八年級上冊《多邊形的內(nèi)角和》課件與同步練習

11.3多邊形及其內(nèi)角和

11.3.2多邊形的內(nèi)角和學習目標：

1．探索多邊形的內(nèi)角和公式.

2．通過把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形，體會轉(zhuǎn)化思

想在幾何中的運用.新課導入回憶長方形、正方形的內(nèi)角和等于______.360°

思考任意一個四邊形的內(nèi)角和是否也等于360°呢？推進新課多邊形的內(nèi)角和探究你能利用三角形內(nèi)角和定理證明你的結(jié)論嗎？證明：連接AC，∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=（∠BAC+∠BCA+∠B）+（∠DAC+∠DCA+∠D），=180°+180°=360°．知識點1從四邊形的一個頂點出發(fā)，可以作

條對角線，它們將四邊形分為

個三角形，四邊形的內(nèi)角和等于180°×____=

°．122360探究你能利用三角形內(nèi)角和定理證明你的結(jié)論嗎？探究類比前面的過程，你能探索五邊形的內(nèi)角和嗎？六邊形呢？如圖，從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以作

條對角線，它們將五邊形分為____個三角形，五邊形的內(nèi)角和等于

180°×

=

°．233540如圖，從六邊形的一個頂點出發(fā)，可以作_____條對角線，它們將六邊形分為_____個三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°×____=_______°．344720形狀圖形從多邊形的一個頂點引出的對角線條數(shù)分割出三角形的個數(shù)多邊形內(nèi)角和三角形四邊形五邊形六邊形……n

邊形······03-3=4-3=5-3=6-3=n-3123······3-

2=14-

2=25-

2=36-

2=4n-2（n-2）·180o180o360o

540o720o············

從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以作（n-3）條對角線，它們將n邊形分為（n-2）個三角形，這（n-2）個三角形的內(nèi)角和就是n邊形的內(nèi)角和，所以，n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°．歸納總結(jié)通過上述過程，你能說說多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關系嗎？

填空：（1）十邊形的內(nèi)角和為

度．（2）已知一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，則它的邊數(shù)為______．14408練習解：如圖，四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°．∵∠A+∠B+∠C+∠D

=（4-2）×180°=360°，∴∠B+∠D=360°–（∠A+∠C）=360°–180°=180°．

例1如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？如果四邊形的一組對角互補，那么另一組對角也互補.四邊形、五邊形、六邊形的外角和知識點2問題1

我們知道，三角形的內(nèi)角和是180°，三角形的外角和是360°．得出三角形的外角和是360°有多種方法．如圖，你能說說怎樣由外角與相鄰內(nèi)角互補的關系得出這個結(jié)論嗎？ABCDEF123

由

∠1+∠BAE

=180°，∠2+∠CBF

=180°，

∠3+∠ACD

=180°，

得

∠1+∠2+∠3+∠BAE

+∠CBF

+∠ACD

=540°．

由

∠1+

∠2+

∠3=180°，得

∠BAE+∠CBF+∠ACD

=540°-180°

=360°．ABCDEF123由∠BAD+∠1=180°，∠ABC+∠2=180°，∠BCD

+∠3=180°，∠ADC+∠4=180°，得∠BAD+∠1+∠ABC

+∠2+∠BCD

+∠3+∠ADC+∠4=180°×4．由∠BAD+∠ABC+∠BCD

+∠ADC

=180°×2，得∠1+∠2+∠3+∠4=180°×4-180°×2=360°．問題2如圖，你能仿照上面的方法求四邊形的外角和嗎？ABC123D4問題3

五邊形的外角和等于多少度？六邊形呢？

仿照上面的方法試一試．6×180°-（6-2）×180°=2×180°=360°類比求三角形、四邊形的外角和的方法求出五邊形的外角和是360°，六邊形的外角和是360°．

問題4

你能仿照上面的方法求n邊形（n是不小于3的任意整數(shù)）的外角和嗎？因為n邊形的每個內(nèi)角與它相鄰的外角是鄰補角，它們的和是180°，所以n邊形內(nèi)角和加外角和等于n·180°，所以，n邊形的外角和為：

n·180°-（n

-2）·180°=360°．

任意多邊形的外角和等于360°．n

邊形的外角和知識點3我們也可以在問題4的基礎上這樣理解多邊形外角和等于360°．如圖，從多邊形的一個頂點A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點，再回到點A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)的方向．A在行程中轉(zhuǎn)過的各個角的和，就是多邊形的外角和．由于走了一周，所轉(zhuǎn)過的各個角的和等于一個周角，所以多邊形外角和等于360°．我們也可以在問題4的基礎上這樣理解多邊形外角和等于360°．A鞏固多邊形外角和公式解：設這個多邊形為n邊形，根據(jù)題意，可列方程

（n-2）×180°=3×360°．

解得n=8．

答：它是八邊形．一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？x=65

練習1求出下列圖形中x

的值。x=60

x=95

【課本P24練習第1題】解法一：設它是n邊形，則依題意得(n－2)×180°＝n×l20°∴

n＝6.練習2

一個多邊形的各內(nèi)角都等于120°，它是幾邊形？【課本P24練習第2題】練習2

一個多邊形的各內(nèi)角都等于120°，它是幾邊形？【課本P24練習第2題】解法二：各內(nèi)角都等于120°，則各外角為60°，設它是n邊形，則有n×60°＝360°(多邊形的外角和等于360°)∴n=6.解：設它是n邊形.∵多邊形的外角和為360°，且內(nèi)角和與外角和相等，∴(n-2)×180°＝360°∴

n=4.練習3

一個多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，它是幾邊形？【課本P24練習第3題】解：不存在．

