圓心，相同的長(zhǎng)度為半徑畫弧EH，交BA于點(diǎn)E（點(diǎn)E位于點(diǎn)A下方）；③以E為圓心CD的長(zhǎng)為半徑畫弧，交弧EH于點(diǎn)F（F點(diǎn)位于BA左側(cè)）；④作直線AF；⑤直線AF即為所求作平行線．證明：如圖，根據(jù)作圖過程，知：，連接EF和AD，在和中，，∴(SSS)，∴(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖和全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定定理，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵.6．（2021·安徽合肥市·八年級(jí)期末）（1）如圖，∠MAB＝30°，AB＝2cm，點(diǎn)C在射線AM上，畫圖說明命題“有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形全等”是假命題，請(qǐng)畫出圖形，并寫出你所選取的BC的長(zhǎng)約為cm（精確到0.lcm）．（2）∠MAB為銳角，AB＝a，點(diǎn)C在射線AM上，點(diǎn)B到射線AM的距離為d，BC＝x，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是．【答案】（1）見解析，1.2；（2）x=d或x≥a【分析】（1）可以取BC＝1.2cm（1cm＜BC＜2cm），畫出圖形即可；（2）當(dāng)x＝d或x≥a時(shí)，三角形是唯一確定的．【詳解】（1）如圖，選取的BC的長(zhǎng)約為1.2cm，故答案是：1.2；（2）若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是x＝d或x≥a，故答案為：x=d或x≥a．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握“有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等”，屬于中考?？碱}型．題型6.利用三角形全等測(cè)距離1．（2020·全國七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）為了測(cè)量河兩岸相對(duì)點(diǎn)A、B的距離，小明先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使CD=BC，再作出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上（如圖所示），可以證明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此測(cè)得ED的長(zhǎng)度就是AB的長(zhǎng)，判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷，注意看題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據(jù)已知選擇判斷方法．【詳解】因?yàn)樽C明在△ABC≌△EDC用到的條件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，所以用到的是兩角及這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等即ASA這一方法．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時(shí)注意選擇．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．2．（2020·南昌市第一中學(xué)八年級(jí)期中）如圖1、2，小明為了測(cè)出塑料瓶直壁厚度，由于不便測(cè)出塑料瓶的內(nèi)徑，小明動(dòng)手制作一個(gè)簡(jiǎn)單的工具（如圖2，AC＝BD，O為AC、BD的中點(diǎn)）解決了測(cè)瓶的內(nèi)徑問題，測(cè)得瓶的外徑為a、圖2中的刀DC長(zhǎng)為b，瓶直壁厚度x＝_____（用含a，b的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】利用全等三角形的判定得出△DOC≌△BOA，從而有,進(jìn)而利用即可得出答案．【詳解】解：∵AC＝BD，O為AC、BD的中點(diǎn)，∴DO＝OB．OA＝CO，在△DOC和△BOA中，∴△DOC≌△BOA（SAS），∴AB＝DC＝b，∴解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·陜西九年級(jí)專題練習(xí)）在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望．為了炸掉這個(gè)碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離．在不能過河測(cè)量又沒有任何測(cè)量工具的情況下，如何測(cè)得距離？一位戰(zhàn)士的測(cè)量方法是：面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，保持剛才的姿勢(shì)，這時(shí)視線落在了自己所在岸的某一點(diǎn)上；接著，他用步測(cè)的辦法量出自己與那個(gè)點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是他與碉堡的距離．這是為什么呢？【答案】見解析【詳解】根據(jù)三角形全等的判定方法，得到一些相應(yīng)線段或角相等，在現(xiàn)實(shí)生活中有許多應(yīng)用的實(shí)例．解析：在本題中，根據(jù)題意可以知道，滿足了三個(gè)條件：（1）身體高度一定，（2）帽檐處的角度一定，（3）腳下的直角一定，故根據(jù)ASA判定方法，可以得到兩個(gè)三角形全全等，∴距離相等．理由是：在△AHB與中，∴點(diǎn)睛：本題主要考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，根據(jù)題意畫出示意圖，并熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4．（2020·廣東茂名市·七年級(jí)期末）如圖,為了測(cè)量出池塘兩端A,B之間的距離,在地面上找到一點(diǎn)C,連接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延長(zhǎng)線上確定點(diǎn)D,使CD=BC,那么只要測(cè)量出AD的長(zhǎng)度就得到了A,B兩點(diǎn)之間的距離.你能說明其中的道理嗎?【答案】證明見解析.【解析】根據(jù)SAS即可證明△ACB≌△ACD，由此即可解決問題．因?yàn)椤螦CB=90°,所以∠ACD=180°-∠ACB=90°.在△ABC和△ADC中,所以△ABC≌△ADC(SAS).所以AB=AD.5．（2021·陜西九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，小葉和小麗兩家分別位于A、B兩處隔河相望，要測(cè)得兩家之間的距離，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出測(cè)量方案．【答案】見解析【分析】本題的測(cè)量方案實(shí)際上是利用三角形全等的知識(shí)構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，是一個(gè)三角形在河岸的同一邊，通過測(cè)量這個(gè)三角形中與AB相等的線段的長(zhǎng)，從而得知兩家的距離．【詳解】解：在點(diǎn)B所在的河岸上取點(diǎn)C，連結(jié)BC，使CD=CB，利用測(cè)角儀器使得∠B=∠D，且A、C、E三點(diǎn)在同一直線上，測(cè)量出DE的長(zhǎng)，就是AB的長(zhǎng)．在△ABC和△ECD中∴△ABC≌△ECD（ASA）∴AB=DE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用；解答本題的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)三角形全等，巧妙地借助兩個(gè)三角形全等，尋找所求線段與已知線段之間的等量關(guān)系．6．（2021·全國七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，小明和小月兩家位于A，B兩處隔河相望，要測(cè)得兩家之間的距離，小明設(shè)計(jì)方案如下：①從點(diǎn)A出發(fā)沿河岸畫一條射線AM；②在射線AM上截取AF＝FE；③過點(diǎn)E作EC∥AB，使B，F(xiàn)，C在一條直線上；④CE的長(zhǎng)就是A，B間的距離．(1)請(qǐng)你說明小明設(shè)計(jì)的原理．(2)如果不借助測(cè)量?jī)x，小明的設(shè)計(jì)中哪一步難以實(shí)現(xiàn)？(3)你能設(shè)計(jì)出更好的方案嗎？【答案】(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；(2)③難以實(shí)現(xiàn)；(3)見解析(答案不唯一，只要設(shè)計(jì)合理即可)．【分析】（1）利用了證明全等三角形邊角邊的設(shè)計(jì)原理；（2）如果不借助測(cè)量?jī)x，小明和小月無法使得EC∥AB；

