滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練第02講比例線段(原卷版+解析)

第02講比例線段【知識(shí)梳理】一．比例的性質(zhì)（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．（2）常用的性質(zhì)有：①內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．若＝，則ad＝bc．②合比性質(zhì)．若＝，則＝．③分比性質(zhì)．若＝，則＝．④合分比性質(zhì)．若＝，則＝．⑤等比性質(zhì)．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），則＝．二．比例線段（1）對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．三．黃金分割（1）黃金分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．（2）黃金三角形：黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值．黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個(gè)底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：；②等腰三角形，兩個(gè)底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比：．（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長之比確切值為．【考點(diǎn)剖析】一．比例的性質(zhì)（共15小題）1．（2018秋?浦東新區(qū)期中）已知3x＝5y（y≠0），則下列比例式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝2．（2023?青浦區(qū)一模）已知三個(gè)數(shù)1、3、4，如果再添上一個(gè)數(shù)，使它們能組成一個(gè)比例式，那么這個(gè)數(shù)可以是（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2023?普陀區(qū)一模）已知，x+y＝10，那么x﹣y＝．4．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代數(shù)式3x﹣2y+z的值．5．（2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末）根據(jù)4a＝5b，可以組成的比例有（）A． B． C． D．6．（2022秋?浦東新區(qū)期中）已知＝，那么的值為（）A． B． C． D．﹣7．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）如果2a＝3b（a、b都不等于零），那么＝．8．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知，且2a﹣3b+c＝28，求代數(shù)式a+b﹣c的值．9．（2022秋?上海月考）已知a、b、c分別是△ABC的三條邊的邊長，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周長．10．（2022秋?虹口區(qū)期中）已知：＝＝≠0，且a+b+c＝36，求a、b、c的值．11．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）已知，求的值．12．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知：a：b：c＝3：4：5．（1）求代數(shù)式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．13．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值．14．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足＝＝，且x﹣2y+3z＝﹣2．求：的值．15．（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知＝＝≠0，且5x+y﹣2z＝10，求x、y、z值二．比例線段（共10小題）16．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a(chǎn)＝2，，，17．（2023?長寧區(qū)一模）已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．118．（2023?寶山區(qū)一模）已知線段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正確的是（）A．2a＝3b B．a(chǎn)+b＝5 C． D．19．（2022秋?嘉定區(qū)期中）如果mn＝pq，那么下列比例式正確的是（）A． B． C． D．20．（2021秋?金山區(qū)期末）在比例尺是1：200000的地圖上，兩地的距離是6cm，那么這兩地的實(shí)際距離為（）A．1.2km B．12km C．120km D．1200km21．（2020秋?靜安區(qū)期末）已知線段x，y滿足＝，求的值．22．（2023?金山區(qū)一模）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm23．（2021秋?黃浦區(qū)期末）4和9的比例中項(xiàng)是（）A．6 B．±6 C． D．24．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知：線段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如線段a、b、c滿足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．25．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知a、b、c是△ABC的三邊長，且＝＝≠0，求：（1）的值．（2）若△ABC的周長為90，求各邊的長．三．黃金分割（共7小題）26．（2023?長寧區(qū)一模）已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，那么的值為（）A． B． C． D．27．（2022秋?徐匯區(qū)期末）已知點(diǎn)P、點(diǎn)Q是線段AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AB＝10，那么PQ的長為（）A．5（3﹣） B．10（﹣2） C．5（﹣1） D．5（+1）28．（2021秋?金山區(qū)期末）如果點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＜BP，那么的值等于（）A．+1 B．