滬教版九年級數(shù)學核心知識點與常見題型通關講解練第01講放縮與相似形(原卷版+解析)

第01講放縮與相似形【知識梳理】1、相似形的概念（1）相似圖形我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形，簡稱相似形．（2）相似圖形在現(xiàn)實生活中應用非常廣泛，對于相似圖形，應注意：①相似圖形的形狀必須完全相同；②相似圖形的大小不一定相同；③兩個物體形狀相同、大小相同時它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況．（3）相似三角形對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形．2、相似多邊形的性質(zhì)如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊的長度成比例．當兩個相似的多邊形是全等形時，它們對應邊的長度的比值為1．【考點剖析】一、比例的性質(zhì)一、單選題1．（2023秋·上海黃浦·九年級上海市民辦明珠中學?？茧A段練習）已知，下列說法中，錯誤的是（）A． B． C． D．2．（2019春·上海楊浦·九年級統(tǒng)考階段練習）已知=，且b+d≠0，則=（）A． B． C． D．3．（2018秋·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期末）已知線段a、b、c、d，如果，那么下列式子中不一定正確的是（）A．a(chǎn)=c，b=d B．a(chǎn)d=bc C． D．4．（2021·上海·九年級專題練習）已知：a、b是不等于0的實數(shù)，2a=3b，那么下列等式中正確的是（）A． B． C． D．5．（2019秋·上海楊浦·九年級?？茧A段練習）在比例尺為1：50000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離為25cm，則甲、乙兩地的實際距離是（）A．1250km B．125km C．12.5km D．1.25km二、填空題6．（2018秋·上海寶山·九年級校考期中）如果，那么_________7．（2021·上海·九年級專題練習）已知，，則________．8．（2018·上海普陀·統(tǒng)考一模）已知，則=_____．9．（2018·上海奉賢·統(tǒng)考二模）將6本相同厚度的書疊起來，它們的高度是9厘米．如果將這樣相同厚度的書疊起來的高度是42厘米，那么這些書有_____本．10．（2022秋·上海浦東新·九年級上海市建平中學西校?？计谥校┮阎cP在線段AB上，且AP：BP=2：3，那么AB：PB=_____．11．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，D為的邊AB上一點，如果∠ACD=∠ABC時，那么圖中____是AD和AB的比例中項．二、相似圖形一、單選題1．（2021秋·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）下列命題中，錯誤的是（

）A．兩個含有角的等腰三角形一定相似 B．兩個矩形一定相似C．兩個等邊三角形一定相似 D．兩個正方形一定相似2．（2022秋·上海浦東新·九年級校考期中）下列圖形一定相似的為（

）A．兩個等腰三角形 B．兩個等邊三角形C．兩個矩形 D．兩個平行四邊形3．（2022秋·上海崇明·九年級?？计谥校┫铝嘘P于“相似形”的說法中正確的是（

）A．相似形形狀相同、大小不同 B．圖形的放縮運動可以得到相似形C．對應邊成比例的兩個多邊形是相似形 D．相似形是全等形的特例4．（2022秋·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ懈裰鲁跫壷袑W?？茧A段練習）下列說法正確的是（）A．任意兩個菱形都相似B．任意兩個正方形都相似C．任意兩個等腰三角形都相似D．任意兩個矩形都相似5．（2014秋·上海普陀·九年級統(tǒng)考期末）如圖，用放大鏡將圖形放大，應屬何種變換A．相似變換 B．平移變換 C．旋轉(zhuǎn)變換 D．對稱變換6．（2022秋·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期中）下列各組中兩個圖形不相似的是（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2020秋·九年級?？颊n時練習）相似的兩個圖形，它們的大小_________(填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同．8．（2017秋·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）某城市的有一時期的兩張地圖，甲地圖比例尺為1:1000000，乙地圖的比例尺為1:200000，則甲地圖和乙地圖的相似比為____________三、解答題9．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）閱讀理解：給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖，矩形是矩形的“減半”矩形．請你解決下列問題：（1）當矩形的長和寬分別為，時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并說明理由．（2）邊長為的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長；如果不存在，請說明理由．三、相似多邊形的性質(zhì)一、單選題1．（2019秋·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）對一個圖形進行放縮時，下列說法中正確的是（）A．圖形中線段的長度與角的大小都保持不變B．圖形中線段的長度與角的大小都會改變C．圖形中線段的長度保持不變、角的大小可以改變D．圖形中線段的長度可以改變、角的大小保持不變2．（2017秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┯梅糯箸R觀察一個五邊形時，不變的量是（

