易錯(cuò)模型01 全等模型（八大易錯(cuò)分析+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）

易錯(cuò)模型01全等模型易錯(cuò)集合易錯(cuò)模型一：角平分線模型易錯(cuò)陷阱角平分線的性質(zhì)與判定角的平分線的性質(zhì)：角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.用符號(hào)語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.2、角的平分線的判定：角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.用符號(hào)語言表示角的平分線的判定：若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB3、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖步驟：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.（2）分別以D、E為圓心，大于12DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)（3）畫射線OC，射線OC即為所求.4、三角形的角平分線：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的區(qū)別與聯(lián)系：（1）角平分線的性質(zhì)定理中的題設(shè)“在角的平分線上的點(diǎn)”，這個(gè)點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，實(shí)際上是指角平分線上的任意一點(diǎn)，或者說是角平分線上的所有點(diǎn)都具有“到角兩邊的距離相等”的性質(zhì)。（2）角平分線的性質(zhì)定理與判定定理是兩個(gè)互逆定理，是兩個(gè)互逆的真命題。要從題設(shè)、條件與結(jié)論的關(guān)系上理解它們的區(qū)別和聯(lián)系。點(diǎn)在角平分線上?性質(zhì)定理（3）角平分線的性質(zhì)定理與判定定理在應(yīng)用時(shí)的作用不同。性質(zhì)定理的結(jié)論是確定點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的問題。判定定理的結(jié)論是判定點(diǎn)是否在角平分線上的問題。【易錯(cuò)點(diǎn)】發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)鍵字：角平分線，學(xué)會(huì)用角平分線的性質(zhì)添加輔助線——過角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線；舉一反三例1．如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE相交于點(diǎn)O，BD交AC于點(diǎn)D，CE交AB于點(diǎn)E，若已知△ABC周長(zhǎng)為20，BC=7，AE:AD=4:3，則AE長(zhǎng)為（

）A．187 B．247 C．267例2．如圖，在銳角△ABC中，AC=8，S△ABC=24，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是

變式1．如圖，在△ABC中，AM平分∠BAC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且，連接BM、CM，∠BAC=α，則∠BMD的度數(shù)為．用含α

變式2．如圖△ABC中，，分別作△ABC的兩個(gè)內(nèi)角平分線和CD，、CD相交于點(diǎn)P，連接AP，有以下結(jié)論：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③PD=PE；④BD+CE=BC，其中正確的結(jié)論有．變式3．已知∠AOB=90°，OC是∠AOB的平分線．三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OC上移動(dòng)，(1)在圖1中，三角板的兩直角邊分別與OA，OB交于M，N，求證：PM=PN；(2)在圖2中，三角板的一條直角邊與OB交于點(diǎn)N，另一條直角邊與OA的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，猜想此時(shí)（1）中的結(jié)論是否成立，畫出圖形，并說明理由．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④2．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=36°，則∠CAP=．3．如圖，在五邊形ABCDE中，，CA平分∠BCD，∠CAD=1

(1)求證：；(2)若∠B=75°，求∠E4．如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD、CE相交于點(diǎn)O，求證：

易錯(cuò)模型二：垂直模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】模型主體為兩個(gè)直角三角形，且兩條斜邊互相垂直．【常見模型】【易錯(cuò)點(diǎn)】善于發(fā)現(xiàn)兩個(gè)有關(guān)聯(lián)的直角，利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余的特征來做；舉一反三例3．如圖，直線l上有三個(gè)正方形，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（

）A．13 B．16 C．36 D．55例4．如圖，△ABC為等腰直角三角形AC=BC，若A-3,0，C0,2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為變式1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過點(diǎn)B，C作經(jīng)過點(diǎn)A的直線的垂線段BD，CE，若，CE=4，則DE的長(zhǎng)為變式2．如圖，△OAB是等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，則經(jīng)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)表達(dá)式為．變式3．綜合與實(shí)踐：如圖1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，、AD分別與過點(diǎn)C的直線垂直，且垂足分別為E，D．(1)猜想線段AD、DE、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．(2)如圖2，當(dāng)過點(diǎn)C的直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到△ABC的內(nèi)部，其他條件不變，線段AD、DE、三者之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？若改變，請(qǐng)直接寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系，若不改變，請(qǐng)說明理由；易錯(cuò)題通關(guān)1．如下圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D．DE=6cm，AD=9cm，則BE的長(zhǎng)是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm2．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn)B在y軸上，若反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象過點(diǎn)C3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A-2,0，C6,0，B為y軸正半軸上一點(diǎn)，D在第四象限，且BC⊥CD，CA平分∠BCD(1)直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求證：AB=AD；(3)求四邊形ABCD的面積．4．已知，射線于點(diǎn)A，CA=BA，等腰直角△DEF的頂點(diǎn)D，E分別在射線CA和BA上，∠FDE=90°，F(xiàn)D=ED，過點(diǎn)D作DG⊥FC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GD交射線BA于點(diǎn)．

(1)如圖，點(diǎn)D，E在線段CA，BA上．①若，∠DHE=110°，求∠GFD的度數(shù)；②證明：CD=HE；(2)若CA=3CD=6，AH=1，請(qǐng)直接寫出線段BE的長(zhǎng)．易錯(cuò)模型三：半角模型易錯(cuò)陷阱【模型分析】過等腰三角形頂點(diǎn)兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型．【常見模型】常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系．半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論．【易錯(cuò)點(diǎn)】當(dāng)出現(xiàn)45°角和60°角時(shí)，要聯(lián)系到半角模型；舉一反三例5．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，則△ABD與A．36 B．21 C．30 D．22例6．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長(zhǎng)為．變式1如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，若BE＝2，則EF的長(zhǎng)為．變式2．在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，點(diǎn)E,F在AB邊上，∠ECF=45°．若AE=10,EF=15，則的長(zhǎng)為．變式3．（1）閱讀理解如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點(diǎn)，∠EAF＝45°，則我們常常會(huì)想到：把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG．易證△AEF≌，得出線段BF，DE，EF之間的關(guān)系為；（2）類比探究如圖2，在等邊△ABC中，D，E為BC邊上的點(diǎn)，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求線段DE的長(zhǎng)；（3）拓展應(yīng)用如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝6+2，∠BAC＝150°，點(diǎn)D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰，請(qǐng)直接寫出線段