﹣1 C． D．29．（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知點(diǎn)A、B、C在一條直線上，AB＝1，且AC2＝BC?AB，求AC的長．30．（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知點(diǎn)C在線段AB上，且滿足AC2＝AB?BC．（1）若AB＝1，求AC的長；（2）若AC比BC大2，求AB的長．31．（2020秋?閔行區(qū)期末）古希臘藝術(shù)家發(fā)現(xiàn)當(dāng)人的頭頂至肚臍的長度（上半身的長度）與肚臍至足底的長度（下半身的長度）的比值為“黃金分割數(shù)”時(shí)，人體的身材是最優(yōu)美的．一位女士身高為154cm，她上半身的長度為62cm，為了使自己的身材顯得更為優(yōu)美，計(jì)劃選擇一雙合適的高跟鞋，使自己的下半身長度增加．你認(rèn)為選擇鞋跟高為多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm32．（2019秋?嘉定區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，線段AB＝2，BD⊥AB于點(diǎn)B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．求證：點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．

【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022秋·上海崇明·九年級(jí)?？计谥校┮阎齻€(gè)數(shù)1，2，，如果再添上一個(gè)數(shù)，使它們能組成一個(gè)比例式，那么這個(gè)數(shù)不可以的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)?？计谥校┫铝懈鹘M線段中，成比例線段的組是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┮阎€段是線段、的比例中項(xiàng)，如果，，那么線段的長為（

）A． B．6 C． D．364．（2021秋·上海青浦·九年級(jí)校考期中）已知線段a、b、c、d，如果，那么下列式子中一定正確的是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·上海松江·九年級(jí)?？计谥校┮阎c(diǎn)C是線段上的一個(gè)點(diǎn)，且是和的比例中項(xiàng)，則下列式子成立的是（）A． B． C． D．6．（2023·上海寶山·一模）已知線段a、b，如果，那么下列各式中一定正確的是（）A． B． C． D．二、填空題7．（2022秋·上海普陀·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若，則的值為___________．8．（2021秋·上?！ぞ拍昙?jí)校考階段練習(xí)）在比例尺為的地圖上A、B兩處的距離是，那么A、B兩處實(shí)際距離是______．9．（2021秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）已知，則的值為______．10．（2023·上海嘉定·?？家荒＃┤绻?、都不等于零），那么=_____．11．（2021秋·上海青浦·九年級(jí)?？计谥校┮阎€段厘米、厘米，如果線段a是線段c和b的比例中項(xiàng)，那么線段______厘米．12．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）如圖，已知上海東方明珠電視塔塔尖A到地面底部B的距離是468米，第二球體點(diǎn)P處恰好是整個(gè)塔高的一個(gè)黃金分割點(diǎn)（點(diǎn)A、B、P在一直線），且，那么底部B到球體P之間的距離是_________米（結(jié)果保留根號(hào)）13．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，如果，那么線段___________．14．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，如果，那么較長線段的長是__________．15．（2021秋·上海普陀·九年級(jí)校考期中）已知，那么（a﹣b）：a＝___．16．（2022秋·九年級(jí)單元測試）已知線段AB=2cm，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則線段AC等于__________cm17．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）我們知道，兩條鄰邊之比等于黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形．如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，點(diǎn)E在邊BC上，將這個(gè)矩形沿直線AE折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處，那么EF與CE的比值等于________．18．（2020秋·上?！ぞ拍昙?jí)上外附中校考階段練習(xí)）如圖，在中，的內(nèi)、外角平分線分別交及其延長線于點(diǎn)，則___________

三、解答題19．（2020秋·九年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）已知線段AB=10cm，點(diǎn)C是AB上的黃金分割點(diǎn)，求AC的長是多少厘米？20．（2021秋·上海徐匯·九年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，求的值．21．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a、b、c分別是△ABC的三條邊的邊長，且a：b：c＝5：7：8，3a-2b+c=9，求△ABC的周長．22．（2022秋·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：，且，求的值．23．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）梯形ABCD中，AD//BC，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，G1和G2分別為三角形AOB和三角形COD的重心．（1）求證：G1G2//AD；（2）延長AG1交BC于點(diǎn)P，當(dāng)P為BC的黃金分割點(diǎn)時(shí)，求的值．24．（2022秋·上海嘉定·九年級(jí)校考期中）已知線段x，y.(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的值.25．（2020秋·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，.