滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破05相似三角形中的“內(nèi)接矩形”(原卷版+解析)

重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破05相似三角形中的“內(nèi)接矩形”【知識(shí)梳理】ABABCDEFGHT常用結(jié)論：．【考點(diǎn)剖析】例1.如圖，正方形DEFG的邊EF在的邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上，AH是的高，BC=60厘米，AH=40厘米，求正方形DEFG的邊長(zhǎng)．AABCDEFGHP例2.中，正方形EFGH的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)G、H分別在 AC、AB上，BC=15，BC邊上的高AD=10，求正方形EFGH的面積．AABCHGFED例3.如圖，在中，矩形DEFG的一邊DE在BC邊上，頂點(diǎn)G、F分別在AB、AC邊上，AH是BC邊上的高，AH與GF交于點(diǎn)K．若，，矩形DEFG的周長(zhǎng)為76cm，求矩形DEFG的面積．AABCDEFGHK例4.在銳角中，矩形DEFG的頂點(diǎn)D在AB邊上，頂點(diǎn)E、F在BC邊上， 頂點(diǎn)G在AC邊上，如果矩形DEFG的長(zhǎng)為6，寬為4，設(shè)底邊BC上的高為， 的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式．例5.如圖，矩形DEFG的邊EF在的邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上，AH為BC邊上的高，AH交DG于點(diǎn)P，已知，，設(shè)DG的長(zhǎng)為x，矩形DEFG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域．AABCEFGDHP例6.一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5m，面積為1.5m2，現(xiàn)需把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖（1），乙設(shè)計(jì)方案如圖（2）．你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好？請(qǐng)說(shuō)明理由（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中可保留分?jǐn)?shù)）．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）如圖，已知正方形的頂點(diǎn)D、E在的邊上，點(diǎn)G、F分別在邊上，如果，的面積是32，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是（

）A．4 B．8 C． D．2．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)校考期中）如圖，正方形的邊在的邊上，頂點(diǎn)D、G分別在邊上，已知的邊長(zhǎng)15厘米，高為10厘米，則正方形的邊長(zhǎng)是（

）A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米二、填空題3．（2021秋·上?！ぞ拍昙?jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，正方形的邊在邊上，頂點(diǎn)D、E分別在、上，，若的面積為36，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．4．（2021秋·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上，如果BC＝4，BC邊上的高是6，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是____．5．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，正方形的邊在的邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上，如果其面積為24，那么的值為_(kāi)_____．6．（2022秋·上海·九年級(jí)上外附中?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形為的內(nèi)接矩形，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在上，是邊上的高，，則矩形的面積為_(kāi)__________．7．（2022秋·上海青浦·九年級(jí)校考期中）如圖，矩形內(nèi)接于，，，，則邊上的高的長(zhǎng)是______8．（2022秋·上海靜安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知在中，邊，高，正方形的頂點(diǎn)F、G在邊BC上，頂點(diǎn)E、H分別在邊AB和AC上，那么這個(gè)正方形的面積等于________．9．（2022秋·上海松江·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D：正方形的邊在邊上，頂點(diǎn)D、G分別在邊、上，于H，交于P，已知，，那么正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)__________．10．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形的邊在的邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上．已知長(zhǎng)為40厘米，若正方形的邊長(zhǎng)為25厘米，則的高為_(kāi)_______厘米．11．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┤鐖D，已知正方形的頂點(diǎn)、分別在的邊、上，頂點(diǎn)、在的邊上，若，，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是________．12．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)、分別在邊、上，點(diǎn)、在斜邊上，那么正方形的邊長(zhǎng)是______．13．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，矩形DEFG的邊DE在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上，已知BC＝6cm，DE＝3cm，EF＝2cm，那么邊BC上的高的長(zhǎng)是___cm．14．（2021秋·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知正方形的頂點(diǎn)、在的邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上，如果，邊上的高是6，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是______．15．（2021秋·上海浦東新·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖：正方形DGFE的邊EF在△ABC邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上，AH⊥BC于H，交DG于P，已知BC＝48，AH＝16，那么S正方形DGEF＝_____．