易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，連接EF，有下列結(jié)論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）

A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④2．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長(zhǎng)為．3．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC邊上的點(diǎn)，將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD'，連接D'(1)當(dāng)∠BAC＝120°，∠DAE＝60°時(shí)，求證：DE＝D'E(2)當(dāng)DE＝D'E時(shí)，∠DAE與∠BAC(3)在（2）的結(jié)論下，當(dāng)∠BAC＝90°，BD與DE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，△D'EC4．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．(1)求證：AE=EF；(2)連接AC，則CFAC的值為__________(3)連接，設(shè)與CD交于點(diǎn)H，連接EH，探究BE，EH，易錯(cuò)模型四：一線三等角模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．【常見模型】舉一反三例7．如圖，點(diǎn)P，D分別是∠ABC邊BA，BC上的點(diǎn)，且BD=4，∠ABC=60°．連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)作等邊△DPE，連結(jié)BE，則△BDE的面積為（A．43 B．2 C．4 D．例8．小李用7塊長(zhǎng)為8cm，寬為3cm的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板點(diǎn)B在DE上，點(diǎn)A和C分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為．變式1．如圖，在四邊形ABEF中，AB=4，EF=6，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，連接AC、CF，若AC=CF，∠B=∠E=∠ACF，則

變式2．如圖所示，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°．直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥l于點(diǎn)F．若BE=2,CF=5，則EF=．變式3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-43x+4與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，若△ABC

易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．2．如圖，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)E，且點(diǎn)C在DE上，若AD＝5，BE＝8，則DE的長(zhǎng)為．3．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直線MN經(jīng)過邊AC．將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，過點(diǎn)A作AD⊥MN于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥MN于點(diǎn)

(1)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，①求證：△ADC≌△CEB；②求證：DE=AD+BE；(2)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論②4．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試問：DE、AD、有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，DE、AD、之間的等量關(guān)系是___（直接寫出答案，不需證明）．易錯(cuò)模型五：手拉手模型易錯(cuò)陷阱【模型分析】將兩個(gè)三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等．【模型圖示】公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”．對(duì)應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得．【常見模型】（等腰）（等邊）（等腰直角）舉一反三例9．如圖，在△ABC中，AB=AC=23，∠BAC=120°，D為線段BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊向上作等邊△BED，連接CE、AD，則AD+CE的最小值為（

）

A．43 B．23+6 C．3+3 D．63例10．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE，AD與交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，與CD交于點(diǎn)Q，連接．以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的結(jié)論有．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）變式1．如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上，連接BD，有下列結(jié)論：①AE=BD；②∠DAB=∠BCD；③ED⊥DB；④AE變式2．已知：如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，連接EF，則EF的長(zhǎng)為．變式3．如圖，大小不同的兩塊三角板△ABC和△DEC直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)C處，AC=BC，DC=EC，連接AE、BD，點(diǎn)A恰好在線段BD上．(1)找出圖中的全等三角形，并說明理由；(2)猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說明理由．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，點(diǎn)C是線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，有以下5個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的結(jié)論有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，△DAC，△ECB均是等邊三角形，點(diǎn)A，C，B在同一條直線上，且AE，BD分別與CD，CE交于點(diǎn)M，N，連結(jié)MN．則下列結(jié)論：（1）△ACE≌△DCB；（2）△CMN為等邊三角形；（3）OC平分∠AOB；（4）MN∥BC；（5）CO平分∠DCE．其中正確的有（

3．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD相交于O，設(shè)E、F分別是AD、AB上的點(diǎn)，若∠EOF=90°，4．如圖，已知△ABC是等邊三角形，過點(diǎn)A作DE∥BC（DE<BC），且DA=EA，連接BD、CE．

(1)求證：四邊形DBCE是等腰梯形；(2)點(diǎn)F在腰CE上，連接交AC于點(diǎn)G，若∠FBD=60°，求證：CG=12易錯(cuò)模型六：旋轉(zhuǎn)模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對(duì)頂角相等、等角加（減）公共角的條件．【常見模型】舉一反三例11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，連接BE．當(dāng)AD＝BF時(shí)，∠BEF的度數(shù)是（）

A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°例12．如圖，等邊△ABC中，∠AOB=115°,∠BOC=125°，則以線段OA,OB,OC為邊構(gòu)成的三角形的各角的度數(shù)分別為．變式1．如圖，正方形ABCD中，AB=45，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=4，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF，則線段OF變式2．如圖，在四邊形ABCD中，于，則的長(zhǎng)為變式3．如圖1，等邊△ABC中，DE∥BA分別交BC、AC于點(diǎn)D、E．(1)求證：△CDE(2)將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°<θ<360°），設(shè)直線AE與直線BD相交于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)0°<θ<180°時(shí)，判斷∠AFB②若AB=7，CD=3，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，求BD的長(zhǎng)．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合，如果AP=3cm，那么PP′的長(zhǎng)為（

）A．43 B． C．33 D．2．如圖，ΔABC和ΔDCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，∠EBD=42°，則∠AEB=度．3．等腰Rt△ABC中，AB=(1)如圖1，D，E是等腰Rt△ABC斜邊BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠DAE=45°，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°①求證：△AED②當(dāng)BE=3，CE=7時(shí)，求DE的長(zhǎng)；(2)如圖2，點(diǎn)D是等腰Rt△ABC斜邊BC所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ADE，當(dāng)BD=3，BC=9時(shí)，則4．已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC，BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE，且CA=CD．CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE與BD交于點(diǎn)

