13.3.1 等腰三角形的性質（難點練）解析版

13.3.1等腰三角形的性質（難點練）一、單選題1．（2020·浙江嘉興·）如圖，已知為的高線，，以為底邊作等腰，且點E在內部，連接，，延長交于F點，下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】由AD為△ABC的高線，可得∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，Rt△ABE是等腰直角三角形，可得，從而可判斷①；由等腰可得結合，∠DAE=∠CBE，可判斷②；由△ADE≌△BCE，可得再證明∠BDE=∠AFE，結合，證明△AEF≌△BED，可判斷③；由△ADE≌△BCE，可得由△AEF≌△BED，證明從而可判斷④．【詳解】解：∵AD為△ABC的高線，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴，∴∠DAE=∠CBE，即，故①正確；∵Rt△ABE是以為底等腰直角三角形，∴AE=BE，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS）；故②正確；△ADE≌△BCE，∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（AAS），∴；故③正確；∵△ADE≌△BCE，∴△AEF≌△BED，∴∴故④正確；綜上：正確的有①②③④．故選：D．【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理，三角形的中線與高的性質，三角形全等的判定與性質，等腰直角三角形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．2．（2020·青縣第二中學八年級月考）如圖，△DAC和△EBC均為等邊三角形，A、C、B三點在同一直線上，AE、BD分別與CD、CE交于點M、N，有如下結論：①△ACE≌△DCB；②AC=DN；③AE=BD；④∠BOE=60°；其中正確結論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由等邊三角形的性質得到AC=CD，EC=BC，且∠ACD=∠ECB=60°，從而推出∠ACE=∠DCB，得到△ACE≌△DCB，可判斷①；從而得到AE=BD，∠AEC=∠DBC，可判斷③；再由三角形內角和可判斷④；再由三角形中大邊對大角進行分析可判斷②．【詳解】解：∵△DAC和△EBC都為等邊三角形，

∴∠ACD=∠ECB=60°，AC=CD，EC=BC，

∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，

在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），①正確；∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，③正確；∵∠ACD=∠ECB=60°，∠DNE=∠CNB，∴∠DCE=60°，∠BOE=∠BCE=60°，④正確；∵AC=DC，在△DNC中，DC所對的角為∠DNC=∠NCB+∠NBC=60°+∠NBC＞60°，而DN所對的角為∠DCB=60°，根據(jù)三角形中等邊對等角、大邊對大角，小邊對小角的規(guī)律，則DC＞DN，即是AC＞DN，所以②錯誤，故選C．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，三角形內角和，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．3．（2020·長沙市望城區(qū)郡維學校）如圖，OE是等邊的中線，，點C是直線OE上一動點，以AC為邊在直線AC下方作等邊，連接ED，下列說法正確的是（）A．ED的最小值是2 B．ED的最小值是1C．ED有最大值 D．ED沒有最大值也沒有最小值【答案】B【分析】如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的性質可得，從而可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得，然后根據(jù)等邊三角形的性質可得，從而可得點D的運動軌跡，最后根據(jù)垂線段最短、直角三角形的性質即可得．【詳解】如圖，連接BD，過點E作，交BD延長線于點F，和都是等邊三角形，，，，即，在和中，，，，OE是等邊的中線，，，即直線BD的位置是固定的，當點C在直線OE上運動時，點D在直線BD上運動，由垂線段最短得：當點D與點F重合時，ED取得最小值，最小值為EF，在中，，即ED的最小值為1，故選：B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、三角形全等的判定定理與性質、垂線段最短、直角三角形的性質等知識點，確定出點D的運動軌跡是解題關鍵．4．（2021·湖北咸安·）如圖，AO⊥OM，點B為射線OM上的一個動點，分別以OB，AB為直角邊，B為直角頂點，在OM兩側作等腰直角△OBF?等腰直角△ABE，連接EF交OM于P點，當點B在射線OM上移動時，PB的長度為（）A． B．3 C． D．不能確定【答案】A【分析】過點E作EN⊥BM，垂足為點N，首先證明△ABO≌△BEN，得到BO=NE；進而證明△BPF≌△NPE，即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點E作EN⊥BM，垂足為點N；

∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，

∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE，

∴∠BAO=∠NBE；

∵△ABE、△BFO均為等腰直角三角形，

∴AB=BE，BF=BO；

在△ABO與△BEN中，

，

∴△ABO≌△BEN（AAS），

∴BO=NE，BN=AO；∵BO=BF，

∴BF=NE；

在△BPF與△NPE中，

，

∴△BPF≌△NPE（AAS），

∴BP=NP=BN；而BN=AO，

∴BP=AO=×＝，為定值；

故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質及全等三角形的判定及其性質,解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形，靈活運用有關定理來分析、判斷或解答．5．（2020·宜興市實驗中學八年級期中）如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，點P是AC上的動點，連接BP，以BP為邊作等邊BPQ，連接CQ，則點P在運動過程中，線段CQ長度的最小值是（）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】如圖，取AB的中點E，連接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出當EP⊥AC時，QC的值最?。弧驹斀狻咳鐖D，取AB的中點E，連接CE，PE，則AE＝BE＝4．∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠CBE＝60°，∵BE＝AE，∴CE＝BE＝AE，∴△BCE是等邊三角形，∴BC＝BE，∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，∴∠QBC＝∠PBE，∵QB＝PB，CB＝EB，∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC＝PE，∴當EP⊥AC時，QC的值最小，在Rt△AEP中，∵AE＝4，∠A＝30°，∴PE＝AE＝2，∴CQ的最小值為2，故選：A．【點睛】本題旋轉的性質，考查全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形30度角的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題．6．（2020·四川省青神縣南城鎮(zhèn)初級中學校八年級期中）點B、C、E在一條直線上，△ABE與△ECD都是等邊三角形，其中的點及對應的字母如圖所示．①AC＝BD；②∠AHB＝60°；③EG＝FE；④△GEF是等邊三角形；⑤EH平分∠BHC，則正確的結論的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】證明△AEC≌△BED，得到AC=BD，∠EAC=∠EBD，可判斷①；結合∠AGH=∠BGE，可得∠AHB=∠AEB=60°，可判斷②；再證明△AEF≌△BEG，得到EG=EF，可判斷③；求出∠AED的度數(shù)，可得到△GEF是等邊三角形，可判斷④；分別過點E作BD和AC的垂線，垂足分別為M，N，根據(jù)△AEC和△BED面積相等可得EM=EN，最后根據(jù)角平分線的判定定理可判斷⑤．【詳解】解：∵△ABE和△ECD是等邊三角形，∴AE=BE，ED=EC，∠AEB=∠CED=60°，∴∠AEB+∠AED=∠CED+∠AED，即∠AEC=∠BED，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC=BD，∠EAC=∠EBD，①正確；又∵∠AGH=∠BGE，∴∠AHB=∠AEB=60°，②正確；∵∠AEB=∠DEC=60°，∴∠AED=60°，∵∠EAC=∠EBD，AE=BE，∴△AEF≌△BEG（ASA），∴EG=EF，③正確；∵∠AED=60°，∴△GEF是等邊三角形，④正確；分別過點E作BD和AC的垂線，垂足分別為M，N，∵△AEC≌△BED，∴S△AEC=S△BED，又AC=BD，∴EM=EN，∴EH平分∠BHC，⑤正確；故選D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定與性質，角平分線的判定，面積法，熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．7．（2020·宿遷市鐘吾初級中學八年級期中）如圖，等邊△ABC中，AB=2，D為△ABC內一點，且DA=DB，E為△ABC外一點，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，連接DE，CE，則下列結論：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，則S△EBC=1，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】連接，DE，證得出①；再證，得出；其它兩個條件運用假設成立推出答案即可．【詳解】連接，DE，是等邊三角形，，，，，在與中，，，，∠DAC=∠DBC，，，，，在與中，，，．故①③正確．，，，，，∴∠EBC=2∠ACE，，，，在中三角和為，即∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，，，這時是邊上的中垂線，故結論②錯誤．邊上的高，，故結論④是正確的．故選C．