2024新高考數學基礎知識梳理與練習：圓錐曲線

1、橢圓

。溫馨提示

1.橢圓標準方程的形式是:左邊是“平方"+"平方”,右邊是1.

2.橢圓的標準方程中,必與y2對應的分母哪一個大,則焦點在哪一個軸上,簡記為

“焦點位置看大小,焦點隨著大的跑”.

3.方程《+《=l(a>b>0)與我

+卷=l(a>b>0)表示的橢圓大小、形狀都相同,只是焦點的位置不同(圖形位置

不同).

4.只有以橢圓的中心為原點,焦點所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系這樣得

到的橢圓方程才是橢圓的標準方程.

當4=B時,該方程為圓的方程。

模塊十五：圓雉曲線

橢圓的定義

L橢圓的定義

我們把平面內與兩個定點的距離的和等于常數(大+的點的軌跡叫做

F1,F2|F2F2|)

橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.焦距的一半稱

為半焦距.2.橢圓定義的集合描述

設點M是橢圓上的任意一點，點F1,F2是橢圓的焦點，則由橢圓的定義知，橢圓可以視

為動點M的集合P={M|為匕|+IMF2I=常數常數>IF/2I>。}.

2橢圓的方程

L橢圓的標準方程

定義\PF1\+\PF2\=2a(2a>\F1F2\>0)

圖形

標準方程x2y2y2x2

-2H—2—1(a>b-oH—T—1(a>b

crb"erb"

>0)>0)

隹占

八、、八、、匕(一G0),F2(G0)匕(0,—c),&(0,c)

a,b,c的關a2—b2=c2

系

2.橢圓的一般方程

當ABCH0時，方程4/+曠=?？梢宰冃螢椋?卷=1,由此

AB

可以看出方程4/+By2=C表示橢圓的充要條件是ABCH0,且A,B,C同

號,4HB,此時稱方程A/+By2=C為橢圓的一般方程.求橢圓方程時可以將方程

設為4/+By?=1(4>0/>0,4HB)，這樣可以避免對焦點位置的討論.無法確定

橢圓的焦點位置時，可3.共焦點的橢圓系方程考慮這種形式。

1)與橢圓/+/=l(a>b>0)有公共焦點的橢圓方程為壬+

y2

,+2=l(a>b>0,丸>一/)；

?橢圓的范圍

1.從橢圓的方程或圖形中可以直接看出它的范圍.

2.在處理橢圓的一些參數問題或最值問題時要注意居y的取值范圍.

?知識拓展

若巳,尸2是橢圓的焦點,p是橢圓上與F1,F2不共線的一點，在△巳PF2中，設IPF/

=r1,\PF2\=r2,^PF1F2=a,Z-PF2F1=0,貝Ue=::黑.

。名師點睛

1.圓和橢圓是兩種不同的曲線，圓不是橢圓的特殊情況.

2.橢圓的扁平程度僅由離心率e的大小確定，與橢圓的焦點位置無關.2)與橢圓《+

*=l(a>b>0)有公共焦點的橢圓方程為痣+/=Ka>b>0,無>-X).見到

“離心率相同的橢圓”時注意4.相同離心率而儲圓箕方程討論焦點在x軸還是y軸.

與橢圓捺+5=1S>b>0)有相同離心率的橢圓方程為捺+3=玲3>0，焦點在

%軸上)或^+卷=卜2也2>0,焦點在y軸上).

3橢圓的幾何性質

標準方程%2y222

―2H—2—1(a>b-2H——1(a>b

crb’erb’

>0)>0)

范圍\x\<a,\y\<b\x\<b,\y\<a

對稱性關于％軸、y軸對稱，關于原點中心對稱

頂點坐標(土a,0),(0,±b)(±b,0),(0，士a)

半軸長長半軸長為a,短半軸長為b,a>b

離心率e=-

a

橢圓的離心率

1.橢圓的焦距與長軸長的比￡叫做橢圓的離心率，用e表示，即e

a

C

=1

2.離心率的取值范圍

3.離心率對橢圓形狀的影響：

1)e越接近1,c就越接近a，從而b就越小,橢圓就越扁.

2)e越接近0,c就越接近0,從而b就越接近a，橢圓就越圓.

4.e與a,b的關系：e=￡=

a7卜必

解析要使橢圓C上存在點P，使/-F1PF2=120。,只需點P在橢圓C的短軸的端點處

時,滿足^F1PF2>120°.

根據橢圓的對稱性，

在Rt△POF2中,乙OPF2>60°.