(1)如圖1，可得△ACE≌___________；若∠ACD=60°，則∠AFB=___________(2)如圖2，若，則∠AFB=___________．（用含a的式子表示）(3)設(shè)，將圖2中的△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點(diǎn)F至少在BD，AE中的一條線段上），如圖3．試探究∠AFB與易錯(cuò)模型七：倍長(zhǎng)中線模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線．所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法．（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫中線的時(shí)候）。【常見模型及證法】1、基本型：如圖1，在三角形ABC中，AD為BC邊上的中線.證明思路：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得AD=DE.若連結(jié)BE，則ΔBDE?ΔCDA；若連結(jié)EC，則ΔABD2、中點(diǎn)型:如圖2，C為AB的中點(diǎn).證明思路：若延長(zhǎng)EC至點(diǎn)F，使得CF=EC，連結(jié)AF，則ΔBCE若延長(zhǎng)DC至點(diǎn)G，使得CG=DC，連結(jié)BG，則ΔACD3、中點(diǎn)+平行線型：如圖3,AB//CD，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn).證明思路：延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F(或交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F)，則ΔEDC舉一反三例13．在△ABC中，AC=6，中線AD=10，則AB邊的取值范圍是（）A．16<AB<22 B．14<AB<26 C．16<AB<26 D．14<AB<22例14、如圖，在△ABC中，AD為BC邊的中線，E為AD上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，若∠AEF=∠FAE，BE=4，，則CF的長(zhǎng)為．變式1．如圖，在?ABCD，點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn)，連接，AE平分∠FAD，交CD于中點(diǎn)E，連接EF，若∠FAD=60°，AD=5，CF=3，則

變式2．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在AC上，，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接，則CD=．變式3．（1）如圖①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD為BC邊上的中線，求AD的取值范圍；（2）如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB⊥BD，AB=5，BD=4，CD=3，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

A．2 B．52 C．5 D．2．如圖，在△ABC中，AB=12，AC=20，求BC邊上中線AD的范圍為．3．如圖，AD為△ABC中線，點(diǎn)E在AC上，交AD于點(diǎn)F，AE=EF．求證：．4．已知△ABC中，(1)如圖1，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使FE=EA，則與AC的數(shù)量關(guān)系是．(2)如圖2，若AB=AC，點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作BC的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AD，若∠DAC=∠ABD，求證：(3)如圖3，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，且滿足AD=BC，∠BAD=∠DCB，點(diǎn)M在DC的延長(zhǎng)線上，連接AM交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，若點(diǎn)N為AM的中點(diǎn)，求證：易錯(cuò)模型八：截長(zhǎng)補(bǔ)短模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，截長(zhǎng)補(bǔ)短法（往往需證2次全等）。截長(zhǎng)：指在長(zhǎng)線段中截取一段等于已知線段；補(bǔ)短：指將短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于已知線段?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】（1）截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點(diǎn)F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點(diǎn)F，使DF=DC，證AF=BE（2）補(bǔ)短：將短線段延長(zhǎng)，證與長(zhǎng)線段相等舉一反三例15．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若這個(gè)四邊形的面積是4，則BC+CD等于（）A．2 B．4 C．22 D．42例16．四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，，∠B=70°，則∠D的度數(shù)是．變式1．已知：如圖，△ABC中，E在BC上，D在BA上，過E作EF⊥AB于F，∠B=∠1+∠2，AE=CD，BF=43，則AD的長(zhǎng)為變式2．如圖，已知ΔABC中，∠A=60°，D為AB上一點(diǎn)，且AC=2AD+BD,∠B=4∠ACD，則∠DCB的度數(shù)是變式3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A-2,0，C6,0，B為y軸正半軸上一點(diǎn)，D在第四象限，且BC⊥CD，CA平分∠BCD(1)直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求證：AB=AD；(3)求四邊形ABCD的面積．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，正△ABC和正△CDE中，B、C、D共線，且BC=3CD，連接AD和相交于點(diǎn)F，以下結(jié)論中正確的有（

）個(gè)①∠AFB=60°

②連接FC，則CF平分∠BFD

③

④BF=AF+FCA．4 B．3 C．2 D．12．如圖，△ABC為等邊三角形，若∠DBC=∠DAC=α0°<α<60°，則∠BCD=（用含α3．如圖所示，AB∥CD，，CE分別是∠ABC，∠BCD的平分線，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD．4．在四邊形ABDE中，點(diǎn)C是BD邊的中點(diǎn)．(1)如圖①，AC平分∠BAE，∠ACE=90°，寫出線段AE，AB，DE間的數(shù)量關(guān)系及理由；(2)如圖②，AC平分∠BAE，平分∠AED，∠ACE=120°，寫出線段AB，BD，DE，AE間的數(shù)量關(guān)系及理由．

易錯(cuò)模型01全等模型易錯(cuò)集合易錯(cuò)模型一：角平分線模型易錯(cuò)陷阱角平分線的性質(zhì)與判定角的平分線的性質(zhì)：角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.用符號(hào)語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.2、角的平分線的判定：角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.用符號(hào)語言表示角的平分線的判定：若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB3、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖步驟：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.（2）分別以D、E為圓心，大于12DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)（3）畫射線OC，射線OC即為所求.4、三角形的角平分線：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的區(qū)別與聯(lián)系：（1）角平分線的性質(zhì)定理中的題設(shè)“在角的平分線上的點(diǎn)”，這個(gè)點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，實(shí)際上是指角平分線上的任意一點(diǎn)，或者說是角平分線上的所有點(diǎn)都具有“到角兩邊的距離相等”的性質(zhì)。（2）角平分線的性質(zhì)定理與判定定理是兩個(gè)互逆定理，是兩個(gè)互逆的真命題。要從題設(shè)、條件與結(jié)論的關(guān)系上理解它們的區(qū)別和聯(lián)系。點(diǎn)在角平分線上?性質(zhì)定理（3）角平分線的性質(zhì)定理與判定定理在應(yīng)用時(shí)的作用不同。性質(zhì)定理的結(jié)論是確定點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的問題。判定定理的結(jié)論是判定點(diǎn)是否在角平分線上的問題。【易錯(cuò)點(diǎn)】發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)鍵字：角平分線，學(xué)會(huì)用角平分線的性質(zhì)添加輔助線——過角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線；舉一反三例1．如圖，在△ABC中，∠A=60°∠ABC，和∠ACB的平分線BD、CE相交于點(diǎn)O，BD交AC于點(diǎn)D，CE交AB于點(diǎn)E，若已知△ABC周長(zhǎng)為20，BC=7，AE:AD=4:3，則AE長(zhǎng)為（

）A．187 B．247 C．267【答案】B【分析】證明△BOE≌△BOH得出∠EOH=∠BOH=60°，證明△COD≌△COH得出CD=CH，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，在BC上截取BH=BE，連接∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB∴∠，∴∠ABC+∴∠，∴∠BOE=在△BOE和△BOH中，BE=BH∠∴△∴∠∴∠∴∠在△COD和△COH中，∠ACE=∴△∴CD=CH，∵△ABC周長(zhǎng)為20，，∴AE+AD=6，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角分線的定義，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．例2．如圖，在銳角△ABC中，AC=8，S△ABC=24，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是