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的對應角相等，對應邊相等．8．（2021·河南省淮濱縣第一中學）如圖，，平分，．若P到OA的距離為．若點，分別在射線，上，且△是邊長為整數(shù)的等邊三角形，則滿足上述條件的點有（參考數(shù)據(jù)：（）A．4個以上 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【分析】在OB上截取OK=OP，連接PK，先證出△OPK為等邊三角形，從而得出OK=PK=OP=10，∠OPK=∠PKN=60°，當∠MPN=60°時，證出△PMN為等邊三角形，然后求出PM的最大值和最小值，即可求出PM的整數(shù)值，從而得出結論．【詳解】解：在OB上截取OK=OP，連接PK，∵，平分，∴∠AOP=∠BOP=∴△OPK為等邊三角形∴OK=PK=OP=10，∠OPK=∠PKN=60°先證∠MPN=60°時，△PMN為等邊三角形，如下∴∠MPO=∠NPK，∵∠MOP=∠NKP=60°，OP=KP∴△MOP≌△NKP∴PM=PN∴△PMN為等邊三角形，∵點，分別在射線，上∴PM的最大值為OP（此時點M與點O重合，點N與點K重合）；∵若P到OA的距離為．∴PM的最小值為∴≤PM≤10∵△是邊長為整數(shù)，即PM為整數(shù)∴PM=9或10若PM=9，以P為圓心，以9為半徑，交OA于M1、M2，此時滿足上述條件的點有兩個；若PM=10，以P為圓心，以10為半徑，交OA于M3、M4，此時滿足上述條件的點有兩個；綜上：滿足上述條件的點有4個．故選B．【點睛】此題考查的是等邊三角形的判定及性質、全等三角形的判定及性質和垂線段最短的應用，掌握等邊三角形的判定及性質、全等三角形的判定及性質和垂線段最短是解題關鍵．9．（2020·浙江八年級單元測試）如圖，已知中，，，，若把繞點A逆時針旋轉一個角度，使它與原的重疊部分為等腰三角形．則為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】由∠BAC=90°，AB=AC可判斷△ABC為等腰直角三角形，則∠ABC=∠ACB=45°，再由BD∥AC得∠ABD=∠BAC=90°，則利用互余可計算出∠BAD=60°，由于把△ABD繞點A逆時針旋轉一個角度α（0＜α＜90°），使它與原△ABC的重疊部分為等腰三角形，而等腰三角形的腰不能確定，所以分類討論：當AE=AF時，如圖1，根據(jù)旋轉的性質得∠BAB′=α，∠B′AD=60°，可判斷△AEF為等邊三角形，得到∠1=∠2=60°，則可根據(jù)三角形外角性質可計算出∠BAB′=∠1-∠ABC=15°，即α=15°；當AFA=FC時，如圖2，∠BAB′=α，根據(jù)等腰三角形的性質得∠ACB=∠FAC=45°，所以∠BAB′=45°，即α=45°，由此得到α的值為15°或45°．【詳解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵BD∥AC，∴∠ABD=∠BAC=90°，∵∠D=30°，∴∠BAD=60°，把△ABD繞點A逆時針旋轉一個角度α（0＜α＜90°），使它與原△ABC的重疊部分為等腰三角形，當AE=AF時，如圖1，則∠BAB′=α，∠B′AD=60°，∴△AEF為等邊三角形，∴∠1=∠2=60°，而∠1=∠B+∠BAB′，∴∠BAB′=60°-45°=15°，即α=15°；當AF=FC時，如圖2，則∠BAB′=α，∵∠ACB=45°，∴∠FAC=45°，∴∠BAB′=90°-45°=45°，即α=45°；綜上所述，α的值為15°或45°．故選：C．【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質．10．（2021·宜興市實驗中學八年級月考）如圖，在中，是邊上的高，，，．連接，交的延長線于點，連接，．則下列結論：①；②；③；④，其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】證得△CAF≌△GAB（SAS），從而推得①正確；利用△CAF≌△GAB及三角形內角和與對頂角，可判斷②正確；證明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，則FM=NG，證明△FME≌△GNE（AAS）．可得出結論④，③正確．【詳解】解：∵∠BAF=∠CAG=90°，∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，又∵AB=AF，AC=AG，∴△CAF≌△GAB（SAS），∴BG=CF，故①正確；∵△FAC≌△BAG，∴∠FCA=∠BGA，又∵BG與AC所交的對頂角相等，∴BG與FC所交角等于∠GAC，即等于90°，∴BG⊥CF，故②正確；過點F作FM⊥AE于點M，過點G作GN⊥AE交AE的延長線于點N，∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，∴∠BAD=∠AFM，又∵AF=AB，∴△AFM≌△BAD（AAS），∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，同理△ANG≌△CDA，∴NG=AD，∴FM=NG，∵FM⊥AE，NG⊥AE，∴∠FME=∠ENG=90°，∵∠AEF=∠NEG，∴△FME≌△GNE（AAS）．∴EF=EG．故④正確．故③正確故選：D．【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質及等腰三角形的三線合一性質與互余、對頂角，三角形內角和等幾何基礎知識．熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．二、填空題11．