16．（2022秋·上海徐匯·九年級(jí)上海市田林第三中學(xué)校考期中）在中，矩形的一邊在邊上，頂點(diǎn)G、F分別在上，是邊上的高，與交與點(diǎn)K，若，矩形周長(zhǎng)為76，則_________．17．（2022秋·上海黃浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形內(nèi)接于，，若的面積是，則的長(zhǎng)是___________．18．（2022秋·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知在中，邊，高，正方形的頂點(diǎn)、在邊上，頂點(diǎn)、分別在邊和上，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于___________．19．（2022秋·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形的邊在的邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上．已知，，，那么的面積是________．20．（2022秋·上海長(zhǎng)寧·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，上的高，矩形的頂點(diǎn)E、F在邊上，G、H分別在邊、上，，則該矩形的面積為_(kāi)_______．三、解答題21．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)校考期中）一塊三角形余料，它的邊長(zhǎng)厘米，高厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在、上，則加工成的零件邊長(zhǎng)為多少厘米？22．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，DF∥AC，BD=2AD，AE=2EC．(1)如果AB=2AC，求證：四邊形ADFE是菱形；(2)如果，且BC=，連結(jié)DE，求DE的長(zhǎng)．23．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）一塊三角形的余料，底邊BC長(zhǎng)1.8米，高AD＝1米，如圖．要利用它裁剪一個(gè)長(zhǎng)寬比是3∶2的長(zhǎng)方形，使長(zhǎng)方形的長(zhǎng)在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在AB、AC上，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)EH和寬EF的長(zhǎng)．24．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，矩形的邊在的邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上，，垂足為．已知，．(1)當(dāng)矩形為正方形時(shí)，求該正方形的邊長(zhǎng)；(2)當(dāng)矩形面積為18時(shí)，求矩形的長(zhǎng)和寬．25．（2022秋·上海靜安·九年級(jí)上海市民立中學(xué)?？计谥校┤鐖D，矩形的邊在的邊上，頂點(diǎn)D、G分別在邊、上，，高，如果，求矩形的周長(zhǎng)．重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破05相似三角形中的“內(nèi)接矩形”【知識(shí)梳理】ABABCDEFGHT常用結(jié)論：．【考點(diǎn)剖析】例1.如圖，正方形DEFG的邊EF在的邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上，AH是的高，BC=60厘米，AH=40厘米，求正方形DEFG的邊長(zhǎng)．AABCDEFGHP【答案】24．【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，，．，，正方形的邊長(zhǎng)為24．【總結(jié)】本題考查三角形內(nèi)接正方形的相關(guān)知識(shí)，主要還是通過(guò)比例相等來(lái)列式建立關(guān)系．例2.中，正方形EFGH的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)G、H分別在 AC、AB上，BC=15，BC邊上的高AD=10，求正方形EFGH的面積．AABCHGFED【答案】．【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，易知： ． ，． ， ，， 正方形的面積為．【總結(jié)】本題考查三角形內(nèi)接正方形的模型，熟練掌握此題涉及的知識(shí)點(diǎn)．例3.如圖，在中，矩形DEFG的一邊DE在BC邊上，頂點(diǎn)G、F分別在AB、AC邊上，AH是BC邊上的高，AH與GF交于點(diǎn)K．若，，矩形DEFG的周長(zhǎng)為76cm，求矩形DEFG的面積．AABCDEFGHK【答案】．【解析】解：設(shè)， 矩形，，,又是高，，, ，, ，，，，．【總結(jié)】本題考查三角形一邊的平行線定理，矩形的周長(zhǎng)面積等知識(shí)．例4.在銳角中，矩形DEFG的頂點(diǎn)D在AB邊上，頂點(diǎn)E、F在BC邊上， 頂點(diǎn)G在AC邊上，如果矩形DEFG的長(zhǎng)為6，寬為4，設(shè)底邊BC上的高為， 的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式．【答案】．【解析】解：如圖，矩形，，．又AH是高，．，，，，，，又，．【總結(jié)】本題考查三角形一邊的平行線定理，矩形的面積等知識(shí)．例5.如圖，矩形DEFG的邊EF在的邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上，AH為BC邊上的高，AH交DG于點(diǎn)P，已知，，設(shè)DG的長(zhǎng)為x，矩形DEFG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域．AABCEFGDHP【答案】．【解析】解：矩形，， ，又是高，，,, ，， ，又，，， ，．【總結(jié)】本題考查三角形一邊的平行線定理，矩形的面積等知識(shí)．例6.一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5m，面積為1.5m2，現(xiàn)需把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖（1），乙設(shè)計(jì)方案如圖（2）．你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好？請(qǐng)說(shuō)明理由（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中可保留分?jǐn)?shù)）．【答案】甲同學(xué)方案好，理由略．AABCDEFABCDEFGH【解析】解：,又，在中，．按甲的設(shè)計(jì)：設(shè)，正方形，， ,，，， ，； ②按乙的設(shè)計(jì)：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，得，, 設(shè)，則，正方形，， ，，，，，，；綜上，甲設(shè)計(jì)方案好．【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線，正方形的面積等知識(shí)，本題考查了最優(yōu)化問(wèn)題．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）如圖，已知正方形的頂點(diǎn)D、E在的邊上，點(diǎn)G、F分別在邊上，如果，的面積是32，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是（