（3）還可以利用相似三角形原理即可，這樣所要的空間較少．【解析】（1）∵EC∥AB，∴∠CEF=∠BAF，

∵AF=FE，∠BFA=∠EFC，∴△BAF≌△CEF（ASA），

∴小明和小月運(yùn)用了全等三角形（邊角邊）原理；

（2）如果不借助測(cè)量?jī)x，小明和小月無法使得EC∥AB；

（3）還可以這樣設(shè)計(jì)：①從點(diǎn)A出發(fā)沿河畫一條射線AE；②在AE上截取AF=5FE；③過E作EC∥AB，使得B，F(xiàn)，C點(diǎn)在同一直線上；④則CE的5倍的長(zhǎng)就是AB之間的距離．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用，將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題相結(jié)合，能增加學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)積極性，鍛煉學(xué)生由實(shí)際問題抽象出幾何圖形的建模能力．題型7.全等三角形中的動(dòng)態(tài)問題1.（2020秋?濱湖區(qū)期中）如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝20cm，BC＝16cm，點(diǎn)E在邊AB上，AE＝6cm，如果點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點(diǎn)C向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上從點(diǎn)C到點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．則當(dāng)△BPE與△CQP全等時(shí)，時(shí)間t為s．【分析】由條件分兩種情況，當(dāng)△BPE≌△CQP時(shí)，則有BE＝PC，由條件可得到關(guān)于t的方程，當(dāng)△BPE≌△CPQ，則有BP＝PC，同樣可得出t的方程，可求出t的值．【解答】解：∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm，∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm，當(dāng)△BPE≌△CQP時(shí)，則有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1，當(dāng)△BPE≌△CPQ時(shí)，則有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，故答案為：1或4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，由條件分兩種情況得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．2．（2020·江蘇昆山初一期末）如圖，ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直線l經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相交．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q的速度分別為2cm/s和3cm/s，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)并開始計(jì)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束．在某時(shí)刻分別過點(diǎn)P和點(diǎn)Q作PE⊥l于點(diǎn)E，QF⊥l于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則當(dāng)t＝_____秒時(shí)，PEC與QFC全等．【答案】2或或6【分析】分點(diǎn)Q在BC上和點(diǎn)Q在AC上，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計(jì)算．【解析】解：由題意得，AP＝2t，BQ＝3t，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴CP＝6﹣2t，CQ＝8﹣3t，①如圖1，當(dāng)△PEC≌△CFQ時(shí)，則PC＝CQ，即6﹣2t＝8﹣3t，解得：t＝2，②如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q與P重合時(shí)，△PEC≌△QFC全等，則PC＝CQ，∴6﹣2t＝3t﹣8．解得：t＝，③如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q與A重合時(shí)，△PEC≌△CFQ，則PC=CQ，即2t-6=6，解得：t=6，綜上所述：當(dāng)t＝2秒或秒或6秒時(shí)，△PEC與△QFC全等，故答案為：2或或6．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．3.（2020·貴州銅仁初三月考）如圖，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，若使得△ACP與△BPQ全等，則x的值為_____．【答案】2或．【分析】“與”字型全等，需要分△ACP≌△BPQ和△ACP≌△BQP兩種情況討論，當(dāng)△ACP≌△BPQ時(shí)，P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，得值；當(dāng)△ACP≌△BQP時(shí)，由PA=PB，得出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，由AC=BQ得出值【解析】當(dāng)△ACP≌△BPQ，∴AP＝BQ，∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，∴P，Q的運(yùn)動(dòng)速度也相同，∴x＝2．當(dāng)△ACP≌△BQP時(shí)，AC＝BQ＝4，PA＝PB，∴t＝1.5，∴x＝＝故答案為2或．【點(diǎn)睛】本題要注意以下兩個(gè)方面：①“與”字全等需要分類討論；②熟練掌握全等時(shí)邊與邊，點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是分類的關(guān)鍵；③利用題干條件，清晰表達(dá)各邊長(zhǎng)度并且列好等量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算4.（2020春?廣饒縣期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為3cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）如圖（1），當(dāng)t＝時(shí)，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ≌△DEF，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【分析】（1）分兩種情況進(jìn)行解答，①當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在BA上時(shí)，分別畫出圖形，利用三角形的面積之間的關(guān)系，求出點(diǎn)P移動(dòng)的距離，從而求出時(shí)間即可；（2）由△APQ≌△DEF，可得對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為A與D，P與E，Q與F；于是分兩種情況進(jìn)行解答，①當(dāng)點(diǎn)P在AC上，AP＝4，AQ＝5，②當(dāng)點(diǎn)P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分別求出P移動(dòng)的距離和時(shí)間，進(jìn)而求出Q的移動(dòng)速度．