（2020·四川成都·）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝，點P是AC上的動點，連接BP，以BP為邊作等邊△BPQ，連接CQ，則點P在運動過程中，線段CQ長度的最小值是_____．【答案】【分析】如圖，取AB的中點E，連接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出當EP⊥AC時，QC的值最??；【詳解】解：如圖,取AB的中點E,連接CE,PE．∵∠ACB＝90°,∠A＝30°,∴∠CBE＝60°,∵BE＝AE,∴CE＝BE＝AE,∴△BCE是等邊三角形,∴BC＝BE,∵∠PBQ＝∠CBE＝60°,∴∠QBC＝∠PBE,∵QB＝PB,CB＝EB,∴△QBC≌△PBE（SAS）,∴QC＝PE,∴當EP⊥AC時,QC的值最小,在Rt△AEP中,∵AE＝,∠A＝30°,∴PE＝AE＝,∴CQ的最小值為．【點睛】本題旋轉的性質，考查全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形30度角的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題．12．（2021·廣西玉州·八年級期末）如圖，中，，，為線段上一動點（不與點，重合），連接，作，交線段于．以下四個結論：①；②當為中點時，；③當為等腰三角形時，；④當時，．其中正確的結論是______（把你認為正確結論的序號都填上），【答案】①②④【分析】根據(jù)等腰三角形的性質得到∠B=∠C=40°，根據(jù)三角形的內角和定理與平角的定義即可得到∠BAD=∠CDE；故①正確；根據(jù)等腰三角形的性質得到AD⊥BC，根據(jù)三角形的內角和定理可得到DE⊥AC，故②正確；③根據(jù)三角形外角的性質得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，可得所以△ADE為等腰三角形，分兩種情況討論：當AE=DE時，當時，再分別求解或故③錯誤；證明△ABD≌△DCE，根據(jù)全等三角形的性質得到BD=CE；故④正確；【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∴∴∠BAD=∠CDE；故①正確；∵D為BC中點，AB=AC，如圖，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=50°，∵∠C=40°，∴∠DEC=90°，∴DE⊥AC，故②正確；∵∠C=40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，所以△ADE為等腰三角形，分兩種情況討論：當AE=DE時，∴∠DAE=∠ADE=40°，∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，∴∠BAD=60°，當時，所以當△ADE為等腰三角形，或故③錯誤，∵∠BAD=30°，∴∠CDE=30°，∴∠ADC=70°，∴∠CAD=180°-70°-40°=70°，∴∠DAC=∠ADC，∴CD=AC，∵AB=AC，∴CD=AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD=CE；故④正確；故答案為：①②④．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的內角和定理，掌握以上知識是解題的關鍵．13．（2021·全國）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，點D為AB邊上一點且不與A、B重合，將△ACD沿CD翻折得到△ECD，直線CE與直線AB相交于點F．若∠A＝40°，當△DEF為等腰三角形時，∠ACD＝__________________．【答案】30°或15°或60°【分析】若△DEF為等腰三角形，分EF=DF，ED=EF，DE=EF三種情況，利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理分別求解．【詳解】解：由翻折的性質可知∠E=∠A=α，∠CDE=∠ADC，如圖1，當EF=DF時，則∠EDF=∠E=α，∵∠EDF=∠CDE-∠CDB，∠CDB=∠A+∠ACD，∴α=∠ADC-（∠A+∠ACD）=180°-2（∠A+∠ACD）=180°-2（α+∠ACD），∴∠ACD=90°-×40°=30°，∴當∠ACD=30°時，△DEF為等腰三角形，當ED=EF時，∠EDF=∠EFD==70°，∴2∠ADC=180°+∠EDF=250°，∴∠ADC=125°，∴∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-∠A-125°=15°，∵∠DFE=∠A+∠ACF，∴∠DFE≠∠DEF，如圖2，當DE=EF時，∠EDF=∠EFD=∠A=20°；∴∠ACF=180°-∠A-∠EFD=120°，∴∠ACD=∠ACF=60°；綜上：當∠ACD=30°或15°或60°時，△DEF為等腰三角形，故答案為：30°或15°或60°．【點睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的性質、三角形外角的性質以及三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握三角形外角的性質以及三角形內角和定理．14．（2020·杭州江南實驗學校八年級開學考試）如圖，在一張直角三角形紙片中，，，，是邊上的一動點，將沿著折疊至，當與的重疊部分為等腰三角形時，則的度數(shù)為______．【答案】80°或140°【分析】先求出∠A=30°，再分兩種情形，畫出圖形分別求解即可．【詳解】在中，，，∴∴∴∠A=30°當PC=CE時，如圖1所示：