則tanzOPF2=粽^2V5,即短，5，則c>43b，所以c2>3(a2-c2)，即4c2>3a2,

所以橢圓的離心率.又0<e<l,所以橢圓C的離心率的取值范圍是

a2

即，

。溫馨提示

\X1-x2\=J(町+%2)2-4X1X2,

M—及1=J(乃+丫2)？-4yly2-

。焦點三角形圖形

橢圓的通徑及有關最值

1.通徑:過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得

的線段稱為橢圓的通徑,其長為—.

a

2.最值a-c<\PFt\<a+c,a-c<\PF2\<a+C（P為橢圓上任一點）.

1）橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點,到中心距離最大的點是長軸的兩

個端點.

2）橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點,距離的最大值為a+c,距

離的最小值為a-c.

3）對于橢圓上的點P/F1PF2隨著點

P從長軸端點向短軸端點移動而逐漸變大，當點P在短軸端點處時,乙F1PF2最大.

2222

4）b<\PFi|-\PF2\<a,b-c<PF\

-PF^<b2.

22

例已知橢圓=l（a>b>0）的左、右焦點分別為F1,F2，若橢圓C上存在點

P,使乙乙P&=；20。,求橢圓C的離心率的取值范圍.

6關于橢圓的幾個重要結論

1.弦長公式可以直接求出兩交點坐標，利用兩點間距離

設直線與橢圓交于4（%力力）,8（如丫2）兩點，則公式求\AB\.\AB\-

22

J（1+/）（盯一犯）2=y/1+k-+X2）-4x^2或網=J0+卷）（月_y2）2=

?J（月+y2f-4yly2（k為直線斜率,0）.2.焦點三角形

1）P為橢圓（+《=1（a>b>0）上異于長軸端點的點，匕,F2為兩個焦點，則

2

△F1PF2稱作焦點三角形.若/-F1PF2=a，則△F1PF2的面積SAF：PF1=btan^.

2)P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點，巳,&為橢圓的兩焦點，則△PF/2的

面長為2(a+c).

3)過焦點％的弦AB與橢圓另一個焦點&構成的的周長為4a.3.橢圓的

切線

橢圓/+/=l(a>b>0)上一點POo，y。)處的切線方程為貴+矍=1.可由圓/+

22

y-r(r>0)上一點P(x0,y0)處的切線方程xox+yoy=產類比得到.

。知識拓展

設4、B是橢圓：+￡=1(a>b>0)上關于原點對稱的兩點，點P是該橢圓上不同

于4B的任一點,若直線PA,PB的斜率分別為的也，則自?七=一泉

4.點與橢圓的位置關系

對于橢圓(+《=l(a>b>0)，我們有:⑴Pg,y0)在橢圓內部=§+:<1；(2)

P(M，yo)在橢圓外部Q§+,>1；⑶P(x0,y0)在

橢圓上=尊+?=1.可由點P(x0,y0)與圓/+y2=產6>0)的位置

5.橢圓中斜率乘積為定值的問題

1)橢圓/+3=Ma>b>0)長軸的兩個端點與橢圓上除這兩個頂點外的任一點連

線的斜率之積為-匕

(T

2)設4B是橢圓/+，=l(a>b>0)上關于原點對稱的兩點，點P為該橢圓上不同

于4B的任一點房直線PA,PB的斜率分別

為ki，七,貝U憶水2二一~^2■

2、雙曲線

雙曲線的定義

1.雙曲線的定義

一般地，平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數（小于IF.FJ）

的點的軌跡叫做雙曲線（如圖所示）.兩個定點F1,F2叫做雙曲線的焦點；IF/2I=2c

叫做雙曲線的焦距.

焦點的距離不相等

溫馨提示

當IPF^I-\PF2\=2a時，點P的軌跡為靠近F2的雙曲線的一支.

當\PFj\-\PF2\=-2a時，點P的軌跡為靠近巳的雙曲線的一支.

注:⑴若2a=2c,則軌跡是以F1,F2為端點的兩條射線;（2）若2a>2c,則軌跡不存

在;（3）若2a=0,則軌跡是線段匕磚的垂直平分線2雙曲線定義的集合描述雙曲線

是點集。

設點M是雙曲線上任意一點，點巳,尸2是雙曲線的焦點，則由雙曲線的定義可知，雙曲

線可以視為動點M的集合P={M\\\MF1\-\MF2\\=常數，常數大于0且小于

1匕心1}?