理由：如果存在這樣的多邊形，設它的一個外角為x，則對應的內(nèi)角為180°-x

，于是x=180°-

x，解得x=150°.練習4是否存在一個多邊形，它的每個內(nèi)角都等于相鄰外角的？為什么？這個多邊形的邊數(shù)為：360°÷150°=2.4，而邊數(shù)應是整數(shù)，因此不存在這樣的多邊形．隨堂演練1.下列各個度數(shù)中，不可能是多邊形的內(nèi)角和的是（）A.600°B.720°C.900°D.1080°2.若多邊形的邊數(shù)由3增加到5，則其外角和的度數(shù)（）A.增加 B.減少C.不變D.不能確定AC基礎鞏固3.已知，在四邊形ABCD中，∠A:∠B＝5:7，∠B與∠A的差等于∠C，∠D與∠C的差是80度，求四邊形ABCD四個內(nèi)角的度數(shù).解：設∠A=5x°，∠D=y°，則∠B=7x°，∠C=2x°，由題意可得解得所以∠A=87.5°，∠B=122.5°，∠C=35°，∠D=115°.綜合應用4.如圖，小亮從A點出發(fā)，沿直線前進10米，后左轉(zhuǎn)30度，再沿直線前進10米.又向左轉(zhuǎn)30度，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走了多少米？拓展延伸解：由題意可知，小亮第一次回到出發(fā)地A點時，他的行走路線是一個正多邊形，且這個正多邊形的外角等于30°，邊長為10米.所以這個多邊形的邊數(shù)為所以一共走了12×10=120（米）.課堂小結(jié)

從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以作（n-3）條對角線，它們將n邊形分為（n-2）個三角形，這（n-2）個三角形的內(nèi)角和就是n邊形的內(nèi)角和，所以，n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°．多邊形外角和等于360°．A1.從課后習題中選??；2.完成練習冊本課時的習題。課后作業(yè)1．“中國天眼”是目前世界上唯一能觀測深空的射電望遠鏡，其中心位置是一個正五邊形，這個正五邊形的內(nèi)角和是(

)A．1260° B．900°C．540° D．360°2．一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和，則這個多邊形的邊數(shù)是(

)A．3 B．4C．5 D．6CB3．一個三角形，剪去一個角后所得的多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是(

)A．180° B．360°

C．540° D．180°或360°D4．如圖，∠E是六邊形ABCDEF的一個內(nèi)角．若∠E＝120°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠F＝____________.5．一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形的對角線的條數(shù)為______.600°96．若一個正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)都是相鄰外角的3倍，則這個正多邊形是正幾邊形？每個內(nèi)角是多少度？解：設這個正多邊形的每個外角的度數(shù)為n，則其每個內(nèi)角的度數(shù)為3n.由題意，得n＋3n＝180°，解得n＝45°，∴這個正多邊形是正八邊形，每個內(nèi)角的度數(shù)是135°.第十一章三角形11.3多邊形及其內(nèi)角和《11．3.2多邊形的內(nèi)角和》同步練習1．五邊形的內(nèi)角和是(

)A．900° B．720°C．540° D．360°2．下列多邊形中，內(nèi)角和等于360°的是(

)1多邊形的內(nèi)角和CB3．正多邊形的一個內(nèi)角等于144°，則該多邊形是(

)A．正八邊形 B．正九邊形C．正十邊形 D．正十一邊形4．下列角度不可能是多邊形內(nèi)角和的是(

)A．270° B．360°C．540° D．900°5．如圖是用六個全等的直角三角形拼成的六邊形花環(huán)，則∠ABC的度數(shù)是__________.CA30°6．如圖，六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求x的度數(shù)．解：∵六邊形的內(nèi)角和是720°，且內(nèi)角都相等，則每個內(nèi)角為720°÷6＝120°，∴∠B＝∠F＝∠BAF＝120°.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的內(nèi)角和定理可知，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝(180°－120°)÷2＝30°，∴x＝∠BAF－∠1－∠3＝120°－30°－30°＝60°.7．一個正多邊形的每個外角都等于36°，那么它是(

)A．正六邊形 B．正八邊形C．正十邊形 D．正十二邊形8．若n邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是(

)A．3 B．7C．8 D．42多邊形的外角和CC9．如圖，在五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分別是該五邊形的外角，則∠1＋∠2＋∠3＝____________.180°10．若多邊形的每個內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍還多30°，則這個多邊形的內(nèi)角和是多少？解：設它的一個外角為x，則與它相鄰的內(nèi)角為(4x＋30)，∴4x＋30°＋x＝180°，解得x＝30°，360°÷30°＝12，∴此多邊形為十二邊形，∴它的內(nèi)角和為180°×(12－2)＝1800°.11．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＋∠B＝200°，∠ADC，∠DCB的平分線相交于點O，則∠COD的度數(shù)是(

)A．80° B．90°C．100° D．110°C12．新情境如圖，被樹葉遮掩的部分是一個正n邊形，若直線a，b所夾銳角為36°，則n的值是(

)A．10 B．8C．6 D．5D13．如圖，小明從點A出發(fā)沿直線前進10m到達點B，向左轉(zhuǎn)45°后又沿直線前進10m到達點C，再向左轉(zhuǎn)45°后沿直線前進10m到達點D……照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點A時所走的路程為________m.8014．如圖，將六邊形紙片ABCDEF沿虛線剪去一個角(∠BCD)后，得到∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝460°.(1)求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和．(2)求∠BGD的度數(shù)．解：(1)六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為180°×(6－2)＝720°.(2)∵六邊形ABCDEF