）A．各邊的長度 B．各內(nèi)角的度數(shù) C．五邊形的周長 D．五邊形的面積二、填空題3．（2020秋·上海浦東新·九年級校聯(lián)考階段練習）四邊形和四邊形是相似圖形，點A、B、C、D分別與點、、、對應，已知，，，那么的長是______．4．（2020秋·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，把一張矩形紙片沿著一條對稱軸翻折，所得到的矩形與原矩形相似，已知原矩形紙片較短的邊長為，那么其較長邊用含的代數(shù)式表示為_______．5．（2016秋·上海嘉定·九年級統(tǒng)考期末）將一個矩形沿著一條對稱軸翻折，如果所得到的矩形與這個矩形相似，那么我們就將這樣的矩形定義為“白銀矩形”．事實上，“白銀矩形”在日常生活中隨處可見．如，我們常見的A4紙就是一個“白銀矩形”．請根據(jù)上述信息求A4紙的較長邊與較短邊的比值．這個比值是____．6．（2018秋·上海嘉定·九年級統(tǒng)考期中）已知兩個三角形是相似形，其中一個三角形的兩個角分別為25o、55o，則另一個三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為__________．7．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）已知兩個矩形相似，第一個矩形的兩邊長分別是3和4，第二個矩形較短的一邊長是4，那么第二個矩形較長的一邊長是______．8．（2019秋·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ杏懦跫壷袑W?？茧A段練習）已知：如圖所示，矩形ABCD中，點E、F分別在邊AB、CD上，且AEFD是正方形，若矩形BCFE和矩形ABCD相似，且AD=2，則AB的長為____________．9．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點．若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=________10．（2021·上海·九年級專題練習）四邊形和四邊形是相似圖形，點分別與對應，已知，，，那么的長是__________．三、解答題11．（2020秋·九年級?？颊n時練習）如圖，兩個四邊形相似，求未知邊x、y的長度及角α的大?。?2．（2018秋·上?！ぞ拍昙夒A段練習）設四邊形與四邊形是相似的圖形，且與、與、與是對應點，已知，，求四邊形的周長．13．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知四邊形與四邊形相似，并且點A與點、點B與點、點C與點、點D與點分別對應．(1)已知，，，求的度數(shù)；(2)已知，，，，，求四邊形的周長．【過關檢測】一．選擇題（共6小題）1．（2023?崇明區(qū)一模）下列各組圖形，一定相似的是（）A．兩個等腰梯形 B．兩個菱形 C．兩個正方形 D．兩個矩形2．（2021秋?昭平縣期末）下列和右圖相似的圖形是（）A． B． C． D．3．（2022秋?黃浦區(qū)期中）下列圖形中，一定相似的是（）A．一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形 B．有一個內(nèi)角為80°的兩個等腰三角形 C．兩個長方形 D．有一個內(nèi)角為80°的兩個菱形4．（2022秋?奉賢區(qū)期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）A．兩個等腰直角三角形 B．各有兩邊長是4和5的兩個直角三角形 C．各有兩邊長是4和5的兩個等腰三角形 D．各有一個角是40°的兩個等腰三角形5．（2023?長寧區(qū)一模）下列各組圖形中一定是相似形的是（）A．兩個等腰梯形 B．兩個矩形 C．兩個直角三角形 D．兩個等邊三角形6．（2022秋?浦東新區(qū)期中）下列各組中兩個圖形不相似的是（）A． B． C． D．二．填空題（共9小題）7．（2019秋?徐匯區(qū)期末）四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'是相似圖形，點A、B、C、D分別與A'、B'、C'、D'對應，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的長是．8．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，點E、F是對角線BD上的點（點E、F不與B、D重合），分別聯(lián)結(jié)AE、EC、AF、CF，若四邊形AECF是菱形，且與菱形ABCD是相似形，那么菱形AECF的邊長是.（用a的代數(shù)式表示）．9．（2018秋?嘉定區(qū)期中）已知兩個三角形是相似形，其中一個三角形的兩個角分別為25°、55°，則另一個三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為．10．（2022秋?金山區(qū)校級期末）如果梯形的一條對角線把梯形分成的兩個三角形相似，那么我們稱該梯形為“優(yōu)美梯形”．如果一個直角梯形是“優(yōu)美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周長為．11．（2016秋?普陀區(qū)期末）利用復印機的縮放功能，將原圖中邊長為5厘米的一個等邊三角形放大成邊長為20厘米的等邊三角形，那么放大前后的兩個三角形的周長比是．12．（2019秋?楊浦區(qū)期末）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似但不全等，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線．在四邊形ABCD中，對角線BD是它的相似對角線，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝度．