（1）若，，求；（2）若，，求.（用，表示）26．（2022秋·上海寶山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)C在線段AB上，且滿足．(1)若AB=1，求AC的長；(2)若AC比BC大2，求AB的長．第02講比例線段【知識(shí)梳理】一．比例的性質(zhì)（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．（2）常用的性質(zhì)有：①內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．若＝，則ad＝bc．②合比性質(zhì)．若＝，則＝．③分比性質(zhì)．若＝，則＝．④合分比性質(zhì)．若＝，則＝．⑤等比性質(zhì)．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），則＝．二．比例線段（1）對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．三．黃金分割（1）黃金分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．（2）黃金三角形：黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值．黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個(gè)底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：；②等腰三角形，兩個(gè)底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比：．（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長之比確切值為．【考點(diǎn)剖析】一．比例的性質(zhì)（共15小題）1．（2018秋?浦東新區(qū)期中）已知3x＝5y（y≠0），則下列比例式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】直接利用比例的性質(zhì)得出x，y之間關(guān)系進(jìn)而得出答案．【解答】解：A、＝，可以化成：xy＝15，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、＝，可以化成：3x＝5y，故此選項(xiàng)正確；C、＝，可以化成：5x＝3y，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、＝，可以化成：5x＝3y，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確掌握比例的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023?青浦區(qū)一模）已知三個(gè)數(shù)1、3、4，如果再添上一個(gè)數(shù)，使它們能組成一個(gè)比例式，那么這個(gè)數(shù)可以是（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)分別判斷即可．【解答】解：1：3＝4：12，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確把握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2023?普陀區(qū)一模）已知，x+y＝10，那么x﹣y＝2．【分析】直接利用已知代入求出y的值，即可得出x的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵，x+y＝10，∴x＝y(tǒng)，則y+y＝10，解得：y＝4，故x＝6，那么x﹣y＝6﹣4＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確將已知代入是解題關(guān)鍵．4．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代數(shù)式3x﹣2y+z的值．【分析】設(shè)比值為k，用k表示出x、y、z，然后代入等式求出k，從而得到x、y、z，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：設(shè)＝＝＝k，則x＝2k，y＝3k，z＝4k，∵2x﹣3y+4z＝33，∴4k﹣9k+16k＝33，解得k＝3，∴x＝6，y＝9，z＝12，∴3x﹣2y+z＝3×6﹣2×9+12＝18﹣18+12＝12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”表示出x、y、z求解更簡便．5．（2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末）根據(jù)4a＝5b，可以組成的比例有（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：A、∵＝，∴5a＝4b，故A不符合題意；B、∵＝，∴5a＝4b，故B不符合題意；C、∵＝，∴4a＝5b，故C符合題意；D、∵＝，∴ab＝20，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?浦東新區(qū)期中）已知＝，那么的值為（）A． B． C． D．﹣【分析】利用比例的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵＝，∴＝1﹣＝1﹣＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）如果2a＝3b（a、b都不等于零），那么＝．【分析】直接利用已知把a(bǔ)，b用同一未知數(shù)表示，進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】解：∵2a＝3b（a、b都不等于零），∴設(shè)a＝3x，則b＝2x，那么＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握正確表示出a，b的值是關(guān)鍵．8．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知，且2a﹣3b+c＝28，求代數(shù)式a+b﹣c的值．【分析】利用設(shè)k法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：設(shè)＝＝＝k，則a＝2k，b＝5k，c＝7k，∵2a﹣3b+c＝28，∴4k﹣15k+7k＝28，解得：k＝﹣7，∴a＝﹣14，b＝﹣35，c＝﹣49，∴a+b﹣c＝﹣14+（﹣35）﹣（﹣49）＝﹣49+49＝0，∴代數(shù)式a+b﹣c的值為0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)k法是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?