【解答】解：（1）①當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，如圖①﹣1，若△APC的面積等于△ABC面積的一半；則CP=12BC=此時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為AC+CP＝12+9移動(dòng)的時(shí)間為：332÷3②當(dāng)點(diǎn)P在BA上時(shí)，如圖①﹣2若△APC的面積等于△ABC面積的一半；則PD=12BC，即點(diǎn)P為此時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為AC+CB+BP＝12+9+152移動(dòng)的時(shí)間為：572÷3故答案為：112或19（2）△APQ≌△DEF，即，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為A與D，P與E，Q與F；①當(dāng)點(diǎn)P在AC上，如圖②﹣1所示：此時(shí)，AP＝4，AQ＝5，∴點(diǎn)Q移動(dòng)的速度為5÷（4÷3）=154cm/②當(dāng)點(diǎn)P在AB上，如圖②﹣2所示：此時(shí)，AP＝4，AQ＝5，即，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為9+12+15﹣4＝32cm，點(diǎn)Q移動(dòng)的距離為9+12+15﹣5＝31cm，∴點(diǎn)Q移動(dòng)的速度為31÷（32÷3）=9332cm/綜上所述，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ≌△DEF，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速為154cm/s或9332cm/【點(diǎn)評(píng)】考查直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，畫出相應(yīng)圖形，求出各點(diǎn)移動(dòng)的距離是正確解答的關(guān)鍵．5．（2020·江蘇宿遷初二期末）如圖1，點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接AQ、CP交于點(diǎn)M．（1）求證：△ABQ≌△CAP；（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)．【答案】（1）全等，理由見解析；(2)點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠QMC不變，60°；（3）點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC不變，120°.【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；（2）由△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=60°；（3）由△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=120°．【解析】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ與△CAP中，∵，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠QMC不變．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠ACP＋∠MAC，∴∠QMC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC＝60°（3）解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC不變．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠BAQ＋∠APM，∴∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°?∠PAC＝180°?60°＝120°．【點(diǎn)晴】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì).6．（2020·山東廣饒初一期末）如圖（1），在ABC中，，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm.現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊ACCBBA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為3cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）如圖（1），當(dāng)t=______時(shí)，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，，DE=4cm,DF=5cm,．在△ABC的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著ABBCCA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻，恰好，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【答案】（1）t=或；（2）【分析】（1）先求出△ABC面積，進(jìn)而可求出△APC的面積，分P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC邊上時(shí)和P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB邊上時(shí)兩種情況分別討論即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可求出P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再利用速度=路程÷時(shí)間求解即可．【解析】（1）∵△APC的面積等于△ABC面積的一半當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC邊上時(shí)，此時(shí)即此時(shí)當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB邊上時(shí)，作PQ⊥AC于Q此時(shí)即∴此時(shí)P點(diǎn)在AB邊的中點(diǎn)，此時(shí)綜上所述，當(dāng)t=或時(shí)，△APC的面積等于△ABC面積的一半（2）∵，DE=4cm,DF=5cm,此時(shí)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為∵P,Q同時(shí)出發(fā)，所以Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也是∴Q運(yùn)動(dòng)的速度為【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)及三角形面積，掌握全等三角形的性質(zhì)及分情況討論是解題的關(guān)鍵．題型8.全等三角形綜合題1．（2021·湖南岳陽市·八年級(jí)期末）已知中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，下列說法正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①；②；③；④【答案】①②④【分析】根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)計(jì)算可得①；連接D，證明，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)判斷可得后面的結(jié)果；【詳解】，，，；故①正確；連接AD，