【答案】6【分析】先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得ME=MN，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得BM+MN的最小值為，然后根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)BE⊥AC時(shí)，取得最小值，最后利用三角形的面積公式即可得．【詳解】如圖，在AC上取一點(diǎn)E，使AE=AN，連接ME，

∵AD是∠BAC∴∠在△AEM和△ANM中，AE=AN∠∴△∴ME=MN∴BM+MN=BM+ME由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)B,M,E共線時(shí)，BM+ME取最小值，最小值為，又由垂線段最短得：當(dāng)BE⊥AC時(shí)，∵AC=8,∴1解得BE=6，即BM+MN的最小值為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，正確找出BM+MN取得最小值時(shí)的位置是解題關(guān)鍵．變式1．如圖，在△ABC中，AM平分∠BAC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且，連接BM、CM，∠BAC=α，則∠BMD的度數(shù)為．用含α

【答案】90【分析】過M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，即可得到△MFB?△MEC，得到∠MBF=∠MCE，再由四邊形內(nèi)角和可得∠BMC+∠BAC=180°，即可根據(jù)∠BMD=【詳解】過M作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，則∠

∵AM平分∠BAC∴ME=MF，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且，∴，∠BMD=1∴△MFB∴∠MBF=∴∠MBF+∵四邊形ABMC中，∠MBA+∴∠BMC+∵∠BAC=α∴∠BMD=故答案為：90°-【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)作輔助線是解題的關(guān)鍵．變式2．如圖△ABC中，，分別作△ABC的兩個(gè)內(nèi)角平分線和CD，、CD相交于點(diǎn)P，連接AP，有以下結(jié)論：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③PD=PE；④BD+CE=BC，其中正確的結(jié)論有．【答案】①②③④【分析】由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出∠PBC+∠PCB的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理可求出∠BPC的度數(shù)，①正確；過點(diǎn)P作，由角平分線的性質(zhì)可知AP是∠BAC的平分線，②正確；PF=PG=PH，故，由四邊形內(nèi)角和定理可得出，故∠DPF=∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD=PE，③正確；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP,△CHP≌△CGP，故可得出，再由DF=EG可得出BC=BD+CE，④正確；即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，，∴∠PBC+∴∠BPC=180°-(過點(diǎn)P作，∵、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∴，∴PF=PG，∴AP是∠BAC的平分線，②∴PF=PG=PH，∵∠BPC=120∴∠DPE=120∵∠BAC=60∴，∴∠DPF=在與△PGE中，∠DFP=∠∴△PFD∴PD=PE，③正確；在Rt△BHP與Rt△∴Rt△同理，Rt△∴，兩式相加得，，∵DF=EG，∴BC=BD+CE，④正確；故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．變式3．已知∠AOB=90°，OC是∠AOB的平分線．三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OC上移動(dòng)，(1)在圖1中，三角板的兩直角邊分別與OA，OB交于M，N，求證：PM=PN；(2)在圖2中，三角板的一條直角邊與OB交于點(diǎn)N，另一條直角邊與OA的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，猜想此時(shí)（1）中的結(jié)論是否成立，畫出圖形，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)結(jié)論仍成立，理由見解析【分析】本題考查角了角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過P作PE⊥OA于E，于F，由OC為∠AOB的平分線，利用角平分線定理得到PE=PF，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用ASA得到△PME與△PNF全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（2）同（1）可證明．【詳解】（1）解：過P作PE⊥OA于E，于F，∵OC是∠AOB∴PE=PF，∠PEM=∵∠MPE+∠MPF=90°，∠NPF+∴∠MPE=∴△∴PM=PN．（2）畫出圖形，結(jié)論仍成立，理由如下：過P作PE⊥OA于E，于F，∵OC是∠AOB∴PE=PF，∠PEM=∵∠MPE+∠MPF=90°，∠NPF+∴∠MPE=∴△PME∴PM=PN．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正確的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】易證△ABD≌△EBCSAS，可得，可得①②正確，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠DAE=∠DCE，即③正確，根據(jù)③可求得【詳解】解：∵BD為△ABC，在△ABD和△EBC中，BD=BC∠∴△ABD≌△∵BD=BC∴∠，∵△ABD∴∠，②正確，∵∠BCE=∴∠∴AE=EC∵△∴AD=EC，③正確；過E作EG⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

，

∵BD平分∠ABC∴EF=EG在Rt△BEG和Rt△∴Rt∴BG=BF在Rt△CEG和Rt△∴Rt，，④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和全等三角形對(duì)邊角、對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=36°，則∠CAP=．【答案】54°【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案【詳解】解：延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD=x，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=36°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-36°），∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x-（x-36°）-（x-36°）=72°，∴∠CAF=108°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PA，PF=PM，∴Rt△PFA≌Rt（∴∠FAP=∠PAC=54°．故答案為：54°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM=PN=PF是解決問題的關(guān)鍵．3．如圖，在五邊形ABCDE中，，CA平分∠BCD，∠CAD=1

(1)求證：；(2)若∠B=75°，求∠E【答案】(1)見解析(2)105【分析】（1）在CD上截取CF=CB，連接，證明△BCA≌△FCASAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB=AF，∠BAC=∠FAC，進(jìn)而證明△ADF≌△ADESAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DE=DF（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可得∠B+【詳解】（1）解：在CD上截取CF=CB，連接．

∵CA平分∠BCD∴∠BCA=在△BCA和△FCA中，CB=CF∴△∴AB=AF，∠BAC=又∵，∴AF=AE．又∵∠CAD=∴∠BAC+∴∠FAD=在△ADF和△ADE中，AF=AE∠∴△∴DE=DF．∴CD=CF+FD=BC+DE．（2）∵△BCA∴∠B=∵△ADF∴∠E=∴∠B+∴∠E=180【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD、CE相交于點(diǎn)O，求證：

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，得到∠AOC=120°，∠AOE=∠COD=60°，在AC上截取AF=AE，連接OF，分別證明△AOE≌△AOFSAS()，△COD≌△COFASA【詳解】證明：∵∠B=60∴∠∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC∴∠∴∠∴∠如圖，在AC上截取AF=AE，連接OF，