上海月考）已知a、b、c分別是△ABC的三條邊的邊長，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周長．【分析】設(shè)a＝5k，b＝7k，c＝8k，再代入等式3a﹣2b+c＝9，求出k的值，從而得到a、b、c的值，然后根據(jù)三角形周長公式進(jìn)行計(jì)算，即可得解．【解答】解：設(shè)a＝5k，b＝7k，c＝8k，代入3a﹣2b+c＝9得，15k﹣14k+8k＝9，解得：k＝1，則a＝5，b＝7，c＝8，所以△ABC的周長是：5+7+8＝20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)以及代數(shù)式求值，解決此類題目時(shí)利用“設(shè)k法”求解更簡便．10．（2022秋?虹口區(qū)期中）已知：＝＝≠0，且a+b+c＝36，求a、b、c的值．【分析】可設(shè)＝＝＝k（k≠0），可得a＝3k，b＝4k，c＝5k，再根據(jù)a+b+c＝36可得關(guān)于k的方程，解方程求出k，進(jìn)一步求得a、b、c的值．【解答】解：設(shè)＝＝＝k≠0，則a＝3k，b＝4k，c＝5k，∵a+b+c＝36，∴3k+4k+5k＝36，解得k＝3，則a＝3k＝9，b＝4k＝12，c＝5k＝15．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例的性質(zhì)，設(shè)k法得到關(guān)于k的方程是解題的關(guān)鍵．11．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）已知，求的值．【分析】先設(shè)＝＝＝k，可得x＝2k，y＝3k，z＝4k，再把x、y、z的值都代入所求式子計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)＝＝＝k，則x＝2k，y＝3k，z＝4k，＝＝11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是先假設(shè)設(shè)＝＝＝k，可得x＝2k，y＝3k，z＝4k，降低計(jì)算難度．12．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知：a：b：c＝3：4：5．（1）求代數(shù)式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．【分析】設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）把a(bǔ)＝3k，b＝4k，c＝5k代入代數(shù)式中進(jìn)行分式的混合運(yùn)算即可；（2）把a(bǔ)＝3k，b＝4k，c＝5k代入3a﹣b+c＝10得到關(guān)于k的方程，求出k，從而得到a、b、c的值．【解答】解：∵a：b：c＝3：4：5，∴設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）＝＝；（2）∵3a﹣b+c＝10，∴9k﹣4k+5k＝10，解得k＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的基本性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)等）是解決問題的關(guān)鍵．13．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值．【分析】設(shè)a＝3k，b＝5k，c＝4k，根據(jù)a﹣3b+2c＝﹣8，得k＝2，a＝6，b＝10，c＝8，即可求出答案．【解答】解：∵，∴設(shè)a＝3k，b＝5k，c＝4k，∵a﹣3b+2c＝﹣8，∴3k﹣15k+8k＝﹣8，∴k＝2，∴a＝6，b＝10，c＝8，∴＝＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的基本性質(zhì)，根據(jù)已知條件列方程是關(guān)鍵．14．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足＝＝，且x﹣2y+3z＝﹣2．求：的值．【分析】設(shè)＝＝＝k（k≠0），得出x＝3k，y＝5k，z＝2k，再根據(jù)x﹣2y+3z＝﹣2，求出k的值，從而得出x、y、z的值，然后代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：∵＝＝，設(shè)＝＝＝k（k≠0），∴x＝3k，y＝5k，z＝2k，∵x﹣2y+3z＝﹣2，∴3k﹣10k+6k＝﹣2，∴k＝2，∴x＝6，y＝10，z＝4，∴＝＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的基本性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)等）是解決問題的關(guān)鍵．15．（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知＝＝≠0，且5x+y﹣2z＝10，求x、y、z值【分析】首先設(shè)x＝2a，y＝3a，z＝4a，然后再代入5x+y﹣2z＝10，可得a的值，進(jìn)而可得答案．【解答】解：設(shè)x＝2a，y＝3a，z＝4a，∵5x+y﹣2z＝10，∴10a+3a﹣8a＝10，5a＝10，a＝2，∴x＝4，y＝6，z＝8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握用同一未知數(shù)表示各未知數(shù)．二．比例線段（共10小題）16．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a(chǎn)＝2，，，【分析】根據(jù)比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對(duì)選項(xiàng)一一分析，即可得出答案．【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合題意，B.1×4≠2×3，故不符合題意，C.≠2×3，故不符合題意，D.，故符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時(shí)候，最小的和最大的相乘，另外兩個(gè)相乘，看它們的積是否相等．同時(shí)注意單位要統(tǒng)一．17．（2023?長寧區(qū)一模）已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．1【分析】根據(jù)成比例線段的概念可得a：c＝c：b，可求d的值．【解答】解：∵線段a、b、c、d是成比例線段，a＝1，b＝2，c＝3，∴a：b＝c：d，即1：2＝3：d，解得：d＝6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例線段，掌握比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．18．（2023?