八年級(jí)上冊(cè)《課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題》課件與同步練習(xí)

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題

前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題.同學(xué)們通過(guò)討論下面兩個(gè)問(wèn)題，可以體會(huì)如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)選擇最短路徑.學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能利用軸對(duì)稱變換解決實(shí)際問(wèn)題.（2）能利用作圖解決生活中的軸對(duì)稱問(wèn)題.（作圖建模）推進(jìn)新課知識(shí)點(diǎn)1將軍飲馬問(wèn)題

問(wèn)題1

從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．BAlC設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）．聯(lián)想B·lA·如圖所示，點(diǎn)A、B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短.

連接AB，與直線l相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)即為所求.如果我們能把點(diǎn)B移到l的另一側(cè)B′處，同時(shí)對(duì)直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等，就可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上面的情況.BAlCB′作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可以得到CB′=CB.連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．鞏固練習(xí)

練習(xí)1如圖，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到A、B兩地，問(wèn)該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)（保留作圖痕跡）.解：如圖，P點(diǎn)即為該點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)2造橋選址問(wèn)題

如圖所示，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）

當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+MN+NB最小？由于河岸寬度是固定的，因此當(dāng)AM+NB最小時(shí)，AM+MN+NB最小.

將AM沿與河岸垂直的方向平移，點(diǎn)M移到點(diǎn)N，點(diǎn)A移到點(diǎn)A′，則AA′=MN，AM+NB=A′N(xiāo)+NB.這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，

A′N(xiāo)+NB最?。窟B接A′B與b相交于N，N點(diǎn)即為所求.鞏固練習(xí)練習(xí)2牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)畫(huà)出最短路徑.A′B′PQ....隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.作圖在直線l上找一點(diǎn)C，使AC+BC最小...AB(1)..2.如圖，已知牧馬營(yíng)地在P處，每天牧馬人要趕著馬群先到河邊飲水，再帶到草地吃草，請(qǐng)你替牧馬人設(shè)計(jì)出最短的放牧路線.解：如圖AP+AB即為最短的放牧路線.綜合應(yīng)用3.如圖，M、N分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，在邊BC上求作一點(diǎn)P，使△PMN的周長(zhǎng)最小.解：如圖，作點(diǎn)M關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N(xiāo)，交BC于點(diǎn)P，則△PMN的周長(zhǎng)最小.拓展延伸4.如圖，已知直線MN與MN異側(cè)兩點(diǎn)A、B，在MN上求作一點(diǎn)P，使PA-PB最大，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：如圖，作B點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′并延長(zhǎng)，交MN于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求.理由：點(diǎn)A，B′，P在同一條直線上時(shí)，PA-PB′最大，即PA-PB最大.課堂小結(jié)歸納

在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變化把已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇.課后作業(yè)1.從課后習(xí)題中選??；2.完成練習(xí)冊(cè)本課時(shí)的習(xí)題。1．某平原有一條很直的小河和兩個(gè)村莊，要在此小河邊的某處修建一個(gè)水泵站向這兩個(gè)村莊供水．某同學(xué)用直線(虛線)l表示小河，P，Q兩點(diǎn)表示村莊，線段(實(shí)線)表示鋪設(shè)的管道，畫(huà)出了如下四個(gè)示意圖，則所需管道最短的是(

)C2．在平面直角坐標(biāo)系中有A，B兩點(diǎn)，要在y軸上找一點(diǎn)C，使得它到A，B兩點(diǎn)的距離之和最小．現(xiàn)有如下四種方案，其中符合要求的是(

)C3．如圖，在等邊三角形ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，QD＝1.5，點(diǎn)P，Q分別為AB，AD上的兩個(gè)定點(diǎn)，且BP＝AQ＝2，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E使PE＋QE最短，則PE＋QE的最小值為(

)A．3.5 B．4C．5 D．6C4．如圖，線段AB與線段CD關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)A之間的距離為8cm，點(diǎn)B與點(diǎn)D之間的距離為5cm，則PA＋PB的最小值是______cm.85．如圖，MN是正方形ABCD的一條對(duì)稱軸，點(diǎn)P是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC＋PD最小時(shí)，∠PCD＝__________.45°6．如圖，公路同側(cè)有兩個(gè)村莊M，N，為方便兩村居民的生活，現(xiàn)要在公路旁建一個(gè)車(chē)站P，同時(shí)修通到兩村的公路，問(wèn)車(chē)站應(yīng)建在何處費(fèi)用最??？(只需畫(huà)出示意圖，不需要說(shuō)明理由)解：①作點(diǎn)M關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)M′；②連接M′N(xiāo)，交AB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．第十三章軸對(duì)稱《13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題》同步練習(xí)1兩點(diǎn)之間線段最短1．如圖，小明家在點(diǎn)A處，學(xué)校在點(diǎn)B處，則小明從家到學(xué)校最短的路徑是______(填序號(hào))，其中的數(shù)學(xué)道理是____________________.②兩點(diǎn)之間線段最短2．如圖，牧馬人騎馬從A地出發(fā)，到河邊l的點(diǎn)P處飲水，然后到對(duì)岸的B地買(mǎi)生活用品．請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出路徑最短時(shí)點(diǎn)P的位置，并說(shuō)明理由．解：連接AB交直線l于點(diǎn)P.理由：兩點(diǎn)之間線段最短．2利用軸對(duì)稱解決最短路徑問(wèn)題3．如圖，在正方形網(wǎng)格中有M，N兩點(diǎn)，在直線l上求一點(diǎn)P使PM＋PN最短，則點(diǎn)P應(yīng)選在(

)A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B

C．點(diǎn)C D．點(diǎn)DC4．如圖，牧馬人騎馬從A地出發(fā)，到河邊l的點(diǎn)M處飲水，然后到C地宿營(yíng)．請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出最短路徑．解：作點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C1，連接AC1，交直線l于點(diǎn)M，連接AM，CM.5．如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了△ABC(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn))．(1)請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1.(2)在直線l上畫(huà)出點(diǎn)P，使得PA＋PC1最?。?3)在直線l上畫(huà)出點(diǎn)Q，使得QA1＋QB1最?。猓?1)如圖所示．(2)連接AC1交直線l于點(diǎn)P.(3)連接AB1交直線l于點(diǎn)Q.6．如圖，已知六邊形ABCDEF是正六邊形，點(diǎn)G，H分別是AF和CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是GH上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，則AP＋BP的最小值為(

)A．線段GE的長(zhǎng)度B．線段AE的長(zhǎng)度C．線段AB長(zhǎng)度的兩倍D．線段GD的長(zhǎng)度BA8．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP＝8，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，△PMN周長(zhǎng)的最小值是8，則∠AOB的度數(shù)是__________.30°9．如圖，牧馬人騎馬從A地出發(fā)，先到草地a讓馬吃草，再到河邊b飲水，然后到C地宿營(yíng)．請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出最短路徑．解：作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)C關(guān)于直線b的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接A′C′，分別交直線a，b于點(diǎn)M，N，連接AM，MN，CN.10．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.格點(diǎn)△ABC(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)的三角形)的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)