在△AOE和△AOF中，AE=AF∠∴△∴∠∴∠∵∠∴∠在△COD和△COF中，∠OCD=∴△∴CD=CF∵AF=AE∴AF+CF=AE+CD=AC【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，做輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．易錯(cuò)模型二：垂直模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】模型主體為兩個(gè)直角三角形，且兩條斜邊互相垂直．【常見模型】【易錯(cuò)點(diǎn)】善于發(fā)現(xiàn)兩個(gè)有關(guān)聯(lián)的直角，利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余的特征來做；舉一反三例3．如圖，直線l上有三個(gè)正方形，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（

）A．13 B．16 C．36 D．55【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證△BAC?△ECD(AAS)，可得AB=CE，BC=DE，根據(jù)a，c的面積以及勾股定理即可求出b的面積．【詳解】解：如圖：根據(jù)題意，得AC=CD，∠ABC=∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∴∠在△BAC和△ECD中，∠ABC=∴△∴AB=CE，BC=DE，，c的面積分別為5和11，，，，根據(jù)勾股定理，得，∴b的面積為16故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及正方形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．例4．如圖，△ABC為等腰直角三角形AC=BC，若A-3,0，C0,2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為【答案】(2【分析】過點(diǎn)B作BT⊥y軸于點(diǎn)T．證明△AOC【詳解】解：如圖中，過點(diǎn)B作BT⊥y軸于點(diǎn)T．∵A-3,0，C(0∴OA=3，OC=2，∵∠AOC=∴∠ACO+∠BCT=90°，∠BCT+∴∠ACO=在△AOC和△CTB中，∠∴AAS，∴AO=CT=3，BT=CO=2，∴OT=CT-∴B(2，故答案為：(2，【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．變式1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過點(diǎn)B，C作經(jīng)過點(diǎn)A的直線的垂線段BD，CE，若，CE=4，則DE【答案】6【分析】利用垂直的定義得到，由平角的定義及同角的余角相等得到∠ABD=∠CAE，利用AAS證得△ABD≌△ACE，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到，AD=CE=4，由DE=AD+AE即可求出DE【詳解】解：∵BD⊥DE，∴∠BAD+∵∠，在△ABD和△CAE中，∴△ABD∴DB=AE=2，CE=AD=4則．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)由平角的定義及同角的余角相等證得∠ABD=變式2．如圖，△OAB是等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，則經(jīng)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)表達(dá)式為．【答案】【分析】如圖所示，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，證明△ACO≌△ODB得到AC=OD，OC=BD，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-b，a），再由點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=1x，推出【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，則∠ACO=∠ODB=90°，由題意得OA=OB，∠AOB=90°，∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，∴∠CAO=∠DOB，∴△ACO≌△ODB（AAS），∴AC=OD，OC=BD，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b），則AC=OD=a，OC=BD=b，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-b，a），∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=1∴ab=1，∴-ab=∴a=-∴經(jīng)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)表達(dá)式為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式3．綜合與實(shí)踐：如圖1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，、AD分別與過點(diǎn)C的直線垂直，且垂足分別為E，(1)猜想線段AD、DE、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．(2)如圖2，當(dāng)過點(diǎn)C的直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到△ABC的內(nèi)部，其他條件不變，線段AD、DE、三者之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？若改變，請(qǐng)直接寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系，若不改變，請(qǐng)說明理由；【答案】(1)DE=AD+BE，理由見解析；(2)改變，AD=BE+DE，理由見解析．【分析】（1）由“AAS”可證△ACD≌△CBE，可得AD=CE（2）由“AAS”可證△ACD≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=CE，BE=CD本題考查了幾何變換綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：DE=AD+BE，理由如下：∵∠ACB∴∠ACD+∴∠BCE=在△ACD和△CBE中，∴△ACD∴AD=CE，BE=CD，∴DE=AD+BE；（2）改變，AD=BE+DE，∵∠ACB=∠∴∠ACD+∴∠BCE=在△ACD和△CBE中，∴△ACD∴AD=CE，BE=CD，∴AD=CE=CD+DE，即AD=BE+DE．易錯(cuò)題通關(guān)1．如下圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D．DE=6cm，AD=9cm，則BE的長(zhǎng)是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm【答案】C【分析】本題可通過全等三角形來求BE的長(zhǎng)．△BEC和△CDA中，已知了一組直角，∠CBE和∠ACD同為∠BCE的余角，AC=BC，可據(jù)此判定兩三角形全等；那么可得出的條件為CE=AD，BE=CD，因此只需求出CD的長(zhǎng)即可．而CD的長(zhǎng)可根據(jù)CE即AD的長(zhǎng)和DE的長(zhǎng)得出，由此可得解．【詳解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC，∴△ACD≌△CBE；∴EC=AD，BE=DC；∵DE=6cm，AD=9cm，則BE的長(zhǎng)是3cm．故選C．【點(diǎn)睛】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．2．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn)B在y軸上，若反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象過點(diǎn)C【答案】-【分析】過點(diǎn)C作CE⊥y軸于E，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，∠ABC=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出，然后利用“角角邊”證明△ABO和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，，再求出OE，然后寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式計(jì)算即可求出k的值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于E，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90∴∠ABO+∵∠∴∠∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)，∴OA=4∵AB=5∴OB=在△ABO和△BCE中，∠OAB=∴△，，∴OE=BE∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-∵反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象，故答案為：-3【點(diǎn)睛】此題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及到正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A-2,0，C6,0，B為y軸正半軸上一點(diǎn)，D在第四象限，且BC⊥CD，CA平分∠BCD(1)直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求證：AB=AD；(3)求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)0,6(2)見解析(3)32【分析】（1）先證明∠BCO=45°，進(jìn)而推出∠OBC=45°=∠OCB，則OB=OC，由此求解即可；（2）如圖所示，在BC上取一點(diǎn)E使得CE=CD，利用SAS證明△ECA≌△DCA，得到AE=AD，∠AEC=∠ADC，再證明，得到，則AB=AD；（3）如圖所示，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，證明△OAB≌△FDA，得到DF=OA，則DF=OA=3，OC=7，AC=10，再由【詳解】（1）解：∵BC⊥CD，CA平分∠BCD∴∠BCO=∵∠BOC=90∴∠OBC=45∴OB=OC，∵C6,0∴OB=OC=6，∴B0（2）解：如圖所示，在BC上取一點(diǎn)E使得CE=CD，