寶山區(qū)一模）已知線段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正確的是（）A．2a＝3b B．a(chǎn)+b＝5 C． D．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、由a：b＝2：3，得3a＝2b，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、當(dāng)a＝4，b＝6時(shí)，a：b＝2：3，但是a+b＝10，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、由a：b＝2：3，得＝，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D、當(dāng)a＝4，b＝6時(shí)，a：b＝2：3，但是＝，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)及式子的變形，用到的知識(shí)點(diǎn)：在比例里，兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)的積，比較簡單．19．（2022秋?嘉定區(qū)期中）如果mn＝pq，那么下列比例式正確的是（）A． B． C． D．【分析】從選項(xiàng)判斷，把每一個(gè)比例式化成等積式即可解答．【解答】解：A、∵，∴mq＝pn，故不符合題意；B、∵，∴qm＝pn，故不符合題意；C、∵，∴mn＝pq，故符合題意；D、∵，∴pm＝qn，故不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，把比例式化成等積式是解題的關(guān)鍵．20．（2021秋?金山區(qū)期末）在比例尺是1：200000的地圖上，兩地的距離是6cm，那么這兩地的實(shí)際距離為（）A．1.2km B．12km C．120km D．1200km【分析】設(shè)這兩地的實(shí)際距離為xcm，根據(jù)比例尺的定義列出方程，然后求解即可得出答案．【解答】解：設(shè)這兩地的實(shí)際距離為xcm．由題意得：＝，解得x＝1200000，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1200000是分式方程的解，1200000cm＝12km，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查比例線段，比例尺的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例尺性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．21．（2020秋?靜安區(qū)期末）已知線段x，y滿足＝，求的值．【分析】先根據(jù)比例的基本性質(zhì)得到y(tǒng)（2x+y）＝x（x﹣y），可得x2﹣3xy﹣y2＝0，再把y當(dāng)作已知數(shù)，解關(guān)于x的方程即可求得的值．【解答】解：∵＝，∴y（2x+y）＝x（x﹣y），則x2﹣3xy﹣y2＝0，解得x1＝y(tǒng)，x2＝y(tǒng)（負(fù)值舍去）．故的值為．【點(diǎn)評(píng)】考查了比例線段，關(guān)鍵是熟練掌握比例的基本性質(zhì)，得到x＝y(tǒng)是解題的難點(diǎn)．22．（2023?金山區(qū)一模）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四條線段不成比例，不符合題意；B、∵2×5≠3×4，∴四條線段不成比例，不符合題意；C、∵2×6＝3×4，∴四條線段成比例，符合題意；D、∵3×9≠4×6，∴四條線段成比例，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．23．（2021秋?黃浦區(qū)期末）4和9的比例中項(xiàng)是（）A．6 B．±6 C． D．【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)：兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)項(xiàng)之積求解．【解答】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)得：比例中項(xiàng)的平方等于兩條線段的乘積．設(shè)它們的比例中項(xiàng)是x，則x2＝4×9，解得x＝±6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例中項(xiàng)的概念：當(dāng)比例式中的兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)相同時(shí)，即叫比例中項(xiàng)．求比例中項(xiàng)根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．24．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知：線段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如線段a、b、c滿足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．【分析】（1）設(shè)＝＝＝k，則a＝3k，b＝4k，c＝5k，代入所求代數(shù)式即可；（2）把a(bǔ)＝3k，b＝4k，c＝5k代入3a﹣4b+5c＝54求出k，把k值代入所求代數(shù)式即可．【解答】解：設(shè)＝＝＝k，則a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）＝＝＝；（2）∵3a﹣4b+5c＝54，∴9k﹣16k+25k＝54，解得：k＝3，∴a﹣2b+c＝3k﹣8k+5k＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了比例線段，設(shè)＝＝＝k得到a＝3k，b＝4k，c＝5k是解決問題的關(guān)鍵．25．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知a、b、c是△ABC的三邊長，且＝＝≠0，求：（1）的值．（2）若△ABC的周長為90，求各邊的長．【分析】（1）設(shè)＝＝＝k，易得a＝5k，b＝4k，c＝6k，然后把它們分別代入中，再進(jìn)行分式的運(yùn)算即可；（2）根據(jù)三角形周長定義得到5k+4k+6k＝90，解關(guān)于k的方程求出k，然后計(jì)算5k、4k和6k即可．【解答】解：（1）設(shè)＝＝＝k，則a＝5k，b＝4k，c＝6k，所以＝＝；（2）5k+4k+6k＝90，解得k＝6，所以a＝30，b＝24，c＝36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．三．黃金分割（共7小題）26．（2023?長寧區(qū)一模）已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，那么的值為（）A． B． C． D．