2雙曲線的標準方程和幾何性質

。溫馨提示

標準方程/y2y2/

=>0,b>0)=l(a>0,b>0)

a2b2滔一廬

標準方程

范圍|x|>a,yGR|y|>a,xGR

隹占

八'、，、'、匕（一c,0）,F2（C,0）巳（0,-c）,Fz（O，c）

頂點A1Q—a,0）,52（a，0）A1（0,—a）,A2{0,a）

對稱性關于x軸、y軸對稱，關于原點對稱

線段44叫做雙曲線的實軸,它的長M〃2l=實、虛2a;線段B/2叫做雙曲線的

虛軸,它的長|當&|軸長=2b（a叫做雙曲線的實半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長）

焦距焦距I匕Fzl為2c,c是半焦距

離心率

漸近線方程

y-+-xy_±%％

1.雙曲線的標準方程中,才與V的系數哪一個為正，焦點就在哪一個軸上,簡記為

“焦點跟著正項走

2.只有以雙曲線的中心為原點，且以兩定點所在直線、兩定點的連線段的中垂線

為坐標軸建立平面直角坐標系,這樣得到的雙曲線的方程才是雙曲線的標準方程.

將標準方程中右邊"1"變?yōu)?0"即可得到雙曲線的漸近線方程。

。知識拓展

如圖，設匕、F2是雙曲線的焦點,P是雙曲線上與匕、/2不共線的一點在

△F1PF2中，設IP匕I=r1,\PF2\=r2,zPF1F2=a,/-PF2F1=0,^F1PF2=6，貝U氤=

衛(wèi)=①,8+戊+0=兀,所以上」=三以=a=一。+位

sincesin0ysinp—sinasin62a|sina—sin^|

3雙曲線的離心率

1.定義

雙曲線的焦距與實軸長的比￡叫做雙曲線的離心率，用e表示，即e=」

ClCL

2.e的范圍:e>l.由c>a得e>l./越大，直線y=，%的傾斜角越y(tǒng)

3.e的幾何意義:e是表示雙曲線張口

大小的一個量,e越大，張口越大.

2=尋=府二=加口，當

ee(1,+00)時,2e(0,+8),具e增大也增大，漸近線與實軸的夾角也增大.

CLCL

若一個雙曲線的實軸與虛軸分別是另一個雙曲線的虛軸和實軸，則這兩個雙曲,

線是共軌的,其中一個雙曲線是另一個雙曲線的共聊雙曲線。

。證明結論2

不妨設點P在第一象限,在△PF1F2中，令\PFt\^m,\PF2\=壯乙=a?由雙曲

2222

線定義知m-n=2a，平方得m+n-2mn=4a⑴,由余弦定理得\?^2\-

22222

\PF1\+\PF2\—2\PF1\\PF2\cosa4c=m+n—2mncosa(2)，由(2)-(1)得

2b2

222

4c—4a=2mn(l—cosa)，即2b=mn(l—cosa),???mn二,3仇，又^AF,PF2二

112b2-sina=b2.號寫=匕，即S=兩種特殊的雙曲線焦

-mnsma=-AFPF

221—cosa2smz,tanj*Jtan-

點在y軸上時，方程為一/二也1.等軸雙曲線可以統(tǒng)一設成/-y2二

A（AW0）.

實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其中焦點在無軸上的等軸雙曲線的方程

為/-y2=q2（q>0），離心率e-四,漸近線方程為y二土無，它們互相垂直.

2,共胡雙曲線

雙曲線《一/=l（a>0,b>0）的共甄雙曲線方程為《一5=1（a>0,b>0），它們

有共同的漸近線，其方程為y=±?尤,它們的離心率七,02滿足關系式看+專=1.

雙曲線的通徑

過雙曲線的焦點且與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通

徑.通徑長為空.

a

關于雙曲線的幾個重要結論

1.弦長公式

設直線與雙曲線交于aapyjBOz.yz）兩點，

則\AB\-J（1+N）（Xz-久2）2=y/1+k2-］（與+肛）2_4孫％2或

+專）（月-丫2）2=J1+總?J（力+丫2了一4yly2（k為直線的斜率,kH0）.

2.焦點三角形

已知匕,尸2是雙曲線/一5=Ma>°，入>0）的兩個焦點,P為雙曲線上一點（異于

頂點），則△F1PF2稱作焦點三角形.若^F1PF2=a,則△F1PF2的面積SAF：PF2=

tan2

3.基礎三角形:如圖所示，在△40B中,|。川=a,\AB\=b,\OB\=c.tan^AOB=-.

a

4.雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于虛半軸長.

5.雙曲線的切線可由橢圓的切線方程類比得到.

雙曲線《一/=l（a>0,b>0）上一點POo,y°）處的切線方程是簧一翳=1.6.雙

曲線劃界平面區(qū)域“°

對于雙曲線，卷=l（a>0,b>0），我們有：

POofo）在雙曲線內部（與焦點共區(qū)域一］>1；

POo，yo）在雙曲線外部（與焦點不共區(qū)域）0：一:<1.