∵AC平分∠BCD∴∠ECA=在△ECA和△DCA中，EC=DC∠∴△ECA∴AE=AD，∵∠ABC+∴，∴，∴AB=AD；此題方法較多，如以下兩種輔助線方式同理可證.（3）解：如圖所示，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于∴∠AFD=∠BOA=90°，∴∠FAD+∵BC⊥DC∴∴∠FAD+∠OAB=90°，∴∠FDA=由（2）得AD=AB，∴△∴DF=OA∵A-2,0，∴DF=OA=2，OC=6，∴AC=6∴===32．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．已知，射線于點(diǎn)A，CA=BA，等腰直角△DEF的頂點(diǎn)D，E分別在射線CA和BA上，∠FDE=90°，F(xiàn)D=ED，過點(diǎn)D作DG⊥FC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GD交射線BA于點(diǎn)．

(1)如圖，點(diǎn)D，E在線段CA，BA上．①若，∠DHE=110°，求∠GFD的度數(shù)；②證明：CD=HE；(2)若CA=3CD=6，AH=1，請(qǐng)直接寫出線段BE的長(zhǎng)．【答案】(1)①∠GFD=40°；(2)3或5或7或9【分析】（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和在△DEH中可求∠EDH=40°，繼而可得∠FDG=50°，再由直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求出∠GFD=40②利用同角的余角相等可證明∠CDF=∠DEH，∠EDH=∠CFD，進(jìn)而可得△FCD（2）根據(jù)點(diǎn)E和點(diǎn)H位置不同分四種情況畫圖討論，由（1）②的結(jié)論即可解答．【詳解】（1）①解：在△DEH中，，∠DHE=110°∴∠EDH=40∵∠FDE=90∴∠FDG=50∵DG⊥FC于點(diǎn)∴∠DGF=90∴∠GFD=40②證明：∵∠FDE=90°，∠DGF=90∴∠EDH+∠FDG=90°，∠FDG+∴∠EDH=∵∠FDE=90°，∠DAE∴∠CDF+∠ADE=90°，∠ADE+∴∠CDF=∵FD=ED，∴△FCD∴CD=HE．（2）∵CA=3CD=6，CA=BA，由（1）可知：CD=HE，∴CA=BA=6，CD=HE=2，根據(jù)頂點(diǎn)E分別在射線BA上和點(diǎn)F不同位置有四種情況；I．當(dāng)點(diǎn)E在線段BA上點(diǎn)H在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，如圖：

∴BE=AB-II．當(dāng)點(diǎn)E在線段BA上，點(diǎn)H在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，如圖2-2：

∴BE=AB+AH-III．當(dāng)點(diǎn)E在線段BA延長(zhǎng)線上、點(diǎn)H在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，如圖2-3：

∴BE=AB+AE=6+1+2=9，IV．當(dāng)點(diǎn)E在線段BA延長(zhǎng)線上、點(diǎn)H在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，如圖2-4：

∴BE=AB-綜上所述：線段BE的長(zhǎng)為3或5或7或9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，難點(diǎn)在問題（2），需要根據(jù)點(diǎn)E和點(diǎn)H的位置不同正確畫出圖形，根據(jù)線段的和差進(jìn)行計(jì)算．易錯(cuò)模型三：半角模型易錯(cuò)陷阱【模型分析】過等腰三角形頂點(diǎn)兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型．【常見模型】常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系．半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論．【易錯(cuò)點(diǎn)】當(dāng)出現(xiàn)45°角和60°角時(shí)，要聯(lián)系到半角模型；舉一反三例5．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，則△ABD與A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】將△ADE關(guān)于AE對(duì)稱得到△AFE，從而可得△AFE的面積為15，再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得AF=AD,∠EAF=45°，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出△ACF?△ABD，從而可得CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45°,S△ACF=S△ABD，最后根據(jù)△ABD與△AEC的面積之和等于△AFE【詳解】解：如圖，將△ADE關(guān)于AE對(duì)稱得到△AFE則AF=AD,∠EAF=45°，S△∴∠∵∠∴∠在△ACF和△ABD中，AC=AB∠∴△∴CF=BD=3,∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，即△CEF∴S∴S即△ABD與△AEC的面積之和為21故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．例6．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長(zhǎng)為．【答案】210【分析】延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG=CF，連接DG，EF，利用SAS證明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再證明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，設(shè)AE=x，則BE=6-x，EF=x+3，再利用勾股定理解決問題．【詳解】解：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG＝CF，連接DG，EF，∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°，∵DE＝DE，∴△GDE≌△FDE（SAS），∴GE＝EF，∵F是BC的中點(diǎn)，∴AG=CF=BF=3，設(shè)AE＝x，則BE＝6﹣x，EF＝x+3，由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2，∴AE＝2，∴DE＝AD故答案為：210．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握半角模型的處理策略是解題的關(guān)鍵．變式1如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，若BE＝2，則EF的長(zhǎng)為．【答案】5【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∠DAF=∠BAG，∠D=∠ABG=90°，由“SAS”可證，可得EF=GE，由勾股定理可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，∠DAF=∠BAG，∠D=∠，∴點(diǎn)G在CB的延長(zhǎng)線上，∵四邊形ABCD為正方形，．又∵∠EAF=45∴∠．∴∠GAE=在和ΔFAE中，，，∴EF=GE，∵E，∴DF=3∴EF=5故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握利用勾股定理求線段的長(zhǎng)．變式2．在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，點(diǎn)E,F在AB邊上，∠ECF=45°．若AE=10,EF=15，則的長(zhǎng)為．【答案】5【分析】將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接GB，GF，可得△ACE≌△BCG，從而得FG2＝AE2＋BF2，再證明△ECF≌△GCF，從而得EF2＝AE2＋BF2，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接GB，GF，∵∠BCE＋∠ECA＝∠BCG＋∠BCE＝90°∴∠ACE＝∠BCG．∵在△ACE與△BCG中，∵CE＝∴△ACE≌△BCG（SAS），∴∠A＝∠CBG＝45°，AE＝BG，∴∠FBG＝∠FBC＋∠CBG＝90°．在Rt△FBG中，∠FBG＝90°，∴FG2＝BG2＋BF2＝AE2＋BF2．又∵∠ECF＝45°，∴∠FCG＝∠ECG?∠ECF＝45°＝∠ECF．∵在△ECF與△GCF中，EC＝∴△ECF≌△GCF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF2＝AE2＋BF2，∵AE=10,EF=15，∴BF=15故答案是：55【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)變換，二次根式的化簡(jiǎn)，通過旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．變式3．（1）閱讀理解如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點(diǎn)，∠EAF＝45°，則我們常常會(huì)想到：把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG．易證△AEF≌，得出線段BF，DE，EF之間的關(guān)系為；（2）類比探究如圖2，在等邊△ABC中，D，E為BC邊上的點(diǎn)，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求線段DE的長(zhǎng)；（3）拓展應(yīng)用如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝6+2，∠BAC＝150°，點(diǎn)D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰，請(qǐng)直接寫出線段