13．（2017秋?楊浦區(qū)校級月考）利用復印機的縮放功能放大一個三角形，將原圖中邊長為3，5，6的三角形的最長邊放大到8，那么放大后的那個三角形的周長為．14．（2020秋?長寧區(qū)期末）如果一條對角線把凸四邊形分成兩個相似的三角形，那么我們把這條對角線叫做這個凸四邊形的相似對角線，在凸四邊形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，點E、點F分別是邊AD，邊BC上的中點．如果AC是凸四邊形ABCD的相似對角線，那么EF的長等于．15．（2020秋?青浦區(qū)期末）如果四邊形邊上的點，它與對邊兩個端點的連線將這個四邊形分成的三個三角形都相似，我們就把這個點叫做該四邊形的“強相似點”．如圖①，在四邊形ABCD中，點Q在邊AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么點Q就是四邊形ABCD的“強相似點”；如圖②，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果點Q是邊AD上的“強相似點”，那么AQ＝．第01講放縮與相似形【知識梳理】1、相似形的概念（1）相似圖形我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形，簡稱相似形．（2）相似圖形在現(xiàn)實生活中應用非常廣泛，對于相似圖形，應注意：①相似圖形的形狀必須完全相同；②相似圖形的大小不一定相同；③兩個物體形狀相同、大小相同時它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況．（3）相似三角形對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形．2、相似多邊形的性質(zhì)如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊的長度成比例．當兩個相似的多邊形是全等形時，它們對應邊的長度的比值為1．【考點剖析】一、比例的性質(zhì)一、單選題1．（2023秋·上海黃浦·九年級上海市民辦明珠中學?？茧A段練習）已知，下列說法中，錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)（合分比定理）來解答．【詳解】A、如果，那么（a+b）：b=（c+d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故該選項正確；B、如果a：b=c：d那么（a-b）：b=（c-d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故該選項正確；C、由得，5a=3b，所以a≠b；又由得，ab+b=ab+a即a=b．故該選項錯誤；D、由得，5a=3b；又由得，5a=3b．故該選項正確.故選C．【點睛】本題主要考查的合分比定理和更比定理．①合比定理：如果a：b=c：d，那么（a+b）：b=（c+d）：d（b、d≠0）；②分比定理：如果a：b=c：d那么（a-b）：b=（c-d）：d（b、d≠0）；③合分比定理：如果a：b=c：d那么（a+b）：（a-b）=（c+d）：（c-d）（b、d、a-b、c-d≠0）；④更比定理：如果a：b=c：d那么a：c=b：d（a、b、c、d≠0）．2．（2019春·上海楊浦·九年級統(tǒng)考階段練習）已知=，且b+d≠0，則=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，結(jié)合比例的性質(zhì)解答即可．【詳解】∵，∴a=b，c=d，∴．故選A．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)比例的性質(zhì)解答．3．（2018秋·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期末）已知線段a、b、c、d，如果，那么下列式子中不一定正確的是（）A．a(chǎn)=c，b=d B．a(chǎn)d=bc C． D．【答案】A【詳解】A.例如a=3，b=6，c=1，d=2，則有=，但是a≠c，b≠d，所以a=c，b=d錯誤，符合題意；B.∵，∴ad=bc正確，不符合題意；C.∵，∴a=bk，c=dk，∴正確，不符合題意；D.∵，∴正確，不符合題意，故選A．4．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知：a、b是不等于0的實數(shù)，2a=3b，那么下列等式中正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵2a=3b，∴，∴，∴A、C、D選項錯誤，B選項正確，故選B.5．（2019秋·上海楊浦·九年級?？茧A段練習）在比例尺為1：50000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離為25cm，則甲、乙兩地的實際距離是（）A．1250km B．125km C．12.5km D．1.25km【答案】C【詳解】設實際距離為xcm，則：1:50000=25:x，解得x=1250000.12500000cm=12.5km.故選C.二、填空題6．（2018秋·上海寶山·九年級?？计谥校┤绻敲確________【答案】【分析】由題可得：將此代入要求的代數(shù)式約分化簡即可【詳解】，所以答案為.【點睛】本題主要考查了比例化簡求值，掌握相關概念方法是解題關鍵7．（2021·上海·九年級專題練習）已知，，則________．【答案】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)（兩內(nèi)項之積等于兩外項之積）可設a=2t、b=3t、c=5t．然后，將其代入a：b：c求值即可．【詳解】∵a：b=2：3，b：c=3：5，∴設a=2t、b=3t、c=5t．∴a：b：c=2t：3t：5t=2：3：5．故答案為2：3：5．