7.P是雙曲線?l（a>0,b>0）右支上不同于實軸端點的任意一點，匕、F2

分別為雙曲線初左、右焦點、,1為八PFF2內切圓的圓心，則圓心/的橫坐標恒為定

值a.

3、拋物線

拋物線的定義

L拋物線的定義定點不在定直線上.

平面內與一個定點F和一條定直線Z（FWZ）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定

點F叫做拋物線的焦點定直線I叫做拋物線的準線.

2.拋物線定義的集合描述

設點M是拋物線上任意一點，拋物線的焦點為F，準線為I,

。溫馨提示

點M到準線I的距離為d,則由拋物線的定義知，拋物線可以視

1.拋物線的定義的實質可歸為動點M的集合P={M||MF|=d,d>0}.拋物線是一

個點集.結為"一動三定":一個動點，設為M;一個定點F叫

2拋物線的有關概念**

做拋物線的焦點;一條定直

名稱

弦連接拋物線上任意兩點的線段,叫做拋物線的弦

焦點弦過拋物線焦點的弦，叫做拋物線的焦點弦

通徑過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑

焦半徑拋物線上一點P和焦點的連線,叫做點P的焦半徑

焦準距拋物線的焦點到它的準線的距離，叫做焦準距

線I叫做拋物線的準線;—個定值，即點M與點F的距離與點M到直線I的距離之

比等于1.

2.注意定點F不在定直線I上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直

線I的一條直線.例如與點F(-1,0)和到直線I：x=—1的距離相等的點的軌跡是x

軸.

3拋物線的標準方程與幾何性質

-P對拋物線開口大小的影響

1.對于拋物線y2=2px(p>0)來說,p值越大,|y|也越大,拋物線的開口也越大.

2.對于拋物線/=2py(p>0)來說,p值越大,|久|也越大,拋物線的開口也越大.

y2=2px(p>O')y2--2px(p>x2-2py(p>0)x2=—2py(p>

'0)0)'

圖形

頂點0(0,0)

范圍x>0,yERx<0,yERy>0,xERy<0,xER

對稱軸%軸y軸

p的幾何意義:拋物線焦點到準線的距離。對于拋物線/=2PHp>0）,p值越大,

拋物線的開口越大.

唱。）〃T，o)尸（或〃o，T）

Pp

準線X-X=—y=Yy--

22/2

離心率e=1

焦準距

通徑長2p

M(x0,yo)的焦半|MF|\MF\\MF\\MF\=§一

徑Ypp

=2一=y0+2yo

拋物線的焦點弦的性質

以拋物線/=2Pxe>0）為例，設AB是拋物線的過焦點的一條弦（焦點弦）,F是拋

物線的焦點,4（山,力）,8（尤2，丫2），4B在準線上的射影為為、為,則有以下結論：

2

p7

1）與無2=彳，%丫2=-P；

2］若直線AB的傾斜角為。，且4位于%軸上方,B位于%軸下方，則\AF\=

l-cos3l+cos6

3）\AB\=x1+x2+p=/（。為直線ZB的傾斜角），拋物線的通徑長為2p，通徑是最

短的焦點弦；

4）SAAOB-^為直線43的傾斜角）；

5）7AF\+1^1=-，為定值；

\AF\\BF\p

6）以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；

7）以4尸（或BF）為直徑的圓與y軸相切；

8）以4/［為直徑的圓與直線相切,切點為凡44/當=90。；9）4。,為三點共線,

B,。,4三點也共線.

5關于拋物線的幾個重要結論**

L弦長公式

設直線與拋物線交于4(久力y)B3,丫2)兩點，則

-求過拋物線y2=2px(p>0)上一點的切線方程

2

由點p⑴,月)01H0)在拋物線y=2px(p>0)上，得yj-2Pxi，設過點P(x7,y7)

的切線方程為y-yi-k(x-xj，將X=*代入得ky2-2py+2py-2pkx=0,由

/p12

d=(-2p)2-4k-(2py-2pkx)=0得(k%-p)2-0,■.k--(yH0)，從而切線

11yi1

方程為y-y；=—(x-x)，化簡得y%-胃=px-P%1，又置=2pxyy-

yi2ltt

2Pxi=px—pxTyy1=p(x+.