【答案】（1）△AGF，EF＝DE+BF；（2）DE＝7；（3）BD＝2或2【分析】（1）證明△AGF≌△AEF（SAS），則GF＝EF，即GF＝BG+BF＝DE+BF＝EF，即可求解；（2）證明△AFD≌△AED（SAS），則FD＝DE，在Rt△FBH中，∠FBH＝60°，則BH＝12BF＝1，F(xiàn)H＝BFsin60°＝2×32＝，則FD=F（3）①當(dāng)DE＝AD時(shí)，△ADE≌△ADF（SAS），在△ABC中，AB＝AC＝6+2，∠HAC＝30°，由BC2＝（AB+AH）2+HC2得：BC2＝（x+32x）2+（12x）2，求出BC＝4+2；在△ADE中，AD＝DE＝a，∠ADE＝30°，同理可得：AE＝6-22a，由AB2+AE2＝BE2，求出a＝2，即可求解；②當(dāng)DE＝AE【詳解】解：（1）由圖象的旋轉(zhuǎn)知，AG＝AE，∠DAE＝∠GAB，∵∠BAF+∠DAE＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF＝∠DAE+∠BAF＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，又∵AG＝AE，AF＝AF，∴△AGF≌△AEF（SAS），∴GF＝EF，即GF＝BG+BF＝DE+BF＝EF，即EF＝DE+BF，故答案為：△AGF，EF＝DE+BF；（2）將△AEC圍繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AFB的位置，連接FD，由（1）知，△AFB≌△AEC（SAS），則AF＝AE，F(xiàn)B＝EC＝2，∵∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠EAC+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣30°＝∠DAE，∵AD＝AD，AF＝AE，∴△AFD≌△AED（SAS），∴FD＝DE，∠ABF＝∠C＝60°，在△BDF中，BD＝1，BF＝2，∠FBD＝∠ABF+∠ABC＝60°+60°＝120°，過點(diǎn)F作FH⊥BD交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則∠FBH＝60°，在Rt△FBH中，∠FBH＝60°，則BH＝12BF＝1，F(xiàn)H＝BFsin60°＝2×32＝則FD=故DE＝7；（3）①當(dāng)DE＝AD時(shí)，則∠DAE＝∠DEA＝75°，則∠ADE＝180°﹣2×75°＝30°，在等腰△ABC中，∠BAC＝150°，則∠ABC＝∠ACB＝15°，將△AEC圍繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AFB所在的位置（點(diǎn)F對(duì)應(yīng)點(diǎn)E），連接DF，由（2）同理可得：△ADE≌△ADF（SAS），∴DF＝DE，∵∠ADE＝∠ABC+∠BAD＝15°+∠BAD＝30°，故∠BAD＝15°＝∠ABD，∴AD＝BD＝ED，設(shè)BD＝a，則AD＝BD＝ED＝a，則BE＝2a，過點(diǎn)C作CH⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則∠HAC＝2∠ABC＝30°，在△ABC中，AB＝AC＝6+2，∠HAC＝設(shè)AC＝x，則CH＝12x，AH＝32由BC2＝（AB+AH）2+HC2得：BC2＝（x+32x）2+（12x）將x＝6+2代入上式并解得：BC＝4+2在△ADE中，AD＝DE＝a，∠ADE＝30°，同理可得：AE＝6-∵∠ABE＝15°，∠AEB＝75°，故∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即（6+2）2+（6-22a）2解得a＝±2（舍去負(fù)值），故a＝2，則BD＝2，CE＝BC﹣2a＝4+2﹣4＝2；②當(dāng)DE＝AE時(shí)，BD對(duì)應(yīng)①中的CE，故BD＝2；綜上，BD＝2或2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，連接EF，有下列結(jié)論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）