設∠ACP=x，則∠A1CP=x，

∵CP=CE，

∴∠CPE=∠CEP，

∵∠CPE=∠ACP+∠A=x+30°，

∴x+x+30°+x+30°=180°，

∴x=40°；∴

當CP=CE時，如圖2所示：

設∠ACP=x．

則∠CPE=∠CEP=2x-90°+30°=2x-60°，

在△CPE中，90°-x+2（2x-60°）=180°，

解得：x=70°，∴

當PE=PC時，此時設∠ACP=x．

則∠PCE=90-x∠CEP=2x-90°+30°=2x-60°，∵PE=PC

∴∠PCE=∠CEP90-x=2x-60°解得x=50°此時∠CPE=180-∠PCE-∠CEP=80°而∠CPB=∠ACP+∠A=80°∴點E應該在AB延長線上不符合題意綜上所述，的度數(shù)為80°或140°，

故答案為：80°或140°．【點睛】本題考查了折疊的性質、等腰三角形的判定和性質等知識；解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題．15．（2021·天津南開翔宇學校八年級月考）在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A在x軸上，點A的坐標為（4，0），∠AOB=30°，點E的坐標為（1，0），點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PE的最小值為_____．【答案】【分析】作A關于OB的對稱點D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，求出AM和AD，再求出DN、EN，根據(jù)勾股定理求出ED，即可得出答案．【詳解】作A關于OB的對稱點D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PE=PD+PE=ED，∵點A的坐標為（4，0），∠AOB=30°，∴OA=4，∴AM=OA=2，∴AD=2×2=4，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠DNO=∠OAB=90°，∴DN∥AB，∴∠NDA=∠BAM=30°，∴AN=AD=2，由勾股定理得：DN===2，∵E（1，0），∴EN=4﹣1﹣2=1，在Rt△DNE中，由勾股定理得：DE===，即PA+PC的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，坐標與圖形性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理的應用，熟練掌握最短路徑的確定方法找出點P的位置以及表示PA+PE的最小值的線段是解題的關鍵．16．（2020·重慶市渝北中學校八年級月考）已知：，，，，則的度數(shù)為______．【答案】39°【分析】作點D關于AB的對稱點E，連接AE、BE，如圖，根據(jù)軸對稱的性質可得AE=AD，BE=BD，∠BAE=∠BAD=30°，進而可得△ADE是等邊三角形，于是得AD=DE，∠ADE=60°，進一步即可根據(jù)SSS證明△DBE≌△DBC，從而得∠EDB=∠CDB，設∠ACD=x，則根據(jù)等腰三角形的性質可得∠BDC=∠BCD=x+18°，然后在△ADC中根據(jù)三角形的內角和可得關于x的方程，求出x后進一步即可求出答案．【詳解】解：作點D關于AB的對稱點E，連接AE、BE，如圖，則AE=AD，BE=BD，∠BAE=∠BAD=30°，∴∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD=DE，∠ADE=60°，∵，，∴DE=DC，BE=BC，又∵DB=DB，∴△DBE≌△DBC（SSS），∴∠EDB=∠CDB，設∠ACD=x，∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD=x，∴∠BCD=x+18°，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=x+18°=∠EDB，∴∠ADC=60°+2∠BDC=60°+2（x+18°）=2x+96°，在△ADC中，∵∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，∴x+x+2x+96°=180°，解得：x=21°，∴∠BDC=21°+18°=39°；故答案為：39°．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、軸對稱的性質、全等三角形的判定和性質以及三角形的內角和定理等知識，考查的知識點多、綜合性強、難度較大，屬于試卷壓軸題，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識是解題的關鍵．17．（2021·全國八年級單元測試）如圖，與中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．給出下列結論：①∠AFC=∠C；②DF=CF；③FA是∠DFC的平分線；④∠BFD=∠CAF．其中正確的結論是：____（填寫所有正確結論的序號）．【答案】①③④【分析】①先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得，再根據(jù)等腰三角形的性質即可得；②先根據(jù)三角形全等的性質可得，從而可得，然后假設，根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得，由此可得假設不成立；③由②已證，根據(jù)角平分線的定義即可得；④先根據(jù)三角形的外角性質可得，再根據(jù)角的和差可得，由此即可得．【詳解】在和中，，，，，則結論①正確；，是的平分線，則結論③正確；由三角形的外角性質得：，又，，則結論④正確；假設，在和中，，，，即AF是的角平分線，AF不一定是的角平分線，假設不一定成立，則結論②錯誤；綜上，正確的結論是①③④，故答案為：①③④．【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質、等腰三角形的性質、三角形的外角性質、角平分線的定義等知識點，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質是解題關鍵．