【點睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)：兩內(nèi)項之積等于兩外項之積．解答此題時，利用了比例的性質(zhì)設a=2t、b=3t、c=5t，然后將其代入所求的比例式，消去未知數(shù)t．8．（2018·上海普陀·統(tǒng)考一模）已知，則=_____．【答案】【分析】由可知值，再將化為的形式進行求解即可.【詳解】解：∵，∴，∴原式=.【點睛】本題考查了分式的化簡求值.9．（2018·上海奉賢·統(tǒng)考二模）將6本相同厚度的書疊起來，它們的高度是9厘米．如果將這樣相同厚度的書疊起來的高度是42厘米，那么這些書有_____本．【答案】28．【分析】因為一本書的厚度是一定的，根據(jù)本數(shù)與書的高度成正比列比例式即可得到結(jié)論．【詳解】設這些書有x本，由題意得，，解得：x=28，答：這些書有28本．故答案為28．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確的列出比例式是解題的關鍵．10．（2022秋·上海浦東新·九年級上海市建平中學西校?？计谥校┮阎cP在線段AB上，且AP：BP=2：3，那么AB：PB=_____．【答案】5:3【詳解】試題解析：由題意AP：BP=2：3，AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3.故答案為5:3.11．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，D為的邊AB上一點，如果∠ACD=∠ABC時，那么圖中____是AD和AB的比例中項．【答案】AC【詳解】試題分析：根據(jù)兩角分別相等的兩個三角形相似，可得△ACD∽△ABC的關系，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得，可知AC是AD和AB的比例中項．考點：比例線段二、相似圖形一、單選題1．（2021秋·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）下列命題中，錯誤的是（

）A．兩個含有角的等腰三角形一定相似 B．兩個矩形一定相似C．兩個等邊三角形一定相似 D．兩個正方形一定相似【答案】B【分析】利用相似圖形的定義分別判斷即可得到答案．【詳解】解：A．兩個含有角的等腰三角形一定相似，說法正確，不符合題意，選項錯誤；B．兩個矩形一定相似，對應角相等，但對應邊不成比例，故兩個矩形不一定相似，說法錯誤，符合題意，選項正確；C．兩個等邊三角形一定相似，說法正確，不符合題意，選項錯誤；D．兩個正方形一定相似，說法正確，不符合題意，選項錯誤，故選B．【點睛】本題考查了相似圖形的定義，熟練掌握相似多邊形對應角相等，對應邊成比例是解題關鍵．2．（2022秋·上海浦東新·九年級?？计谥校┫铝袌D形一定相似的為（

）A．兩個等腰三角形 B．兩個等邊三角形C．兩個矩形 D．兩個平行四邊形【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形及多邊形的判定方法一一判斷即可．【詳解】解：A．兩個等腰三角形的內(nèi)角不一定相等，因此兩個等腰三角形不一定相似，故A不符合題意；B．∵兩個等邊三角形的內(nèi)角都是60°，∴兩個等邊三角形一定相似，故B符合題意；C．兩個矩形的對應邊不一定對應成比例，因此兩個矩形不一定相似，故C不符合題意；D．兩個平行四邊形的對應角不一定相等，對應邊不一定成比例，因此兩個平行四邊形不一定相似，故D不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查相似三角形及多邊形的判定，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．3．（2022秋·上海崇明·九年級?？计谥校┫铝嘘P于“相似形”的說法中正確的是（

）A．相似形形狀相同、大小不同 B．圖形的放縮運動可以得到相似形C．對應邊成比例的兩個多邊形是相似形 D．相似形是全等形的特例【答案】B【分析】根據(jù)相似形的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：A：相似形形狀相同、大小不一定相同，但是可以相同，故選項A錯誤；B：圖形的放縮運動可以得到相似形，選項B正確；C：如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應角相等,對應邊成比例,這兩個多邊形叫做相似多邊形，故選項C錯誤；D：全等形是相似形的特例，故選項D錯誤．【點睛】本題考查相似形的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握相似形的相關知識．4．（2022秋·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ懈裰鲁跫壷袑W校考階段練習）下列說法正確的是（）A．任意兩個菱形都相似B．任意兩個正方形都相似C．任意兩個等腰三角形都相似D．任意兩個矩形都相似【答案】B【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對應的角相等，對應邊的比相等對每個命題進行判斷．【詳解】解：A任意兩個菱形滿足四條邊對應成比例，但不一定滿足四個角分別對應相等，所以不一定相似，故A不符合題意；B任意兩個正方形既滿足四條邊對應成比例，也滿足四個角對應相等，所以任意兩個正方形都相似，故B符合題意；C任意兩個等腰三角形不一定滿足有兩個角對應相等，所以不一定相似，故C不符合題意；D任意兩個矩形的對應角相等，但對應邊的比不一定相等，所以不一定相似,，故D不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查的是相似圖形的判定，掌握相似多邊形各自的判定方法是解題的關鍵．5．（2014秋·上海普陀·九年級統(tǒng)考期末）如圖，用放大鏡將圖形放大，應屬何種變換A．相似變換 B．平移變換 C．旋轉(zhuǎn)變換 D．