2.點與拋物線的位置關系

2

對于拋物線y=2px（p>0），我們有P{x0,y0）在拋物線內部<=>y0<2px0-,P（<x0,y0）

在拋物線外部<=>yo>2px（）;P（Xo，yo）在拋物線上<=>近=2px0.3.拋物線的切火

過拋物線y2=2Px（p>0）上的點28，力）的切線方程是y^y=p（x+町）.拋物線

y2=2px（p>0）的斜率為k的切線方程是y=kx

222

\AB\=+k\x1-久a/=V7+k?Jo：］+x2）-4x^2或

2

\AB\=+專）（乃-丫2）'=Jl+專?J（%+y2）-4yly2（k為直線的斜率,k豐。\

+察k手0）.

2

4.若拋物線y=2px（p>0）在點P式孫力）和P2（x2,y2）處的兩條

（焦點弦）,分別過4B作拋物線的切線,交于點P,連接PF,則有以下結論:

1）點P的軌跡是一條直線，即拋物線的準線i-.y=~r，

2)兩切線互相垂直，即PA1PB；

3)PF1AB;

4)點P的坐標為(亨，一方.

【知識拓展】

切線交于點M(x0,y0)，則x0=管,=號2

5.如左圖所示,AB是拋物線x2=2py(p>0)的過焦點的一條弦

1、圓雉曲線綜述：

聯立方程設交點,韋達定理求弦長;變量范圍判別式,曲線定義不能忘;

弦斜中點點差法,設而不求計算暢；向量參數恰當用,數形結合記心間.

★2、直線與圓錐曲線的位置關系

⑴直線的設法:

(1)若題目明確涉及斜率，則設直線:y=kx+b，需考慮直線斜率是否存在，分類討論;

(2)若題目沒有涉及斜率或直線過(a,0)則設直線:xmy+a，可避免對斜率進行討

論(2)研究通法:聯立得:++bx+c-0

b

判別式：d=爐-4ac,韋達定理x1+x2--[盯％2=￡

22

(3)弦長公式:|Z3|=-x2)+(力-丫2)2=Vi+k\x!-x2\

]

(1+/)?[(%]+-4打孫]=1+忘[(乃+ya)2-4yly2】

3、硬解定理

設直線y="+0與曲線奈+7=1相交于4(無力力)、B(x2,y2')

(y—kx+cp

由(n+mk2>)x2+2k(pmx+m((p2—n)=0

(nx+my=mn

22

判別式：△=4mn(n+mk—(p)韋達定理：x2+x2-2如“、，與肛=~~半

由：%-X2\=[(町+犯)2-4打尤2，代入韋達定理：%-X2\1￡2*44、點差法：

若直線，與曲線相交于M、N兩點，點P(x0,y0)是弦MN中點,MN的斜率為kMN,則:

在橢圓多+^=l(a>b>0)中，有k，MN'~一~2；

(ZuXQCT

在雙曲線m一號二1(。>b>0)中，有kj^N?—=；

(T〃XQ(T

2

在拋物線y=2px(p>0)中，有kMN?y。二p.證明:(橢圓)

設M、N兩兩點的坐標分別為(%i，yD、(x2fy2),

(1)-(2),得簪+簪=0

.y2-yiy2+yi_b2

2

%2-％1X2+X!a'

又???“q，絲y/y_b2

X2—X1X1+X22xxxa?'

X5、平移構造齊次式:(圓錐曲線斜率和與積的問題)

(1)題設:過圓雉曲線上的一個定點P作兩條直線與圓錐曲線交于4、B，在直線PA

和PB斜率之和或者斜率之積為定值的情況下，直線AB過定點或者AB定斜率的問

題.(2)步驟:(1)將公共點平移到坐標原點(點平移:左加右減上減下加)找出平移單

位長.(2)由(1)中的平移單位長得出平移后的圓雉曲線C',所有直線方程統(tǒng)一寫為：

加久+ny=1(3)將圓雉曲線C展開，在一次項中乘以mx+ny-1，構造出齊次式.

(4)在齊次式中，同時除以廣，構建斜率k的一元二次方程，由韋達定理可得斜率之積

(和工

【課本優(yōu)質習題匯總】

新人教A版選擇性必修一P112

5.比較下列每組中橢圓的形狀,哪一個更接近于圓？為什么？

il）9x2+y236^^+^^1；i2）x2+9y236^^+^^1.

新人教A版選擇性必修一P115

6.如圖，圓。的半徑為定長r,A是圓。內一個定點,P是圓。上任意一

（第6題）

點.線段AP的垂直平分線I和半徑0P相交于點Q,當點P在圓上運動時，點Q的軌

跡是什么？為什么？

新人教A版選擇性必修一P115

9.如圖,。P1%軸,垂足為。，點M在DP的延長線上，且瞿

（第9題）

=｝當點P在圓/+y2=4上運動時，求點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀.