18．（2021·安徽太和·）如圖，已知，點P是射線上一動點（P不與B重合），當______時，以A、O、B中的其中兩點和P點為頂點的三角形是等腰三角形．【答案】或或【分析】根據(jù)三角形的定義分以點為頂點的等腰三角形和以點為頂點的等腰三角形兩種情況，再分別根據(jù)等腰三角形與等邊三角形的判定、三角形的內角和定理即可得．【詳解】，，由題意，分以下兩種情況：（1）以點為頂點的等腰三角形，①當時，是等腰三角形，則，點P是射線上一動點，此時點P與點B重合，不符題意，舍去；②當時，是等腰三角形，則；③當時，是等腰三角形，則；（2）以點為頂點的等腰三角形，，當是等腰三角形時，一定是等邊三角形，，；綜上，符合條件的的度數(shù)為或或，故答案為：或或．【點睛】本題考查了等腰三角形與等邊三角形的判定、三角形的內角和定理，依據(jù)題意，正確分情況討論是解題關鍵．19．（2021·全國八年級專題練習）如圖，設（）．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線，上．從點開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中為第一根小棒，且，若只能擺放4根小棒，則的范圍為________．【答案】18°≤θ＜22.5°．【分析】根據(jù)等邊對等角可得∠BAC=∠AA2A1，∠A2A1A3=∠A2A3A1，∠A3A2A4=∠A3A4A2，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得θ1=2θ，θ2=3θ，θ3=4θ，求出第三根小木棒構成的三角形，然后根據(jù)三角形的內角和定理和外角性質列出不等式組求解即可．【詳解】解：如圖，∵小木棒長度都相等，∴∠BAC=∠AA2A1，∠A2A1A3=∠A2A3A1，∠A3A2A4=∠A3A4A2，由三角形外角性質得，θ1=2θ，θ2=3θ，θ3=4θ；∵只能擺放4根小木棒，∴，解得18°≤θ＜22.5°．故答案為：18°≤θ＜22.5°．【點睛】本題考查了等腰三角形等邊對等角的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，三角形的內角和定理，也考查了一元一次不等式組的應用，列出不等式組是解題的關鍵．20．（2020·武漢市二橋中學八年級月考）在中，，，，點D是直線BC上一動點，連接AD，在直線AD的右惻作等邊，連接CE，當線段CE的長度最小時，則線段CD的長度為__________．【答案】3【分析】以AC為邊向左作等邊三角形ACF，連接DF，先根據(jù)直角三角形中所對的直角邊是斜邊的一半求出BC的長，再由勾股定理求出AC的長，根據(jù)作的輔助線證明，則，當時，DF的長是最小的，即CE的長最小，求出此時的長即可．【詳解】解：如圖，以AC為邊向左作等邊三角形ACF，連接DF，∵，，∴，∵，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，當時，DF的長是最小的，即CE的長最小，∵，，∴，，∴當線段CE的長度最小時，則線段CD的長度為3．故答案是：3．【點睛】本題考查線段最值問題，解題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，以及掌握有角的特殊直角三角形的性質和等邊三角形的性質．三、解答題21．（2021·吉林德惠·八年級期末）如圖，是等邊三角形，．動點分別從點同時出發(fā)，動點以的速度沿向終點運動．動點以的速度沿射線運動．當點停止運動時，點也隨之停止運動．點出發(fā)后，過點作交于點，連結，以為邊作等邊三角形，連結，設點的運動時間為用含的代數(shù)式表示的長．求的周長(用含的代數(shù)式表示)．求的長(用含的代數(shù)式表示)．當?shù)倪吪c垂直時，直接寫出的值．【答案】（1）當時，；當時，；（2）；（3）；（4）的值為或．【分析】（1）由等邊三角形的性質，得到BC=AC=AB=4，然后分點Q在點C的左邊和點C的右邊進行分析，即可求出CQ的長度；（2）由，則∠PEC=∠B=60°，∠EPC=∠A=60°，則△PCE是等邊三角形，然后結合PC的長度，即可求出周長；（3）由題意，，，結合∠EPC=∠QPF=60°，證明△PEQ≌△PCF，則CF=EQ，即可求出答案；（4）根據(jù)題意，由的邊與垂直時，可分為兩種情況分析：①當PQ⊥BC時；②當FQ⊥BC時；分別求出t的值，即可得到答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，∵是等邊三角形，∴，∵動點以的速度沿向終點運動，∴時間的最大值為：（秒），∴；∵動點以的速度沿射線運動，∴，當時，；當時，；（2）∵，是等邊三角形，∴∠PEC=∠B=60°，∠EPC=∠A=60°，∵∠ACB=60°，∴△PCE是等邊三角形，∴PC=PE=CE，∵，∴△PCE的周長為：；（3）如圖：∵是等邊三角形，∴，∠QPF=60°，∵△PCE是等邊三角形，∴PC=PE，∠EPC=∠QPF=60°，∴△PEQ≌△PCF，∴CF=EQ，∵，∵，，∴；（4）根據(jù)題意，①當PQ⊥BC時，如圖：∵△PCE是等邊三角形，∴PQ是高，也是中線，∴，∵，∴，解得：；②當FQ⊥BC時，如圖：∵∠FQC=90°，∠FQP=60°，∴∠PQE=30°，∵∠PCE=60°，∴∠CPQ=30°=∠PQE，∴PC=CQ，∵，，∴，解得：；綜合上述，當?shù)倪吪c垂直時，的值為或．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解一元一次方程等知識，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，注意運用分類討論的思想進行解題．22．（2021·山東夏津·）已知和都是等腰直角三角形，點是直線上的一動點（點不與，重合），連接．（1）在圖中，當點在邊上時，求證：；（2）在圖中，當點在邊的延長線上時，結論是否還成立？若不成立，請猜想，，之間存在的數(shù)量關系，并說明理由；（3）在圖中，當點在邊的反向延長線上時，不需寫證明過程，直接寫出，，之間存在的數(shù)量關系及直線與直線的位置關系．【答案】（1）見解析；（2）結論不成立，猜想，理由見解析；（3）；；理由見解析．【分析】（1）只要證明△ABD≌△ACE（SAS），可得BD=CE，即可推出BC=BD+CD=EC+CD；