對稱變換【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換的概念并結(jié)合圖形，得出正確結(jié)果．【詳解】解：由一個圖形到另一個圖形，在改變的過程中形狀不變，大小產(chǎn)生變化，屬于相似變化．故選A．【點睛】本題主要考查相似變換的定義，即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換是相似變換比較容易選錯的答案是位似變換．6．（2022秋·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期中）下列各組中兩個圖形不相似的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)相似圖形的定義進行分析即可．【詳解】我們把形狀相同的圖形叫相似圖形，其特征是對應角相等，對應邊成比例，觀察圖形得知，B圖對應邊的比不全相等，故不相似．故選：B．【點睛】此題考查了相似圖形的判斷，解題的關鍵是理解相似圖形的定義．二、填空題7．（2020秋·九年級?？颊n時練習）相似的兩個圖形，它們的大小_________(填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同．【答案】不一定【分析】根據(jù)相似圖形的定義判斷即可．【詳解】相似的兩個圖形形狀相同，但大小不一定相等，只有兩個圖形全等時大小才相等，全等是相似的一種特殊情況．故答案為：不一定．【點睛】本題考查相似圖形，明確相似圖形的定義是解題的關鍵．8．（2017秋·上海·九年級?？茧A段練習）某城市的有一時期的兩張地圖，甲地圖比例尺為1:1000000，乙地圖的比例尺為1:200000，則甲地圖和乙地圖的相似比為____________【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的相似比等于對應邊的比，用兩個地圖的比例尺相比求解即可．【詳解】解：甲地圖和乙地圖的相似比為：．故答案為.【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，本題利用兩個圖的比例尺相比求解即可，比較簡單．三、解答題9．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）閱讀理解：給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖，矩形是矩形的“減半”矩形．請你解決下列問題：（1）當矩形的長和寬分別為，時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并說明理由．（2）邊長為的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）存在；理由見解析；（2）不存在，理由見解析．【分析】（1）假設存在，不妨設“減半”矩形的長和寬分別為x、y，根據(jù)如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，可列出方程組求解．（2）正方形和其他的正方形是相似圖形，周長比是2，面積比就應該是4，所以不存在“減半”正方形．【詳解】解：（1）存在假設存在，不妨設“減半”矩形的長和寬分別為，，則，由①，得：，③把③代入②，得，解得，．所以“減半”矩形長和寬分別為與．（2）不存在因為兩個正方形是相似圖形，當它們的周長比為時，面積比必定是，所以正方形不存在“減半”正方形．【點睛】本題考查反證法和相似圖形的性質(zhì)，關鍵知道相似圖形的面積比，周長比的關系．三、相似多邊形的性質(zhì)一、單選題1．（2019秋·上海·九年級?？茧A段練習）對一個圖形進行放縮時，下列說法中正確的是（）A．圖形中線段的長度與角的大小都保持不變B．圖形中線段的長度與角的大小都會改變C．圖形中線段的長度保持不變、角的大小可以改變D．圖形中線段的長度可以改變、角的大小保持不變【答案】D【詳解】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應邊成比例，對應角相等，可知對一個圖形進行收縮時，圖形中線段的長度改變，角的大小不變，故選D．點睛：本題主要考查相似圖形的性質(zhì).理解相似圖形的性質(zhì)是解題的關鍵.2．（2017秋·上海·九年級?？计谥校┯梅糯箸R觀察一個五邊形時，不變的量是（

）A．各邊的長度 B．各內(nèi)角的度數(shù) C．五邊形的周長 D．五邊形的面積【答案】B【詳解】解：∵用一個放大鏡去觀察一個三角形，∴放大后的三角形與原三角形相似，∵相似三角形的對應邊成比例，∴各邊長都變大，故此選項錯誤；∵相似三角形的對應角相等，∴對應角大小不變，故選項B正確；．∵相似三角形的面積比等于相似比的平方，∴C選項錯誤；∵相似三角形的周長得比等于相似比，∴D選項錯誤．故選B．點睛：此題考查了相似三角形的性質(zhì)．注意相似三角形的對應邊成比例，相似三角形的對應角相等，相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的周長得比等于相似比．二、填空題3．（2020秋·上海浦東新·九年級校聯(lián)考階段練習）四邊形和四邊形是相似圖形，點A、B、C、D分別與點、、、對應，已知，，，那么的長是______．【答案】【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì)即可得．【詳解】四邊形和四邊形是相似圖形，且點分別與點對應，，又，，，，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解題關鍵．4．（2020秋·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，把一張矩形紙片沿著一條對稱軸翻折，所得到的矩形與原矩形相似，已知原矩形紙片較短的邊長為，那么其較長邊用含的代數(shù)式表示為_______．【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．【詳解】解：設較長邊為b，∵所得到的矩形ABCD與原矩形相似，∴，整理得，，解得，b=，故答案為：.