10.一動圓與圓/+y2+6x+5=0外切，同時與圓必+曠2—6%一％=0內切,求動

圓圓心的軌跡方程,并說明它是什么曲線.

新人教A版選擇性必修一P116

11.如圖，矩形ABC。中,|4B|=2a,\BC\=2b(a>b>O).E,F,G,H分別是矩形四條邊

的中點,R,S,T是線段。尸的四等分點,R',S',T'是線段CF的四等分點.證明直線ER

與GR'、ES與GS'、ET與GT'的交點L,M,N都在橢圓5+，=l(a>b>0)上.

(第11題)

新人教A版選擇性必修一P116

13.已知橢圓(+9=1，直線l-4x-5y+40=0.橢圓上是否存在一點，使得：

(1)它到直線I的距離最??？最小距離是多少？

(2)它到直線I的距離最大？最大距離是多少？

14.已知橢圓9+9=1，一組平行直線的斜率是1.

(1)這組直線何時與橢圓有兩個公共點？

(2)當它們與橢圓有兩個公共點時,證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一條

直線上.

新人教A版選擇性必修一P121

3.已知方程二-二=1表示雙曲線，求利的取值范圍.

2+mm+1

4.雙曲線/一(=l(a>0)的兩個焦點分別是匕與&，焦距為是雙曲線上的

一點，且|MF7|=5,求\MF2\的值.新人教A版選擇性必修一P127

5.如圖，圓。的半徑為定長r,4是圓。外一個定點,P是圓。上任意

O,

,A

(第5題)

一點.線段ap的垂直平分線I與直線0P相交于點Q,當點P在圓。上運動時，點Q

的軌跡是什么？為什么？

新人教A版選擇性必修一P127

n2

10.設動點M與定點F(c,0)(c>0)的距離和M到定直線/:%=—的距離的比是

C

求動點M的軌跡方程,并說明軌跡的形狀.

￡a(a<c),

新人教A版選擇性必修一P128

11.M是一個動點,MA與直線y=x垂直，垂足A位于第一象限,MB與直線y=-久

垂直，垂足B位于第四象限.若四邊形OZMB(。為原點)的面積為3,求動點M的軌

跡方程.

12.設橢圓，+1=l(a>b>0)與雙曲線?—1=1的曷心率分別為G，02，雙曲線

的漸近線的斜率小于苧，求知和的取值范圍.

新人教A版選擇性必修一P128

13.已知雙曲線/-『=1,過點PQ,1)的直線1與雙曲線相交于4B兩點,P能否是

線段的中點？為什么？

14.已知雙曲線3=1與直線l\y-kx+m(kH±2)有唯一的公共點M,過點M

416

且與I垂直的直線分別交左軸、y軸于A(x,0),B(0,y)兩點.當點M運動時，求點

P(x,y)的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.如果推廣到一般雙曲線,能得到什么相

應的結論？

新人教A版選擇性必修一P138

4.兩條直線y-kx^W-y--kx分別與拋物線y2=2Px(p>0)相交于不同于原點的

4B兩點,k為何值時，直線AB經過拋物線的焦點？

5.已知圓心在y軸上移動的圓經過點4(0,5)，且與x軸、y軸分別交于

B(x,0),C(0,y)兩個動點求點M(x,y)的軌跡方程.

新人教A版選擇性必修一P138

5.如圖,M是拋物線y2=4x上的一點,F是拋物線的焦點以Fx為始邊、FM為終邊

的角ZxFM=60°，求\FM\.

(第6題)

6.如圖，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于兩點,求證:OA1OB.新人教A

版選擇性必修一P139

9.從拋物線/=2px(p>0)上各點向x軸作垂線段,求垂線段的中點的軌跡方程，并

說明它是什么曲線.

新人教A版選擇性必修一P139

11.已知4B兩點的坐標分別是(-1,0),(1,0)，直線AM,BM相交于點M,且直線AM

的斜率與直線BM的斜率的差是2,求點M的軌跡方程.

新人教A版選擇性必修一P139

12.已知拋物線的方程為V=4%直線I繞其上一點P(-2,l)旋轉，討論直線I與拋物

線y2=心的公共點個數，并回答下列問題：

[1]畫出圖形表示直線I與拋物線的各種位置關系，從圖中你發(fā)現直線I與拋物線只

有一個公共點時是什么情況？

(2)/=4x與直線I的方程組成的方程組解的個數與公共點的個數是什么關系？

13.設拋物線產=2px(p>0)的焦點為F,從點F發(fā)出的光線經過拋物線上的點M

(不同于拋物線的頂點)反射,證明反射光線平行于拋物線的對稱軸.新人教A版選

擇性必修一P145

(2)與圓/+y2=1及圓/+丫2一8%+12=0都外切的圓的圓心在Q

(A)橢圓上(B)雙曲線的一支上

(C)拋物線上(D)圓上

3.當a從0。到180。變化時，方程久2+y2c0sa=1表示的曲線的形狀怎樣變化？

新人教A版選擇性必修一P145

5.設拋物線的頂點為。，經過焦點且垂直于對稱軸的直線交拋物線于B,C兩點，經過

拋物線上一點P且垂直于軸的直線與軸交于點Q.求證:|PQ『=\BC\\OQ\.