（2）不成立，存在的數(shù)量關系為．利用全等三角形的性質即可證明；

（3）結論：；．同（1）一樣證明△ABD≌△ACE（SAS）即可．【詳解】（1）證明：和都是等腰直角三角形，，（2）結論不成立，猜想，理由如下：又，（3）；；理由如下：補全圖形如圖3，∵是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴∠ABD=135°，由（1）同理可得，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=135°，∴BC=CD-BD=CD-CE，∠BCE=90°，∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質的運用及等腰三角形的性質，解決問題的關鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．23．（2021·云南峨山·）如圖①，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結BE．（1）當點D在線段AM上時（如圖①），則ADBE（填“＞”“＜”或“=”），∠CAM=度；（2）當點D在線段AM的延長線上時（如圖②），直線BE與直線AM的交點為O，求∠AOB的度數(shù)；（3）當動點D在線段AM的反向延長線上時，直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB的度數(shù)是否發(fā)生變化？若變化，請求出∠AOB的度數(shù)，若不變，請說明理由．【答案】（1）=；30；（2）60°；（3）不變，見解析【分析】（1）根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC，則AD=BE；根據(jù)等邊三角形的性質可以直接得出∠CAM的度數(shù)；（2）根據(jù)等邊三角形的性質就可以得出AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質就可以∠BCE=∠ACD，根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC，進而得到∠AOB的度數(shù)；（3）當點D在線段MA的延長線上時，如圖3，通過得出△ACD≌△BCE就可以得出結論．【詳解】（1）∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．在△ADC和△BEC中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°．∵線段AM為BC邊上的中線，∴∠CAM=∠BAC，∴∠CAM=30°，故答案為：=，30；（2）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACD=∠ACB+∠DCB，∠BCE=∠DCE+∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠BMO，∴∠AOB=∠ACB=60°；（3）不變，理由如下：∵點D在線段MA的延長線上，且△ABC與△DEC都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠CAD，同理可得：∠CAM=30°，∴∠CBE=∠CAD=150°，∴∠CBO=30°，∠BAM=30°，∴∠BOA=90°-30°=60°．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質的運用，等腰三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．24．（2021·全國）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片和重合放置，其中，．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定，使繞點旋轉，當點恰好落在邊上時．填空：①線段與的位置關系是________；②設的面積為，的面積為，則與的數(shù)量關系是________．（2）猜想論證：當繞點旋轉到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中與的數(shù)量關系仍然成立，并嘗試分別作出了和中、邊上的高，請你證明小明的猜想．【答案】（1）①DE∥AC；②S1=S2；（2）見解析【分析】（1）①根據(jù)旋轉的性質可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質可得∠ACD=60°，然后根據(jù)內錯角相等，兩直線平行解答；②根據(jù)等邊三角形的性質可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；（2）根據(jù)旋轉的性質可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．【詳解】解：（1）①DE∥AC，理由如下：∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根據(jù)等邊三角形的性質，△ACD的邊AC、AD上的高相等，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2；故答案為：DE∥AC；S1=S2；（2）如圖3，∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關鍵．25．（2020·浙江）已知，點P為其內部一點，連結，在中，如果存在一個三角形，其內角與的三個內角分別相等，那么就稱點P為的等角點．（1）判斷以下兩個命題是否為真命題，若為真命題，則在相應橫線內寫“真命題”反之，則寫“假命題”．①內角分別為的三角形存在等角點；_________命題；②任意的三角形都存在等角點；___________命題；（2）如圖①，點P是的等角點，若，探究圖①中之間的數(shù)量關系，并說明理由．（3）如圖②，在中，，若的三個內角的角平分線的交點P是該三角形的等角點，直接寫出三個內角的度數(shù)．【答案】（1）①真；②假；（2）∠BPC=∠ABC+∠ACP；（3），，【分析】（1）①②根據(jù)等角點的定義，可知內角分別為、、的三角形存在等角點，而等邊三角形不存在等角點，據(jù)此判斷即可；（2）根據(jù)中，以及進行推導，即可得出、、之間的數(shù)量關系；（3）先連接，，再根據(jù)的三個內角的角平分線的交點是該三角形的等角點，以及三角形內角和為，得出關于的方程，求得的度數(shù)即得出可三角形三個內角的度數(shù)．【詳解】解：（1）①內角分別為、、的三角形存在等角點是真命題；②任意的三角形都存在等角點是假命題，如等邊三角形不存在等角點；故答案為：真命題，假命題；（2）如圖①，在中，，，；（3）如圖②，連接，為的角平分線的交點，，，為的等角點，，，，又，，，該三角形三個內角的度數(shù)分別為，，．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理的應用，解決問題的關鍵是理清等角點的定義，根據(jù)等角點的定義以及三角形的內角和為，得出角的關系式并進行求解．26．（2019·浙江八年級期中）如圖①，點分別是等邊邊上的動點（端點除外），點P從點A、點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連續(xù)交于點M．（1）求證：；（2）點分別在邊上運動時，變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．（3）如圖②，若點在運動到終點后繼續(xù)在射線上運動，直線交點為M，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）120°【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質，利用證明即可；（2）先判定，根據(jù)全等三角形的性質可得，從而得到；（3）先判定，根據(jù)全等三角形的性質可得，從而得到．【詳解】解：（1）證明：如圖1，是等邊三角形，，，又點、運動速度相同，，在與中，，；（2）點、在、邊上運動的過程中，不變．理由：，，是的外角，，，；（3）如圖，點、在運動到終點后繼續(xù)在射線、上運動時，不變．理由：同理可得，，，是的外角，，，即若點、在運動到終點后繼續(xù)在射線、上運動，的度數(shù)為．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質等知識的綜合應用．解決問題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法：兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．解題時注意運用全等三角形的對應邊相等，對應角相等的性質．27．（2021·山東濱州·八年級月考）如圖，在等邊中，厘米，厘米，如果點以厘米/秒的速度運動．（1）如果點線段上由點向點運動，點在線段上由點向點運動．它們同時出發(fā)，若點的運動速度與點的運動速度相等．經(jīng)過秒后，和是否全等？請說明理由；（2）在（1）的條件下，當兩點的運動時間為多少時，是一個直角三角形？（3）若點的運動速度與點的運動速度不相等，點從點出發(fā)，點以原來的運動速度從點同時出發(fā)，都順時針沿三邊運動，經(jīng)過秒點與點第一次相遇，則點的運動速度是多少厘米/秒．【答案】（1）△BMN≌△CDM，理由見解析；（2）t秒或t秒；（3）3.8厘米/秒或2.6厘米/秒【分析】（1）根據(jù)M和N同時出發(fā)，若點的運動速度與點的運動速度相等得CM=BN=6cm，所以BM=4cm=CD．根據(jù)“SAS”證明△BMN≌△CDM；