【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應邊成比例是解題的關鍵．5．（2016秋·上海嘉定·九年級統(tǒng)考期末）將一個矩形沿著一條對稱軸翻折，如果所得到的矩形與這個矩形相似，那么我們就將這樣的矩形定義為“白銀矩形”．事實上，“白銀矩形”在日常生活中隨處可見．如，我們常見的A4紙就是一個“白銀矩形”．請根據(jù)上述信息求A4紙的較長邊與較短邊的比值．這個比值是____．【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的對應邊的比相等列出比例式，計算即可．【詳解】解：由題意得,四邊形ABFE相似四邊形ADCB，故答案為．【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應邊的比相等、對應角相等是解題的關鍵．6．（2018秋·上海嘉定·九年級統(tǒng)考期中）已知兩個三角形是相似形，其中一個三角形的兩個角分別為25o、55o，則另一個三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為__________．【答案】【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出一個三角形的最大內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)相似三角形的對應角相等得出另一個三角形最大內(nèi)角度數(shù)．【詳解】解：∵一個三角形的兩個角分別為25°、55°，∴第三個角，即最大角為180°-（25°+55°）=100°，∵兩個三角形相似，∴另一個三角形的最大內(nèi)角度數(shù)為100°，故答案為：100°．【點睛】本題主要考查相似圖形，解題的關鍵是掌握三角形的內(nèi)角和定理及相似三角形的性質(zhì)．7．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）已知兩個矩形相似，第一個矩形的兩邊長分別是3和4，第二個矩形較短的一邊長是4，那么第二個矩形較長的一邊長是______．【答案】/【分析】設第二個矩形較長的一邊長是a，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出，再求出a即可．【詳解】解：設第二個矩形較長的一邊長是a，∵兩個矩形相似，第一個矩形的兩邊長分別是3和4，第二個矩形較短的一邊長是4，∴，解得∶，即第二個矩形較長的一邊長是，故答案為∶．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，能熟記相似多邊形的性質(zhì)（相似多邊形的對應邊的比相等）是解此題的關鍵．8．（2019秋·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ杏懦跫壷袑W?？茧A段練習）已知：如圖所示，矩形ABCD中，點E、F分別在邊AB、CD上，且AEFD是正方形，若矩形BCFE和矩形ABCD相似，且AD=2，則AB的長為____________．【答案】【分析】直接利用相似多邊形的性質(zhì)得出對應邊的比值進而得出答案．【詳解】設EB=x，∵矩形BCFE和矩形ABCD相似，∴，∵四邊形AEFD是正方形，∴AD=BC=2，∴，解得：x=-1±（負數(shù)不合題意舍去），∴BE=-1+，故AB=2-1+=1+，故答案為：1+．【點睛】此題考查相似多邊形的性質(zhì)，正確得出對應邊關系是解題關鍵．9．（2022·上海·九年級專題練習）如圖，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點．若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=________【答案】【分析】可設AD=x，根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．【詳解】∵沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，∴四邊形ABEF是正方形，∵AB=1，設AD=x，則FD=x?1，F(xiàn)E=1，∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，∴，，解得x1=，x2=(負值舍去)，經(jīng)檢驗x1=是原方程的解，即．故答案為：【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)及相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵．10．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）四邊形和四邊形是相似圖形，點分別與對應，已知，，，那么的長是__________．【答案】1.6【分析】相似多邊形的對應邊成比例，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】∵四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，∴CD：C′D′=BC：B′C′，∵BC=3，CD=2.4，B'C′=2，∴C′D′=1.6，故答案為：1.6．【點睛】本題考查相似圖形，解題的關鍵是熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)．三、解答題11．（2020秋·九年級?？颊n時練習）如圖，兩個四邊形相似，求未知邊x、y的長度及角α的大?。敬鸢浮縳=24，y=28，α=75°【分析】已知題意，想到根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：對應角相等，對應邊成比例，從而正確解答此題．【詳解】∵兩個四邊形相似，∴20：5=x：6=y：7，解得：x=24，y=28，∵四邊形內(nèi)角和等于360°，∴α==75°，∴x=24，y=28，α=75°．