）A．4 B．8 C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)A作于H，交于M，如圖，先利用三角形面積公式計(jì)算出，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，再證明，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得方程，然后解關(guān)于x的方程即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于H，交于M，∵的面積是32，，∴，∴，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，∵，∴，∴，，解得∶，即這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)校考期中）如圖，正方形的邊在的邊上，頂點(diǎn)D、G分別在邊上，已知的邊長(zhǎng)15厘米，高為10厘米，則正方形的邊長(zhǎng)是（

）A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米【答案】C【分析】由得，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x．∵正方形得，∴，即，∵，∴．∵∴∴．∵∴，即，∵，∴，解得．故正方形的邊長(zhǎng)是6cm．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．由平行線得到相似三角形并利用相似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2021秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，正方形的邊在邊上，頂點(diǎn)D、E分別在、上，，若的面積為36，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】4【分析】過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)M，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，利用的面積求出，證明，則，列方程即可求得答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)M，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，∵的面積為36，，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，即的長(zhǎng)為4，故答案為：4【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上，如果BC＝4，BC邊上的高是6，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是____．【答案】2.4/【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為x，則GF=x，MH=x，AM=6-x，再證明△AGF∽△ABC，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得=，然后解關(guān)于x的方程即可．【詳解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如圖，∵BC邊上的高是6，即設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為x，則GF=x，MH=x，AM=6-x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴=，即=，解得x=，即正方形DEFG的邊長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；在應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，主要利用相似比計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)．也考查了正方形的性質(zhì)．5．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，正方形的邊在的邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上，如果其面積為24，那么的值為_(kāi)_____．【答案】24【分析】通過(guò)證明，則，即可得到答案．【詳解】，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在三角形的邊上，，，，．故答案為24．【點(diǎn)睛】本題主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)上外附中?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形為的內(nèi)接矩形，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在上，是邊上的高，，則矩形的面積為_(kāi)__________．【答案】【分析】設(shè)，可得，根據(jù)，可得，可求出x，即可求解．【詳解】解：∵，∴可設(shè)，∵矩形為的內(nèi)接矩形，是邊上的高，∴，，∴，，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴矩形的面積為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、矩形的周長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到比例式．7．（2022秋·上海青浦·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形內(nèi)接于，，，，則邊上的高的長(zhǎng)是______【答案】/6厘米【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，再證，利用相似三角形對(duì)應(yīng)高線之比等于相似比列出等式，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，矩形中，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，解得，即，則邊上的高的長(zhǎng)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，證明是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·上海靜安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知在中，邊，高，正方形的頂點(diǎn)F、G在邊BC上，頂點(diǎn)E、H分別在邊AB和AC上，那么這個(gè)正方形的面積等于________．