【分析】利用黃金分割的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，∴＝，∴＝＝，∴＝﹣1＝﹣1＝＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋?徐匯區(qū)期末）已知點(diǎn)P、點(diǎn)Q是線段AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AB＝10，那么PQ的長為（）A．5（3﹣） B．10（﹣2） C．5（﹣1） D．5（+1）【分析】先由黃金分割的比值求出BP＝AQ＝5（﹣1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，∵點(diǎn)P、Q是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝10，∴BP＝AQ＝AB＝5（﹣1），∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（﹣1）﹣10＝10（﹣2），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，熟記黃金比是解題的關(guān)鍵．28．（2021秋?金山區(qū)期末）如果點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＜BP，那么的值等于（）A．+1 B．﹣1 C． D．【分析】由黃金分割的定義得＝，即可得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＜BP），∴＝＝＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．29．（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知點(diǎn)A、B、C在一條直線上，AB＝1，且AC2＝BC?AB，求AC的長．【分析】分三種情況：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長線時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：分三種情況：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，如圖：∵AC2＝BC?AB，∴點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，∴AC＝AB＝×1＝；當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線時(shí)，如圖：設(shè)AC＝x，則BC＝AC﹣AB＝x﹣1，∵AC2＝BC?AB，∴x2＝（x﹣1）?1，整理得：x2﹣x+1＝0，∴原方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長線時(shí)，如圖：設(shè)AC＝x，則BC＝AC+AB＝x+1，∵AC2＝BC?AB，∴x2＝（x+1）?1，整理得：x2﹣x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（不符合題意，舍去），∴AC的長為；綜上所述，AC的長為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．30．（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知點(diǎn)C在線段AB上，且滿足AC2＝AB?BC．（1）若AB＝1，求AC的長；（2）若AC比BC大2，求AB的長．【分析】（1）根據(jù)已知可得點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，從而可得AC＝AB，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)已知可設(shè)AC＝x，則BC＝x﹣2，從而可得AB＝2x﹣2，然后根據(jù)AC2＝AB?BC，可得x2＝（2x﹣2）（x﹣2），從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）∵點(diǎn)C在線段AB上，且滿足AC2＝AB?BC，∴點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，∴AC＝AB＝，∴AC的長為；（2）∵AC比BC大2，∴設(shè)AC＝x，則BC＝x﹣2，∴AB＝AC+BC＝2x﹣2，∵AC2＝AB?BC，∴x2＝（2x﹣2）（x﹣2），解得：x1＝3+，x2＝3﹣（舍去），∴AB＝2x﹣2＝2+4，∴AB的長為2+4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．31．（2020秋?閔行區(qū)期末）古希臘藝術(shù)家發(fā)現(xiàn)當(dāng)人的頭頂至肚臍的長度（上半身的長度）與肚臍至足底的長度（下半身的長度）的比值為“黃金分割數(shù)”時(shí)，人體的身材是最優(yōu)美的．一位女士身高為154cm，她上半身的長度為62cm，為了使自己的身材顯得更為優(yōu)美，計(jì)劃選擇一雙合適的高跟鞋，使自己的下半身長度增加．你認(rèn)為選擇鞋跟高為多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】她下半身的長度為92cm，設(shè)鞋跟高為x厘米時(shí)，她身材顯得更為優(yōu)美，利用黃金分割的定義得到≈0.618，然后解方程即可．【解答】解：∵一位女士身高為154cm，她上半身的長度為62cm，∴她下半身的長度為92cm，設(shè)鞋跟高為x厘米時(shí)，她身材顯得更為優(yōu)美，根據(jù)題意得≈0.618，解得x≈8.3（cm）．經(jīng)檢驗(yàn)x＝8.3為原方程的解，所以選擇鞋跟高為8厘米的高跟鞋最佳．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．也考查了解分式方程．32．（2019秋?嘉定區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，線段AB＝2，BD⊥AB于點(diǎn)B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．求證：點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．【分析】在直角△ABD中根據(jù)勾股定理計(jì)算出AD＝，則AE＝AD﹣DE＝﹣1，再利用畫法得到AC＝AE＝﹣1，即AC＝AB，然后根據(jù)黃金分割的定義得到點(diǎn)C就是線段AB的黃金分割點(diǎn)．【解答】證明：∵AB＝2，BD＝AB，∴BD＝1．∵BD⊥AB于點(diǎn)B，∴AD＝＝，∴AE＝AD﹣DE＝﹣1，∴AC＝AE＝﹣1，∴AC＝AB，∴點(diǎn)C就是線段AB的黃金分割點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022秋·上海崇明·九年級(jí)?？计谥校┮阎齻€(gè)數(shù)1，2，，如果再添上一個(gè)數(shù)，使它們能組成一個(gè)比例式，那么這個(gè)數(shù)不可以的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】能否構(gòu)成一個(gè)比例式，根據(jù)“兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段”判斷即可．【詳解】A．