【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形的對應角相等，相似多邊形對應邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方，認真計算是解答本題的關鍵．12．（2018秋·上?！ぞ拍昙夒A段練習）設四邊形與四邊形是相似的圖形，且與、與、與是對應點，已知，，求四邊形的周長．【答案】38【分析】四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1是相似的圖形，則根據(jù)相似多邊形對應邊的比相等，就可求得A1B1C1D1的其它邊的長，就可求得周長．【詳解】解：∵四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1是相似的圖形，∴，又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，∴，∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6，∴四邊形A1B1C1D1的周長=8+12+12+6=38．【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形對應邊之比相等．13．（2022·上海·九年級專題練習）已知四邊形與四邊形相似，并且點A與點、點B與點、點C與點、點D與點分別對應．(1)已知，，，求的度數(shù)；(2)已知，，，，，求四邊形的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)多邊形相似的性質(zhì)：對應角相等，求解即可；（2）根據(jù)多邊形相似的性質(zhì)：對應邊成比例，進行求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形與四邊形相似，∴，∴；（2）解：∵四邊形與四邊形相似，∴，∴，∴，，∴四邊形的周長【點睛】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關鍵．【過關檢測】一．選擇題（共6小題）1．（2023?崇明區(qū)一模）下列各組圖形，一定相似的是（）A．兩個等腰梯形 B．兩個菱形 C．兩個正方形 D．兩個矩形【分析】根據(jù)相似圖形的定義，四條邊對應成比例，四個角對應相等，對各選項分析判斷后利用排除法解答．【解答】解：A、兩個等腰梯形不一定相似，故本選項不合題意；B、兩個菱形，形狀不一定相同，故本選項不合題意；C、兩個正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似形定義，故本選項符合題意；D、兩個矩形四個角相等，但是各邊不一定對應成比例，所以不一定相似，故本選項不合題意．故選：C．【點評】本題主要考查了圖形相似的判定，熟練掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性質(zhì)是解題的關鍵，難度適中．2．（2021秋?昭平縣期末）下列和右圖相似的圖形是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合圖形，對選項一一分析，排除錯誤答案．【解答】解：A、形狀相同，但大小不一定相同，符合相似形的定義，故正確；B、只是大小沒有改變，而形狀發(fā)生了改變，故錯誤；C、只是大小沒有改變，而形狀發(fā)生了改變，故錯誤；D、只是大小沒有改變，而形狀發(fā)生了改變，故錯誤．故選：A．【點評】形狀相同是識別相似形的關鍵．即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換即為相似變換．3．（2022秋?黃浦區(qū)期中）下列圖形中，一定相似的是（）A．一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形 B．有一個內(nèi)角為80°的兩個等腰三角形 C．兩個長方形 D．有一個內(nèi)角為80°的兩個菱形【分析】由相似三角形的判定方法依次判斷可求解．【解答】解：A、一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形不一定相似，故A選項不符合題意；B、有一個內(nèi)角為80°的兩個等腰三角形不一定相似，故B選項不符合題意；C、兩個長方形不一定相似，故C選項不符合題意；D、有一個內(nèi)角為80°的兩個菱形一定相似，故D選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了相似三角形的判定，熟練運用相似三角形的判定是本題的關鍵．4．（2022秋?奉賢區(qū)期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）A．兩個等腰直角三角形 B．各有兩邊長是4和5的兩個直角三角形 C．各有兩邊長是4和5的兩個等腰三角形 D．各有一個角是40°的兩個等腰三角形【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對應角相等，對應邊成比例對各選項分析判斷利用排除法求解．【解答】解：A、兩個等腰直角三角形，兩腰成比例，夾角都是直角相等，一定相似，故本選項符合題意；B、各有兩邊長是4和5的兩個直角三角形，不一定相似，故本選項不符合題意；C、各有兩邊長是4和5的兩個等腰三角形，不一定相似，故本選項不符合題意；D、各有一個角是40°的兩個等腰三角形，不一定相似，故本選項不符合題意．故選：A．【點評】本題考查了相似圖形，注意相似圖形從對應邊與夾角兩方面考慮，是基礎題，熟練掌握概念是解題的關鍵．5．（2023?長寧區(qū)一模）下列各組圖形中一定是相似形的是（）A．兩個等腰梯形 B．兩個矩形 C．兩個直角三角形 D．兩個等邊三角形【分析】如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊成比例，則這兩個多邊形是相似多邊形．