A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④【答案】C【分析】利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得△ABF≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：∵△ADC繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，∴△ABF≌△ACD，∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正確，∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正確無法判斷BE＝CD，故①錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．2．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長(zhǎng)為．【答案】2+2【分析】將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，由旋轉(zhuǎn)得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根據(jù)SAS推出△AEM≌△ANM，根據(jù)全等得出MN＝ME，求出MN＝CN＋BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周長(zhǎng)＝BD＋DC，代入求出答案即可．【詳解】將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三點(diǎn)共線，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，AE＝AN∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，∴CD＝12BC＝2，BD＝BC2-∴△DMN的周長(zhǎng)為DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2，故答案為：2+2．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．3．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC邊上的點(diǎn)，將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD'，連接D'(1)當(dāng)∠BAC＝120°，∠DAE＝60°時(shí)，求證：DE＝D'E(2)當(dāng)DE＝D'E時(shí)，∠DAE與∠BAC(3)在（2）的結(jié)論下，當(dāng)∠BAC＝90°，BD與DE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，△D'EC【答案】(1)見解析(2)∠DAE＝12∠BAC(3)DE＝2BD【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝AD'，∠CAD'＝∠BAD，然后求出∠D′AE＝60°，從而得到∠DAE＝∠D'AE，再利用“邊角邊”證明△ADE和△A（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝AD'，再利用“邊邊邊”證明△ADE和△AD'E全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等求出∠DAE＝∠D'AE，然后求出∠BAD＋∠CAE＝（3）求出∠D'CE＝90°，然后根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于直角邊的2倍可得D'E＝2C【詳解】（1）證明：∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ACD'∴AD＝AD'，∠CAD'＝∠∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠D'AE＝∠CAD'＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝∴∠DAE＝∠D'AE在△ADE和△AD'E中，∵AD=A∴△ADE≌△AD'E（SAS∴DE＝D'E（2）解：∠DAE＝12∠BAC理由如下：在△ADE和△AD'E中，AD=A∴△ADE≌△AD′E（SSS），∴∠DAE＝∠D'AE∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE，∴∠DAE＝12∠BAC（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠ACD'＝45°∴∠D'CE＝45°＋45°＝90°∵△D'EC∴D'E＝2CD由（2）DE＝D'E∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ACD'∴BD＝D'，∴DE＝2BD．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換的綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小找出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．4．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．(1)求證：AE=EF；(2)連接AC，則CFAC的值為__________(3)連接，設(shè)與CD交于點(diǎn)H，連接EH，探究BE，EH，【答案】(1)見解析(2)1(3)EH=BE+DH，理由見解析【分析】（1）取AB的中點(diǎn)M，并連接ME，通過正方形和等腰直角三角形的基本性質(zhì)，證明△AME（2）連接AC后，由點(diǎn)M，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，推出ME為△ABC（3）結(jié)合（1）的結(jié)論，可得到∠EAF=45°，從而考慮運(yùn)用“半角”模型，因此延長(zhǎng)CB至點(diǎn)N，使得BN=DH，連接AN，運(yùn)用兩次基礎(chǔ)全等證明即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖所示，取AB的中點(diǎn)M，并連接ME，∴AM=BM，∵E是邊BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AM=BM=BE=CE，∵∠AEF=90°，∴∠MAE+∠AEB=90°，∠CEF+∴∠MAE=∵BM=BE，∴∠BME=45°，∠AME=135∵正方形外角的平分線為CF，∴，∴∠AME=在△AME和△ECF中，∠∴△AME∴AE=EF；（2）解：如圖所示，連接AC，∵點(diǎn)M，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴ME為△ABC∴AC=2ME，由（1）得△AME∴ME=CF，∴AC=2CF，∴CFAC故答案為：12（3）解：EH=BE+DH，理由如下：如圖所示，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)N，使得BN=DH，連接AN，由正方形基本性質(zhì)得：∠ABN=∠ADH=90°，AB=AD，∴△ABN∴AN=AH，∠DAH=由（1）知，AE=EF，且∠AEF=90∴∠EAF=∴∠DAH+∴∠NAE=∠BAN+∠BAE=45°，即：∠NAE=在△NAE和△HAE中，AN=AH∴△NAE∴EN=EH，∵EN=BE+BN，BN=DH，∴EN=BE+DH，∴EH=BE+DH．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，在證明第一小問時(shí)要合理作出輔助線，才能為后面的問題做良好的鋪墊，掌握基本圖形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用基本定理是解題關(guān)鍵．易錯(cuò)模型四：一線三等角模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．【常見模型】舉一反三例7．如圖，點(diǎn)P，D分別是∠ABC邊BA，BC上的點(diǎn)，且BD=4，∠ABC=60°．連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)作等邊△DPE，連結(jié)BE，則△BDE的面積為（A．43 B．2 C．4 D．【答案】A【分析】要求的面積，想到過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，因?yàn)轭}目已知∠ABC=60°，想到把∠ABC放在直角三角形中，所以過點(diǎn)D作DG⊥BA，垂足為G，利用勾股定理求出DG的長(zhǎng)，最后證明即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，過點(diǎn)D作DG⊥BA，垂足為G，在Rt△BGD中，BD=4，∠ABC=60，∴BG=∴GD=是等邊三角形，∴∠PDE=60°，PD=DE，，∵∠ABC=60，，，，，的面積，，=43故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線．例8．小李用7塊長(zhǎng)為8cm，寬為3cm的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板點(diǎn)B在DE上，點(diǎn)A和C分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為．【答案】36【分析】根據(jù)題意可得AB=BC，∠ABC=90°，AD⊥DE，CE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADB=∠BEC=90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠ABD=∠BCE，再證明△ABD【詳解】解：由題意得AB=BC，∠ABC=90°，AD⊥DE，CE⊥DE，AD=24cm，CE=12∴∠∴∠ABD+∠CBE=90°，∠BCE+∴∠在△ABD和△BCE中，∠ABD=∴△，DB=CE=12cm，∴DE=DB+BE=36則兩堵木墻之間的距離為36cm故答案為：36．變式1．如圖，在四邊形ABEF中，AB=4，EF=6，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，連接AC、CF，若AC=CF，∠B=∠E=∠ACF，則

【答案】10【分析】先證明∠BAC=∠FCE，再證明△ABC【詳解】，又∵∠B=∴∠∵∠B=∠E，AC=CF，∴△∴AB=CE，BC=EF，，EF=6，，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，掌握三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．變式2．如圖所示，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°．直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥l于點(diǎn)F．若BE=2,CF=5，則EF=．

【答案】7【分析】根據(jù)全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段之間的關(guān)系，從而進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；【詳解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB=∠CFA=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．又∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°．∴∠EBA=∠CAF．在△AEB和△CFA中∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△AEB≌△CFA．∴AE=CF，BE=AF．∴AE+AF=BE+CF．∴EF=BE+CF．∵BE=2,CF=5，∴EF=2+5=7；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的證明三角形全等．變式3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-43x+4與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，若△ABC

【答案】點(diǎn)C的坐標(biāo)是7,3【分析】通過一次函數(shù)解析式能求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是OA，OB的長(zhǎng)，由等腰直角△ABC可以得出AB=AC，作CD垂直于x軸，構(gòu)造△ABO≌△CAD，從而求出AD、CD的長(zhǎng)，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，本題考查了一次函數(shù)求交點(diǎn)坐標(biāo)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．【詳解】解：當(dāng)y=0時(shí)，0=-43x+4，解得x=3，即點(diǎn)A當(dāng)x=0時(shí)，y=4，則點(diǎn)B坐標(biāo)為0,4，作CD垂直于x軸，

∴∠CDA=90∵△ABC∴AB=AC，∠BAC=90∴∠∵∠∴∠在△AOB和△CDA中，∠∴△AOB∴AD=BO，AO=CD，∴OD=AO+AD=3+4=7∴DC=OA=3∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是7,3易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