∵，，∴，又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，，即，又∵，∴，又∵，∴，在△BED和△AFD中，，∴，∴ED=FD；故②正確；∵，∴，則，故④正確；當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，很明顯此時(shí)EF=AC，F(xiàn)C=0，即；故③錯(cuò)誤；故答案為①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2021·浙江寧波市·八年級(jí)期末）如圖1，是等邊三角形，為上兩點(diǎn)，且，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連結(jié)．（1）如圖2，當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)，求證：．（2）如圖3，延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)G．①求證：．②求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，，當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)，可知點(diǎn)為等邊三角形邊的中點(diǎn)，由三線合一性質(zhì)，得，由此解得，最后根據(jù)等角對(duì)等邊解題即可；（2）①作交于H，連接，由平行線性質(zhì)解得，繼而證明是等邊三角形，從而得到，接著證明，最后由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)解題即可；②由①中全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，結(jié)合角的和差解題即可．【詳解】證明：（1）是等邊三角形，，，，，，，；（2）①如圖，作交于H，連接，，，，是等邊三角形，，，，，，，，；②【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．（2019·河北安平初二期末）如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，.（1）當(dāng)時(shí)，判斷的形狀，并說明理由；（2）求的度數(shù)；（3）請(qǐng)你探究：當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？【答案】（1）為直角三角形，理由見解析；（2）；（3）當(dāng)為或或時(shí)，為等腰三角形.【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可以得出和均為等邊三角形

，再根據(jù)求出，進(jìn)而可得為直角三角形；（2）因?yàn)檫M(jìn)而求得，根據(jù)，即可求出求的度數(shù)；（3）由條件可以表示出∠AOC=250°-a，就有∠AOD=190°-a，∠ADO=a-60°，當(dāng)∠DAO=∠DOA，∠AOD=ADO或∠OAD=∠ODA時(shí)分別求出a的值即可．【解析】解：（1）為直角三角形，理由如下：繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，和均為等邊三角形，，，，，為直角三角形；（2）由（1）知：，，，，；（3）∵∠AOB=110°，∠BOC=α∴∠AOC=250°-a．∵△OCD是等邊三角形，∴∠DOC=∠ODC=60°，∴∠ADO=a-60°，∠AOD=190°-a，當(dāng)∠DAO=∠DOA時(shí)，2（190°-a）+a-60°=180°，解得：a=140°當(dāng)∠AOD=ADO時(shí)，190°-a=a-60°，解得：a=125°，當(dāng)∠OAD=∠ODA時(shí)，190°-a+2（a-60°）=180°，解得：a=110°∴α=110°，α=140°，α=125°．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的判定，全等三