，能組成一個(gè)比例式，不合題意；B．，能組成一個(gè)比例式，不合題意；C．1，2，，，

不能組成一個(gè)比例式，符合題意；D．，能組成一個(gè)比例式，不合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了成比例的線段，熟知：兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．2．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)校考期中）下列各組線段中，成比例線段的組是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)比例線段的定義可各選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，是成比例線段，故本選項(xiàng)符合題意；B、，不是成比例線段，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，不是成比例線段，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，不是成比例線段，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．3．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┮阎€段是線段、的比例中項(xiàng)，如果，，那么線段的長為（

）A． B．6 C． D．36【答案】B【分析】利用比例中項(xiàng)的平方等于兩個(gè)外項(xiàng)的積，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意，得：，∵，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查比例選段．熟練掌握比例中項(xiàng)的平方等于兩個(gè)外項(xiàng)的積，是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋·上海青浦·九年級(jí)?？计谥校┮阎€段a、b、c、d，如果，那么下列式子中一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把各個(gè)選項(xiàng)的比例式轉(zhuǎn)化為乘積式，可得結(jié)論．【詳解】解：A、由推出，本選項(xiàng)不符合題意；B、由推出，本選項(xiàng)符合題意；C、由推出，本選項(xiàng)不符合題意；D、由推出，本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查比例線段，比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)．5．（2022秋·上海松江·九年級(jí)?？计谥校┮阎c(diǎn)C是線段上的一個(gè)點(diǎn)，且是和的比例中項(xiàng)，則下列式子成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，則，由比例中項(xiàng)得出，代入解一元二次方程即可解答．【詳解】解：設(shè)，，則，∵是和的比例中項(xiàng)，∴，即，∴，解得：，（舍去），即，∴，∴，故A符合題意；，故B不符合題意；，故C不符合題意；，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查比例中項(xiàng)、線段的比、解一元二次方程，熟知比例中項(xiàng)的定義是解答的關(guān)鍵．6．（2023·上海寶山·一模）已知線段a、b，如果，那么下列各式中一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、由，得，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、當(dāng)，時(shí)，，但是，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、由，得，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D、當(dāng)，時(shí)，，但是，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)及式子的變形，用到的知識(shí)點(diǎn)：在比例里，兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)的積，比較簡單．二、填空題7．（2022秋·上海普陀·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若，則的值為___________．【答案】【分析】由，設(shè)，然后再代入求解即可；【詳解】解：∵，設(shè)，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，設(shè)是解題關(guān)鍵．8．（2021秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）在比例尺為的地圖上A、B兩處的距離是，那么A、B兩處實(shí)際距離是______．【答案】【分析】設(shè)A、B兩處的實(shí)際距離是，根據(jù)比例尺的定義列式計(jì)算即可得解，然后再化為千米即可．【詳解】解：設(shè)A、B兩處的實(shí)際距離是，根據(jù)題意得：解得：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例，主要利用了比例尺的定義，計(jì)算時(shí)要注意單位之間的換算．9．（2021秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）已知，則的值為______．【答案】/【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，求得，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，解得，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了比例，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·上海嘉定·?？家荒＃┤绻?、都不等于零），那么=_____．