【解答】解：∵等邊三角形的對應角相等，對應邊的比相等，∴兩個等邊三角形一定是相似形，又∵直角三角形，等腰梯形的對應角不一定相等，矩形的邊不一定對應成比例，∴兩個直角三角形、兩個等腰梯形、兩個矩形都不一定是相似形，故選：D．【點評】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)為：①對應角相等；②對應邊的比相等．6．（2022秋?浦東新區(qū)期中）下列各組中兩個圖形不相似的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似圖形的定義一一判斷即可．【解答】解：A、兩個三角形相似，相似比為4：3．本選項不符合題意；B、兩個圖形不相似，對應邊不成比例．本選項符合題意．C、兩個矩形相似，相似比為3：2．本選項不符合題意；D、兩個正方形相似．本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查相似圖形，解題的關鍵是掌握相似圖形的定義，屬于中考?？碱}型．二．填空題（共9小題）7．（2019秋?徐匯區(qū)期末）四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'是相似圖形，點A、B、C、D分別與A'、B'、C'、D'對應，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的長是1.6．【分析】相似多邊形的對應邊成比例，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，∴CD：C′D′＝BC：B′C′，∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，∴C′D′＝1.6，故答案為：1.6．【點評】本題考查相似圖形，解題的關鍵是熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)．8．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，點E、F是對角線BD上的點（點E、F不與B、D重合），分別聯(lián)結(jié)AE、EC、AF、CF，若四邊形AECF是菱形，且與菱形ABCD是相似形，那么菱形AECF的邊長是a.（用a的代數(shù)式表示）．【分析】連接AC，交BD于O．根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠ABO＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，OC＝OA，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得出OC＝OA＝AB＝a．再根據(jù)相似圖形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)定義求解即可．【解答】解：如圖，連接AC，交BD于O．∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，∴∠ABO＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，OC＝OA，∴OC＝OA＝AB＝a．由題意，可得菱形ABCD∽菱形ECFA，∴∠ECO＝∠ECF＝∠ABC＝30°，∴CE＝＝＝a．故答案為：a．【點評】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義等知識，難度適中．準確作出輔助線求出OA的長是解題的關鍵．9．（2018秋?嘉定區(qū)期中）已知兩個三角形是相似形，其中一個三角形的兩個角分別為25°、55°，則另一個三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為100°．【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出一個三角形的最大內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)相似三角形的對應角相等得出另一個三角形最大內(nèi)角度數(shù)．【解答】解：∵一個三角形的兩個角分別為25°、55°，∴第三個角，即最大角為180°﹣（25°+55°）＝100°，∵兩個三角形相似，∴另一個三角形的最大內(nèi)角度數(shù)為100°，故答案為：100°．【點評】本題主要考查相似圖形，解題的關鍵是掌握三角形的內(nèi)角和定理及相似三角形的性質(zhì)．10．（2022秋?金山區(qū)校級期末）如果梯形的一條對角線把梯形分成的兩個三角形相似，那么我們稱該梯形為“優(yōu)美梯形”．如果一個直角梯形是“優(yōu)美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周長為8+2．【分析】過D作DE⊥BC于E，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BE＝AD＝2，求得BD＝CD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，過D作DE⊥BC于E，∵梯形是直角梯形，∴∠A＝∠ABC＝∠DEB＝90°，∴四邊形ABED是矩形，∴BE＝AD＝2，∵BC＝4，∴CE＝BE＝2，∴BD＝CD，∵梯形的一條對角線把梯形分成的兩個三角形相似，∴△ABD∽△DBC，∴＝，∴＝＝1，∴AB＝AD＝2，∴BD＝CD＝AD＝2，∴它的周長為2+2+4+2＝8+2，故答案為：8+2．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角梯形，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵，11．（2016秋?普陀區(qū)期末）利用復印機的縮放功能，將原圖中邊長為5厘米的一個等邊三角形放大成邊長為20厘米的等邊三角形，那么放大前后的兩個三角形的周長比是1：4．【分析】根據(jù)等