6.已知等邊三角形的一個頂點位于拋物線/=2Px(p>0)的焦點，另外兩個頂點在

拋物線上,求這個等邊三角形的邊長.

新人教A版選擇性必修一P145

7,已知P是橢圓16x2+25y2=1600上的一點,且在無軸上方，匕,分別是橢圓的

左、右焦點，直線PF2的斜率為-443，求△PF1F2的面積.

8.如圖,從橢圓5+《=l(a>b>0)上一點P向x軸作垂線，

(第8題)

垂足恰為左焦點B.又點A是橢圓與無軸正半軸的交點，點B是橢圓與y軸正半軸

的交點，且AB//OP,\F^\=410+遮，求橢圓的方程.

9.已知A,B兩點的坐標分別是(一1,0),(1,0).直線AM,BM相交于點M,且它們的斜

率之和是2,求點M的軌跡方程.新人教A版選擇性必修一P146

12.在拋物線y2=4x上求一點P，使得點P到直線y-x+3的距離最短.

13.當m變化時，指出方程(m-l}x2+(3-m)y2-(m-1)(3-m)表示的曲線的

形狀.

新人教A版選擇性必修一P146

16.過拋物線V=2px(p>0)的焦點F作直線與拋物線交于A,B兩點，以AB為直徑

畫圓,觀察它與拋物線的準線I的關系，你能得到什么結論？相應于橢圓、雙曲線如

何？你能證明你的結論嗎？

新人教B版選擇性必修一P141

(4)已知橢圓的方程為m2/+4m2y2=1,其中租為大于零的實常數，求這個橢圓的

焦點坐標與離心率.

⑸設動點M到定點F(2,0)的距離與它到直線I:%.的距離之比為w，求點M的軌

跡方程.”

新人教B版選擇性必修一P143

(3)已知橢圓5+卷=l(a>b>0)的左焦點為F,直線久=一9.設P是橢圓上的一

點求P到F向距離與P到直線/的距離之比.’

(1)設動點M到定點F(—c,0)的距離與它到直線上久=一?的距離之比為9a>c>

0,求點M的軌跡方程，并用得到的軌跡方程解釋2.5.2中向3得到的結果：

(2)已知點B(6,0)和C(-6,0)，過點B的直線I和過點C的直線m相交于點A，設直

線I的斜率為如，直線m的斜率為k2加果目的?三,求點、A的軌跡方程,并說明此

軌跡是何種曲線.

⑶已知點4(1,1),而且％是橢圓?+?=1的左焦點,P是橢圓上任意一點，求

\PFi\+\PA\的最小值和最大值.

新人教B版選擇性必修一P155

(2)已知雙曲線的一個焦點是(5,0)，一條漸近線方程為3x-4y=0,求這個雙曲線

的標準方程和離心率.

(3)當實數2H0時，方程3=4表示的都是雙曲線，這些雙曲線的共同點是什么?

新人教B版選擇性必修「P156

已知雙曲線兩頂點間的距離是6,兩焦點的連線被兩頂點和中心四等分,求雙曲線

的標準方程.

(5)求證:雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于半虛軸長.

新人教B版選擇性必修一P157

⑶設動點M到定點F(3,0)的距離與它到直線Z:x=|的距離之比為求點M的軌

跡方程."~

(4)已知雙曲線(一3=l(a>0,b>0)的左焦點為F,直線上久=一?.設P是雙曲線

上的一點求P至力尸的距離與P到直線/的距離之比.

⑸已知尸力巳是雙曲線1一(=1的兩個焦點，點M在雙曲線上,如果麗1而弓，

求△MF/2的面積.‘

(1)如果過點(6,0)的直線與過點(-6,0)的直線相交于點M,而且兩直線斜率的乘

積為a,其中a。0.

(1)求點M的軌跡方程；

(2)討論M的軌跡是何種曲線.

(2)設動點M到定點F(-c,0)的距離與它到直線的距離之比為?其中

c>a>0,求點M的軌跡方程，并用得到的軌跡方程解釋2.6.2中例3得到豺結果.