【答案】//【分析】直接利用已知把，用同一未知數(shù)表示，進(jìn)而計(jì)算得出答案；【詳解】解：（都不等于零），∴設(shè)，則，那么；故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出，的值是解題關(guān)鍵．11．（2021秋·上海青浦·九年級(jí)?？计谥校┮阎€段厘米、厘米，如果線段a是線段c和b的比例中項(xiàng)，那么線段______厘米．【答案】【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到，然后利用比例性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：∵線段a是線段c和b的比例中項(xiàng)，∴，即，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．特別的是若，則a是c和b的比例中項(xiàng)．12．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）如圖，已知上海東方明珠電視塔塔尖A到地面底部B的距離是468米，第二球體點(diǎn)P處恰好是整個(gè)塔高的一個(gè)黃金分割點(diǎn)（點(diǎn)A、B、P在一直線），且，那么底部B到球體P之間的距離是_________米（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．【詳解】解：∵點(diǎn)P是線段上的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且米，，∴米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念，熟記黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，如果，那么線段___________．【答案】/【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念列式求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了黃金分割點(diǎn)的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握黃金分割點(diǎn)的概念．把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．14．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，如果，那么較長線段的長是__________．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，得到，求解即可．【詳解】解：由題意，得：，即：，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割點(diǎn)．熟練掌握黃金分割點(diǎn)的定義，是解題的關(guān)鍵．15．（2021秋·上海普陀·九年級(jí)?？计谥校┮阎敲矗╝﹣b）：a＝___．【答案】1：3【分析】根據(jù)設(shè)，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵∴設(shè)，∴（a﹣b）：a＝故答案為：1：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．16．（2022秋·九年級(jí)單元測試）已知線段AB=2cm，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則線段AC等于__________cm【答案】(-1)或(3-)【分析】分AC＞BC、AC＜BC兩種情況，根據(jù)黃金比值計(jì)算即可．【詳解】當(dāng)AC＞BC時(shí)，AC==當(dāng)AC＜BC時(shí)，AC=AB-AB=，∴線段AC的值為：-1（cm）或3-（cm）．故答案為：-1（cm）或3-（cm）．【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割，掌握黃金比值是解題的關(guān)鍵．17．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）我們知道，兩條鄰邊之比等于黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形．如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，點(diǎn)E在邊BC上，將這個(gè)矩形沿直線AE折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處，那么EF與CE的比值等于________．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)可證四邊形ABEF是正方形，可得EF＝BE，進(jìn)一步即可求出EF與CE的比值．【詳解】解：根據(jù)折疊，可知AB＝AF，BE＝FE，∠BAE＝∠FAE，在矩形ABCD中，∠BAF＝∠B＝90°，∴∠BAE＝∠FAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴BA＝BE，∴AB＝BE＝EF＝FA，又∵∠B＝90°，∴四邊形ABEF是正方形，∴EF＝BE＝AB，∵矩形ABCD是黃金矩形，∴＝，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握黃金分割是解題的關(guān)鍵．18．（2020秋·上?！ぞ拍昙?jí)上外附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，的內(nèi)、外角平分線分別交及其延長線于點(diǎn)，則___________

【答案】5【分析】根據(jù)CD是∠ACB的平分線，由三角形的面積可得出，可得出①；由CE是∠ACB的外角平分線，得出，進(jìn)而得出②，兩式相加即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵CD是∠ACB的平分線，∴∴∴，即①；∵CE是∠ACB的外角平分線，∴∴，即②；①+②，得．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的應(yīng)用，熟練掌握比的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2020秋·九年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）已知線段AB=10cm，點(diǎn)C是AB上的黃金分割點(diǎn)，求AC的長是多少厘米？【答案】（）cm或（15?）cm【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AC可能是較長線段，也可能是較短線段；則AC＝或AC＝10?（）＝15?．【詳解】解：根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，應(yīng)