【答案】/【分析】利用正方形的性質(zhì)可知，再利用平行線分線段成比例定理的推論可得，利用相似三角形的性質(zhì)可得比例線段，利用比例線段可求正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而獲得答案．【詳解】解：如下圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，，∵，∴，即，設(shè)，則，∴，解得，∴，即這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，∴這個(gè)正方形的面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2022秋·上海松江·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D：正方形的邊在邊上，頂點(diǎn)D、G分別在邊、上，于H，交于P，已知，，那么正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】【分析】根據(jù)得出，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比，列方程求出正方形的邊長(zhǎng)，則可得出答案．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x．由正方形得，，∵，∴．∵，∴，∴，∵，，∴，，即，由，，，得，解得．∴正方形的邊長(zhǎng)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是由平行線得到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)列出方程．10．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形的邊在的邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上．已知長(zhǎng)為40厘米，若正方形的邊長(zhǎng)為25厘米，則的高為_(kāi)_______厘米．【答案】/【分析】由得，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比，列方程求解．【詳解】解：設(shè)的高AH為x厘米．由正方形得，，即，∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∴，，∵BC長(zhǎng)為40厘米，若正方形的邊長(zhǎng)為25厘米，∴，解得．即厘米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是由平行線得到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)列方程．11．（2022秋·上海·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知正方形的頂點(diǎn)、分別在的邊、上，頂點(diǎn)、在的邊上，若，，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是________．【答案】【分析】作高交于，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，所以，再證明，即可得到然后根據(jù)比例的性質(zhì)求出的值即可．【詳解】解：作高交于，如圖，∵，，∴，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，正方形的邊長(zhǎng)為，故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；也考查了正方形的性質(zhì)．12．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)、分別在邊、上，點(diǎn)、在斜邊上，那么正方形的邊長(zhǎng)是______．【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，首先由勾股定理得出的長(zhǎng)，由面積法即可求出的長(zhǎng)，可證得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，中，，，，，，∴，∵正方形內(nèi)接于，，，，，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；正確作出輔助線、靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，矩形DEFG的邊DE在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上，已知BC＝6cm，DE＝3cm，EF＝2cm，那么邊BC上的高的長(zhǎng)是___cm．【答案】4【分析】由題意過(guò)A作AH⊥BC于H，交GF于M，由矩形的性質(zhì)得GF∥BC，DG=EF=2cm，GF=DE=3cm，再證△AGF∽△ABC，求出AM=2（cm），則AH=AM+MH=4（cm），即可求解．【詳解】解：過(guò)A作AH⊥BC于H，交GF于M，如圖所示：∵AH⊥BC，四邊形DEFG是矩形，∴四邊形HEFM是矩形，則MH=EF=2cm，∵四邊形DEFG是矩形，∴GF∥BC，DG=EF=2cm，GF=DE=3cm，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：AM=2（cm），∴AH=AM+MH=4（cm），即邊BC上的高的長(zhǎng)是4cm.故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明△AGF∽△ABC是解題的關(guān)鍵．14．（2021秋·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知正方形的頂點(diǎn)、在的邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上，如果，邊上的高是6，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是______．【答案】【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如圖，先設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為x，則GF=x，MH=x，AM=6-x，再證明△AGF∽△ABC，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，然后解關(guān)于x的方程即可．【詳解】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如圖，設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為x，則GF=x，MH=x，AM=6-x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得x=，即正方形DEFG的邊長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；在應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，主要利用相似比計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)．也考查了正方形的性質(zhì)．15．