新人教B版選擇性必修一P162

⑸已知點M到點F(4,0)的距離比它到直線1:%+6=0的距離小2,求點M的軌跡

方程.新人教B版選擇性必修一P166

(3)從拋物線y2=2Px(p>0)上各點向x軸作垂線段,求垂線段中點的軌跡方程,并

說明軌跡是什么曲線.

(4)已知拋哽門頂點是坐標原點。，對稱軸為x軸,焦點為F,拋物線上的點4的橫

坐標為2,且~FA-OA^16，求此拋物線的方程.

⑸已知拋物線y2=16x和點4(4,0)，點M在此拋物線上運動，求點M到點A的距離

的最小值，并指出取得最小值時點M的坐標.

2

⑹設拋物線y=2px(p>0)上一點M的橫坐標為x0，證明M到拋物線焦點的距

離為工。+］并總結出關于拋物線其他形式的標準方程的類似結論.

新人教B版選擇性必修一P167

(1)已知拋物線y2=4%,且P是拋物線上一點：

⑴設F為拋物線的焦點,4(6,3)，求\PA\+\PF\的最小值，并求出取得最小值時點P

的坐標；

(2)設M的坐標為(m,0)，求\PM\的最小值(用m表示)，并求出取得最小值時點P

的坐標.

(2)已知拋物線的頂點在原點焦點為尸(-3,0)，設點A(a,0)到拋物線上的點的距離

的最小值為，求f(a)的表達式.新人教B版選擇性必修一P173

(1)已知斜率為2的直線AB過拋物線y2=8x的焦點，求弦AB的長.

(2)已知直線l\y-x-3與拋物線C-.x2--8y相交于4B兩點，且。為坐標原點.

(1)求弦長\AB\以及線段AB的中點坐標；

(2)判斷OA1OB是否成立,并說明理由.

(3)已知直線I的斜率與雙曲線C的漸近線的斜率相等，求證:直線/與雙曲線C最多

只有一個公共點.

(4)求過點4(0,p)且與拋物線y2=2P久(p>0)只有一個公共點的直線的方程

⑸已知斜率為2的直線I與拋物線y2=4x相交于A.B兩點，如果線段AB的長等

于5，求直線I的方程.

⑶過拋物線y2=8x的焦點F的一條直線與此拋物線相交于A,B兩點，已知4(8,8),

求線段的中點到拋物線準線的距離.新人教B版選擇性必修一P174

⑺垂直于無軸的直線與拋物線y2=4x交于兩點，且\AB\=4A后,求直線AB的

方程.

(3)過拋物線的焦點的一條直線與它交于P,Q兩點過點P和此拋物線頂點的直線

與拋物線的準線交于點M,求證:直線MQ平行于此拋物線的對稱軸.

(3)過拋物線的焦點F的一條直線與此拋物線相交于P1,P2兩點.求證：以PH為直

徑的圓與該拋物線的準線相切.

⑴設拋物線O.y2=4x的焦點為F,過F且斜率為1的直線1與C相交于4,B兩點,

求過點4B且與C的準線相切的圓的方程.

新人教B版選擇性必修一P176

9.已知等腰三角形ABC的頂點是4(4,2)，底邊的一個端點是B(3,5)，求另一個端點

的軌跡方程.

新人教B版選擇性必修一P177

13.已知△ABC的三邊AB,BC,CA滿足

2\BC\=\AB\+\CA\,\AB\>\CA\,

且CQ,O)，求點A的軌跡方程，并說明它是什么曲線.

14.若方程(3-d)x2+(a+l)y2+a2-2a-3-0是雙曲線的方程,求實數a的取值

范圍.

15.已知雙曲線的離心率等于手,且雙曲線與橢圓。+==1有公共焦點求此雙曲線

的標準方程.

新人教B版選擇性必修一P177

1,已知三條直線mx+2y+8-0,4x+3y-10,2x-y-10相交于一點，求m的值.

—y+1=O,l2-.x+y+5=0,l3,.x=0,l4-.x=3四條直線所圍成的圖形的面

積.

3.(1)已知直線3%+(1-a)y+5=0與直線x-y-0平行，求a的值；

(2)已知直線(a-4)x+y+1-0與直線2久+3y+5=0垂直，求a的值.

新人教B版選擇性必修一P178

6.光線從點”(-2,3)發(fā)出遇到x軸上一點PQ,0)后被x軸反射，求反射光線所在直

線的方程.

7.已知4(4,1),B(—3,2)，在y軸上求點C，使得△ABC的面積為12.新人教B版選擇

性必修一P178

8.過點P(8,6)作圓/+y2一8久+6y=0的兩條切線P