（2）設運動時間為t秒，分別表示CM和BN．分兩種情況，運用特殊三角形的性質求解：①∠NMB=90°；②∠BNM=90°；

（3）點M與點N第一次相遇，有兩種可能：①點M運動速度快；②點N運動速度快．分別列方程求解．【詳解】解：（1）△BMN≌△CDM．理由如下：

∵VN=VM=3厘米/秒，且t=2秒，

∴CM=2×3=6（cm）

BN=2×3=6（cm）

BM=BC-CM=10-6=4（cm）

∴BN=CM

∵CD=4（cm）

∴BM=CD

∵∠B=∠C=60°，

∴△BMN≌△CDM．（SAS）（2）設運動時間為t秒，△BMN是直角三角形有兩種情況：

①當∠NMB=90°時，

∵∠B=60°，

∴∠BNM=90°-∠B=90°-60°=30°．

∴BN=2BM，

∴3t=2×（10-3t）

∴t（秒）；

②當∠BNM=90°時，

∵∠B=60°，

∴∠BMN=90°-∠B=90°-60°=30°．

∴BM=2BN，

∴10-3t=2×3t∴t（秒）．

∴當t秒或t秒時，△BMN是直角三角形；（3）分兩種情況討論：

①若點M運動速度快，則3×25-10=25VN，解得VN=2.6；

②若點N運