（2021秋·上海浦東新·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖：正方形DGFE的邊EF在△ABC邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上，AH⊥BC于H，交DG于P，已知BC＝48，AH＝16，那么S正方形DGEF＝_____．【答案】144【分析】根據(jù)DG∥BC得出△ADG∽△ABC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比，列方程求出正方形的邊長(zhǎng)，則可得出答案．【詳解】解：設(shè)正方形DGEF的邊長(zhǎng)為x．由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG．∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，∵PH⊥BC，DE⊥BC，∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，即，由BC＝48，AH＝16，DE＝DG＝x，得，解得x＝12．∴正方形DEFG的邊長(zhǎng)是12，∴S正方形DGEF＝DE2＝122＝144．故答案為：144．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是由平行線得到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)列出方程．16．（2022秋·上海徐匯·九年級(jí)上海市田林第三中學(xué)?？计谥校┰谥?，矩形的一邊在邊上，頂點(diǎn)G、F分別在上，是邊上的高，與交與點(diǎn)K，若，矩形周長(zhǎng)為76，則_________．【答案】20【分析】設(shè)為x，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出為，再由相似三角形的判定和性質(zhì)得出，然后將各線段代入求解即可．【詳解】解：設(shè)為x，∵矩形的周長(zhǎng)為76，∴為，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴是邊上的高，與交于點(diǎn)K，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案為：20．【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等，理解題意，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．（2022秋·上海黃浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形內(nèi)接于，，若的面積是，則的長(zhǎng)是___________．【答案】4【分析】易證，可得：，再由兩平行線間的距離相等，即可得出，結(jié)合，即可得出，可求解的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示：過(guò)作于，交于,∵的面積是，,∴,∴，∴，正方形內(nèi)接于，，設(shè)，，，，∴，∴,∵，∴,，又∵，，，，∴∵，，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，正方形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知在中，邊，高，正方形的頂點(diǎn)、在邊上，頂點(diǎn)、分別在邊和上，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于___________．【答案】2【分析】利用正方形的性質(zhì)可知，再利用平行線分線段成比例定理的推論可得，利用相似三角形的性質(zhì)可得比例線段，利用比例線段可求正方形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示：四邊形是正方形，，，，，，，又，，，，，即，設(shè)，則，，解得：，，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理，是各地中考考查相似三角形常見(jiàn)題型．19．（2022秋·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形的邊在的邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上．已知，，，那么的面積是________．【答案】12【分析】過(guò)A作于H，交于M，由矩形的性質(zhì)得，，，再證，求出，則，即可求解．【詳解】解：過(guò)A作于H，交于M，如圖，則，∵四邊形是矩形，∴，，，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴的面積，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·上海長(zhǎng)寧·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，上的高，矩形的頂點(diǎn)E、F在邊上，G、H分別在邊、上，，則該矩形的面積為_(kāi)_______．【答案】/【分析】如圖，證明，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，問(wèn)題即可解決．【詳解】解：∵，∴設(shè)，則；由題意得：，；∴，而，，∴，即，解得：，∴，．∴該矩形的面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】該題考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答．三、解答題21．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)?？计谥校┮粔K三角形余料，它的邊長(zhǎng)厘米，高厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在、上，則加工成的零件邊長(zhǎng)為多少厘米？【答案】加工成的零件邊長(zhǎng)為厘米【分析】根據(jù)正方形邊的平行關(guān)系，得出對(duì)應(yīng)的相似三角形，即，從而得出邊長(zhǎng)之比，進(jìn)而求出正方形的邊長(zhǎng)；【詳解】解：設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為a，在正方形中，，，∵是的高，即，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴為的高，∵，∴，∴，即，解得：，∴加工成的零件邊長(zhǎng)為厘米．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形判定和性質(zhì)的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)得到相似三角形．22．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，DF∥AC，BD=2AD，AE=2EC．(1)如果AB=2AC，求證：四邊形ADFE是菱形；(2)如果，且BC=，連結(jié)DE，求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）因?yàn)锽D=2AD，AE=2EC，DF//AC，所以可以得出EF//AB，四邊形ADFE是平行四邊形，由于AB=2AC，可以推出EF=DF，故四邊形ADFE是菱形；（2）利用兩邊對(duì)應(yīng)成